2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练

例 1、某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽 取了100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：[20,30),[30,40),,[80,90], 并整理得到如下频率分
布直方图：
（Ⅰ）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； （Ⅱ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50) 内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于 70 ，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等．试估计总体
100 （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为 (0.02 0.04) 10 100 60 ，所以样本中分数不 小于 70 的男生人数为 60 1 30 .所以样本中的男生人数为 30 2 60 ，女生人数为100 60 40 ，男生
2 和女生人数的比例为 60 : 40 3 : 2 ，所以根据分层抽样的原理，总体中男生和女生人数的比例估计为 3: 2 .
【易错点】求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应
注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1 ，当小矩形等高时，说明
频率相等，计算时不要漏掉其中一个． 【思维点拨】 1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少． 2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数 较多． 3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 4．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中 点的横坐标之和． 5.求回归直线方程的关键
2
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中男生和女生人数的比例．
【答案】（Ⅰ） 0.4 ；（Ⅱ） 20 ；（Ⅲ） 3: 2 . 【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为 (0.02 0.04) 10 0.6 ，所以 样本中分数小于 70 的频率为1 0.6 0.4 . （Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为 (0.01 0.02 0.04 0.02) 10 0.9 ，分数在区间[40, 50) 内的人数为100 100 0.9 5 5 . 所以总体中分数在区间[40, 50) 内的人数估计为 400 5 20 .
20
【易错点】求解古典概型问题的关键：先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数， 结合古典概型概率公式求解．一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件 的概率，从而简化运算． 【思维点拨】 1. 求复杂互斥事件概率的方法 一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是
24
30
7
3
(1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于 20 (百元)和不低于 30 (百元)的两类人群在该项措施的态
度上有何不同；
(2)现从样本中月收入在[10,20) 和[60,70) 的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好
对该措施一个赞成一个不赞成的概率．
【答案】（1）详见解析；（2） 11 . 20
例 2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100 名市民，统计了他们的月收入频率分
布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示：
月收入（单位：百元） [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)
频数 赞成人数
5
20
30
31
事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有
(a1, b2 ), (a1, b3 ), (a1, b4 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ), (a2 , b4 ), (a3, b2 ), (a3, b3 ), (a3, b4 ), (a4 , b1), (a5 , b1) 共11个，∴抽取 的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率 P 11 .
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2020 年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 古典概型与几何概型
例 1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到
红灯，则至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为
.
5
【答案】
8
【解析】因为红灯持续时间为 40 秒.所以这名行人至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为 40 15 5 . 40 8
【解析】(1)由表知，样本中月收入低于 20 (百元)的共有 5 人，其中持赞成态度的共有 2 人，故赞成人数的
频率为 2 ，月收入不低于 30 (百元)的共有 75 人，其中持赞成态度的共有 64 人，故赞成人数的频率为 64 ，
5
75
∵ 64 2 ，∴根据样本估计总体的思想可知月收入不低于 30 (百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收 75 5
间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P A＝1－P A ，即运用逆向思维的方法(正难则反)
求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至 多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便． 2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件 A 包含的基本事件个数；代入公式， 求出 P( A) ；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比. 题型二 统计与统计案例
入低于 20 (百元)的人群持赞成态度的比例要高．
(2) 将月收入在[10,20) 内， 不赞成的 3 人记为 a1, a2 , a3 ，赞成的 2 人记为 a4 , a5 ，将月收入在[60,70) 内，
不赞成的1 人记为 b1，赞成的 3 人记为 b2 , b3, b4 , 从月收入在[10,20) 和[60,70) 内的人中各随机抽取1 人，基