12-重复测量资料的分析
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重复测量资料的分析
重复测量的概念
重复测量(repeated measure)是指对同一观察对 象的同一观察指标在不同时间点上进行的多次测量， 用于分析该观察指标在不同时间上的变化特点。 这类测量资料在临床和流行病学研究中比较常见。 例如，为研究某种药物对高血压病人的治疗效果, 需要定时多次测定受试者的血压，以分析其血压的 变动情况。
Σd = 66
设立对照的前后测量设计
表 19-2 肥胖患者治疗前后体重（kg） 观察对 象编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 均数 标准差 试验组 体重（kg） 服药前 （X1） 101 131 131 150 124 137 126 105 90 67 84 109 1355 112.9 24.5 服药后 （X2） 100 136 126 143 128 126 116 95 87 57 74 101 1289 107.4 26.3 差值 d= X1- X2 1 -5 5 7 -4 11 10 10 3 10 10 8 66 5.5 5.6 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 观察对 象编号 对照组 体重（kg） 服药前 （X1） 100 129 127 145 137 128 115 130 87 69 85 109 1361 113.4 23.6 服药后 （X2） 101 131 126 140 135 126 116 126 90 70 84 101 1346 112.2 22.5 差值 d= X1- X2 -1 -2 1 5 2 2 -1 4 -3 -1 1 8 15 1.25 3.2
几种常见的重复测量设计
前后测量设计
观察对 象编号 1 2 3 4 5 源自文库 7 8 9 10 11 12 合计 表 19-1 某减肥药服用前后体重的观察值 体重（kg） 服药前（X1） 服药后（X2） 101 131 131 150 124 137 126 105 90 67 84 109 100 136 126 143 128 126 116 95 87 57 74 101 差值 d= X1- X2 1 -5 5 7 -4 11 10 10 3 10 10 8
球形对称的实际意义举例
协方差 阵 A1 A2 A3 A4 A1 10 5 10 15 A2 5 20 15 20 A3 10 15 30 25 A4 15 20 25 40
s1-22 = 10 + 20 - 2(5) = 20 s1-32 = 10 + 30 - 2(10) = 20 s1-42 = 10 + 40 - 2(15) = 20 s2-32 = 20 + 30 - 2(15) = 20 s2-42 = 20 + 40 - 2(20) = 20 s3-42 = 30 + 40 - 2(25) = 20
本例差值对应的方差精确 相等，说明球形对称。
2 2 2 2 syi −yj = syi + syj − 2syi yj 2 2 2 如 sy1−y2 = s11 + s22 − 2s12 ：2
球形对称的检验
用Mauchly法检验协方差阵是否为球形 法检验协方差阵是否为球形 H0：资料符合球形要求， 资料符合球形要求， H1：资料不满足球形要求 检验的P值若大于研究者所选择的显著性水准 时 检验的 值若大于研究者所选择的显著性水准α时， 值若大于研究者所选择的显著性水准 说明协方差阵的球形性质得到满足。 说明协方差阵的球形性质得到满足。
医学科研中经常遇到重复测量的设计
给予某种处理后， 给予某种处理后，在几个不同的时间点上从 同一个受试对象（或样品） 同一个受试对象（或样品）上重复获得指标 的观察值； 的观察值； 有时是从同一个体的不同部位（或组织） 有时是从同一个体的不同部位（或组织）上 重复获得指标的观察值。 重复获得指标的观察值。
s 121 2 s V = 21 M s2 a1
s 122
2 s 22
L L M L
M
2 sa 2
s 12a 2 s2a M 2 s aa
−
