最新数学必修四第三章
高中数学 必修四 课件：第三章 三角恒等变换
或asinα＋bcosα＝
a2＋b2·cos(α－φ)，其中tanφ＝ab.
第三章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[特别提醒] 化简的基本思想方法是统一角、统一三角 各个名称．
化简：2cos21θ＋＋3stainn2θθ－1－cos2θ3－＋45stainn2θθ－4
第三章 章末归纳总结
[分析] 利用β＝(α＋β)－α进行角的代换，则cosβ＝ cos[(α＋β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
第三章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析] ∵α、 β均为锐角，∴0<α＋β<π. 又cos(α＋β)＝－1114 ∴sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143. 又tanα＝4 3 ∴sin2α＝sin2αsi＋n2cαos2α＝1＋tanta2nα2α＝4489. ∴sinα＝473，从而cosα＝ 1－sin2α＝17，
第三章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
专题一 三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
第三章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
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若cos(
π 4
＋x)＝
3 5
，
17 12
π<x<
7 4
π，求
sin2x＋2sin2x 1－tanx
的
值．
[分析]
注意x＝(
π 4
＋x)－
π 4
，及2x＝2(
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
高中数学必修4课件3-1-2-1
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
题型三 变角求值
例 5 已知 sin(34π＋α)＝153，cos(π4－β)＝35，且 0<α<π4<β<34π， 求 cos(α＋β)
第29页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 ∵0<α<4π<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又 sin(34π＋α)＝153，cos(π4－β)＝35， ∴cos(34π＋α)＝－1123，sin(π4－β)＝－45.
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
求角的三角函数值时，应先分析所求角和已知角之间的关 系，将所求角用已知角的和与差表示．
第32页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
思考题 4 (1)若 sin(α－30°)＝153，30°<α<90°，则 sinα＝ ________.
第23页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
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【解析】 f(x)＝sin(x＋3π)－ 3cos(x＋3π) ＝2·[12sin(x＋π3)－ 23cos(x＋π3)] ＝2sin(x＋3π－π3)＝2sinx 故 f(x)的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．
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【解析】 原式＝sin(α＋β)cosα－12{sin[(α＋β)＋α]－sin[(α＋ β)－α]}
＝sin(α＋β)cosα－12·2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α] ＝sinβ.
北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的积化和差与和差化积
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7
师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过的其他 三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当 然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式的 实际应用，是可以逐步掌握它们的．让我们看看以下的例 题． 例题 求sin75°·cos15°的值． 请同学们想想有什么办法可以解决这个问题？ 生1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差 公式解决之．
2． cos37.5°·cos22.5°
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而sin20°·sin40°·sin80°
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(四)课堂小结
本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽然这些公式是新出现 的，但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系，所以首先应理清他 们的内在联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差 的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组公式的作用，希 望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式
