克莱姆法则
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行列式克莱姆法则
详细描述
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
carmer法则
carmer法则
克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。
这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。
不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。
克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。
具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。
然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。
实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。
因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。
此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。
即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。
总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。
1.4 克莱姆( Cramer )法则
24
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
克莱姆(Cramer)法则
0 2 1 2
1 4 7 6
又
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
21 8 1
1 3 9 6
D3 0
2
5
27 2
14 0 6
2 1 5 8
1 3 0 9
D4 0
2
27 1 5
Байду номын сангаас
1 4 7 0
1 cn cn2 cnn
为 n+1阶范德蒙行列式的转置,故D≠0 .由定
理1.4.2,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,从
而 an=0,此与题设条件矛盾.
n
bk Akj ( j 1,2,, n)
k 1
于是
n aij
j 1
Dj D
1 D
n j 1
aij
n
( bk
k 1
Akj )
1 D
nn
aijbk Akj
j1 k 1
1 D
n
(
k 1
n
aij Akj
j 1
)bk
1 D
bi
(
n
aij Aij
j 1
)
1 D
bi D
bi
(i 1,2,,n)
k1 1 D 1 k 1 (k 1)(k 4)
2 1 1
所以, k = 1或k=4 ，且易验证k = 1或k=4 时方程组确有非零解.
例1.4.4 试证: n次多项式
f (x) a0 a1x an x n (an 0)
1.3 克莱姆(Cramer)法则
个方程相加， 再将 n 个方程相加，得
n n n n ∑ ak 1 Ak 1 x1 + ∑ ak 2 Ak 1 x2 + L + ∑ a k n Ak 1 xn = ∑ bk Ak 1 . k =1 k =1 k =1 k =1
第 一 章 行 列 式
§1.3 克莱姆(Cramer)法则
四、齐次线性方程组的有解问题
考虑齐次线性方程组
显然，它总存在一组全为零的解(称为零解) 显然，它总存在一组全为零的解(称为零解)： 零解
x1 = x2 = L = xn = 0 .
定义 若齐次线性方程组的一组解不全为零 则称为非零解 若齐次线性方程组的一组解不全为零, 则称为非零解 非零解.
8
第 一 章 行 列 式
§1.3 克莱姆(Cramer)法则
四、齐次线性方程组的有解问题
定理 若齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 , 则它只有零解 则它只有零解. 证明 由于当线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 时有惟一解， 由于当线性方程组的系数行列式 时有惟一解， 线性方程组 故齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 时只有零解. 齐次线性方程组的系数行列式 时只有零解 推论 若齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式必为零 若齐次线性方程组有非零解, 则其系数行列式必为零. (此为上述定理的逆否命题) 此为上述定理的逆否命题) 思考 (1) 若齐次线性方程组的系数行列式 D = 0 , 则它是否 一定有非零解？ 即定理的否命题是否成立？ 一定有非零解？ (即定理的否命题是否成立？) (2) 齐次线性方程组有非零解和它对应的非齐次线性 齐次线性方程组有非零解 有非零解和它对应的非齐次线性 方程组有无穷多解有何联系？ 方程组有无穷多解有何联系？ 有无穷多解有何联系 9