协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素（方差） 协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素（方差） 球形性质是指该矩阵主对角线元素 相等、非主对角线元素（协方差）为零。 相等、非主对角线元素（协方差）为零。
对于yi与yj两时间点变量间差值 对应的方差可采用协方差矩阵 计算为：
2 2 2 2 syi −yj = syi + syj − 2syi yj 2 2 2 如 sy1−y2 = s11 + s22 − 2s12 ：2
= ∑y1i y2i − ∑y1i ∑y2i n rij =
2 sij 2 sii s2 jj
重复测量数据常见误用情况
重复进行各时间点的t检验： 重复进行各时间点的t检验： 增大犯Ⅰ 增大犯Ⅰ类错误的概率 差值比较： 差值比较： 降低信度， 降低信度，且差值不一定符合正态性和方 差齐性的条件
重复测量资料方差分析对协方差阵的要求
重复测量资料方差分析的条件： 1. 正态性 处理因素的各处理水平的样本个体之间是相互独立的随机 处理因素的各处理水平的样本个体之间是相互独立 独立的 样本，其总体均数服从正态分布； 正态分布 样本，其总体均数服从正态分布； 2. 方差齐性 同 相互比较的各处理水平的总体方差相等， 相互比较的各处理水平的总体方差相等，即具有方差齐
协方差阵的球形性检验
方差是指在某一时点上测定值变异性的大 小，而协方差是指在两个不同时点上测定 值相互变异性的大小。如果在某个时点上 值相互变异性的大小。 的取值不影响其他时点上的取值， 的取值不影响其他时点上的取值，则协方 差为0，反之，则不为 。 差为 ，反之，则不为0。由方差协方差 构成的矩阵称协方差阵。 构成的矩阵称协方差阵。 协方差阵
2 kl
2 2 a2 是 所 有 元 素 的 总 平 均 值 ， skk = (∑sll ) a 是 l
2 2 主 对 角 线 元 素 的 平 均 值 ， sk = (∑skl ) a 是 第 k 行 的 平 均 值 。 l
ˆ ∈的 取 值 在 1 . 0 与 1 / ( a - 1 ) 之 间 。
调整规则
对具有重复测定性质的时间效应和处理 时 对具有重复测定性质的时间效应和处理*时 时间效应 的交互作用的F值的自由度进行调整 值的自由度进行调整。 间的交互作用的 值的自由度进行调整。 调整后的F临界值较原先大， 调整后的 临界值较原先大，提高了拒绝 临界值较原先大 H0的门槛。减少了犯 类错误的概率。 的门槛。 类错误的概率。 的门槛 减少了犯I类错误的概率
球形对称的实际意义
所有两两时间点变量间差值对应的方差相等
2 2 2 s11 s12 L s1a 2 2 2 s21 s22 L s2a V = M M M M 2 2 2 s a1 sa2 L saa 2 s11 = ∑( y1i − y1)2 (n −1) 2 s12 = ∑( y1i − y1)( y2i − y2 ) (n −1)
2 a2 skk − s 2
ˆ ∈=
2 2 (a −1)∑∑(skl )2 − (2a) ∑(sk )
(
)
2
2
k
l
k
+ a2 s 2
( )
2
2 式 ( 1 0 - 3 ) 中 的 skl 是 矩 阵 ( 1 0 - 1 ) 中 第 k 行 第 l 列 元 素 ，
s 2 = ∑∑s k l
ν = ν 1× ∈ ' ν 2 =ν 2×∈
' 1
(1) Geenhouse-Geisser调整系数 调整系数(G-G) 调整系数 (2) Huynh-Feldt调整系数 调整系数(H-F) 调整系数
自由度调整方法1 自由度调整方法1
ˆ ˆ ( 1 ) G e e n h o u s e - G e i s s e r 调 整 系 数 ∈( G - G ∈) 为 ：
球形性
协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素(方 差)相等、非主对角线元素(协方差)为零。 常用Mauchly氏法检验协方差阵的球形性质。 Mauchly氏检验的P值若大于研究者所选择的显著 Mauchly P 性水准α时，说明协方差阵的球形性质得到满足。 否则，必须对与时间有关的F统计量的分子、分母 自由度进行调整，以便减少犯I类错误的概率。调 整系数为ε(读作epsilon)。
∈=
ng (a −1 ∈−2 )ˆ (a −1 [n − g − (a −1 ∈ ) ) ˆ]