五、作业
P．231中3；P．236中1、2．
六、教后反思：
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第二课时 三角函数的和差化积
一、教与学过程设计 (一)复习积化和差公式 1．请学生复述积化和差公式，教师板书
2．部分作业选讲 ① 证明 cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α． 利用积化和差公式，可得
间是有紧密关系的．
师：和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它
们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，光是这
些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内
在联，寻求新的关系式．
(二)引入新课
请学生说出正、余弦的和差完角整版公课件式pp(t 板书)
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
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最新人教版高中数学必修4第三章《二倍角的正弦、余弦、正切公式》
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题．对倍角公式的理解：(1)成立的条件：在公式S 2α，C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠k π2＋π4(k ∈Z )时才成立．(2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、α是α2的二倍、3α是3α2的二倍等等都是适用的． 【做一做1－1】 已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75B.125C.1225D.2425【做一做1－2】 已知cos α＝13，则cos 2α等于( )A.13B.23 C ．－79 D.79 【做一做1－3】 已知tan α＝3，则tan 2α等于( )A ．6B ．－34C ．－38 D.98答案：2sin αcos α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α【做一做1－1】 D sin 2α＝2sin αcos α＝2425.【做一做1－2】 C cos 2α＝2cos 2α－1＝29－1＝－79.【做一做1－3】 B tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34.倍角公式的变形公式 剖析：(1)公式的逆用：2sin αcos α＝sin 2α；sin αcos α＝12sin 2α；cos α＝sin 2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝cos 2α； 2tan α1－tan 2α＝tan 2α.(2)公式的有关变形： 1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2.(3)升幂和降幂公式升幂公式：1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22； 1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22； 1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2.题型一 利用二倍角公式求值 【例1】 求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8； (3)tan π12－1tan π12.分析：第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值；第(2)(3)题需将所求的式子变形，逆用二倍角公式化简求值．反思：解决此类题目时，应善于观察三角函数式的特点，变形后正用或逆用公式来解决．本题中，若要求出cos π5，cos 2π5，cos π8，tan π12的值，则会使问题复杂化．题型二 知值求值【例2】 已知sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值． 分析：利用同角三角函数的基本关系求出cos α的值，然后利用二倍角公式求出sin 2α，cos 2α，进而求出tan 2α的值．反思：已知α的某个三角函数值，求sin 2α，cos 2α，tan 2α值的步骤：(1)利用同角三角函数基本关系式求出α的其他三角函数值；(2)代入S 2α，C 2α，T 2α计算即可．题型三 二倍角公式在三角形中的应用【例3】 在△ABC 中，cos B ＝35，tan C ＝12，求tan(B ＋2C )的值．分析：求出tan B 和tan 2C 的值，再用和角的正切公式求值．反思：在三角形中讨论三角函数问题时，要注意各内角的范围是(0，π)．本题若忽视这一点，则易错得sin B ＝±45.题型四 易错辨析【例4】 化简2－2＋2＋2cos α(3π＜α＜4π)． 错解：原式＝2－2＋4cos 2α2＝2－2＋2cos α2＝2－4cos 2α4＝2－2cos α4＝4sin 2α8＝2sin α8.错因分析：上述错解在运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．