四高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析.ppt
解四阶抛物型方程高精度紧致差分格式
７ ２
大 学 数 学
第２ ６卷
其 中 Ｄ ， ｑ 依次 为关 于 的一 阶偏 微分算 子 ， 移算 子与一 阶 中心差分 算子 ， 面建 立 中心差 分 Ｔ － 位 下 算子 和微分 算子 Ｄ 的关 系式． Ｔ ｙｏ 展开 ， 得 由 ａ ｌｒ 可
一
＋ １＇？ ： ，）
了一个 三层 隐式 差分 格式 ， 是格 式 的精度 比较 低 ； ［ ］ 造 了一个 三层 显式 差分 格 式 ， 稳定 性条 件 但 文 ４构 其
和局 部截 断误 差 阶分别 为 ｆ ｆ １ ８和 ｏ（Ｚ ｆ。 Ｚ ）） 文 ［ ］ ＜ ／ ｒ （ ） ＋（Ｘ ； Ｘ ５ 构造 了一个 两层 恒稳 隐 式格 式 和 一
因此 ， 文针对 四阶抛物 型方程 （ ） 本 １ 的周期 初值 问题 ， 造 出了一 个两 层 高精度 紧致 差分 格 式和一 个 构 三层高精 度紧致 隐格 式 ， 其截 断误差 阶分别为 Ｏ（△￡ ＋ （ ｚ 和 ｏ（ａ￡ ＋（ ）ｚｚ △ ． （ ） ｚ ）） ５ （ ） Ｓ △￡（ ） ＋（ ）） Ｘ
一ｃ＜ｚ × ０ ≤Ｔ × ＜Ｃ，≤ｆ ， ３ 。
…
１ （２ “ ３＋Ｌ，） ｔ 一“（ ￡ ， 一 ∞ ＜ ＜ ∞ ， ≤ ￡ Ｔ， Ｔ，） Ｏ ≤ 一ｏ ％ｘ ｏ． ｏ ％ ｏ
一
对 于这 类 四阶抛 物 型方程 的数值解 求 解 ， ａ ｌ ｅ Ｓ ｕ ’ｖ在 文 ［ ］ 出 了一 类 含 权 因子 ａ的两 层 差 分 格 式 ， １提 当 ａ 一０时 为显 式格式 ， 其稳定 性 条件 为 ｆ ｆ １ ２一 文 ［ ］ 造 了一族 三层 （ 殊 情况 下 为两 层 ） 含双 参 ＜ ／ 。 ； ２构 ｒ 特 、 数、 绝对 稳定 、 精度 、 对角 线型 的 隐式差 分 格 式 ， 局 部 截 断误 差 为 Ｏ（ ｚ ＋（ ） ） Ａｔ△ｚ分 高 五 其 （ ） ５ ｚ ｚ ， ， ５ 别 为时 间及 空间 步长 ； 后 ， 随 曾文平 针对 四阶抛 物型 方程 提 出 了一系列 的差分 格式 ］其 中文 ［ ］ 造 ， ３构
课件：数值分析(07) 误差分析和解的精度改进
又|| b |||| A|| || x ||
|| x
|| x
|| ||
||
A1 || ||
|| b ||
b
||
||
A ||
||
A1
||
|| b ||
|| b ||
|| A ||
— — 解的相对误差估计式
（2） A 0, b 0
当|| A1 || || A || 1时，解的相对误差估计式为
了。
104xx1 1xx2 221
Gauss法求解，失真x1 1, x2 0
列主元法求解x1=x2=1
103
x1
107
x2
107
x1 x2 2
列主元法求解，失真x1 1, x2 0
按行比例增减的高斯消元法:将每个方程乘上一个适当的比例因子 ，使方程组的最大系数的绝对值不超过1，然后再做列主元消元。
Ax (0.217, 0.254)T
0.7801 0.9130
0.5629 0.6591
x1 x2
0.217 0.254
(3)列主元消元 x (0.2036, 0.1033)T
Ax (0.217, 0.254)T
例2
0.780 0.913
0.563 0.659
x1 x2
0.217 0.254
将上两式合并就推出
r
A
e
A1 r
A1 b
x*
b
A
得到事后误差估计式
e A A1 r
x*
b
当 A A1 很大时,不能用相对剩余量来估计解的 相对误差.
