不等式的常见证明方法

不等式常见的三种证明方法

渠县中学 刘业毅

一用基本不等式证明

设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c

ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b

ac a bc b ac a bc =•≥+ .22b c

ab a bc c ab a bc =•≥+ .22a c

ab b ac c ab b ac =•≥+ ).(2)(2c b a c

ab b ac a bc ++≥++ .c b a c

ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。

思维训练：设c b a ,,都是正数。求证：

.222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式

已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+ +n 21<4

7 分析：通过变形将数列{n 21

}放缩为可求数列。

解： n 21=n n •1<)1(1-n n =11-n —n

1（n ≥2） ∴1+221+321+ +n 21<1+2

21+231⨯+341⨯+ +)1(1-n n =1+

41+(21—31+31—41+ +11-n —n

1) =45+21—n

1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。

思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c

c +1

三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++

n n （n 为正整数） 分析：显然要构造一个含n 的不等式，然后用叠加法证明。我们构造一个函数,1)(',ln 1)(2x

x x f x x x x f -=+-=可得这个函数在x=1时取得最小值0.及对x>0有不等式x x 11ln -

≥，如果令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，如果令x=1+k k ，则k

k k ->+11ln ，即k

k k k 1ln )1ln(11<-+<+，然后叠加不等式即可。 解：设函数x x x x f ln 1)(+-=，则易证0)(≥x f ，即不等式x

x 11ln -≥对于x>0恒成立， 令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，令x=1+k k ，则k k k ->+11ln ，即k

k k 11ln <+成立。从而有k

k k k 1ln )1ln(11<-+<+。 在不等式k

k k 11ln <+中，分别令,3,,2,1n n n k ++=得到一系列不等式相加为 )13ln()2ln()2ln()1ln(312111++++-+++->+++++n n n n n

n n 即n n n 312111+++++ >113ln ++n n 2ln 1

22ln =++≥n n 在不等式1

11ln +>+k k k 中，分别令k=n,n+1, 3n-1,并把所得的不等式相加，得 n n n 312111+++++ <3ln 3ln 3ln )1ln()1ln(ln ==++-++-n

n n n n n 即不等式3ln 3121112ln <+++++