克莱姆法则
如何结合其他决策方法提高克莱姆法则的决策效果
结合其他决策方法
• 将克莱姆法则与直觉决策、群体决策等其他决策方法相 结合 • 实现决策方法的互补和优化，提高决策效果
决策效果评估
• 建立决策效果评估机制，对决策过程进行监督和反馈 • 根据评估结果，不断调整和优化决策方法，提高决策效 果
CREATE TOGETHER
政策方案的选择
• 通过克莱姆法则对政策方案进行评估和选择，实现最优政策效果 • 克莱姆法则有助于提高政策制定的科学性和民主性，增强政策的可信度
克莱姆法则在个人决策中的应用实例
职业规划
• 通过克莱姆法则明确职业目标，分析个人能力和市场需求，制定合适的职业规划 • 克莱姆法则可以帮助个人实现职业发展目标，提高职业满意度
克莱姆法则的发展历程
• 20世纪60年代，克莱姆法则开始受到广泛关注 • 20世纪70年代，克莱姆法则被广泛应用于项目管理领域 • 20世纪80年代，克莱姆法则逐渐成为决策科学的一个重要分支
克莱姆法则的核心要义与基本原理
克莱姆法则的核心要义
• 明确问题：首先需要清晰地定义问题和决策目标 • 收集信息：收集与问题相关的所有信息和数据 • 列出解决方案：根据收集到的信息，提出所有可能的解决方案 • 评估风险：对每个解决方案的风险进行评估，选择风险最小的方案
决策步骤优化
• 对决策步骤进行精简，提高决策效率 • 引入人工智能和大数据技术，辅助决策过程
如何提高克莱姆法则在复杂问题决策中的准确性
提高信息质量
• 采用多种渠道收集信息，确保信息的真实性、可靠性和全面性 • 提高信息处理的能力和技巧，挖掘信息价值
增强决策者的能力
• 培养决策者的批判性思维和创新能力 • 提高决策者的风险意识和风险应对能力
克莱姆法则举例
克莱姆法则举例
克莱姆法则是一个线性代数中的定理，用于求解线性方程组的解。
下面是一个简单的克莱姆法则应用举例：
假设我们有以下线性方程组：
2x + 3y - z = 10
4x + 5y + z = 20
x - y + 3z = 15
我们可以将这个方程组表示为矩阵形式：
A = [[2, 3, -1], [4, 5, 1], [1, -1, 3]]
B = [10, 20, 15]
根据克莱姆法则，我们可以计算出方程组的解为：
x = 3
y = 2
z = 5
具体计算过程如下：
克莱姆法则的公式是：x = (A的行列式值/ B的行列式值) * B的各元素值。
A的行列式值= [[2,3,-1],[4,5,1],[1,-1,3]] = 253 - 313 - (-1)41 - (-1)52 = 30 - 9 + 4 + 10 = 35。
B的行列式值= [[10],[20],[15]] = 10*20 - (-15)*10 = 200 +
150 = 350。
因此，克莱姆法则的计算公式为：x = (35 / 350) * [10, 20, 15] = (1/10) * [10, 20, 15] = [3, 6, 4.5]。
通过克莱姆法则，我们可以准确地求解出线性方程组的解。
在这个例子中，我们得到的解是：x = 3, y = 2, z = 5。
线性代数 克莱姆(Cramer)法则
其中 b j 称为右端项 (或常数项)；
a11 a 21 D a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
简记为
ai j x j bi ,
j 1
n
i 1 , 2 , , n .
称为系数行列式 .
2
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 二、克莱姆(Cramer)法则 一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , 定理 考虑线性方程组 行 列 P 18 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 定理 式 1.3 若系数行列式 D 0 ，则方程组有惟一解
再将 n 个方程相加，得
n n n n ak 1 Ak 1 x1 ak 2 Ak 1 x2 ak n Ak 1 xn bk Ak 1 . k 1 k 1 k 1 k 1
4
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 一 章 行 列 式
6
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 三、齐次与非齐次线性方程组 一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 行 定义 设线性方程组为 列 P 21 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 式 (1) 若常数项 b1 , b2 , , bn 不全为零， 则称此方程组为非齐次线性方程组; (2) 若常数项 b1 , b2 , , bn 全为零， 则称此方程组为齐次线性方程组; 注 通常还称齐次线性方程组为它所对应的非齐次线性 方程组的导出(方程)组. 7
线性代数 克莱姆(cramer)法则
而其余xi i j 的系数均为 0; 又等式右端为D j .
于是
Dx j D j j 1,2,, n.
