结构设计原理 公式推导
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一、 有关公式推导的假设与技巧
1.混凝土受压时应力-应变曲线
70
s
C80
◆欧洲混凝土协会的标准规范 （CEB-FIP Mode Code）应 力—应变关系
60
50
C60
40
C40
30
上升段应力： e e s s 0 2 e e 0 0
确定As后，就只有x 和A's两个未 知数，故可得唯一解。 ⑴若x <(2 xb)，则将x 代入求得A's。 ⑵若x >(2 xb)，ss= -fsd'，基本公式转化为下式，
' As f sd 0 N d N u f cd bx f sd As x ' 0 N d e f cd bx (h 0 ) f sd A s (h 0 a s ) 2
⑵A's为已知时
x ' A 0 N d e f cd bx (h 0 ) f sd ( h a s 0 s) 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
当A's已知时，两个基本方程有二个未知数As 和 x，有唯一解。
先由第二式求解x，若x < xbh0，且x>2a'，则可将代入第一式得
A f cd bx f sd s Nd As f sd
x ' N e f bx ( h ) f A ( h a cd 0 sd s 0 s) ⑴As和A's均未知时 0 d 2
两个基本方程中有三个未知数，As、A's和 x，故无唯一解。 与双筋梁类似，为使总配筋面积（As+A's）最小? 可取x=xbh0得
Ne f cdbh x (1 0.5x b ) A s (h 0 a) f sd
A 0 N d N u f cdbx f sd s s s As
x A 0 N d e f cd bx (h 0 ) f sd s (h 0 a ) 2
受拉钢筋 应力如何 求？
“受拉侧”钢筋应力ss
es
h0 xn
e cu
xn
x= xn
重新求解x 和A's
⑶若x h0>h，应取x=h，代入基本公式直接解得A's
N d e f cd bh (h 0 0.5h ) A s (h 0 a) f sd
由基本公式求解x 和A's的具体 运算是很麻烦的。 迭代计算方法
用相对受压区高度x ，
As f sd As 0 N d N u f cdbx f sd x As (h 0 a s' ) 0 N d e f cdbx (h 0 ) f sd 2
A's(1)的误差最大约为12%。
As
x (1)
A N d f sd f sd s
(1)
xb
1 xb
如需进一步求较为精确的解，可 将A's(1)代入基本公式求得x。
f cd bh 0 f sd A s
A s
( 2)
2 (1) Nd e f cdbh 0 x (1 0.5x (1) ) (h 0 a) f sd
大系数，代入(b)式求e0， x A N u e f cd bx (h 0 ) f sd s (h 0 a ) 弯矩设计值为Md=N de0。 2
x A N f cd bx f sd As s f sd xb 若Nd >Nu，为小偏心受压，
力作用点不变。
3.规范JTG D62-2004与《混凝土结构设计规范》 （GB 50010—2002）受弯构件公式比较 规范JTG 公式：
f cd bx f sd A s x 0 M d M u f cd bx (h 0 ) 2
规范GB 公式：
f c bx f y As
x A N e f cd bx (h 0 ) f sd s (h 0 a ) 2
2、给定轴力作用的偏心距e0，求轴力设计值N
A e0 b Mb 0.5[f cd bx b h 0 (h x b h 0 ) (f sd s f sd A s )(h 0 a )] A h 0 Nbh 0 (f cd b x b h 0 f sd s f sd A s )h 0
若e0≥e0b，为大偏心受压
0 0 0.2 0.4 0.6 x 0.8 1 1.1
0
0
取s =0.45
(1) A s 2 N d e 0.45f cdbh 0 (h 0 a) f sd
As f sd As 0 N d N u f cdbx f sd x As (h 0 a s' ) 0 N d e f cdbx (h 0 ) f sd 2
若e0>eib.min=0.3h0， 一般可先按大偏心受压情况计算 ◆
A 0 N N u f cd bx f sd s f sd A s
x ' A N e f cd bx (h 0 ) f sd ( h a s 0 s) 2
小偏心受压（受压破坏） e0≤eib.min=0.3h0
★若As若小于rminbh？
应取As=rminbh。
ei N
若x > xbh0？则应按A's为未知情况重新计算确定A's 若x<2a' ？ 则可偏于安全的近似取x=2a'，按下式确定As
N d (e0 0.5h a ) As f sd (h 0 a )
fsd As
s'sA's
e
ei
N
A 0 N N u f cd bx f sd s f sd A s
x ' A N e f cd bx (h 0 ) f sd ( h a s 0 s) 2
