平方差公式导学案
14.2.1 平方差公式 导学案
14.2.1 平方差公式导学案学习目标：1．整理你所学过的单项式与单项式、多项式相乘有关知识；2、经历平方差公式的探索及推导过程；3、掌握平方差公式的结构特征；4、灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题。
学习重难点：重难点：掌握平方差公式的结构特征、应用平方差公式进行计算和解决实际问题。
一、情景思考面积变了吗？二、新课讲解探究点1：平方差公式算一算：看谁算得又快又准.计算下列多项式的积，你能发现什么规律？①（x＋1)( x－1）；②（m＋2)( m－2）；③（2m＋1)(2m－1）；④（5y＋z)(5y－z）.想一想：这些计算结果有什么特点？平方差公式(a+b)(a−b)=两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.公式变形:填一填：练一练：口答下列各题：(l)(-a+b)(a+b)=_________.(2)(a-b)(b+a)= __________.(3)(-a-b)(-a+b)= ________.(4)(a-b)(-a-b)= _________.例1：利用平方差公式计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2)（-x+2y)(-x-2y)；例2：计算:(1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .例3：先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.例4：对于任意的正整数n ，整式(3n ＋1)(3n －1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？例5：王大伯家把一块边长为a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？1.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式进行计算的是( )A ．(x ＋1)(1＋x)B ．(12a ＋b)(b －12a) C ．(－a ＋b)(a －b) D ．(x 2－y)(x ＋y 2) 2.对于任意正整数n ，能整除式子(m ＋3)(m －3)－(m ＋2)(m －2)的整数是( )A ．2B ．3C ．4D ．53.计算：(l)(-a+b)(a+b)=_________. (2)(a-b)(b+a)= __________.(3)(-a-b)(-a+b)= ________. (4)(a-b)(-a-b)= _________.4.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是________________________．图1图25.计算： (1)(14a －1)(14a ＋1)；(2)(2m ＋3n)(2m －3n)．6.先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x ＋2)－1，其中x ＝12.我的收获_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
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14.2乘法公式14.2.1平方差公式1.知道平方差公式,能用几何拼图的方式验证平方差公式,能灵活应用平方差公式进行计算.3.重点:平方差公式的探究及应用.问题探究平方差公式阅读教材“思考”前所有内容,解决下面的问题.1.计算: (1)(x+2)(x-2)=; (2)(y+3)(y-3)=;(3)(3y+1)(3y-1)=.2.观察上面三个等式,说说左边和右边的两个多项式各有什么特点?3.用字母表示上述几个式子反映的规律为. 【归纳总结】两个数的与这两个数的的积,等于这两个数的平方差.【讨论】根据教材“思考”中的问题验证平方差公式.1.图中②和③的面积相等吗?为什么?2.你能用a、b表示图中①和②的面积之和吗?3.由1、2中的问题,你能直接说出图中①和③的面积之和吗?4.图中①和③的面积之和还可以等于哪两个图形的面积之差?你能写出这个差吗?5.由3、4你可以得到什么结论?【预习自测】(1)(x+5)(x-5)=; (2)(a+b)(b-a)=;(3)(-3+a)(-3-a)=()2-()2=;互动探究1:下列多项式相乘时,可以用平方差公式的是() A.(a+b)(-a-b)B.(-a-b)(a-b)C.(a-b)(-a+b)D.(a-2)(a+3)互动探究2:下列计算中,结果正确的是() A.(x-3)(3+x)=x2-3 B.(3x-2)(2+x)=3x2-4C.(7ab-c)(7ab+c)=49a2b2-c2D.(-x-y)(x+y)=x2-y2【方法归纳交流】平方差公式的特征:①公式的左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项,另项;②右边是因式中的两项的平方差(减去). 互动探究3:运用平方差公式计算：(1)(7c-2b)(7c+2b) (2)(-x-1)(1-x);(3)(x+3)(x-3)-(x-1)(x+2).互动探究4:计算:(x-3)(x2+9)(x+3).。
平方差公式导学案
14.2.1 《平方差公式》导学案一、学习目标：1. 掌握平方差公式的推导及应用2. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.二、新授课堂引入：王大爷租地的故事 知识点1 合作探究 得出公式问题1（1）(x+5)(x −5)= （2）(x+1)(x −1)=（3）(m+2)(m −2)2.得出公式 (a+b)(a-b) = 文字表述 ：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.3.验证公式 ：数形结合4.填空：初识公式知识点2 运用公式 巩固知识1.牛刀小试()()()23231-+x x ()()()b a b a -+222练一练 (1)(x+2)(x-2) (2)(a+3b)(a-3b)2. 慧眼识珠: 如果有错，请改正过来。