先验误差估计：
（1）只有b有扰动 b, A 0
Ax b
四点差分格式
四点差分格式
四点差分格式（Four Point Difference Formulation）是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程。
该方法主要应用于有限差分法中，通过在求解域上离散化偏微分方程，将其转化为代数方程组进行求解。
四点差分格式通常采用四个网格点的值来逼近偏微分方程中的导数项，通过这种方式可以将偏微分方程离散化为代数方程组。
具体来说，对于一个偏微分方程中的导数项，我们可以用四个网格点的值来表示该导数项的逼近值。
这四个网格点通常包括当前点、前一点、后一点和下一点，形成一个矩形区域。
通过选取适当的权值，我们可以将这四个网格点的值组合起来，得到导数项的逼近值。
四点差分格式的优点是简单易懂，易于编程实现。
同时，由于该方法只涉及到四个网格点的值，因此计算量相对较小，适用于大规模的数值计算问题。
但是，四点差分格式也存在一些缺点，例如对于复杂边界条件和不规则求解域的处理不够灵活，可能会引入较大的数值误差等。
在实际应用中，需要根据具体的问题和要求选择合适的差分格式和离散化方法。
同时，还需要对离散化后的代数方程组进行适当的处理和优化，以提高计算效率和精度。
差分定位基本原理详解ppt课件
差分GPS的出现，能实时给定裁体的位置，精度为米级，满足不了引航、水下测量等工程的要求。 位置差分、伪距差分、伪距差分相位平滑等技术已成功地用于各种作业中 随之而来的是更加精密的测量技术——载波相位差分技术。 载波相位差分技术建立在实时处理两个测站的载波相位基础上的。 它能实时提供观测点的三维坐标，并达到厘米级的高精度。
基准站
数据通讯链
流动站（用户）
多基准站局域差分
结构 基准站（多个）、数据通讯链和用户 数学模型（差分改正数的计算方法） 加权平均 偏导数法 最小方差法 特点 优点：差分精度高、可靠性高，差分范围增大 缺点：差分范围仍然有限，模型不完善
多基准站差分系统结构
广域差分
结构 基准站（多个）、数据通讯链和用户 数学模型（差分改正数的计算方法） 与普通差分不相同 普通差分是考虑的是误差的综合影响 广域差分对各项误差加以分离，建立各自的改正模型 用户根据自身的位置，对观测值进行改正 特点 优点：差分精度高、差分精度与距离无关、差分范围大 缺点：系统结构复杂、建设费用高
位置差分
距离差分
距离改正
坐标改正
位置差分
用户接收到坐标改正数对其计算得到的坐标进行改正。
经过坐标改正后的用户坐标已经消去了基准站与用户的共同误差，如星历误差、大气折射误差、卫星误差，提高精度。
位置差分GPS是一种最简单的差分方法。安置在已知精确坐标基准站GPS接收机，利用数据链将坐标改正数发送给用户。
扩展伪距差分（广域差分） 在一个广阔的地区内提供高精度的差分ＧＰＳ服务，将若干基准站和主站组成差分ＧＰＳ网。 主站接收各个监测站差分ＧＰＳ信号，组合后形成扩展区域内的有效差分ＧＰＳ改正电文，再把扩展ＧＰＳ改正信号发送出去给用户接收机。
数值逼近误差计算.ppt to doc
第一章 绪论逼近的目的，就是用简单的函数来逼近复杂的函数，数值逼近各种方法求得的数学问题的解，只是其一个近似解，与准确解之间存在着误差。
误差来源模型误差：忽略许多次要因素，把模型“简单化”、“理想化”；观测误差：受工具、方法、观测者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响； 截断误差：模型难于直接求解，其近似解与精确解之间的误差； 舍入误差：运算过程中，初始参数与中间结果都必须进行四舍五入。
例1 求 x e 时，可将x e 展开为级数形式：在实际计算时，我们只取前面有限项（例如n 项）计算部分和 ()n S x 作为xe 的值必然产生误差，其误差为：1()(1)!n n e R x x n ξ+=+这个误差就是“截断误差”。
误差来源分析在本课程中，不分析模型误差；观测误差作为初始舍入误差；截断误差是主要讨论对象，是计算中误差的主要部分。
在各种算法中，通过数学方法可推导出截断误差限的公式；舍入误差产生往往有很大的随机性，讨论比较困难，在问题本身呈现病态或不稳定时，它可能成为计算中误差的主要部分。