e e0 0.5h a s
fsdA s
f'sdA 's
A 0 N d N u f cd bx f sd s f sd A s
C70 0.96 0.76
C75 0.95 0.75
C80 0.94 0.74
等效原则： 1. 等效矩形应力图形与实际抛物线应力图形的面积相等，即合力大 可取等效矩形应力图形来代换受 在极限弯矩的计算中，仅需知道 小相等； 压区混凝土应力图。 C yc即可。 2. 的大小和作用位置 等效矩形应力图形 与实际抛物线应力图形的形心位置相同，即 合
试分析证明上述迭代是 收敛的，且收敛速度很 快。
B）不对称配筋截面复核
在截面尺寸(b×h)、截面配筋As和As'、材料强度(fc、fy，f y')、 以及构件长细比(l0/h)均为已知时，根据构件轴力和弯矩作用方 式，截面承载力复核分为两种情况： 1、给定轴力设计值N，求弯矩作用平面的弯矩设计值M
2 A N e fcdbh 0 x (1 0.5x ) fsd s (h 0 a )
在小偏压范围x =xb~1.1， s=x(1-0.5x) 变化很小。
0.5 0.6
0.4 a( x ) 0.2
对于Ⅱ级钢筋和 <C50混凝土，s在 0.4~0.5之间，近似 取0.45
x x M M u f c bx(h0 ) f y As (h0 ) 2 2
3.偏心受压构件：
N M
当x ≤xb时 —受拉破坏(大偏心受压)
A N u f cdbx f sd s f sd A s
x ' ' ' M u f cd bx (h 0 ) fsd As (h 0 a s ) 2
x / h0 1)
s s f sd fsd
ssAs
f'yA's
两个基本方程中有三个未知数，As、A's和x，故无唯一解。 小偏心受压，即x >xb，ss< fsd，As未达到受拉屈服。 进一步考虑，如果x <2 xb， ss > - fsd' ，则As未达到受压屈服 因此，当xb < x < (2 xb)，As 无论怎样配筋，都不能达到屈服， 为使用钢量最小，故可取As =max(0.45ftd/fsd， 0.002bh)。
ss=Eses
s s Ese cu ( 1) Ese cu ( 1) x / h0 x
xn
es ecu
h0
A）不对称配筋截面设计 1、大偏心受压（受拉破坏） 已知：截面尺寸(b×h)、材料强度( fcd、fsd，fsd' )、构件长细 比(l0/h)以及轴力Nd和弯矩Md设计值， 若e0>eib.min=0.3h0， 一般可先按大偏心受压情况计算
2 0 b
★若A's<0.002bh?
则取A's=0.002bh，然后按 A's为已知情况计算。
★若As<rminbh ?
A f cd bh 0x b f sd s Nd As f sd
应取As=rminbh。
A 0 N d N u f cd bx f sd s f sd A s
fsd As f'sd A's
N M
当x >xb时 —受压破坏(小偏心受压)
A N u f cdbx f sd s s s As
x M u f cd bx (h 0 ) 2
f'sd A's
A fsd s (h 0 a )
◆
ssAs
偏心距增大系数
e0 f f 1 e0 e0
2
20
C20
10
e
0 0.001 0.002 0.003 0.004
2. 等效矩形应力图 （ Equivalent Rectangular Stress Block ）
混凝土受压区等效矩形应力图系数
≤C50 1.0 0.8
C55 0.99 0.79
C60 0.98 0.78
C65 0.97 0.77
2、小偏心受压（受压破坏） e0≤eib.min=0.3h0
A 0 N d N u f cdbx f sd s s s As
e
ei N
x A 0 N d e f cd bx (h 0 ) f sd s (h 0 a ) 2
s s E se cu (
y s ft 0.45 f y As max0.002bh Ne f bh(h 0.5h) c 0 f ( h a) y 0
f'yAs
f' A'
As f sd As 0 N d N u f cdbx f sd x As (h 0 a s' ) 0 N d e f cdbx (h 0 ) f sd 根据求得的x ，可分为三种情况 2
1
2
l0 1 1 2 e 1400 0 h h0
e0 1 0.2 2.7 1.0
l0 2 1.15 0.01 h
当受压构件为短柱时：
当l0 / h 5或l0 / d 4.4， 1 具体见P145和附表1 10
Nu Nu
N
M
N
Mu
Mu
1、给定轴力设计值Nd，求弯矩作用平面的弯矩设计值Md
由于给定截面尺寸、配筋和材料强度均已知，未知数
只有x和M两个。
A Nu f cdb x b h 0 fsd s f sd As
由(a)式求x以及偏心距增
若Nd ≤Nu，为大偏心受压，（为什么？）
A N u f c bx f sd s f sd A s
另一方面，当偏心距很小时，则可能发 生As一侧混凝土首先达到受压破坏的情 况，这种情况称为“反向破坏”。 此时通常为全截面受压，由图示截面应 力分布，对A's取矩，可得，
e'
e0 - ea N
Ne f cd bh (h 0 0.5h ) As (h f sd 0 a)