(10-3)
式 (10-3)中 的 g 是 对 受 试 对 象 的 某 种 特 征 (如 性 别 或 年 龄 )进 行 分 组 的 组 数 。 n 是 每 组 的 观 察 例 数 。 当
∈> 1 . 0 时 ， 取 ∈= 1 . 0 。
重复测量资料的特点
重复测量数据： 重复测量数据：是对同一受试对象的某个观 察指标进行连续观测所得到的数据 至少有两个因素：处理因素、 至少有两个因素：处理因素、时间因素 重复测量的试验结果是按时间顺序 按时间顺序固定排列 重复测量的试验结果是按时间顺序固定排列 的，不能像随机区组设计的处理那样经过随 机排列 同一个体不同时间测量值之间高度相关 同一个体不同时间测量值之间高度相关
在对重复测量资料进行方差分析时，除要求样本是 随机的、在处理的同一个水平上的观察是独立的以 及每一水平上的测定值都来自正态总体外，特别强 调协方差阵(covariance matrix)的球形性 (sphericity)或为园环形(circularity)。 Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方 差分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来 是真的无效假设。
自由度调整方法2 自由度调整方法
( 2 ) H u y n h - F e l d t 调 整 系 数 ∈( H - F ∈)
ˆ 据 研 究 ， 当 ∈真 值 在 0 . 7 以 上 时 ， 用 ∈进 行 自 由 度
调 整 后 的 统 计 学 结 论 偏 于 保 守 ， 故 Huynh 和 Feldt 提 出 用 平 均 调 整 值 ∈值 进 行 调 整 。 ∈值 的 计 算 公 式 为
3. 各 时 间 点 组 成 的 协 方 差 阵 (covariance matrix) 具 有 球 形 性 (sphericity)特征。
Box（1954）指出，若球形性质得不到满足，则方差分析的 值是有偏的，这 （ 值是有偏的， ）指出，若球形性质得不到满足，则方差分析的F值是有偏的 会造成过多的拒绝本来是真的无效假设(增加Ⅰ型错误 。 会造成过多的拒绝本来是真的无效假设 增加Ⅰ型错误)。 增加
例
将手术要求基本相同的10名患者随机分为2 将手术要求基本相同的10名患者随机分为2组，在手术过程中 10名患者随机分为 分别采用A 两种麻醉诱导方法， T0、T1、T2、T3、T45个 分别采用A、B两种麻醉诱导方法，在T0、T1、T2、T3、T45个 时间测量患者的收缩压
重复测量设计的优缺点
为两个测定时点， 2 代表协方差阵中的元素。 时为方差， 设 k、l为两个测定时点， skl 代表协方差阵中的元素。当k＝l时为方差， 、 为两个测定时点 ＝ 时为方差 k≠l时为协方差。共有a个测定时点，将这 个方差和（a-1）/2个协 时为协方差。共有 个测定时点 将这a个方差和 个测定时点， 个方差和（ 时为协方差 ） 个协 方差排成协方差阵V为 方差排成协方差阵 为：
球形条件不满足怎么办
常有两种方法可供选择： 常有两种方法可供选择： 1. 采用 采用MANOVA（多变量方差分析方法） （多变量方差分析方法） 2. 对重复测量ANOVA检验结果中与时间有关 检验结果中与时间有关 对重复测量 检验结果中 的F值的自由度进行调整（调小） 值的自由度进行调整（调小）
分子自由度 分母自由度
优点： 优点： 每一个体作为自身的对照，克服了个体间的变异。 每一个体作为自身的对照，克服了个体间的变异。分析时可更好地集 中于处理效应. 中于处理效应. 因重复测量设计的每一个体作为自身的对照， 因重复测量设计的每一个体作为自身的对照，所以研究所需的个体相 对较少，因此更加经济。 对较少，因此更加经济。 缺点： 滞留效应(Carryeffect) 滞留效应(Carry-over effect) 前面的处理效应有可能滞留到下一次的处理. 前面的处理效应有可能滞留到下一次的处理. 潜隐效应( effect) 潜隐效应(Latent effect) 前面的处理效应有可能激活原本以前不活跃的效应. 前面的处理效应有可能激活原本以前不活跃的效应. 学习效应( effect) 学习效应(Learning effect) 由于逐步熟悉实验，研究对象的反应能力有可能逐步得到了提高。 由于逐步熟悉实验，研究对象的反应能力有可能逐步得到了提高。