误差分析是一门专门的学科，经过训练的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能找出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，甚至对模型进行修改。
误差的相关概念误差、误差限、有效数字相对误差限及与有效数字的联系 四则运算结果的误差限在近似计算中应该注意的事项 误差的概念定义1.1 设 x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称x x -*为 x 近似值的绝对误差，简称误差。
注: ①误差是有量纲的量 ，它可正可负② 绝对误差为正时，近似值偏大，叫强近似值 ③ 绝对误差为负时，近似值偏小，叫弱近似值 绝对误差限212!!n xx x e x n =+++++2()12!!nn x x S x x n =++++通常我们并不知道准确值 x ,也不能算出误差的准确值，但能根据测量工具或计算情况相对误差估计出误差的绝对值的上限，这个上限称为近似值*x 的误差限，记为ε。
四阶差分格式
四阶差分格式
u:+a4x=0
(1)其中u是以速度a传播的纯量，a是正实数我们知道，对该方程进行空间离散后，可以得到一个常微分方程组（Odes):=f(u,)Dot
再选择适当的时间离散格式，就可得到方程(1)的数值解为此，对所定义的空间区域进行一致网格剖分，设h为网格剖分步长，x=h,=u(x),为了近似计算空间变量的一阶导数，使其具有四阶精度，我们用待定系数法设
(△4)y=4h(4y+22)+2h(4+1-4-1)
其中（△w),表示对在结点x,处的近似将式中u及△u各项在w点做Taylor展开，合并后比较对应项系数，有：m1=4,m2=·1书，于是对空间变量我们得到了一个简单的四阶中心差分格式：=品1)
(2)12h(u j+2-42)再用蛙跳方法对离散得到方程()的全离散格式
(3)其中c=a k万是CFL条件数，k是时间剖分步长对问题(P):,+aux=0,(x,t)∈0,1X0,T]u(x,0)=sim(2Π)，x∈0,1
(4)period i c boundary value condition,t∈0，T]。
偏微分方程数值解：4、差分格式收敛性分析
差分格式收敛性分析相容性概念：相容性(consistency)：当有限差分网格变小时，截断误差趋于0。
经典显示差分格式：h→，k →截断误差→经典显式差分无条件相容DuFort-Frankel差分格式截断误差条件相容。
绝大多数差分格式为无条件相容！稳定性（stability）：计算所得解的全部扰动有界。
条件稳定/无条件稳定数值分析的稳定性概念与偏微分方程无关，它关心的是在求解有限差分方程时由于进行算术运算而产生误差的不稳定增长或稳定衰减问题。
Lax等价定理：对一个适定的定解问题，若给出的差分格式是相容的，则该差分格式收敛的充分必要条件是该差分格式稳定。
算法稳定性是最重要的问题，精度排在其后，只有在稳定的情况下再追求精度。
(1)显式差分为例：误差的传播过程图：(2) Richardson 显式差分来自<https:///wiki/Von_Neumann_stability_analysis >要点：a 误差满足同样的方程b 误差函数的分解（傅里叶分解+分离变量法）Von Neumann stability analysis -稳定性分析Von Neumann条件稳定分析过程两边同除以得到：经典显式差分稳定性条件：Richardson显式差分O(Δ)结论：Richardson显式差分格式无条件不稳定，即使精度高也无用处%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%隐式差分结论：无条件稳定Crank-Nicolson隐式差分结论：无条件稳定加权隐式差分向量函数稳定性：增长矩阵方法增长矩阵可以得到要求矩阵特征值满足。
精度检验及误差分析PPT课件
图2-35所示为25～50mm千分尺的读数。图2-35a所示读数为26.5mm，图2-35 b示读数为30.01mm，图2-35 c所示读数为34.48mm。
三、径向圆跳动误差的测量
三、径向圆跳动误差的测量
图2-40 钟表式百分表的结构 1-测杆 2-小齿轮 3、6-大齿轮 4-中心齿轮 5-大指针 7-簧片
8-小指针 9-弹簧 10-表盘
三、径向圆跳动误差的测量