e'=0.5h-a'-(e0-ea), h'0=h-a'
1.混凝土受压时应力-应变曲线
70
s
C80
◆欧洲混凝土协会的标准规范 （CEB-FIP Mode Code）应 力—应变关系
60
50
C60
40
C40
30
上升段应力： e e s s 0 2 e e 0 0
确定As后，就只有x 和A's两个未 知数，故可得唯一解。 ⑴若x <(2 xb)，则将x 代入求得A's。 ⑵若x >(2 xb)，ss= -fsd'，基本公式转化为下式，
' As f sd 0 N d N u f cd bx f sd As x ' 0 N d e f cd bx (h 0 ) f sd A s (h 0 a s ) 2
⑵A's为已知时
x ' A 0 N d e f cd bx (h 0 ) f sd ( h a s 0 s) 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
当A's已知时，两个基本方程有二个未知数As 和 x，有唯一解。
先由第二式求解x，若x < xbh0，且x>2a'，则可将代入第一式得
A f cd bx f sd s Nd As f sd
x ' N e f bx ( h ) f A ( h a cd 0 sd s 0 s) ⑴As和A's均未知时 0 d 2
两个基本方程中有三个未知数，As、A's和 x，故无唯一解。 与双筋梁类似，为使总配筋面积（As+A's）最小? 可取x=xbh0得
Ne f cdbh x (1 0.5x b ) A s (h 0 a) f sd
A 0 N d N u f cdbx f sd s s s As
x A 0 N d e f cd bx (h 0 ) f sd s (h 0 a ) 2
受拉钢筋 应力如何 求？
“受拉侧”钢筋应力ss
es
h0 xn
e cu
xn
x= xn
重新求解x 和A's
⑶若x h0>h，应取x=h，代入基本公式直接解得A's
N d e f cd bh (h 0 0.5h ) A s (h 0 a) f sd
由基本公式求解x 和A's的具体 运算是很麻烦的。 迭代计算方法
用相对受压区高度x ，
As f sd As 0 N d N u f cdbx f sd x As (h 0 a s' ) 0 N d e f cdbx (h 0 ) f sd 2
A's(1)的误差最大约为12%。
As
x (1)
A N d f sd f sd s
(1)
xb
1 xb
如需进一步求较为精确的解，可 将A's(1)代入基本公式求得x。
f cd bh 0 f sd A s
A s
( 2)
2 (1) Nd e f cdbh 0 x (1 0.5x (1) ) (h 0 a) f sd
大系数，代入(b)式求e0， x A N u e f cd bx (h 0 ) f sd s (h 0 a ) 弯矩设计值为Md=N de0。 2
x A N f cd bx f sd As s f sd xb 若Nd >Nu，为小偏心受压，
力作用点不变。
3.规范JTG D62-2004与《混凝土结构设计规范》 （GB 50010—2002）受弯构件公式比较 规范JTG 公式：
f cd bx f sd A s x 0 M d M u f cd bx (h 0 ) 2
规范GB 公式：
f c bx f y As
x A N e f cd bx (h 0 ) f sd s (h 0 a ) 2
2、给定轴力作用的偏心距e0，求轴力设计值N
A e0 b Mb 0.5[f cd bx b h 0 (h x b h 0 ) (f sd s f sd A s )(h 0 a )] A h 0 Nbh 0 (f cd b x b h 0 f sd s f sd A s )h 0
若e0≥e0b，为大偏心受压
0 0 0.2 0.4 0.6 x 0.8 1 1.1
0
0
取s =0.45
(1) A s 2 N d e 0.45f cdbh 0 (h 0 a) f sd
As f sd As 0 N d N u f cdbx f sd x As (h 0 a s' ) 0 N d e f cdbx (h 0 ) f sd 2
若e0>eib.min=0.3h0， 一般可先按大偏心受压情况计算 ◆
A 0 N N u f cd bx f sd s f sd A s
x ' A N e f cd bx (h 0 ) f sd ( h a s 0 s) 2
小偏心受压（受压破坏） e0≤eib.min=0.3h0
★若As若小于rminbh？
应取As=rminbh。
ei N
若x > xbh0？则应按A's为未知情况重新计算确定A's 若x<2a' ？ 则可偏于安全的近似取x=2a'，按下式确定As
N d (e0 0.5h a ) As f sd (h 0 a )
fsd As
s'sA's
e
ei
N
A 0 N N u f cd bx f sd s f sd A s
x ' A N e f cd bx (h 0 ) f sd ( h a s 0 s) 2
e e0 0.5h a s
fsdA s
f'sdA 's