反思：利用二倍角公式化简1±cos α时，由于1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2，则1＋cos α＝2⎪⎪⎪cos α2，1－cos α＝2⎪⎪⎪sin α2，要根据α2所在象限确定sin α2，cos α2的符号，从而去掉绝对值符号．答案：【例1】 解：(1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sin π5＝sin π54sinπ5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(3)原式＝tan 2π12－1tan π12＝－2×1－tan 2π122tan π12＝－2×1tanπ6＝－233＝－2 3.【例2】 解：∵sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－120169×169119＝－120119.【例3】 解：∵0＜B ＜π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.∴tan B ＝sin B cos B ＝43.又tan 2C ＝2tan C1－tan 2C＝2×121－14＝43， ∴tan(B ＋2C )＝tan B ＋tan 2C1－tan B tan 2C＝43＋431－43×43＝－247.【例4】 正解：因为3π＜α＜4π，所以3π2＜α2＜2π，3π4＜α4＜π，3π8＜α8＜π2，则cos α2＞0，cos α4＜0，cos α8＞0. 所以原式＝2－2＋4cos 2α2＝2－2＋2cos α2＝2－4cos 2α4＝2＋2cos α4＝4cos 2α8＝2cos α8.1．12－sin215°的值是( )2．已知α为第二象限角，且sin α＝13，则sin 2α＝__________. 3．2πtan8π1tan 8-＝__________.4．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin 2A ＝__________. 5．已知cos α＝1213-，α∈3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．答案：1．D原式＝12－1cos(215)2-⨯︒＝cos302︒＝4.2．9-由于α为第二象限角，则cos α＝3-，则sin 2α＝2sinαcos α＝9 -.3.12原式＝12×2π2tan8π1tan8-＝1πtan228⎛⎫⨯⎪⎝⎭＝1πtan24＝12.4.120169∵0＜A＜π，∴sin A1213.∴sin 2A＝2sin A cos A＝120 169.5．解：∵cos α＝1213-，α∈3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴sin α＝＝513-.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×513⎛⎫- ⎪⎝⎭×1213⎛⎫- ⎪⎝⎭＝120169，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2513⎛⎫- ⎪⎝⎭＝119169，tan 2α＝sin2cos2αα＝120119.。
高一数学必修四第三章章末总结【人教版】
高一数学必修四章末总结【人教版】第三章 三角恒等变换班级：高一（13）班 姓名：刘碧林注：此总结所有内容均为我个人所编，没有任何抄袭现象，如与百度文库中文件有丝毫雷同，纯属意外。
【涉及公式总结】I.sin ：sin （α+β）=sin αcos β+sin βcos α sin （α-β）=sin αcos β-sin βcos α sin 2α-sin 2β=sin （α+β）sin （α-β） sin2α=2sin αcos α 1+sin2α=（sin α+cos α）2 1-sin2α=（sin α-cos α）22cos 1sin 22αα-= 2tan 12tan2sin 2ααα+= 2cos 12sin αα-±= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα+--= 2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=- 2cos2sin 2sin sin βαβαβα-+=+II.cos ：cos （α+β）=cos αcos β-sin αsin β cos （α-β）=cos αcos β+sin αsin β cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α=（cos α+sin α）（cos α-sin α）22cos 1cos 2αα+= 2sin 112cos 22tan12tan 1cos 2222ααααα-=-=+-= 2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+ )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= 2cos 2cos 12αα=+ 2sin 2cos 12αα=-III.sin&cos ：sin 2α-cos 2α=-cos2α （sin2α-cos2α）2=1-sin4α ααα2sin 21cos sin = )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= 角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角：A+B+C=180°，sin （A+B ）=sinC ， .2sin 2cos ,2cos 2sin ,cos )cos(C B A C B A C B A =+=+-=+IV .tan ：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- αααααααα2cos 12cos 1cos sin tan ,tan 1tan 22tan 2222+-==-= ααααααααααααααcos sin 1cos sin 1cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan ,2tan 12tan2tan 2++-+=+=-=+-±=-=§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点1求三角函数值①给角化简求值对于给角化简求值的问题，若角度已知，则需将一般角变为特殊角，单角化为复角；若角度未知，往往根据角的特点，观察式子的结构特征，灵活运用诱导公式，将式子转化为符合和差公式的形式，同时会正向或逆向应用公式求三角函数值。