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
一、克莱姆法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn (1)
在把 n 个方程依次相加，得
n n n ak 1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn k 1 k 1 k 1 bk Akj ,
k 1 n
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
轴平行,故可设其方程为
y c bx ax 2 ,
此方程的系数行列式是范德蒙得行列式,而
1 D 1 1 1 2 3 1 9 1 1 1 2 4 1 3 3 2 3 12 1 2 0. 9
41
所以方程组有唯一解, 又
D1 14, D2 16, D3 4,
故 c 14 2 7,b 16 2 8,a 4 2 2.
2 y 7 8 x 2 x . 即所求的抛物线方程为
克莱姆法则
齐次线性方程组除了零解以外还有没 有其它解,即非零解?
定理三 如果齐次线性方程组有非零解,则 齐次线性方程组的系数行列式D=0. [证 ] 若 D 0 由克莱姆法则知齐次线性方程组只Hale Waihona Puke 唯一的零解. 与已知矛盾 D=0
由定理三可知,齐次线性方程组的系 数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解 的必要条件. 在第四章将会看到,D=0也是齐次线性 方程组有非零解的充分条件. 综合上述,得到: 齐次线性方程组有非 零解的充要条件是系数行列式D=0.
2 1 8 1 1 3 9 6 D3 D3 = 27 x 3 D 0 2 5 2 27 1 4 0 6 = 1 27
2 1 5 8 D4 27 1 3 0 9 =27 x 4 D4 D 27 0 2 1 5 =1 1 4 7 0
二、齐次线性方程组有非零解的充要条件 齐次线性方程组: a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0 显然,齐次线性方程组总是有解的.因为 x1=0, x2=0,, xn=0就是一个解,它称为零解.
则该线性方程组有且仅有唯一解: Dn D1 D2 x1 , x2 ,, xn D D D 其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j 列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的 n阶行列式. 即 a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n a 21 a 2, j 1 b2 a2 , j 1 a 2 n Dj a n1 a n , j 1 bn a n , j 1 ann
定理三 如果齐次线性方程组有非零解,则 齐次线性方程组的系数行列式D=0. [证 ] 若 D 0 由克莱姆法则知齐次线性方程组只Hale Waihona Puke 唯一的零解. 与已知矛盾 D=0
由定理三可知,齐次线性方程组的系 数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解 的必要条件. 在第四章将会看到,D=0也是齐次线性 方程组有非零解的充分条件. 综合上述,得到: 齐次线性方程组有非 零解的充要条件是系数行列式D=0.
2 1 8 1 1 3 9 6 D3 D3 = 27 x 3 D 0 2 5 2 27 1 4 0 6 = 1 27
2 1 5 8 D4 27 1 3 0 9 =27 x 4 D4 D 27 0 2 1 5 =1 1 4 7 0
二、齐次线性方程组有非零解的充要条件 齐次线性方程组: a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0 显然,齐次线性方程组总是有解的.因为 x1=0, x2=0,, xn=0就是一个解,它称为零解.
则该线性方程组有且仅有唯一解: Dn D1 D2 x1 , x2 ,, xn D D D 其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j 列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的 n阶行列式. 即 a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n a 21 a 2, j 1 b2 a2 , j 1 a 2 n Dj a n1 a n , j 1 bn a n , j 1 ann
3、克莱姆法则
有非零解？ 有非零解？
解
1− λ D= 2 1 −2 3−λ 1 4 1 1− λ
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
4 1 1− λ
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
3
4 1 1− λ
= (1 − λ ) + (λ − 3 ) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ ) (− 3 + λ )
若常数项b1 , b2 , L , bn 全为零，则此时称方程组为齐 次线性方程组。 若常数项b1 , b2 , L , bn 不全为零，则此时称方程组为 非齐次线性方程组。
二、克莱姆法则： 如果由n个方程构成的n元线性方程组：P29定理1
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn
解：只须 D ≠ 0
λ.