重复测量的概念
重复测量(repeated measure)是指对同一观察对 象的同一观察指标在不同时间点上进行的多次测量， 用于分析该观察指标在不同时间上的变化特点。 这类测量资料在临床和流行病学研究中比较常见。 例如，为研究某种药物对高血压病人的治疗效果, 需要定时多次测定受试者的血压，以分析其血压的 变动情况。
Σd = 66
设立对照的前后测量设计
表 19-2 肥胖患者治疗前后体重（kg） 观察对 象编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 均数 标准差 试验组 体重（kg） 服药前 （X1） 101 131 131 150 124 137 126 105 90 67 84 109 1355 112.9 24.5 服药后 （X2） 100 136 126 143 128 126 116 95 87 57 74 101 1289 107.4 26.3 差值 d= X1- X2 1 -5 5 7 -4 11 10 10 3 10 10 8 66 5.5 5.6 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 观察对 象编号 对照组 体重（kg） 服药前 （X1） 100 129 127 145 137 128 115 130 87 69 85 109 1361 113.4 23.6 服药后 （X2） 101 131 126 140 135 126 116 126 90 70 84 101 1346 112.2 22.5 差值 d= X1- X2 -1 -2 1 5 2 2 -1 4 -3 -1 1 8 15 1.25 3.2
几种常见的重复测量设计
前后测量设计
观察对 象编号 1 2 3 4 5 源自文库 7 8 9 10 11 12 合计 表 19-1 某减肥药服用前后体重的观察值 体重（kg） 服药前（X1） 服药后（X2） 101 131 131 150 124 137 126 105 90 67 84 109 100 136 126 143 128 126 116 95 87 57 74 101 差值 d= X1- X2 1 -5 5 7 -4 11 10 10 3 10 10 8
球形对称的实际意义举例
协方差 阵 A1 A2 A3 A4 A1 10 5 10 15 A2 5 20 15 20 A3 10 15 30 25 A4 15 20 25 40
s1-22 = 10 + 20 - 2(5) = 20 s1-32 = 10 + 30 - 2(10) = 20 s1-42 = 10 + 40 - 2(15) = 20 s2-32 = 20 + 30 - 2(15) = 20 s2-42 = 20 + 40 - 2(20) = 20 s3-42 = 30 + 40 - 2(25) = 20
本例差值对应的方差精确 相等，说明球形对称。
2 2 2 2 syi −yj = syi + syj − 2syi yj 2 2 2 如 sy1−y2 = s11 + s22 − 2s12 ：2
球形对称的检验
用Mauchly法检验协方差阵是否为球形 法检验协方差阵是否为球形 H0：资料符合球形要求， 资料符合球形要求， H1：资料不满足球形要求 检验的P值若大于研究者所选择的显著性水准 时 检验的 值若大于研究者所选择的显著性水准α时， 值若大于研究者所选择的显著性水准 说明协方差阵的球形性质得到满足。 说明协方差阵的球形性质得到满足。
医学科研中经常遇到重复测量的设计
给予某种处理后， 给予某种处理后，在几个不同的时间点上从 同一个受试对象（或样品） 同一个受试对象（或样品）上重复获得指标 的观察值； 的观察值； 有时是从同一个体的不同部位（或组织） 有时是从同一个体的不同部位（或组织）上 重复获得指标的观察值。 重复获得指标的观察值。
s 121 2 s V = 21 M s2 a1
s 122
2 s 22
L L M L
M
2 sa 2
s 12a 2 s2a M 2 s aa
−