高中数学必修四 第三章三角恒等变换 3.2.1三角恒等变换
<
0.
∴tan
������ 2
=
−
1-cos������ 1+cos������
=
−
1-
3 3
1+
3 3
=
−
2-
3
=−
1 2
8-4
3
=
−
1 2
( 6- 2)2 =
22
6.
解法二:
用
tan
������ 2
=
1-cos������ sin������
来处理
∵α 为第四象限角,∴sin α<0.
∴sin α=−
(2)y=sin
x(cos
x-sin
x)+
1 2
=sin
xcos
x-sin2x+
1 2
=
1 2
sin
2x−
1-cos2������ 2
+
1 2
=
1 2
sin
2x+
1 2
cos
2x−
1 2
+
1 2
22
2
= 2 2 sin2������ + 2 cos2������
2
π
= 2 sin 2������ + 4 .
������ 2
的值为
()
A.
6 3
B.
−
6 3
C.
±
6 3
D.
±
3 3
解析:∵α∈(0,π),∴
������ 2
∈
0,
π 2
,
∴cos
������ 2
数学必修4第3章
高一数学必修4 第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第一课时【学习目标】1. 会用向量的数量积推导两角差的余弦公式；2. 会用余弦的差角公式余弦的和角公式，理解化归思想；3. 能用和差角的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值、证明. 【学习重点】余弦差角公式的推导及运用. 【学习难点】余弦差角公式的推导及运用. 【学习过程】 一、自主学习阅读课本P124—P126，完成下列问题1. 如何用任意角,αβ的正弦、余弦值来表示cos()αβ-；2. 如何求出cos15 的值；3. 会求sin75 的值吗？4.（1）试用计算器求值：cos45,cos30,cos15 （2）验证cos(4530)cos45cos30-=- 是否成立？5. 在平面直角坐标系中（1）怎样作出角,,αβαβ-的终边？ （2）怎样作出角αβ-的余弦线OM ？ （3）怎样利用几何直观寻找OM 的表示式？二、合作探究例1. 利用差角的余弦公式求cos15 的值.例2. 已知45sin ,(,),cos ,5213πααπββ=∈=是第三象限角，求cos()αβ-的值.x变式训练：15sin ,17θθ=是第二象限角，求cos()3πθ-的值.【练习】课本第127页.三、达标检测1. 利用两角和（差）的余弦公式，求cos75,cos105 .2. 求值 cos75cos30sin 75sin30+ .3. 化简cos()cos sin()sin αββαββ+++.4. 已知,αβ均为锐角，1cos sin()7ααβ=+，cos β.四、小结与反思高一数学必修4 第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第二课时【学习目标】1. 理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2. 初步运用公式求和角、差角的三角函数值.【学习重点】两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程及运用. 【学习难点】两角和与差的正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 【学习过程】 一、自主学习自学课本P128—P129，完成以下问题 1. 完成课本中的各公式.2. 已知3sin ,5θ=若θ是第一象限角，则sin()4πθ-=_________；若θ是第四象限角，则sin()4πθ-=_________.3. 已知tan 2,θθ=是第三象限角，则tan()6πθ-=__________.4. 已知21tan(),tan()54αβαβ+=-=-，那么tan()5πα+的值是A. －318B.318C.1312 D.3223. 在运用公式解题时，既要注意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用. 如 sin cos cos sin sin()αβαβαβ+=+.tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-. 二、合作探究例1. 已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin(),cos(),tan()444πππααα-+-的值.例2. 利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）sin 72cos42cos72sin 42- ； （2）cos20cos70sin 20sin 70- ；（3）1tan151tan15+-.【练习】课本第131页.三、达标检测1. sin 7cos37sin83sin37- 的值是A. B. 12- C.12D.2. 21tan 75tan 75-的值是A.B.C. -D. 3. 若sin 2sin 3cos 2cos3x x x x =，则x 的值是A.10πB.6πC.5πD.4π 4. 