1 − 2 2 × 2 × (−2) 1 −1 2 = 0 λ − 2 1 = −(λ − 2) D = −2 λ −3 0 0 −1 2 −2 3
取何值时， 例：当 λ 取何值时，齐次方程组
(1 − λ ) x 1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 0 , 2 x 1 + (3 − λ ) x 2 + x 3 = 0 , x + x + (1 − λ ) x = 0 , 1 2 3
§3 克莱姆法则 一、齐次与非齐次线性方程组的概念 齐次与非齐次线性方程组的概念
1.4克莱姆法则
一、克莱姆法则
二、重要定理
一、克莱姆法则
术语 齐次与非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 0 a x a x a x b 0 21 1 22 2 2n n 2 有线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 0
二、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 1 无解或解不唯一，则 它的系数行列式必为零. 【注】线性方程组(1)要求方程个数与未知量个数相同!
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
小结
1. 用克莱姆法则解线性方程组的两个条件:
① 方程个数等于未知量个数; ② 系数行列式不等于零. 2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
作业：P34 21(2), 22(2), 23
附 数域 定义 F是由一些数组成的集合，其中 0 F ,1 F ， 若F中任意两个数（可相同）的和、差、积、商（除数 不为0）仍然是F中的数，(也称F对加、减、乘、除运 算封闭),则F称为一个数域.
abc D1 a 2 b 2 c 2 3abc
1 1 a 1 1 b c c1 bc2 cc3 a 2 b c ac ab abc ac ab
1 1 1 D1 a a b c aD, x1 a. D bc ac ab
D3 D2 b, x 3 c. 同理可得 x2 D D
二、重要定理
一、克莱姆法则
术语 齐次与非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 0 a x a x a x b 0 21 1 22 2 2n n 2 有线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 0
二、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 1 无解或解不唯一，则 它的系数行列式必为零. 【注】线性方程组(1)要求方程个数与未知量个数相同!
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
小结
1. 用克莱姆法则解线性方程组的两个条件:
① 方程个数等于未知量个数; ② 系数行列式不等于零. 2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
作业：P34 21(2), 22(2), 23
附 数域 定义 F是由一些数组成的集合，其中 0 F ,1 F ， 若F中任意两个数（可相同）的和、差、积、商（除数 不为0）仍然是F中的数，(也称F对加、减、乘、除运 算封闭),则F称为一个数域.
abc D1 a 2 b 2 c 2 3abc
1 1 a 1 1 b c c1 bc2 cc3 a 2 b c ac ab abc ac ab
1 1 1 D1 a a b c aD, x1 a. D bc ac ab
D3 D2 b, x 3 c. 同理可得 x2 D D
克莱姆法则
+ a12 ( b1 A12 + b2 A22 + L + bn An 2 )
+ LL +
+ (b1 A1n + b2 A2 n + L + bn Ann ) ]
+ b2 (a11 A21 + a12 A22 + L + a1n A2 n )
+ bn (a11 An1 + a12 An 2 + L + a1n Ann )] 1 满足第1个方程 满足第 个方程 = × b1 D = b1 D
D, ( j = t ) a1 j A1t + a 2 j A2 t + L + anj Ant = 0, ( j ≠ t )
证 1° 将 Dj 按第 j 列展开 °
D j = b1 A1 j + b2 A2 j + L + bn Anj
将
( j = 1,2, L , n)
Dj D
代入第1个方程的左端 代入第 个方程的左端
a11x1 A1j +a12x2 A1j +…+ a1nxn A1j =b1 A1j a21x1 A2j +a22x2 A2j +…+ a2nxn A2j =b2 A2j …… an1x1 Anj +an2x2 Anj +…+ annxn Anj =bn Anj
x1 (a11 A1 j + a21 A2 j + L + a n1 Anj )
