信息光学基础1-6傅里叶变换性质

1 [d (
2
fx

f0) d (
fx

f0 )]
FT comb(x) comb( f )
FT
1

comb(x )

comb(
f
)
03 常用的傅里叶变换对
结合“横岭侧峰”这句话所阐释的意 义，分析振幅和相位谱哪个更重要？
以单缝衍射为例，定量讨论缩放定理应用。
物空间位置的改变 在频域空间是难以察觉的！
物空间的位移带来频域空间的相移， 物空间的相移带来频域空间的位移.
F{g(x, y)e j2 (uaxvb y)} G(u ua , v vb )
干涉法——观察相移
物空间的位置平移带来频域空间的相移。
单缝衍射
双缝衍射
—工程中的应用：
“… It shows tha疏t t影he横in斜fo水rm清ati浅on，ab暗ou香t t浮he动di月spl黄ac昏em。ent magnitude and direction of the sourc—e—ca北n b宋e r·e林pr逋ese《nt山ed园in小th梅e f》orm of fringes at the output plane ….”
由位移定理：
F{g(x, y)e j2 (uaxvb y)} G(u ua , v vb )
d ( f f0)
exp (i2f0x)
Im
x
0
Re
x
0
F {exp(i2f0x)}
f 0 f0
3）函数cos(2f0x)的傅里叶变换
F{cos(2 f0x)}
cos(2
f0 x)
卷积的傅里叶变换可以写成傅里叶变换的乘积；反之亦然。
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
证明： F {tri(x)} = sinc2(f )
F{tri(x)}
= F {2re. ct(x)*rect(x)}
= F {rect(x)} • F{rect(x)} = sinc(u) • sinc(u) = sinc2(u)
b
解法一：根据傅里叶变换的定义
F 1{rect( x a )} rect( x a ) e j2 fx dx
b

b
b 2

a
e j2 fxdx

b 2
a
j 2 fx
b 2

a
[e ]
b 2

a
j2 f
e j2 fa

[e
j
1
2 exp(i2 fx)dx


1 2

[exp(i2
1
fx)]2
1 2
sin( fx)
sin c( f )
i2 fx
fx
F{rect(x, y)} F{rect(x) rect( y)} F{rect(x)} F{rect( y)} sin c(u) sin c(v) sin c(u, v)
( a 为非零实常数)
空域的压缩表现为频域坐标的展宽及频谱幅度的降低.
— 单缝夫琅和费衍射为例：
长长短短删除了， 收放全归掌握中。
——宋 ·释绍昙 《刈茆》
空域的压缩表现为频域的展宽及能量降低, 空域的展宽表现为频域的压缩及能量增加.
3. 位移定理
若： F{g(x, y)} G(u,v)
F{g(x a, y b)} e j2 (uavb)G(u,v)
d(x)
x

d (x a)g(x)dx g(a)
d(x)函数的筛选性质

1 ei2 fxdf d (u)

2）rect 函数的傅里叶变换
f
(x,
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y)

rect(x,
y)

1
0
x

1 2
,
y

1 2
其它
解：F{rect(x)}

rect(x)exp(i2 fx)dx
FF{g(x, y)} F -1F -1{g(x, y)} g(x, y)
对函数进行FT以及IFT，重新得到原函数.
7、可分离变量函数的FT g(x, y) g(x) g( y) F{g(x, y)} F{g(x)} F{g( y)}
由物空间的可分离性， 可简化谱空间的计算
随机位置置乱的用途？
“…备周则意怠，常见则不疑， 阴在阳之内，不在阳之对…” —— 《三十六计》
— 光学信息安全应用
Refregier and B. Javidi, Opt. Lett. 20, 767-769 (1995).
“…We propose a new optical encoding method of images for security applications. The encoded image is obtained by random-phase encoding in both the input and the Fourier planes...”
4、帕色伐定理
若： F{g(x, y)} G(u, v)

则：
g(x,
y)
2
dxdy




G(u, v)
2
dudv
-
-
物面能量＝频谱面能量
能量守恒定律
信号的能量由 G(u,v) 2 曲线下面积给出， 等于各频率分量的能量之和。
G(u,v) 2 代表能量(功率)谱密度(单位频率间隔的能量或功率)
02 傅里叶变换计算
• 例：求下面几个函数的傅里叶变换
1) d(x) 函数的傅里叶变换
d
(x)

0
if x 0 if x 0

d (x)dx 1

F{d (x)} d (x)exp(i2ux)dx exp(i2 u 0) 1
d(t) 函数的傅里叶变换是 1.

1 2
(ei 2
f0x

ei 2
) f0 x
1 F{ei2 f0x} 1 F{ei2 } f0x
2
2

1 [d (
2
f

f0) d (
f

f0 )]
cos(2f0x)
F{cos(2f0x)}
x 0
-f0 0 +f0
f
5）求函数 rect( x a ) 的傅里叶变换。
求下列函数的傅里叶变换
1) d (x x ')
2) exp(i2f0x) 3) cos(2f0x)
5) rect( x a ) b
4) sin(2f0x)
F{e } i2 f0x 1 ei2 e f0x i2 fxdx e dx i2 ( f f0 )x
06. 傅里叶变换定理及性质
学习目标： – 掌握傅里叶变换表式. – 掌握傅里叶变换的定理和性质. – 熟悉常见函数的傅里叶变换对.
2016/10/20
– 01 傅里叶变换定理及性质 – 02傅里叶变换计算 – 03常用的傅里叶变换对
4
01 傅里叶变换定理
1. 线性定理
f (x)
F{a f (x) b g(x)} (a ，b是常数)
5、卷积定理
若有： F{g(x, y)} G(u, v)
F{h(x, y)} H (u, v)

则： F{ g( ,)h(x , y )dd} G(u, v)H (u, v) -
F{g(x, y) h(x, y)} G(u, v)H (u, v)
F{g(x, y)h(x, y)} G(u, v) H (u, v)
2
f
b 2

e
j
2
f
b 2
]

j2 f
b e j2 fa sin( bf ) bf
b e j2 fa sin c(bf )
解法二： 比例和位移性质
F sin(2
f0 x)

1 2j
[d (
fx

f0 )
d
(
fx

f0 )]
F cos(2
f0 x)
8、复共轭函数的傅里叶变换
F{g(x)} G(u)


证明： F{g(x)} g(x) exp(i2ux)dx [ g(x) exp(i2 ux)dx]



{ g(x) exp[i(2u)x]dx} G(u)

—— 傅里叶变换定理—图解
Optics. Commun. 283, 1213-1216 (2010).
—其他应用：测光栅常数、波长等
FF{{gg((xx,,yy))eejj22 } (nu(axx,yv)b y)} G(un(xu,ay,)v —v随b ) 机数
空(频)域中空的间随域机的相相位移扰带动来会频带域来空频间(空的)域位的置随移机动位. 移.
1 rect(x)
x 1/2 0 1/2
1
*
1 tri(x)
x 01
F.T.
F.T.
sinc2(x) 1
1 rect(x)
x 1/2 0 1/2
F.T.
sinc(u) 1
0 -1 1
x sinc(u ) 1
f
0 -1 1

f
0 -1 1
6、傅里叶积分定理 FF -1{g(x, y)} F -1F{g(x, y)} g(x, y)
a F(u) b G(u)
g(x)
——— 线性: 同时具有叠加性和均匀性
——— 傅里叶变换是线性变换
f (x) g(x)
F (u) G(u)
F(u) G(u)
函数和的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的和.
2. 缩放定理 if F{g(x)} G(u), F{g(ax)} 1 G(u / a) a