一元二次方程知识点归纳与复习
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程总复习知识点梳理
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
一元二次方程知识点总结&练习
一元二次方程的解法【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75 (3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c 将二次项系数化为1：x 2+b a x=-ca方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b2a)2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x=(b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0(4)x2-2(+)x+4=0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
初三数学一元二次方程复习与总结江苏科技版
初三数学一元二次方程复习与总结某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程复习与总结学习目标：1. 加深理解一元二次方程的有关概念2. 熟练地应用不同的方法解方程3. 能应用方程的思想和方法解决实际问题4. 体会“降幂法”在解方程中的含义二. 重点、难点：重点：一元二次方程的解法与应用难点：一元二次方程的综合应用课堂教学（一）知识要点（1）本章知识结构（2）中考主要考点①利用一元二次方程的意义解决问题②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）④一元二次方程的解法⑤一元二次方程根的近似值⑥建立一元二次方程模型解决问题⑦利用根的判别式求方程中的字母系数的值⑧与一元二次方程相关的探索或说理题⑨与其他知识结合，综合解决问题【典型例题】例1. 写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1 _____________________________________________________解：答案不唯一，例如：x2＝0x2－x＝0例2. 用换元法解方程x 2－2x ＋xx 272-＝8，若设x 2－2x ＝y ，则原方程化为关于y 的整数方程是（ ） A. y 2＋8y －7＝0 B. y 2－8y －7＝0 C. y 2＋8y ＋7＝0D. y 2－8y ＋7＝0解：D 。
换元法的实质是整体思想的应用。
例3. 用配方法解方程：x 2－4x －1＝0解：利用配方法解一元二次方程的一般步骤是移项，二次项系数化为1，两边同时加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式、利用平方的意义求解。
例4.判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）一个解x 的X 围是（ ） A. 3＜x ＜3.23 B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x解：一元二次方程根近似值是深层次地理解方程的重要概念，在实际应用中，作用很大。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
初中数学一元二次方程全章复习与巩固(基础)
《一元二次方程》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程⎯⎯⎯→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42−叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42−=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根. （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根. （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x −=+21，a cx x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况. (2)根据参系数的性质确定根的范围. (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数.(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数. (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题. 二是把握问题中的等量关系. 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等). 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量). 列 (根据题目中的等量关系，列出方程).解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰). 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）. 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x −+=D ．223250x xy y −−=【答案】C【解析】A ：不是整式方程，故本选项错误.B ：当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程，故本选项错误.C ：由原方程，得x 2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确.D ：方程3x 2-2xy -5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2 （2）二次项系数不为0 （3）是整式方程（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．举一反三：【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x −−++−=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程 (1) 0.5x 2-=0 (2) (x+a)2=(3) 2x 2-4x-1=0 (4) (1-)x 2=(1+)x【答案与解析】 (1)原方程可化为0.5x 2=∴x 2=用直接开平方法，得方程的根为 ∴x 1=，x 2=-(2)原方程可化为x 2+2ax+a 2=4x 2+2ax+∴x 2=a 2用直接开平方法，得原方程的根为 ∴ x 1=a ，x 2=-a ．(3) a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0 (2)2(t-1)2+t＝1【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴12 3x=，21x= (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0∴11t=，21 2t=类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2020•荆门）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0 ∴a ≥1 故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t −++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围；（2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式． 【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=,122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+−222(2)2t t =−+=−，即2(1)s t t =−<−．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =−−的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +−+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =−−=−+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=−+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2020春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300解得：x1=10，x2=15当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25故x1=10（不合题意舍去）50﹣2x=50﹣30=20答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0解得，x1＝2，x2＝3∴当x＝2时，2x＝4当x＝3时，2x＝6答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．