克莱姆法则
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例3：求一个顶点在（0，0，0）相邻顶点在（1，0， －1）（1，2，4）（7，1，0）的平行六面体的体积. 解：以（0，0，0）为起点，作三个向量
1 0 2T , 1 2 4T , 7 1 0T
以，， 为列构造三阶行列式
1 17 D 0 2 1 22, 所求的平行六面体体积 D 22.
4 67 , 12
0 D4 1
3 1
04
67,
1 11 6
1 1 5 6 2
1 1 3 5 6
x1
D1 D
67 3
67
1 3
,
x2
D2 D
0 67
0,
x3
D3 D
67 2
67
1 2
,
x4
D4 D
67 67
1.
例3 设 ai aj , i, j 1, 2, 3, 4, 求解方程组
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2, ,n.
*
当 D 0 时,方程组 * 有唯一的一个解
x1
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
解
1
D 2 1
2
3
1
4 1
1 2 1 1
3 1
0
4 1
1
1 3 3 41 21 3
1 3 21 2 3
若常数项b1,b2 , ,bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 , ,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
定理1.4.1 克莱姆法则
如果线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1nxn b1
La21Lx1L
a22 x2 LLL
2
2
2
1 2
ya
yc
xc
xa
1 2
yb
yc
xb
xc
1 2
ya
yb
xb
xa
1 2
xa
yb
xb
ya
1 2
xa
yc
xc
ya
1 2
xb
yc
xc
yb
1 2
xa xb
xc
ya 1 yb 1 . yc 1
定理1.5.1 二阶行列式D的列向量所确定的平等四
n , j1
n
n , j1
nn
证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j ,L , Anj
依次乘方程组 1.11的n个方程, 得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
一）二阶行列式表示平行四边开的面积
例1 设平面上由三点坐标确定的三角形ABC,
A xa , ya , B xb , yb , C xc , yc
C
A
B
DF E
SABC SADFC SCFEB SABDE
1 ( AD CF ) DF 1 (BE CF ) EF 1 ( AD BE) DE
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2 a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
例1 用克莱姆法则解方程组
2 4 0
三）行列式表示通过平面上的定点的直线、 曲线方程
例4.用行列式表示通过平面上点A x1, y1, B x2, y2 的直线方程
证：由二点式我们知道直线方程 x x2 y y2 x1 x2 y1 y2
上式二边展开移项得
xy1 xy2 x1 y x2 y x2 y1 x1 y2 0
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
在把 n 个方程依次相加，得
n ak1 Akj x1 n akj Akj x j n akn Akj xn
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例2 用克莱姆法则解方程组
3 x1 5 x2 2 x3 x4 3,
3x2 4x4 x1 x2 x3
4, x4
11
6,
x1 x2 3 x3 2 x4 5 6.
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
由于方程组 与方程组 1.11 等价, 故
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
也是方程组的 1.11解.
二、齐次线性方程组的相关定理
a11x1 a12 x2 L a1nxn 0
解：先将平行四边形平移到原点作其一顶点， 如每个顶点坐标都减去（－2，－2），这样 新的平行四边形与原平行四边形面积相等， 顶点是（0，0）（2，5）（8，6）（6，1） 构造行列式
26
D
28. D 28.
51
二） 三阶行列式表示平等六面体的体积
a11 a12 a13 设有三阶行列式D a21 a22 a23 ,
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
三、小结
1. 用克莱姆法法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
x x
1 1
a1 a2
x2 x2
x 1 a3 x2
a12 x3 a22 x3 a32 x3
a13 x4 a23 x4 a33 x4
1 1 1
x 1 a4 x2 a42 x3 a43 x4 1
解：方程组的系数行列式
1
a1
a2 1
x y1
x y1 y2
1 y x1 1 x2
1 x1 1 x2
a31 a32 a33
a11
a12
a13
令＝
a21
,
a22
,
a23
，
a31
a32
a33
则向量组，， 称为三阶行列式 D 的列向量组。
定理1.5.2：三阶行列式D的列向量组所确定的平行
六面体的体积等于 D
边形的面积等于 D
其中 二阶行列式D a c
b d
, 令
a c
,
b d
.
证：若D是对角行列式
a D
0 ab, D ab 矩形的面积.