协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素（方差） 协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素（方差） 球形性质是指该矩阵主对角线元素 相等、非主对角线元素（协方差）为零。 相等、非主对角线元素（协方差）为零。
对于yi与yj两时间点变量间差值 对应的方差可采用协方差矩阵 计算为：
2 2 2 2 syi −yj = syi + syj − 2syi yj 2 2 2 如 sy1−y2 = s11 + s22 − 2s12 ：2
= ∑y1i y2i − ∑y1i ∑y2i n rij =
2 sij 2 sii s2 jj
重复测量数据常见误用情况
重复进行各时间点的t检验： 重复进行各时间点的t检验： 增大犯Ⅰ 增大犯Ⅰ类错误的概率 差值比较： 差值比较： 降低信度， 降低信度，且差值不一定符合正态性和方 差齐性的条件
重复测量资料方差分析对协方差阵的要求
重复测量资料方差分析的条件： 1. 正态性 处理因素的各处理水平的样本个体之间是相互独立的随机 处理因素的各处理水平的样本个体之间是相互独立 独立的 样本，其总体均数服从正态分布； 正态分布 样本，其总体均数服从正态分布； 2. 方差齐性 同 相互比较的各处理水平的总体方差相等， 相互比较的各处理水平的总体方差相等，即具有方差齐
协方差阵的球形性检验
方差是指在某一时点上测定值变异性的大 小，而协方差是指在两个不同时点上测定 值相互变异性的大小。如果在某个时点上 值相互变异性的大小。 的取值不影响其他时点上的取值， 的取值不影响其他时点上的取值，则协方 差为0，反之，则不为 。 差为 ，反之，则不为0。由方差协方差 构成的矩阵称协方差阵。 构成的矩阵称协方差阵。 协方差阵
2 kl
2 2 a2 是 所 有 元 素 的 总 平 均 值 ， skk = (∑sll ) a 是 l
2 2 主 对 角 线 元 素 的 平 均 值 ， sk = (∑skl ) a 是 第 k 行 的 平 均 值 。 l
ˆ ∈的 取 值 在 1 . 0 与 1 / ( a - 1 ) 之 间 。
调整规则
对具有重复测定性质的时间效应和处理 时 对具有重复测定性质的时间效应和处理*时 时间效应 的交互作用的F值的自由度进行调整 值的自由度进行调整。 间的交互作用的 值的自由度进行调整。 调整后的F临界值较原先大， 调整后的 临界值较原先大，提高了拒绝 临界值较原先大 H0的门槛。减少了犯 类错误的概率。 的门槛。 类错误的概率。 的门槛 减少了犯I类错误的概率
球形对称的实际意义
所有两两时间点变量间差值对应的方差相等
2 2 2 s11 s12 L s1a 2 2 2 s21 s22 L s2a V = M M M M 2 2 2 s a1 sa2 L saa 2 s11 = ∑( y1i − y1)2 (n −1) 2 s12 = ∑( y1i − y1)( y2i − y2 ) (n −1)
2 a2 skk − s 2
ˆ ∈=
2 2 (a −1)∑∑(skl )2 − (2a) ∑(sk )
(
)
2
2
k
l
k
+ a2 s 2
( )
2
2 式 ( 1 0 - 3 ) 中 的 skl 是 矩 阵 ( 1 0 - 1 ) 中 第 k 行 第 l 列 元 素 ，
s 2 = ∑∑s k l
ν = ν 1× ∈ ' ν 2 =ν 2×∈
' 1
(1) Geenhouse-Geisser调整系数 调整系数(G-G) 调整系数 (2) Huynh-Feldt调整系数 调整系数(H-F) 调整系数
自由度调整方法1 自由度调整方法1
ˆ ˆ ( 1 ) G e e n h o u s e - G e i s s e r 调 整 系 数 ∈( G - G ∈) 为 ：
球形性
协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素(方 差)相等、非主对角线元素(协方差)为零。 常用Mauchly氏法检验协方差阵的球形性质。 Mauchly氏检验的P值若大于研究者所选择的显著 Mauchly P 性水准α时，说明协方差阵的球形性质得到满足。 否则，必须对与时间有关的F统计量的分子、分母 自由度进行调整，以便减少犯I类错误的概率。调 整系数为ε(读作epsilon)。
∈=
ng (a −1 ∈−2 )ˆ (a −1 [n − g − (a −1 ∈ ) ) ˆ]
(10-3)