x1 (a11 A1 j + a21 A2 j + L + a n1 Anj )
克莱姆法则公式
克莱姆法则公式克莱姆法则公式是20世纪40年代由美国物理学家威廉克莱姆(WilliamKlemperer)提出的一个关于质量、动能和热能的互换关系的重要定律。
克莱姆法则公式能够描述质量和能量的转换，从而描述量子物理学的基本特性，也是分子物理学的基础。
克莱姆法则公式的数学表达克莱姆法则公式通过以下数学表达式表示：Δm =E/c其中，m表示物质的质量，E表示物体内部存储的能量，c为光速，可理解为质量和能量之间的比率；Δm为发生物理变化时，质量变化量，ΔE表示发生物理变化时，能量变化量。
克莱姆法则公式的物理意义克莱姆法则公式揭示了质量和动能的互换关系，能量和热能的互换关系，以及物质的能量和质量之间存在着相互转换的可能性。
克莱姆法则公式诠释了质能守恒定律：即在宇宙任何地方、任何时间，物质总质量及能量总量都不会减少或增加，而只能以不同的形式存在，互相转换。
根据克莱姆法则公式，物质的质量和能量的变化是相反的，当物质的质量发生变化时，物质的内部能量也会随之而变化，反之亦然。
也就是说，物质的质量和能量间具有直接的联系，可以相互转换，变量的增加意味着另一个变量的减少，变量的减少意味着另一个变量的增量。
克莱姆法则公式的实际应用克莱姆法则公式可以用于描述原子核释放能量过程和粒子、粒子流构成物质衰变过程，以及粒子发射和吸收物质等交互运动过程。
例如，原子核衰变是一种由质量减少而能量增加的自发现象，这是根据克莱姆法则公式的原理得出的。
此外，电磁能量发射和吸收是按照克莱姆法则来实现物质运动的，物质运动时，电磁能量会在物质和非物质之间转换，克莱姆法则公式也可以解释光子的存在，比如原子间的相互作用。
综上所述，克莱姆法则公式是一个有关质量、动能和热能转换关系的重要定律，它从本质上揭示出物质的质量和能量之间的相互转换。
克莱姆法则公式不仅支持了物质质能守恒定律，也可以用于描述原子核的衰变过程，电磁能量的发射与吸收，以及光子的存在等现象。
克莱姆法则
线 性 代 数
克莱姆法则
设含有n 个未知量和n 个方程的线性方程组为
a11 x1 a12 x2
a x a x
21 1 22 2
an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1
a2 n xn b2
(1.1)
n
bn Anj bk Akj ( j 1, 2,
n)
k 1
于是
n
n
n
Di 1 n
1 n n
1 n
aij
aij ( bk Akj ) aij bk Akj bk ( aij Akj )
D D j 1
D j 1 k 1
D j 1
j 1
k 1
非零解。
由克莱姆法则可以得出
定理2 若方程组(1.4)的系数行列式D≠0，则方程组有唯一零解;若
方程组有非零解，则系数行列式D 必为零。
推论 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是D=0。
x1 x2 x3 0
例2 讨论方程组 x1 x2 x3 0
3 x x x 0
程组(1.1)的解，则
n
a c
j 1
ij
j
bi (i 1, 2,
n)
(1.3)
分别用系数行列式D 的第k 列元素的代数余子式A1k，A2k，…，Ank
乘以式(1.3)的各项，然后相加，得
n
n
n
i 1
j 1
i 1
Aik ( aij c j ) bi Aik
即
当D≠0时，有
2n n
an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
克莱姆法则
设含有n 个未知量和n 个方程的线性方程组为
a11 x1 a12 x2
a x a x
21 1 22 2
an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1
a2 n xn b2
(1.1)
n
bn Anj bk Akj ( j 1, 2,
n)
k 1
于是
n
n
n
Di 1 n
1 n n
1 n
aij
aij ( bk Akj ) aij bk Akj bk ( aij Akj )
D D j 1
D j 1 k 1
D j 1
j 1
k 1
非零解。
由克莱姆法则可以得出
定理2 若方程组(1.4)的系数行列式D≠0，则方程组有唯一零解;若
方程组有非零解，则系数行列式D 必为零。
推论 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是D=0。
x1 x2 x3 0
例2 讨论方程组 x1 x2 x3 0
3 x x x 0
程组(1.1)的解，则
n
a c
j 1
ij
j
bi (i 1, 2,
n)
(1.3)
分别用系数行列式D 的第k 列元素的代数余子式A1k，A2k，…，Ank
乘以式(1.3)的各项，然后相加，得
n
n
n
i 1
j 1
i 1
Aik ( aij c j ) bi Aik
即
当D≠0时，有
2n n
an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
克莱姆法则
