家家学网络名师小班辅导教(学)案_初中数学_等腰三角形教师版

板块

考试要求

A 级要求

B 级要求

C 级要求

等腰三角形

了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图

形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题

等腰三角形

1． 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 2． 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形． 3． 等腰三角形的性质： (1)两腰相等． (2)两底角相等．

(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． (4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 线段的垂直平分线：

性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等

判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，

线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．

4． 等腰三角形的判定：

(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形． (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．

5． 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60o ． 6． 等边三角形的判定：

(1)三条边都相等的三角形是等边三角形． (2)三个角都相等的三角形是等边三角形．

知识点睛

中考要求

第十四讲

等腰三角形

(3)有一个角是60o 的等腰三角形是等边三角形．

7． 等腰直角三角形的性质：顶角等于90o ，底角等于45o ，两直角边相等． 等腰直角三角形的判定：

(1)顶角为90︒的等腰三角形． (2)底角为45︒的等腰三角形．

板块一、等腰三角形的认识

【例 1】 下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是

60o ，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．则以下结论正确的是( ) A ．只有命题①正确 B ．只有命题②正确 C ．命题①、②都正确 D ．命题①、②都不正确

【解析】 C ．

【例 2】 如图，在ABC ∆ 中，AD BC ⊥于D ．请你再添加一个条件，就可以确定ABC ∆是等腰三角形．你

添加的条件是 ．

【解析】 BD DC =或AD 平分BAC ∠或B C ∠=∠．

【例 3】 (2006年扬州中考)如图，在ABC △中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ，给

重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，这两个性质对于平

面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的帮助

难点：等腰三角形关于底和腰，底角和顶角的计算问题，由于等腰三角形底和腰，

底角和顶角性质性质特点很容易混淆，而且他们在用法和讨论上很有考究，只能在练习中加以训练

重、难点

例题精讲

出下列四个条件：①EBO DOC ∠=∠；②BEO CDO ∠=∠；③BE CD =；④OB OC =．(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC △是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第⑴小题中的一种情形，证明ABC △是等腰三角形．

【解析】 (1)①③，①④，②③，②④四种情况可判定ABC △是等腰三角形．

(2)下面以①③两个条件证明ABC △是等腰三角形． ∵EBO DOC ∠=∠，BE CD =，BEO CDO ∠=∠， ∴EOB DOC ∠=∠， ∴OB OC =，

∴OBC OCB ∠=∠． ∴EBC DCB ∠=∠，

∴ABC △是等腰三角形．

【例 4】 如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=o ，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转

19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？

【解析】 分三种情况讨论：①要使AO AD =，需AOD ADO ∠=∠．

∵190AOD α∠=-°，60ADO α∠=-°， 19060αα-=-∴°°． 125α=∴°．

②要使OA OD =，需OAD ADO ∠=∠． ∵180()50OAD AOD ADO ∠=-∠+∠=°°， 6050α-=∴°°． 110α=∴°．

③要使OD AD =，需OAD AOD ∠=∠． 19050α-=∴°°． 140α=∴°．

综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，ABC △是等腰三角形．

【例 5】 (2007福建晋江中考)如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法

正确的个数有( )

①DC '平分BDE ∠； ②BC 长为2)a ；

③△BC D '是等腰三角形； ④△CED 的周长等于BC 的长． A ． 1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个

【解析】 由图可知△ABD ≌△EBD ，

∴AD ＝DE ＝a ，DBE ∠＝45o ．

又∵C ∠＝ABC ∠＝45o ，∴DC ，

∴BC ()

a ＝2)a ＝△CED 的周长． 又∵△CDE ≌△C DE '，∴45DC E '∠=o ，∴22.5DBE BDC '∠=∠=o ． ∴BC C D ''=，△BC D '是等腰三角形．故②③④正确．

【例 6】 如图⑴，AB AC =，BD ，CD 分别平分ABC ∠，ACB ∠．问：

⑴图中有几个等腰三角形？

⑵过D 点作EF ∥BC ，如图⑵，交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？

⑶如图⑶，若将题中的ABC ∆改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段EF 与BE 、CF 有什么关系？

⑷如图⑷，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠．DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系？

⑸如图⑸，BD 、CD 为外角CBM ∠、BCN ∠的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于E ，交AC 延长线于F ，线段EF 与BE 、CF 有什么关系？

(5)

(4)

(3)

(2)

M

D

D

D

C

C

C

B

B

B

A

A A

A

B C

D

E

E

E E

F F

F F G

N

【解析】 ⑴图⑴中有两个等腰三角形：ABC ∆、BCD ∆

⑵图⑵中又增加了三个等腰三角形：AEF ∆、BED ∆、CFD ∆ ⑶图⑶中有两个等腰三角形：BED ∆、CFD ∆，

由于ED BE =，DF CF =，EF ED FD BE CF =+=+，故EF BE CF =+ ⑷图⑷所示中仍有两个等腰三角形BED ∆、CDF ∆

从而DE BE =，CF DF =，又EF ED DF BE CF =-=-，故EF BE CF =- ⑸如图⑸所示与⑶类似，EF BE CF =+

板块二、等腰三角形的性质 【例 7】 (2008乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( )

A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm

【解析】 Ｃ

【例 8】 已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( ) A ．4.8cm B ．9.6cm C ．2.4cm D ．1.2cm 【解析】 B

【例 9】 (2008沈阳)若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )

A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒

【解析】 Ｄ

【巩固】(2007重庆中考)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为

( )