式 (10-3)中 的 g 是 对 受 试 对 象 的 某 种 特 征 (如 性 别 或 年 龄 )进 行 分 组 的 组 数 。 n 是 每 组 的 观 察 例 数 。 当
∈> 1 . 0 时 ， 取 ∈= 1 . 0 。
重复测量资料的特点
重复测量数据： 重复测量数据：是对同一受试对象的某个观 察指标进行连续观测所得到的数据 至少有两个因素：处理因素、 至少有两个因素：处理因素、时间因素 重复测量的试验结果是按时间顺序 按时间顺序固定排列 重复测量的试验结果是按时间顺序固定排列 的，不能像随机区组设计的处理那样经过随 机排列 同一个体不同时间测量值之间高度相关 同一个体不同时间测量值之间高度相关
在对重复测量资料进行方差分析时，除要求样本是 随机的、在处理的同一个水平上的观察是独立的以 及每一水平上的测定值都来自正态总体外，特别强 调协方差阵(covariance matrix)的球形性 (sphericity)或为园环形(circularity)。 Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方 差分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来 是真的无效假设。
自由度调整方法2 自由度调整方法
( 2 ) H u y n h - F e l d t 调 整 系 数 ∈( H - F ∈)
ˆ 据 研 究 ， 当 ∈真 值 在 0 . 7 以 上 时 ， 用 ∈进 行 自 由 度
调 整 后 的 统 计 学 结 论 偏 于 保 守 ， 故 Huynh 和 Feldt 提 出 用 平 均 调 整 值 ∈值 进 行 调 整 。 ∈值 的 计 算 公 式 为
3. 各 时 间 点 组 成 的 协 方 差 阵 (covariance matrix) 具 有 球 形 性 (sphericity)特征。
Box（1954）指出，若球形性质得不到满足，则方差分析的 值是有偏的，这 （ 值是有偏的， ）指出，若球形性质得不到满足，则方差分析的F值是有偏的 会造成过多的拒绝本来是真的无效假设(增加Ⅰ型错误 。 会造成过多的拒绝本来是真的无效假设 增加Ⅰ型错误)。 增加
例
将手术要求基本相同的10名患者随机分为2 将手术要求基本相同的10名患者随机分为2组，在手术过程中 10名患者随机分为 分别采用A 两种麻醉诱导方法， T0、T1、T2、T3、T45个 分别采用A、B两种麻醉诱导方法，在T0、T1、T2、T3、T45个 时间测量患者的收缩压
重复测量设计的优缺点
为两个测定时点， 2 代表协方差阵中的元素。 时为方差， 设 k、l为两个测定时点， skl 代表协方差阵中的元素。当k＝l时为方差， 、 为两个测定时点 ＝ 时为方差 k≠l时为协方差。共有a个测定时点，将这 个方差和（a-1）/2个协 时为协方差。共有 个测定时点 将这a个方差和 个测定时点， 个方差和（ 时为协方差 ） 个协 方差排成协方差阵V为 方差排成协方差阵 为：
球形条件不满足怎么办
常有两种方法可供选择： 常有两种方法可供选择： 1. 采用 采用MANOVA（多变量方差分析方法） （多变量方差分析方法） 2. 对重复测量ANOVA检验结果中与时间有关 检验结果中与时间有关 对重复测量 检验结果中 的F值的自由度进行调整（调小） 值的自由度进行调整（调小）
分子自由度 分母自由度
优点： 优点： 每一个体作为自身的对照，克服了个体间的变异。 每一个体作为自身的对照，克服了个体间的变异。分析时可更好地集 中于处理效应. 中于处理效应. 因重复测量设计的每一个体作为自身的对照， 因重复测量设计的每一个体作为自身的对照，所以研究所需的个体相 对较少，因此更加经济。 对较少，因此更加经济。 缺点： 滞留效应(Carryeffect) 滞留效应(Carry-over effect) 前面的处理效应有可能滞留到下一次的处理. 前面的处理效应有可能滞留到下一次的处理. 潜隐效应( effect) 潜隐效应(Latent effect) 前面的处理效应有可能激活原本以前不活跃的效应. 前面的处理效应有可能激活原本以前不活跃的效应. 学习效应( effect) 学习效应(Learning effect) 由于逐步熟悉实验，研究对象的反应能力有可能逐步得到了提高。 由于逐步熟悉实验，研究对象的反应能力有可能逐步得到了提高。