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 阶行列式， 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 L a1 , j −1 b1 a1 , j +1 L a1n D j = LLLLLLLLLLL a n1 L a n , j −1 bn a n , j +1 L a nn
D = − 2 ≠ 0 , D1 = − 2 , D 2 = 4 , D 3 = 0 , D 4 = − 1
即得唯一解：． 即得唯一解：
D1 D2 D3 D4 1 x1 = = 1, x2 = = −2, x3 = = 0, x4 = = D D D D 2
二、重要定理
定理1 定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 一定有解, 则 (1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 (1) 无解或有两个不同的 定理2 则它的系数行列式必为零. 解，则它的系数行列式必为零.
D = −3(5k − 5)
所以如果方程组有非零解， =0,即 =1. 所以如果方程组有非零解，则D=0,即k=1
例 用克莱姆则解方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3 x − 6 x = 9, 1 2 4 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = − 5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
其中
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a11 a12 D3 = a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33 b1 b2 . b3
b1 D1 = b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a11 L a1 , j −1 b1 a1 , j +1 L a1n D j = LLLLLLLLLLL a n1 L a n , j −1 bn a n , j +1 L a nn
D = − 2 ≠ 0 , D1 = − 2 , D 2 = 4 , D 3 = 0 , D 4 = − 1
即得唯一解：． 即得唯一解：
D1 D2 D3 D4 1 x1 = = 1, x2 = = −2, x3 = = 0, x4 = = D D D D 2
二、重要定理
定理1 定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 一定有解, 则 (1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 (1) 无解或有两个不同的 定理2 则它的系数行列式必为零. 解，则它的系数行列式必为零.
D = −3(5k − 5)
所以如果方程组有非零解， =0,即 =1. 所以如果方程组有非零解，则D=0,即k=1
例 用克莱姆则解方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3 x − 6 x = 9, 1 2 4 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = − 5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
其中
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a11 a12 D3 = a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33 b1 b2 . b3
b1 D1 = b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
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例3：求一个顶点在（0，0，0）相邻顶点在（1，0， －1）（1，2，4）（7，1，0）的平行六面体的体积. 解：以（0，0，0）为起点，作三个向量
1 0 2T , 1 2 4T , 7 1 0T
以，， 为列构造三阶行列式
1 17 D 0 2 1 22, 所求的平行六面体体积 D 22.
4 67 , 12
0 D4 1
3 1
04
67,
1 11 6
1 1 5 6 2
1 1 3 5 6
x1
D1 D
67 3
67
1 3
,
x2
D2 D
0 67
0,
x3
D3 D
67 2
67
1 2
,
x4
D4 D
67 67
1.
例3 设 ai aj , i, j 1, 2, 3, 4, 求解方程组
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2, ,n.