若13cos ,(,2)52πθθπ=∈，则sin()3πθ+=_________.5.6. ()()cos cos sin sin αββαββ+++=__________.7. 已知α为第二象限角，3sin 5α=，β是第一象限角，5cos 13β=，求tan(2)αβ-的值.8. 已知412sin(),cos()25213βααβ-=-=-，且2βα-是第二象限角，2αβ-是第三象限，求tan2αβ+.四、小结与反思高一数学必修4 第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第三课时【学习目标】1. 掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导，明确角的取值范围.2. 能正确运用二倍角公式求值、化简、证明.【学习重点】二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用.【学习难点】二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.【学习过程】一、自主学习：自学课本P132—P133，完成以下问题.利用和角的正弦、余弦、正切公式，可以得到sin2α=______________；cos2α=______________；tan2α=______________.思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sinα或cosα形式的式子呢？二、合作探究例1. 已知5sin2,,1342ππαα=<<求sin4,cos4,tan4ααα的值.例2. 已知1tan2,3α=求tanα的值.【练习】课本第135页.三、达标检测1．若sin 2α=错误！未找到引用源。
最新人教版高中数学必修4第三章《三角函数的积化和差与和差化积》课堂导学
课堂导学三点剖析一、公式的推导及简单应用因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,(1)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,(2)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,(3)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,(4)(1)+(2)得:sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］; (1)-(2)得:cosαsinβ=21［sin (α+β)-sin(α-β)］; (3)+(4)得:cosαcosβ=21［cos(α+β)+cos(α-β)］; (3)-(4)得:sinαsinβ=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］. 以上得到的四个等式我们称为积化和差公式.设α+β=x,α-β=y,则α=2y x +,β=2y x -,代入积化和差公式得: sinx+siny=2sin 2y x +·cos 2y x -, sinx-siny=2cos 2y x +·sin 2y x -, cosx+cosy=2cos 2y x +·cos 2y x -, cosx-cosy=-2sin 2y x +·sin 2y x -. 以上四式称为和差化积公式.【例1】 (1)把21+cos20°化成积的形式. (2)把sin84°cos132°化成和差的形式.思路分析:(1)21可化成cos60°,然后运用公式.(2)直接运用公式. 解：(1)原式=cos60°+cos20° =2cos 22060︒+︒·cos 22060︒-︒ =2cos40°·cos20°. (2)原式=21［sin(84°+132°)+sin(84°-132°)］ =21［sin216°-sin48°］ =-21sin36°-21sin48°. 各个击破类题演练 1(1)求值:sin20°+sin40°-sin80°;(2)求值:2cos37.5°·cos22.5°.思路分析:(1)∵20°+40°=60°为特殊角,∴前两个先和差化积.(2)直接运用积化和差.解:(1)原式=2sin 24020︒+︒·cos 24020︒-︒-sin80° =2sin30°·cos10°-sin80°=cos10°-sin80°=sin80°-sin80°=0.(2)原式=cos(37.5°+22.5°)+cos(37.5°-22.5°)=cos60°+cos15°=21+cos(45°-30°) =21+cos45°cos30°+sin45°sin30° =21+222322+⨯×21 =21+42264246++=+. 变式提升 1已知sin(θ+6π)sin(θ-6π)=2011,求tanθ的值. 思路分析:等式左边运用积化和差公式.解:∵sin(θ+6π)sin(θ-6π) =-21(cos2θ-cos 3π) =-21cos2θ+41. ∴-21cos2θ+41=2011. 解得cos2θ=-53. ∴sin2θ=±542cos 12±=-θ. ∴tanθ=545312sin 2cos 1±+=-θθ=±2. 二、运用公式化简或证明三角函数式运用公式进行三角变换是高考的基本要求,变换中要反复体会其中的内涵,灵活运用数学思想方法,从而加深对变换的理解.【例2】 求值:︒+︒+︒+︒10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2.思路分析:本题通过对公式的灵活运用使问题得到解决.运用的方法和公式分别为“切化弦”,两角和与差的正余弦,二倍角的升幂公式,注意寻求合理简捷的运算途径.解：原式==︒︒︒+︒︒+︒=︒︒+︒+︒5cos 210cos 10sin 310cos 80sin 50sin 25cos 2)10tan 31(80sin 50sin 2 ︒︒+︒=︒︒+︒+︒5cos 250cos 250sin 25cos 2)10sin 2310cos 21(250sin 2 ︒︒=︒︒+︒=5cos 95sin 25cos 2)50cos 2250sin 22(22=2. 