A 0 N d N u f cd bx f sd s f sd A s
C70 0.96 0.76
C75 0.95 0.75
C80 0.94 0.74
等效原则： 1. 等效矩形应力图形与实际抛物线应力图形的面积相等，即合力大 可取等效矩形应力图形来代换受 在极限弯矩的计算中，仅需知道 小相等； 压区混凝土应力图。 C yc即可。 2. 的大小和作用位置 等效矩形应力图形 与实际抛物线应力图形的形心位置相同，即 合
试分析证明上述迭代是 收敛的，且收敛速度很 快。
B）不对称配筋截面复核
在截面尺寸(b×h)、截面配筋As和As'、材料强度(fc、fy，f y')、 以及构件长细比(l0/h)均为已知时，根据构件轴力和弯矩作用方 式，截面承载力复核分为两种情况： 1、给定轴力设计值N，求弯矩作用平面的弯矩设计值M
2 A N e fcdbh 0 x (1 0.5x ) fsd s (h 0 a )
在小偏压范围x =xb~1.1， s=x(1-0.5x) 变化很小。
0.5 0.6
0.4 a( x ) 0.2
对于Ⅱ级钢筋和 <C50混凝土，s在 0.4~0.5之间，近似 取0.45
x x M M u f c bx(h0 ) f y As (h0 ) 2 2
3.偏心受压构件：
N M
当x ≤xb时 —受拉破坏(大偏心受压)
A N u f cdbx f sd s f sd A s
x ' ' ' M u f cd bx (h 0 ) fsd As (h 0 a s ) 2
x / h0 1)
s s f sd fsd
ssAs
f'yA's
两个基本方程中有三个未知数，As、A's和x，故无唯一解。 小偏心受压，即x >xb，ss< fsd，As未达到受拉屈服。 进一步考虑，如果x <2 xb， ss > - fsd' ，则As未达到受压屈服 因此，当xb < x < (2 xb)，As 无论怎样配筋，都不能达到屈服， 为使用钢量最小，故可取As =max(0.45ftd/fsd， 0.002bh)。
ss=Eses
s s Ese cu ( 1) Ese cu ( 1) x / h0 x
xn
es ecu
h0
A）不对称配筋截面设计 1、大偏心受压（受拉破坏） 已知：截面尺寸(b×h)、材料强度( fcd、fsd，fsd' )、构件长细 比(l0/h)以及轴力Nd和弯矩Md设计值， 若e0>eib.min=0.3h0， 一般可先按大偏心受压情况计算
2 0 b
★若A's<0.002bh?
则取A's=0.002bh，然后按 A's为已知情况计算。
★若As<rminbh ?
A f cd bh 0x b f sd s Nd As f sd
应取As=rminbh。
A 0 N d N u f cd bx f sd s f sd A s
fsd As f'sd A's
N M
当x >xb时 —受压破坏(小偏心受压)
A N u f cdbx f sd s s s As
x M u f cd bx (h 0 ) 2
f'sd A's
A fsd s (h 0 a )
◆
ssAs
偏心距增大系数
e0 f f 1 e0 e0
2
20
C20
10
e
0 0.001 0.002 0.003 0.004
2. 等效矩形应力图 （ Equivalent Rectangular Stress Block ）
混凝土受压区等效矩形应力图系数
≤C50 1.0 0.8
C55 0.99 0.79
C60 0.98 0.78
C65 0.97 0.77
2、小偏心受压（受压破坏） e0≤eib.min=0.3h0
A 0 N d N u f cdbx f sd s s s As
e
ei N
x A 0 N d e f cd bx (h 0 ) f sd s (h 0 a ) 2
s s E se cu (
y s ft 0.45 f y As max0.002bh Ne f bh(h 0.5h) c 0 f ( h a) y 0
f'yAs
f' A'
As f sd As 0 N d N u f cdbx f sd x As (h 0 a s' ) 0 N d e f cdbx (h 0 ) f sd 根据求得的x ，可分为三种情况 2
1
2
l0 1 1 2 e 1400 0 h h0
e0 1 0.2 2.7 1.0
l0 2 1.15 0.01 h
当受压构件为短柱时：
当l0 / h 5或l0 / d 4.4， 1 具体见P145和附表1 10
Nu Nu
N
M
N
Mu
Mu
1、给定轴力设计值Nd，求弯矩作用平面的弯矩设计值Md
由于给定截面尺寸、配筋和材料强度均已知，未知数
只有x和M两个。
A Nu f cdb x b h 0 fsd s f sd As
由(a)式求x以及偏心距增
若Nd ≤Nu，为大偏心受压，（为什么？）
A N u f c bx f sd s f sd A s
另一方面，当偏心距很小时，则可能发 生As一侧混凝土首先达到受压破坏的情 况，这种情况称为“反向破坏”。 此时通常为全截面受压，由图示截面应 力分布，对A's取矩，可得，
e'
e0 - ea N
Ne f cd bh (h 0 0.5h ) As (h f sd 0 a)
e'=0.5h-a'-(e0-ea), h'0=h-a'