【巩固练习】 一、选择题1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．若一元二次方程式ax （x ＋1）＋（x ＋1）（x ＋2）＋bx （x ＋2）＝2的两根为0．2，则|3a ＋4b |之值为何（ ）A ．2B ．5C ．7D ．83．（2020•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ） A ．2%B ． 5%C ． 10%D ． 20%4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（ ）A.（x-2）2+3 B.（x+2）2-4 C.（x+2）2-5 D.（x+2）2+45．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．k ＜0 B ．k ≤0 C ．k ≠1且k ≠0 D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定 8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( ) A ． B ． C ．且 D ．且二、填空题9．已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m = ，另一个根是 ．10．（2020秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ． 11．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a −++−=有一个根为0，则a = .12．阅读材料：设一元二次方程似20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12bx x a+=−，12c x x a=，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为________． 15．问题1：设a 、b 是方程x 2＋x －2012＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为 ；问题2：方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1―1）（x 2―1）＝ ； 问题3：已知一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根为x 1、x 2且x 1x 2（x 1＋x 2）＝3，则m 的值是 ；问题4：已知一元二次方程x 2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X 1,X 2，且X 1+3X 2=3,则m 的值是 . 16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（2020•十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2+2=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=31+|x 1x 2|，求实数m 的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y 与x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】B；【解析】先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A；【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.8．【答案】B；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9．【答案】1；﹣3．【解析】根据一元二次方程的解定义，将x =2代入关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0，然后解关于m 的一元一次方程；再根据根与系数的关系x 1+x 2=﹣b a解出方程的另一个根． 10．【答案】 15m ，10m ；【解析】设留空宽度为xm ，则（20﹣2x ）（15﹣2x ）=20×15×，整理得：2x 2﹣35x+75=0，即（2x ﹣5）（x ﹣15）=0，解得x 1=15，x 2=2.5，∵20﹣2x ＞0，∴x＜10，∴x=2.5， ∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ．11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得1a =±,因为10a −≠，所以1a =−.12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系， 然后由待求式2112x x x x +变形为2221212121212()2x x x x x x x x x x ++−=，再整体代换． 具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3．而222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++−−−⨯+====． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解.14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程2320x x −−=的两实数根，∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴ 222222112211221212123(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+−=15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=34.【解析】由于a，b是方程x2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a2+a-2012=0，然后把a2+2a+b可以变为a2+a+a+b，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%；【解析】设该校捐款的平均年增长率是x，则，整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x），由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x］=736.整理,得x2－5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y=－10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。
复习2：一元二次方程根的判别式
4、若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等实数根，
则m的取值范围是
()
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
5、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则 k= .
6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
则x1+x2=
；x1x2= ；
2、方程2x2-kx-6=0的一个根是2，则k=
；
另一个根为（ ）
3、以2，-3为根的一元二次方程是
；
4、已知a、b是方程x2+x-1=0的两实根，则
a2+2a+b=
拓展已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，
求 ab ba
思维训练. 1、在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
3、一元二次方程的根与系数的关系：注意:此关系是在( )条件下存 在的。若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2= ；x1x2= ；
4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程是——————
➢ 课时训练（一）
Hale Waihona Puke 1、下列一元一次方程中，有实数根的是（ ）
A
.x2-x+1=0