温馨提示对于三角函数的和差化积,有时因为使用公式不同,或者选择解题的思路不同,化积结果可能不一致.类题演练 2把cosx+cos2x+cos3x+cos4x 化成积的形式.思路分析：把cosx 与cos4x 看作一组，cos2x 与cos3x 看作一组进行和差化积.解：原式=（cosx+cos4x ）+(cos2x+cos3x)=2cos25x cos 23x +2cos 25x cos 2x =2cos 25x ·(cos 23x +cos 2x )=4cos 25x cosxcos 2x . 变式提升 2求证：2sin 4x+43sin 22x+5cos 4x-cos3xcosx=2(1+cos 2x). 证明：左=21（2sin 2x ）2+43sin 22x+45(2cos 2x)2-cos3xcosx =21(1-cos2x)2+43sin 22x+45(1+cos2x)2-21(cos4x+cos2x) =21(1-2cos2x+cos 22x)+43sin 22x+45(1+2cos2x+cos 22x)-21(cos4x+cos2x) =25+cos2x+cos 22x-21cos4x =25+cos2x+cos 22x-21(2cos 22x-1) =3+cos2x=3+2cos 2x-1=2(1+cos 2x)=右.∴等式得证.三、最值问题根据问题的具体特点,从变换已知条件和被求式的角度入手,进行双向变换,实现角度和函数名称双统一;然后利用所给的角的范围确定出相应三角函数值的范围,从而确定出所求函数的函数值的取值范围.【例3】 已知函数f(x)=sin(3π-x)·sinx·sin(3π+x)+a 的最大值为21,求实数a 的值. 思路分析:注意到角3π-x 和3π+x 这两个角的和为32π,所以可先运用积化和差公式. 解：f(x)=sin(3π-x)·sinx·sin(3π+x)+a =21sinx·(cos2x-cos 32π)+a =21sinx·cos2x+41sinx+a =41(sin3x-sinx)+41sinx+a =41sin3x-41sinx+41sinx+a =41sin3x+a. ∵f(x)最大值为41+a, ∴41+a=21.∴a=41. 类题演练 3求函数y=sinx ［sinx-sin(x+3π)］的最值及相应的x 值. 解：y=sinx ［sinx-sin(x+3π)］=sinx·2cos(x+6π)sin(-6π) =-sinxcos(x+6π) =-21［sin(2x+6π)+sin(-6π)］ =-21sin(2x+6π)+41. ∵sin(2x+6π)∈［-1,1］, ∴当sin(2x+6π)=-1, 即x=kπ-3π,k ∈Z 时,y max =43; 当sin(2x+6π)=1, 即x=kπ+6π,k ∈Z 时，y min =-41. 变式提升 3求函数f(x)=sin 6x+cos 6x 的最小正周期和最大,最小值.解:f(x)=sin 6x+cos 6x=(sin 2x)3+(cos 2x)3 =(sin 2x+cos 2x)(sin 4x+cos 4x-sin 2xcos 2x) =(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x =1-43sin 22x=1-43×24cos 1x - =83cos4x+85. ∵x ∈R ,∴cos4x ∈［-1,1］. ∴f(x)的最小正周期为2π,最大值为1,最小值为41.。
高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式 教案
《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。
最新高中数学必修4-必修4第三章教材分析优秀名师资料
高中数学必修4-必修4第三章教材分析必修4第三章教材分析(一) 编写特色1( 用向量证明和角公式，引导学生用向量研究和差化积公式。
2( 建立和角公式与旋转变换之间的联系。
3( 融入算法，引导学生找出求正弦函数值的算法。
4( 引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差公式。
5( 和角公式在三角恒等变换及三角计算中的应用。
(二) 内容结构1(内容编排本章的主要内容是和角公式、倍角公式和半角公式、三角函数的积化和差公式与和差化积公式，为了引起学生学习本章的兴趣，同时为了加强三角变换的实际应用，本章的开篇从一个实际问题出发，通过数学化，得到一个必须通过三角变换才能解决的数学问题，从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
全章共分三大节。
第一大节，首先利用向量的方法证明了两角差的余弦公式，接着导出两角和的余弦公式，再利用诱导公式推出两角和、差的正弦公式，又利用同角三角函数关系式推出两角和、差的正切公式;第二大节，推导出倍角公式和半角公式。
第三大节，推导出积化和差与和差化积公式，并通过例题讲解以上各公式的应用。
2，地位与作用变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。
代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。
在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换。
在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换，通过本章学习，学生的推理能力和运算能力将得到进一步提高。
三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力，本章将通过三角恒等变形揭示一些问题的数学本质。
3(重点与难点本章的重点是掌握和角公式的推导过程;难点是理解和角公式的几何意义。