*
当 D 0 时,方程组 * 有唯一的一个解
x1
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
解
1
D 2 1
2
3
1
4 1
1 2 1 1
3 1
0
4 1
1
1 3 3 41 21 3
1 3 21 2 3
若常数项b1,b2 , ,bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 , ,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
定理1.4.1 克莱姆法则
如果线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1nxn b1
La21Lx1L
a22 x2 LLL
2
2
2
1 2
ya
yc
xc
xa
1 2
yb
yc
xb
xc
1 2
ya
yb
xb
xa
1 2
xa
yb
xb
ya
1 2
xa
yc
xc
ya
1 2
xb
yc
xc
yb
1 2
xa xb
xc
ya 1 yb 1 . yc 1
定理1.5.1 二阶行列式D的列向量所确定的平等四
n , j1
n
n , j1
nn
证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j ,L , Anj
依次乘方程组 1.11的n个方程, 得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
一）二阶行列式表示平行四边开的面积
例1 设平面上由三点坐标确定的三角形ABC,
A xa , ya , B xb , yb , C xc , yc
C
A
B
DF E
SABC SADFC SCFEB SABDE
1 ( AD CF ) DF 1 (BE CF ) EF 1 ( AD BE) DE
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2 a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
例1 用克莱姆法则解方程组
2 4 0
三）行列式表示通过平面上的定点的直线、 曲线方程
例4.用行列式表示通过平面上点A x1, y1, B x2, y2 的直线方程
证：由二点式我们知道直线方程 x x2 y y2 x1 x2 y1 y2
上式二边展开移项得
xy1 xy2 x1 y x2 y x2 y1 x1 y2 0
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
在把 n 个方程依次相加，得
n ak1 Akj x1 n akj Akj x j n akn Akj xn
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例2 用克莱姆法则解方程组
3 x1 5 x2 2 x3 x4 3,
3x2 4x4 x1 x2 x3
4, x4
11
6,
x1 x2 3 x3 2 x4 5 6.
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
由于方程组 与方程组 1.11 等价, 故
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
也是方程组的 1.11解.
二、齐次线性方程组的相关定理
a11x1 a12 x2 L a1nxn 0
解：先将平行四边形平移到原点作其一顶点， 如每个顶点坐标都减去（－2，－2），这样 新的平行四边形与原平行四边形面积相等， 顶点是（0，0）（2，5）（8，6）（6，1） 构造行列式
26
D
28. D 28.
51
二） 三阶行列式表示平等六面体的体积
a11 a12 a13 设有三阶行列式D a21 a22 a23 ,
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
三、小结
1. 用克莱姆法法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
x x
1 1
a1 a2
x2 x2
x 1 a3 x2
a12 x3 a22 x3 a32 x3
a13 x4 a23 x4 a33 x4
1 1 1
x 1 a4 x2 a42 x3 a43 x4 1
解：方程组的系数行列式
1
a1
a2 1
x y1
x y1 y2
1 y x1 1 x2
1 x1 1 x2
a31 a32 a33
a11
a12
a13
令＝
a21
,
a22
,
a23
，
a31
a32
a33
则向量组，， 称为三阶行列式 D 的列向量组。
定理1.5.2：三阶行列式D的列向量组所确定的平行
六面体的体积等于 D
边形的面积等于 D
其中 二阶行列式D a c
b d
, 令
a c
,
b d
.
证：若D是对角行列式
a D
0 ab, D ab 矩形的面积.
0b
当D不是2阶对角行列式时，由行列式性质: 当行列式的二列交换或一列的倍数加到另一列上 时，行列式的值不变，同时 我们可以通过这个性质 将D变换成对角形的行列式。 由于列交换不改变对应的平等四边形所以只需证 明以下结论。
L L
L
a2n xn b2 LLLL
an1x1 an2 x2 L annxn bn
(1.11)
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D a21 a22 a2n 0
1 0 2T , 1 2 4T , 7 1 0T
以，， 为列构造三阶行列式
1 17 D 0 2 1 22, 所求的平行六面体体积 D 22.
4 67 , 12
0 D4 1
3 1
04
67,
1 11 6
1 1 5 6 2
1 1 3 5 6
x1
D1 D
67 3
67
1 3
,
x2
D2 D
0 67
0,
x3
D3 D
67 2
67
1 2
,
x4
D4 D
67 67
1.
例3 设 ai aj , i, j 1, 2, 3, 4, 求解方程组
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2, ,n.