➢ 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
一元二次方程复习1
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。
一元二次方程知识点归纳
一元二次方程知识点归纳一、一元二次方程的概念：1、含有1个未知数；2、未知数最高次数是2；3、必须整式方程（分母不能含有未知数）4、形式：）（002≠=++a c bx ax5、二次项：2ax ；一项：bx ；常数项 ：c6、二次项系数：0≠a ；一次项系数 ：b （全体实数）；常数项 ：c （全体实数）二、解方程的方法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法（1）02=+c ax c ax —=2 a c x —=2 ac x -±= （2）02=+bx ax 0=+）（b ax x a b x x -==210； （3）p n mx =+2)（ p n mx ±=+ n p mx —±= mn p x -±=（4）0)()(=+++b ax N b ax M 0)(=++b ax N M ）（（5）02=++n mx x n m m mx x -=++222)2()2( 44)2(22n m m x —=+ 4422n m m x —±=+ 242m n m x --±= （6）)0(02≠=++a c bx ax ）（ac b b x 422-=∆∆±-=三、一元二次方程根的判别式——ac b 42-=∆1、一元二次方程根的情况： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<∆⎪⎩⎪⎨⎧==∆≠>∆≥∆（无解））（有两个相等实数根：）：（有两个不相等实数根（有两个实数根）00002121x x x x 2、规律：（1）当0<ac 时，必定0>∆，即一元二次方程有两个不相等实数根（2）当c=0时，ab x x -==210；，即一元二次方程有一根为0 （3）当b=0时，ac x —±=，即一元二次方程两根互为相反数 （4）当a=c 时，一元二次方程两根互为倒数四、一元二次方程的“根”（1）“根”：代入原方程使得左右两边相等的未知数的值（2）韦达定理：a b x x -=+21；a c x x =21；cb x x —=+2111； 2122122212x x x x x x —）（+=+ ；212212214)(x x x x x x —）（+=-五、配方法的应用（1）解一元二次方程（2）讨论∆（3）讨论恒值（4）平方的非负性六、应用题（1）“围栏”问题①设宽为x ；利用周长用x 的代数式表示长（注意：有围墙与无围墙区别） ②利用矩形面积公式列出并列出方程③结合实际，列出关于长、宽取值范围的不等式组，解得x 的取值范围（2）“边框问题”（挖角）（3）“挖路问题”（平移计算）（4）平均增长率：n x a M )1(+=（M ：后量；a ：现量；x ：增长率；n ：经过次数）（5）“握手”问题——单循环：2)1(-n n ；双循环：）（1-n n （6）直角三角形问题（7）“黄金分割”：215-=x （8）多边形的对角线条数：2)3(-n n （9）利润问题：调价幅度与销量增减成比例关系①设调价为x ；根据题意得，销量增幅：kx②调价后单价=原售价±调价；调价后销量=原销量±销量增幅调价后总收入=调价后单价×调价后销量③进货量=调价后销量④总成本=单成本×进货量5调价后总利润=调价后总收入-总成本（2）①单利润=单售价—单成本②总利润=单利润×销量。
一元二次方程知识点整理笔记
一元二次方程是初中数学的重要知识点之一，以下是一些关于一元二次方程的知识点整理笔记：一、一元二次方程的定义一元二次方程是一个整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2。
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0（a≠0），其中a、b、c为常数。
二、一元二次方程的解一元二次方程的解也称为根，是指使方程成立的未知数的值。
一元二次方程的解可以通过公式法、配方法、因式分解法等方法求解。
一元二次方程的解的个数取决于判别式b²-4ac的值。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实根；当b²-4ac<0时，方程没有实根。
三、一元二次方程的图像一元二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标可以通过配方法或公式法求解。
四、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中有广泛的应用，如求解物体运动的最大高度、最大距离等问题。
在解决实际问题时，需要根据问题的实际意义来设定未知数和建立方程。
在解决实际问题时，需要注意方程的解是否符合问题的实际意义。
五、一元二次方程的解法直接开平方法：对于形如x²=a（a≥0）的方程，可以直接开平方求解。
因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，可以通过因式分解法求解。
公式法：对于一般形式的一元二次方程，可以通过公式法求解。
公式为：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。
配方法：对于可以配成完全平方的一元二次方程，可以通过配方法求解。
具体步骤为：将常数项移到等号的右边；将含x的项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；用直接开平方法求解。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
一元二次方程的知识点总结
一元二次方程知识点的总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为 的一元.二次方程(2) 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a ，b 为两个因式）， 则a=0或(3） 法 （4) 法,其中求根公式是 当 时,方程有两个不相等的实数根.（5) 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值题（1） 一元二次方程的应用 (2） （3) 可用于解决实际问题的步骤 （4）（5）（6） 知识点归类建立一元二次方程模型知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2。
同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式.例 下列关于的方程,哪些是一元二次方程？ ⑴；⑵；（3)；（4)；（5）知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为(a ，b ，c 是已知数，)。
其中a ，b,c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.注意:（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。
（3)形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）; （2）； （3)例2 已知关于的方程是一元二次方程时,则知识点三 一元二次方程的解一元二次方程使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如：当时,所以是方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
一元二次方程 知识点总结
一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 判断方程是否为一元二次方程。
- 首先看方程是否为整式方程。
- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。
例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。
二、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。
- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
2. 配方法。
- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。
- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。
- 步骤：- 确定a、b、c的值。
- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。
- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。
完整版一元二次方程知识点总结和例题复习
知识框架 知识点总结：一兀二次方程4. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如 (X 可知，X a 是b 的平方根，当 b<0时，方程没有实数根。