0b
当D不是2阶对角行列式时，由行列式性质: 当行列式的二列交换或一列的倍数加到另一列上 时，行列式的值不变，同时 我们可以通过这个性质 将D变换成对角形的行列式。 由于列交换不改变对应的平等四边形所以只需证 明以下结论。
L L
L
a2n xn b2 LLLL
an1x1 an2 x2 L annxn bn
(1.11)
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
那么线性方程组1.11有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,
,
xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
1.4 克莱姆法则
一、非齐次与齐次线性方程组的概念
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
1 1 a2 a3
1
1
11 D2
11
a2 2
a32
a23 a33
0, D3 D4 0
11
a42
a3 4
得x1 1, x2 x3 x4 0
(本题利用了范得德蒙行列式）
• 例4 问取何值时，齐次方程组
1
2
x1
x1 2 x2 4 x3
3 x2 x3
La2L1x1LLa2L2 x2LLL
L
a2nxn 0 LLLL
an1x1 an2 x2 L annxn 0
1.14
定理1.4.2 如果齐次线性方程组 1.14 的系数行列式
D 0 则齐次线性方程组 1.14 仅有零解.
推论1.4.1如果齐次线性方程组1.14 有非零解,则它
35 21
解
03 D
0 4 67 0,
11 11
1 1 3 2
3 5 21
3 3 21
43 D1 11 6 1
0 1
4 67 , 13
04 D2 1 11 6
0 1
4 0, 1
5 6 1 3 2
1 5 6 3 2
35 3 1
35 2 3
0 D3 1
3 1
4 11 6
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.
1.5 应用举例
• 行列式是数学研究的重要工具之一，如线 性方程组的计算，初等代数中的因式分解、 解析几何、线性微分方程、空间投影变换、 会计学中成本计算、电子工程、控制论等 等，在这我们就解析几何中求面积、体积 和通过平面上定点的曲线方程上的应用作 一举例
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r1 2r2 1 3 0 6
设 , 为非零向量，则由, 确定的平行四边形的面积等
于由 和 k 确定的平等四边形面积
假设 不是 的倍数，否则面积是0， 以 , 与， k 所确定的二个平等四边形，
其中，向量 是公共底边，高也相等，因而面积也
相等.
例2：计算由点（－2,－2）,（0, 3）， （4,－1）,（6，4）所构成的四边形面积.
a3 1
1
D 1
a2 a3
a2 2
a32
a23 a33
DT
1 ji4
ai aj
0
1
a4
a42
a3 4
所以方程组有唯一解。
1
a1
a2 1
a3 1
1
D1 1
a2 a3
a2 2
a32
a23 a33
D
1 ji4
ai aj
0;
1
a4
a42
a3 4
1 0 2T , 1 2 4T , 7 1 0T
以，， 为列构造三阶行列式
1 17 D 0 2 1 22, 所求的平行六面体体积 D 22.
4 67 , 12
0 D4 1
3 1
04
67,
1 11 6
1 1 5 6 2
1 1 3 5 6
x1
D1 D
67 3
67
1 3
,
x2
D2 D
0 67
0,
x3
D3 D
67 2
67
1 2
,
x4
D4 D
67 67
1.
例3 设 ai aj , i, j 1, 2, 3, 4, 求解方程组
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2, ,n.
*
当 D 0 时,方程组 * 有唯一的一个解
x1
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
解
1
D 2 1
2
3
1
4 1
1 2 1 1
3 1
0
4 1
1
1 3 3 41 21 3
1 3 21 2 3
若常数项b1,b2 , ,bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 , ,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
定理1.4.1 克莱姆法则
如果线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1nxn b1
La21Lx1L
a22 x2 LLL
2
2
2
1 2
ya
yc
xc
xa
1 2
yb
yc
xb
xc
1 2
ya
yb
xb
xa
1 2
xa
yb
xb
ya
1 2
xa
yc
xc
ya
1 2
xb
yc
xc
yb
1 2
xa xb
xc
ya 1 yb 1 . yc 1
定理1.5.1 二阶行列式D的列向量所确定的平等四
n , j1
n
n , j1
nn
证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j ,L , Anj
依次乘方程组 1.11的n个方程, 得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
一）二阶行列式表示平行四边开的面积
例1 设平面上由三点坐标确定的三角形ABC,
A xa , ya , B xb , yb , C xc , yc
C
A
B
DF E
SABC SADFC SCFEB SABDE
1 ( AD CF ) DF 1 (BE CF ) EF 1 ( AD BE) DE
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2 a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
例1 用克莱姆法则解方程组
2 4 0
三）行列式表示通过平面上的定点的直线、 曲线方程
例4.用行列式表示通过平面上点A x1, y1, B x2, y2 的直线方程
证：由二点式我们知道直线方程 x x2 y y2 x1 x2 y1 y2
上式二边展开移项得
xy1 xy2 x1 y x2 y x2 y1 x1 y2 0
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
在把 n 个方程依次相加，得
n ak1 Akj x1 n akj Akj x j n akn Akj xn
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例2 用克莱姆法则解方程组
3 x1 5 x2 2 x3 x4 3,
3x2 4x4 x1 x2 x3
4, x4
11
6,
x1 x2 3 x3 2 x4 5 6.