图2-41 杠杆式百分表的结构 1-球面测杆 2-扇形齿轮 3-钢丝 4-表盘 5-表壳
6-指针 7-扳手 8-小齿轮 9、10-齿轮
三、径向圆跳动误差的测量
2．分表的使用 图2-42所示为在磨床上测量径向圆跳动误差的方法。测量时先在工作台 上安放一个测量桥板，然后将百分表架放在测量桥板上，使百分表测杆与被 测工件轴线垂直，并使测头位于工件圆周最高点上，转动工件即可测量圆跳 动误差。图2-43所示为圆跳动检查仪的使用，测量时百分表测杆应垂直于测 量表面，并使百分表转动1/4周，调整百分表的零位，转动工件即可测量圆 跳动误差。
精度检验及误差分析
—磨床工艺与技能训练
一、外径的测量
1．用外径千分尺测量外径 外径千分尺是常用的测量工具。它的测量精度为0.01mm。常用的规格有 0 ～25mm、25 ～50mm、50～75mm、75 ～100mm等。 （1）外径千分尺的结构 （2）外径千分尺的刻线原理及读数方法
千分尺的读数分为两步，先读出固定套筒上露出的刻线整数毫米和半毫米数； 然后在微分筒上看哪一格与固定套筒基准线对准，并读出小数部分；最后将整数 和小数部分相加， 即为工件的尺寸。
数值分析(10) 误差分析和解的精度改进42页PPT
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2u x 2
(2)
K=1
c const, const
单个Fourier分量初值:
K=2
u(x,0) exp(ikx), x
精确解：
1. u(x,t) exp[ik(x ct)]
2. u(x,t) exp(k 2t) exp[ik(x ct)]
的 k S x k
和右端的x
k 1u xk 1
的系数相等
得到代数方程组，求出系数l和al .
• 获得F需要求解矩阵方程组，左端点最好不超过3
15
一阶导数的对称型紧致差分(cont.)
• 四阶精度:
0Fj
1
Fj1 2
F j 1
a1
u j1
u j1 2
1 6
xux
ikx uˆ(t) exp(ikx)
ke
uˆ(t) exp(ikx),ke
i(kx)
i
x 2uxx k 2x2 uˆ(t) exp(ikx) kd uˆ(t) exp(ikx),kd 2
3
半离散方程的精确解
u(x j , t)
bl
l 0
u jl
2u j l2
u jl
相容要求：
l bl
l0
l 1
Taylor展开左端的x2k2Sk
和右端的x2
2k 2u x2k 2
的系数相等
得到代数方程组，求出系数l和bl .
• 获得S需要求解矩阵方程组
13
二阶导数的紧致差分(cont.)
耗散
27
耗散效应
u f
t x
m
2 m x 2 m 1
2m f x 2 m
m
2 m 1x 2 m
2m1 f x 2 m 1
• 5点六阶紧致：
Sj
5 12
2 x
S
j
2 x
(u
j
x2u j )
对角不占优?
14
一阶导数的对称型紧致差分
• 一般形式:
l
l0
Fjl
Fjl 2
al
l0
u jl u jl 2l
相容要求：
l al ( 1)
l0
l 1
于j处Taylor展开左端
奇数阶导数和偶数阶导数分开：
u f
t x
m
2 m x 2 m 1
2m f x 2 m
m
2 m 1x 2 m
2m1 f x 2 m 1
改写成：
u f
t x
x
m
2 m x 2 m 1
2m1 f x 2 m 1
u(x,t) expikx ct
u(x,t) exp k 2texpikx ct
要求数值格式：
kd 2 kr
1
0（0耗散要求；kr
0表示格式有正耗散，kr
0负耗散）
ki 1 (对 色散误差，要求保持原波速c）
4
4.2 高精度差分格式
S j
4 3
2u
j
1 12
u j2
2u j
u j2
六阶精度（7点）：
S
j
3 2
2u
j
3 20
u j2 2u j u j2
1 90
u j3 2u j u j3
10
4.2.2 紧致差分格式
• 同样的精度比传统差分的基架点少 • 截断误差的系数较小 • 二阶导数的(中心型)紧致差分 • 一阶导数的对称紧致差分 • 一阶导数的迎风紧致差分
F j 1
2 3
Fj
1 6
F j 1
u j1
u j1 2
• 也可从传统的二阶中心差分的截断误差的再次 离散
16
一阶导数的对称型紧致差分(cont.)