*
当 D 0 时,方程组 * 有唯一的一个解
x1
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
解
1
D 2 1
2
3
1
4 1
1 2 1 1
3 1
0
4 1
1
1 3 3 41 21 3
1 3 21 2 3
若常数项b1,b2 , ,bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 , ,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
定理1.4.1 克莱姆法则
如果线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1nxn b1
La21Lx1L
a22 x2 LLL
2
2
2
1 2
ya
yc
xc
xa
1 2
yb
yc
xb
xc
1 2
ya
yb
xb
xa
1 2
xa
yb
xb
ya
1 2
xa
yc
xc
ya
1 2
xb
yc
xc
yb
1 2
xa xb
xc
ya 1 yb 1 . yc 1
定理1.5.1 二阶行列式D的列向量所确定的平等四
n , j1
n
n , j1
nn
证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j ,L , Anj
依次乘方程组 1.11的n个方程, 得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
一）二阶行列式表示平行四边开的面积
例1 设平面上由三点坐标确定的三角形ABC,
A xa , ya , B xb , yb , C xc , yc
C
A
B
DF E
SABC SADFC SCFEB SABDE
1 ( AD CF ) DF 1 (BE CF ) EF 1 ( AD BE) DE
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2 a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
例1 用克莱姆法则解方程组
2 4 0
三）行列式表示通过平面上的定点的直线、 曲线方程
例4.用行列式表示通过平面上点A x1, y1, B x2, y2 的直线方程
证：由二点式我们知道直线方程 x x2 y y2 x1 x2 y1 y2
上式二边展开移项得
xy1 xy2 x1 y x2 y x2 y1 x1 y2 0
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
在把 n 个方程依次相加，得
n ak1 Akj x1 n akj Akj x j n akn Akj xn
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例2 用克莱姆法则解方程组
3 x1 5 x2 2 x3 x4 3,
3x2 4x4 x1 x2 x3
4, x4
11
6,
x1 x2 3 x3 2 x4 5 6.
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
由于方程组 与方程组 1.11 等价, 故
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
也是方程组的 1.11解.
二、齐次线性方程组的相关定理
a11x1 a12 x2 L a1nxn 0
解：先将平行四边形平移到原点作其一顶点， 如每个顶点坐标都减去（－2，－2），这样 新的平行四边形与原平行四边形面积相等， 顶点是（0，0）（2，5）（8，6）（6，1） 构造行列式
26
D
28. D 28.
51
二） 三阶行列式表示平等六面体的体积
a11 a12 a13 设有三阶行列式D a21 a22 a23 ,
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
三、小结
1. 用克莱姆法法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
x x
1 1
a1 a2
x2 x2
x 1 a3 x2
a12 x3 a22 x3 a32 x3
a13 x4 a23 x4 a33 x4
1 1 1
x 1 a4 x2 a42 x3 a43 x4 1
解：方程组的系数行列式
1
a1
a2 1
x y1
x y1 y2
1 y x1 1 x2
1 x1 1 x2
a31 a32 a33
a11
a12
a13
令＝
a21
,
a22
,
a23
，
a31
a32
a33
则向量组，， 称为三阶行列式 D 的列向量组。
定理1.5.2：三阶行列式D的列向量组所确定的平行
六面体的体积等于 D
边形的面积等于 D
其中 二阶行列式D a c
b d
, 令
a c
,
b d
.
证：若D是对角行列式
a D
0 ab, D ab 矩形的面积.
0b
当D不是2阶对角行列式时，由行列式性质: 当行列式的二列交换或一列的倍数加到另一列上 时，行列式的值不变，同时 我们可以通过这个性质 将D变换成对角形的行列式。 由于列交换不改变对应的平等四边形所以只需证 明以下结论。
L L
L
a2n xn b2 LLLL
an1x1 an2 x2 L annxn bn
(1.11)
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D a21 a22 a2n 0