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
由于方程组 与方程组 1.11 等价, 故
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
也是方程组的 1.11解.
二、齐次线性方程组的相关定理
a11x1 a12 x2 L a1nxn 0
解：先将平行四边形平移到原点作其一顶点， 如每个顶点坐标都减去（－2，－2），这样 新的平行四边形与原平行四边形面积相等， 顶点是（0，0）（2，5）（8，6）（6，1） 构造行列式
26
D
28. D 28.
51
二） 三阶行列式表示平等六面体的体积
a11 a12 a13 设有三阶行列式D a21 a22 a23 ,
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
三、小结
1. 用克莱姆法法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
x x
1 1
a1 a2
x2 x2
x 1 a3 x2
a12 x3 a22 x3 a32 x3
a13 x4 a23 x4 a33 x4
1 1 1
x 1 a4 x2 a42 x3 a43 x4 1
解：方程组的系数行列式
1
a1
a2 1
x y1
x y1 y2
1 y x1 1 x2
1 x1 1 x2
a31 a32 a33
a11
a12
a13
令＝
a21
,
a22
,
a23
，
a31
a32
a33
则向量组，， 称为三阶行列式 D 的列向量组。
定理1.5.2：三阶行列式D的列向量组所确定的平行
六面体的体积等于 D
边形的面积等于 D
其中 二阶行列式D a c
b d
, 令
a c
,
b d
.
证：若D是对角行列式
a D
0 ab, D ab 矩形的面积.
0b
当D不是2阶对角行列式时，由行列式性质: 当行列式的二列交换或一列的倍数加到另一列上 时，行列式的值不变，同时 我们可以通过这个性质 将D变换成对角形的行列式。 由于列交换不改变对应的平等四边形所以只需证 明以下结论。
L L
L
a2n xn b2 LLLL
an1x1 an2 x2 L annxn bn
(1.11)
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
那么线性方程组1.11有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,
,
xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
1.4 克莱姆法则
一、非齐次与齐次线性方程组的概念
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
1 1 a2 a3
1
1
11 D2
11
a2 2
a32
a23 a33
0, D3 D4 0
11
a42
a3 4
得x1 1, x2 x3 x4 0
(本题利用了范得德蒙行列式）
• 例4 问取何值时，齐次方程组
1
2
x1
x1 2 x2 4 x3
3 x2 x3
La2L1x1LLa2L2 x2LLL
L
a2nxn 0 LLLL
an1x1 an2 x2 L annxn 0
1.14
定理1.4.2 如果齐次线性方程组 1.14 的系数行列式
D 0 则齐次线性方程组 1.14 仅有零解.
推论1.4.1如果齐次线性方程组1.14 有非零解,则它
35 21
解
03 D
0 4 67 0,
11 11
1 1 3 2
3 5 21
3 3 21
43 D1 11 6 1
0 1
4 67 , 13
04 D2 1 11 6
0 1
4 0, 1
5 6 1 3 2
1 5 6 3 2
35 3 1
35 2 3
0 D3 1
3 1
4 11 6
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.
1.5 应用举例
• 行列式是数学研究的重要工具之一，如线 性方程组的计算，初等代数中的因式分解、 解析几何、线性微分方程、空间投影变换、 会计学中成本计算、电子工程、控制论等 等，在这我们就解析几何中求面积、体积 和通过平面上定点的曲线方程上的应用作 一举例
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r1 2r2 1 3 0 6
设 , 为非零向量，则由, 确定的平行四边形的面积等
于由 和 k 确定的平等四边形面积
假设 不是 的倍数，否则面积是0， 以 , 与， k 所确定的二个平等四边形，
其中，向量 是公共底边，高也相等，因而面积也
相等.
例2：计算由点（－2,－2）,（0, 3）， （4,－1）,（6，4）所构成的四边形面积.
a3 1
1
D 1
a2 a3
a2 2
a32
a23 a33
DT
1 ji4
ai aj
0
1
a4
a42
a3 4
所以方程组有唯一解。
1
a1
a2 1
a3 1
1
D1 1
a2 a3
a2 2
a32
a23 a33
D
1 ji4
ai aj
0;
1
a4
a42
a3 4