• 六阶精度:
1
6
F j 1
2 3
Fj
1 6
F j 1
1 30
2 x
Fj
x0u
j
1 15
x0u
j
x
要高。
F
j j1
Fj
aj
f j1 hj
fj
bj
f j f j1 h j1
j
1 1 j
,aj
2 j
(1 j )2
,bj
2 3 j (1 j )2
F
j j1
Fj
aj
f j1 hj
fj
bj
f j f j1 h j1
exp
ck
kr
t
expik
xj
c
ki
t
,
0
u(x j , t)
exp
kd 2
k
2 t
ck
kr
t
expik
xj
c
ki
t
,
0
微分方程精确解：
离散的初值：
u(x j ,0) exp(ikxj )
离散方程的精确解及其导数(无x) :
u( Fj Sj
xj
kk,tde)uu((utt)()tee)xxeppx((piikk(ixxkjjx))j
)
代入（3），（4）
微分方程精确解及其导数：
u(x,t) uˆ(t) exp(ikx)
5 6
x
1 6
x
u
j
c 0:
2 3
Fj
1 3
F
j 1
5 6
x
1 6
x
u
j
18
一阶导数的迎风紧致差分(cont.)
• 五阶迎风紧致格式(5点）：
c 0:
3
5
Fj
2 5
Fj1
1 60
x
u j2
u c Fj 0 t x
cFj
c Fj
c
F
j
8
传统型差分对模型方程的逼近特性
• 所有中心型差分：无耗散 • 迎风偏斜差分：有耗散，但可能为负耗散 • 可从差分格式的精确解分析色散和耗散
三阶迎风偏斜差分
Fj
1 6
2u j1 3u j-6u j-1 u j-2
Fj
l 0
al
u jl u jl 2l
6
传统型差分格式(cont)
逼近于一阶导数的四阶精度中心型差分
Fj
1 12
8(u j1u j1) ) (u j2u j2) )
(1)
五阶精度的迎风偏斜差分
F
j
1 60
x
3u j2
27u j1 47u j
1 4
u j2 u j2
17
一阶导数的迎风紧致差分
• 有数值耗散，抑制高频振荡
• 一般形式：
k Fjk ak u jk1 u jk
k
k
相容要求：
k ak 1
k
k
• 三阶迎风紧致格式(3点）：c 0:
2 3
Fj
1 3
F
j 1
2
模型方程及半离散方程(cont.)
半离散方程（ODE方程）
1. u c Fj 0
(3)
t x
2.
u t
c
Fj x
Sj x 2
(4)
其中
Fj
x
u x
,
Sj x 2
2u x 2
，例如Fj
1 2
u j1 u j1 ,
Sj
u j1 2u j u j1
11
二阶导数的紧致差分
• 传统型差分的截断误差项的再次离散
• 四阶紧致：
1 12
S
j 1
5 6
S
j
1 12
S
j 1
x2u
j
• 若边界点S0和SN已知，可用解三对角矩阵方程 得到所有网格点上的差分
12
二阶导数的紧致差分(cont.)
• 一般形式
l
l0
S jl
S jl 2
10,
ki
1 sin 3
30
9 sin 2 45sin
9
传统型差分格式(cont.)
• 二阶导数的差分逼近
Sj x 2
2u x 2
S j
l 0
bl
u jl
2u j l2
u jl
相容：
bl 1
l 0
流动的扩散项一般用中心型差分