4(本章知识结构SS2a a-bSTa+bTa-ba+b向量的数量积Ca-b及其坐标运算Ca+b积化和差C2a T2aaT,aa和差化积CS222(三)课时分配本章教学时间约8课时，具体分配如下: 3(1 和角公式3(1(1 两角和与差的余弦 2课时3(1(2 两角和与差的正弦 1课时3(1(3 两角和与差的正切 1课时 3(2 倍角公式和半角公式3(2(1 倍角公式 1课时3(2(2 半角的正弦、余弦和正切 1课时 3(3 三角函数的积化和差与和差化积1课时本章小结 1课时3(1(1两角和与差的余弦(一) 课题(一)教学目标:知识目标:理解并掌握两角和、差的余弦公式及其推导过程，理解公式的使用条件;会用公式求值能力目标:培养学生观察分析、类比、联想能力;推理能力及交流探讨能力。
人教A版高中数学必修四 第三章《简单的三角恒等变换》教案
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P -14T T -。
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切》_2
例3：求证：（1） ，（2）
练习1：已知 ， ，求 的值。
练习2：已知 是第三象限角,且 ，求 的值。
学生练习、板演，教师讲评。
分析：
（1）对角进行分析发现其余弦值是已知的。（2）判定三角函数的符号。（3）用半角公式求值即可。
教师讲评：（1）运用了化归思想。
（2）解题关键：定号。
布
置
作
业
作业：学案习题以及教材P146页练习A和练习B
课后思考题：求
已知等腰三角形顶角的余弦值为 ，则底角的余弦值为
巩固本节所学知识，同时给学有余力的同学留出自由发展的空间。
教学重点
掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式；方程思想，分
类讨论思想，和化归思想的运用。
教学难点
公式前符号的确定；变换中三统一原则的运用；“倍与半”的相对性思考方
法。半角与倍角公式之间的内在联系。
教学方法
本节课运用现代化多媒体教学手段，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得半角公式，对于半角公式的应用采取讲了练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。
课题引入：为引起学生兴趣，拉近师生距离，我从“倍角与半角关系”入手设置情景引入
温
故
知
新
复习二倍角的正弦、余弦、正切的公式
我们已经学习了二倍角的正弦、余弦、正切的公式请大家回忆一下这组公式的来龙去脉，并请一名同学把这三个公式写在黑板上。
温故而知新
激活记忆的思维，为推导公式做铺垫
公
式
的
推
导
及
理
高中数学必修四第三章三角恒等变换
必修四 第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。
例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。
例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形 式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是 ．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（ ）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。
高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积教案新人教B版必修4
（一）课前准备（预计用时：5分钟）
学生预习：
-发放预习材料，引导学生提前了解三角函数积化和差与和差化积的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
-设计预习问题，如“积化和差与和差化积公式在生活中的应用”，激发学生思考，为课堂学习三角函数的内容做好准备。
教师备课：
-深入研究教材，明确教学目标和教学重难点。
-准备一些典型例题的解析图解，通过图解的方式让学生更清晰地看到解题步骤和思路。
-设计一些互动式电子白板练习，让学生可以在课堂上即时操作，增强互动性和参与感。
3.实验器材：
-虽然本节课不涉及物理实验，但如果条件允许，可以准备一些简单的实验器材，如直角三角形模型、角度测量仪等，用于直观展示三角函数中的角度关系。
- $\sin 30^\circ \cos 45^\circ - \cos 30^\circ \sin 45^\circ = \sin(30^\circ - 45^\circ)$
2.艺术性和趣味性：
回顾旧知：
-简要回顾上节课学习的三角恒等变换内容，帮助学生建立知识之间的联系。
-提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
-清晰、准确地讲解积化和差与和差化积的知识点，结合实例帮助学生理解。
-突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解并掌握三角函数积化和差与和差化积的基本概念和公式。
-学生能够运用积化和差与和差化积的公式进行三角函数的表达式转换和简化计算。
-学生通过课堂练习和课后作业，提高了对三角函数运算的熟练性和准确性。
-学生能够将实际问题中的角度关系转化为数学表达式，解决实际问题。
高中数学人教A版必修四课件：第三章§3第1课时二倍角公式及其应用
高中数学课件
第三章
三角恒等变形
栏 目
第三章
三角恒等变形
§3
第1课时
二倍角的三角函数
二倍角公式及其应用
栏 目
第三章
三角恒等变形
1．问题导航 (1)倍角公式对任意角都成立吗？ (2)能否由 S2 α ， C2α 推出 T2 α ？ (3)已知角 α 的某个三角函数值，能唯一确定角 2α 的三角函数 值吗？
2
其中公式①称为升幂公式，②称为降幂公式． (2)常用的两个变形： (sin α ＋ cos α ) ＝ sin α ＋ 2sin α cos α ＋ cos α ＝ 1＋sin 2α ， (sin α － cos α )2＝ sin2α － 2sin α cos α ＋ cos2α ＝ 1－sin 2α .