(2) 配方法 配方法是一种重要的数学方法，2a) b 的一元二次方程。
根据平方根的定义b 0 时，X a4b , X a J b ，当它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2a 2ab b (a b)，把公式中的a 看做未知数x ，并用x X 2 2bx b 2(x b)2。
配方法解一元二次方程的一般步骤： 现将已知方程化为一般形式；代替，则有 化二次项系知识点、概念总结 1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知 数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数； (2) 且未知数次数最高次数是 2; (3) 是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整 式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a 丰0)的形 式，则这个方程就为一元二次方程。
(4 )将方程化为一般形式： 3. 一元二次方程的一般形式 过整理，？都能化成如下形式 一个一元二次方程经过整理化成 是二次项系数；bx 是一次项， 2ax +bx+c=0时，应满足( :一般地，任何一个关于 X 2ax +bx+c=0 (aM 0)。
2ax +bx+c=0 (a 丰 0)后，b 是一次项系数；a 丰0) 的一元二次方程，经其中ax 2是二次项,c 是常数项。
数为1;常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边 配成一个完全平方式；变形为 (X+P) 2=q 的形式，如果q > 0，方程的根是x=-p ±V q ;如果qv 0,方程无实根.(3) 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法， 方法。
(完整版)一元二次方程知识点总结
一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0）。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。
2. 一元二次方程的解法（1 ）直接开平方法：形如（x a）2 b（b 0）的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b或者x a 、、b，x a , b。
注意：若b<0,方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0 ；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3）配方法:用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x m)2 n(n 0)的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当n 0时，方程无解(4)公式法：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式：b24ac0方程有两个不相等的实根:x b甘4/( b2 4ac 0)2af(x)的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根f(x)的图像与x轴有一个交点0方程无实根f(x)的图像与x轴没有交点3. 韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c = 0之后，设它的两个根是x i 和X2，则&和X2与方程的系数a, b, c之间有如下关系：X i+X2 = b；X i?X2 = 2a a4. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
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一元二次方程专题
知识点1:一元二次方程的概念及一般形式 1、方程（1）3ｘ－1=0；(2） 2310x -=;(3） 2130x x +
=;(4） 221(1)(2)x x x -=--; (５) 2(52)(37)15x x x +-=；（6) 232x y x +=.其中一元二次方程的个数为 （ ） Ａ、１个 B 、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个
２、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1)2(5)3x x x --=- （2）(21)(5)6x x x -+=
知识点2：用直接开平方法解一元二次方程
３、用直接看平方法解一元二次方程：
(1)2169x = （2)2450x -=
(3)24(21)360x --= (4)(21)40x +-=
知识点3：用配方法解一元二次方程
4、用配方法解方程2250x x --=时，原方程变形为 （ ) Ａ、2(1)6x += Ｂ、2(1)6x -= C 、2(2)9x += D 、2(2)9x -=
5、用配方法解一元二次方程:
（1)22410x x -+= (2)2213x x +=
知识点４:用公式法解一元二次方程
6、用公式法解一元二次方程:
（1)2410x x +-= （2）2441018x x x ++=-
知识点5：根的判别式（24b ac -）的应用
7、若关于ｘ的一元二次方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）
A 、m>－1
B 、ｍ>－1且m ≠0
C 、m<1 Ｄ、ｍ<1且m ≠０ ８、已知a 、b 、c 分别是三角形ＡBC 的三边，其中a=1,ｃ=４,且关于ｘ的方程240x x b -+=有两个相等的实数根，试判断三角形ABC 的形状。
４、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=．
(１)求证:原方程恒有两个实数根;
(２）若方程的两个实数根一个小于５，另一个大于2，求m 的取值范围.
知识点6：用分解因式法解一元二次方程
9、用分解因式法解一元二次方程
(1）230x x += (2）2(3)4(3)0x x x -+-=
知识点7：一元二次方程的应用
增长率问题：
１、(2003大连)某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由２0００年４万平方米,到2002年的7万平方米。
设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为ｘ ，则可列方程为＿_______________；
２、(2０0３北京西城)宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机,一月至六月份的产量如下:
月 份
一 二 三 四 五 六 产量(台） ５0 51 48 50 52 49
(1) 求上半年鼓风机月产量和平均数、中位数;
(2) 由于改进了生产技术,计划八月份生产鼓风机７2台,与上半年月产量平均数相比，七、八月鼓风机生产量平均每月的增长率是多少？
经济问题:
１、(２002）黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利12０0元，那么每件童装因应降价多少元？
2、（20０2辽宁)某书店老板去批发市场购买某种图书,第一次购用100元，按该书定价2．8元现售，并快售完.由于该书畅销，第二次购书时,每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出5
4时,出现滞销,便以定价的５折售完剩余的图书,试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素)？若赔钱，赔多少？,若赚钱,赚多少?
3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克,针对此回答:
（1)当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
(2)商店想在月销售成本不超过１０000元的情况下，使得月销售利润达到8００0元,销售单价应定为多少?
面积问题：
１、如图某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18m ),另三边用木栏围成,木栏长35m 。
①鸡场的面积能达到15０m 2吗？②鸡场的面积能达到1８0ｍ2吗？如果能，请你给出设计方案;如果不能,请说明理由。
(3)若墙长为a m,另三边用竹篱笆围成,题中的墙长度a ｍ对题目的解起着怎样的作用?
2、将一条长20ｃm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（１）要使这两个正方形的面积之和等于1７ｃｍ2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
(2）两个正方形的面积之和可能等于1２cm２吗？若能,求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由。
(３）两个正方形的面积之和最小为多少？。