的面积最值问题． 试一试：教材P129习题3－3 B组T5你会吗？
栏 目
第三章
三角恒等变形
1．二倍角公式
名称 二倍角的正 弦公式
简记符号
公式 ____________ cos 2α＝ 2
2sin αcos α
适用范围
S2α
sin 2α＝
二倍角的余 弦公式
C2α
____________
1－2sin2α
cos α－sin2α
α∈R
＝____________ ＝____________
2cos2α－1 栏 目
第三章
三角恒等变形
名称
简记符号
公式
适用范围
tan 2α＝ 二倍角的正
α≠＋kπ，α≠ ＋， 其中k∈Z
切公式
T2α
2tan α 2 1－ tan α ____________
北师大版数学必修四第3章 1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修4
[规范解答] (1)分子、分母同时除以cosα(cosα≠0)得， 2sinα－cosα
2sisninαα＋－2ccoossαα＝sinαc＋os2αcosα＝2ttaannαα＋－21＝34，故选B． cosα
(2)将分母看作1＝sin2θ＋cos2θ， 原式＝sin2θ＋sisnin2θθ＋cocsoθs－2θ2cos2θ ＝tan2tθa＋n2θta＋nθ1－2＝4＋4＋2－1 2＝45，故选D．
A．0
B．34
C．1
D．54
(2)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于(
A．－43
B．54
C．－34
D．45
) )
第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修4
(3)已知ssiinnθθ－＋ccoossθθ＝2，求sinθcosθ的值． [思路分析] 将待求式(或已知式)中的“弦化切”，充分 利用csoinsαα＝tanα和sin2α＋cos2α＝1的代换．
(2)∵cosα＝187>0， ∴α是第一、四象限角．
当α是第一象限角时，sinα＝ 1－cos2α ＝
1157，∴tanα＝csoinsαα＝185； 当α是第四象限角时，
1－1872 ＝
sinα＝－ 1－cos2α＝－ ∴tanα＝csoinsαα＝－185.
1－1872＝－1157，
第三章 §1
角，则cosα＝－ 1100，sinα＝31010，
若α为第四象限角，则cosα＝
1100，sinα＝－310
10 .
第三章 §1
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必修四 第三章
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知4cos()5αβ+=，4cos()5αβ-=-，则cos cos αβ的值为（ ） Ａ．0 Ｂ．45 Ｃ．0或45 Ｄ．0或45
± 2. 如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα
等于（ ） Ａ．m n m n -+ Ｂ．m n m n +- Ｃ．n m n m -+ Ｄ．n m n m
+- 3．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于（ ）
A ．－12 B.12 C ．－32 D.32 4．化简：ππcos sin 44ππcos sin 44x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值为（ ） Ａ．tan 2x Ｂ．tan 2x Ｃ．tan x - Ｄ．cot x
5．在△ABC 中，如果sinA ＝2sinCcosB ，那么这个三角形是
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
6．若β∈(0,2π)，且1－cos 2β＋1－sin 2
β＝sinβ－cosβ，则β的取值范围是
A ．[0，π2]
B ．[π2，π]
C ．[π，3π2]
D ．[π2
，2π] 7．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值（ ）
Ａ．不大于1 Ｂ．小于1 Ｃ．等于1 Ｄ．大于1 8．已知θ为第四象限角，sinθ＝－
32，则tanθ等于（ ） A.
33 B ．－33 C ．±33 D ．－ 3
9．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ－cosγ＝0，则cos(α－β)的值是
A ．－1
B ．1
C ．－12 D.12
10．已知sin(α－β)＝1010，α－β是第一象限角，tanβ＝12
，β是第三象限角，则cosα的值等于 A.
7210 B ．－7210 C.22 D ．－22
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 把答案填第Ⅱ卷题中横线上 11．若0＜α＜
π2，0＜β ＜π2且tanα＝17，tanβ＝34
，则α＋β的值是________．
12．已知函数f(x)＝(sinx －cosx)sinx ，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．
13．若π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2α=______． 14. 函数]),0[)(26
sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 。
15．把函数4cos()3
y x π=+的图象向左平移ϕ个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小正值为________________
16．给出下面的3个命题：（1）函数|)3
2sin(|π+=x y 的最小正周期是
2π；（2）函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ．
三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(14分) 已知函数21cos cos 1()2y x x x x =
+∈R ，求函数的最大值及对应自变量x 的集合．
18. (14分) 已知函数f(x)＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4
)． (1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间[－
π12，π2
]上的值域
19.(14分) 已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2
. (1)求tan2α的值；
(2)求β的值.
20.(14分) 已知函数x x b x a x f cos sin cos 2)(2+=，且2
321)3(,2)0(+==π
f f 。
（1）求)(x f 的最大值与最小值；
（2）若)(Z k k ∈≠-πβα，且)()(βαf f =，求)tan(βα+的值
21（14分）已知函数,3cos 22sin 3)(2b a x a x a x f ++--=]43,4[π
π∈x ，是否存在常
数Q b a ∈,，其中Q 为有理数集，使得)(x f 的值域为]13,3[--，若存在，求出对应的b a ,的值；若不存在，请说明理由。
必修四第三章答案。