（1）（x-2)(x+2)=x 2-2 （2）(21+4xy)( 21-4xy)= -16x 2y 2 （3）(-3a-2)(3a-2)=9a 2-43.再探公式 ：想一想下面的式子还能用这公式计算吗？如果能，请算出结果.()()()b a a b -+221 ()()()1414-2--a a4.快乐游戏：下列式子中，哪两个式子相乘能运用“平方差公式” 进行计算.请连线知识点3 扩展提升 发展能力(1)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5) (2) 102×98三、课堂总结：通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识？(y +2)(-y +2)(3x -2) (-3x +2)(-3+2a )(-3-2a )四、课后作业1.填空：（2y+5x)( )=25x2-4y22.计算：(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)……(a2012+1)3.学考精练该课时内容。
平方差公式导学案
4.3 公式法第1课时 平方差公式学习目标：1.了解运用公式法分解因式的意义；2.会用平方差公式进行因式分解；本节重难点：用平方差公式进行因式分解中考考点：正向、逆向运用平方差公式。
预习作业：请同学们预习作业教材P54~P55的内容：1. 平方差公式字母表示: .2. 结构特征：项数、次数、系数、符号活动内容：填空：（1）（x+3）（x –3） = ；（2）（4x+y ）（4x –y ）= ；（3）（1+2x ）（1–2x ）= ；（4）（3m +2n ）（3m –2n ）= ． 根据上面式子填空：（1）9m 2–4n 2= ；（2）16x 2–y 2= ；（3）x 2–9= ；（4）1–4x 2= ．结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）平方差公式特点：系数能平方，指数要成双，减号在中央例1： 把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 （2）9a 2–241b变式训练：（1）24420.1649a b m n - （2）2219a b -+例2、将下列各式因式分解：（1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x变式训练：（1）22()()x m n y n m -+- （2）5a a -注意：1、平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平方的形式2、公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式3、各项都有公因式，一般先提公因式。
例3：已知n 是整数，证明：2(21)1n +-能被8整除。
拓展训练：1、计算：2、分解因式：22122x y -3、已知a,b,c 为△ABC 的三边，且满足222244a cbc a b -=-，试判断△ABC 的形状。
)1)......(1)(1)(1(22221001413121----。
平方差公式导学案
《平方差公式》导学案年级：八年级组 科目：数学 备课人：何攀攀 审核人：蔡玲莉 备课时间：11月7日 使用时间： 11 月11日 序号： 学习目标：1、掌握平方差公式，并能正确应用公式进行简单的运算；2、经历探索、推导平方差公式的过程，学会观察、抽象、归纳、概括；发展符号感和推理能力；3、在合作交流中，体会从一般到特殊的认识事物；感悟类比、数形结合的思想。
学习重点：平方差公式的推导与应用学习难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式问题情境 王剑同学去商店买了单价是9.8元|千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说应付99.6元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快？”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。
”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗？ 问题一：（算一算）计算多项式的积 （1）、(x 1)(x 1)______________+-= (2)、(m 2)(m 2)______________+-= (3)、(21)(21)______________x x +-= (4)、(5)(x 5)______________x y y +-=问题二：（猜一猜）不计算，你来猜一下下面的式子的结果。
(6)(x 6)______________x +-= (a 2)(a 2)______________+-= (x )(x )______________y y +-=问题三：（说一说）从上面的运算中你发现什么规律？(a )(a )b b +-=你能用文字语言表达这一规律吗？ （乘法的）平方差公式：剖析新知1、（乘法的）平方差公式在结构上有什么特点？你对公式中的a,b 是怎么理解的？平方差公式与多项式的乘法有何关系？2、你能用右面的几何图形的面积来解释平方差公式吗？从中你有和体会与感悟？ 3、运用平方差公式计算： （1）(a 3)(a 3)b b +- （2）(32)(32)a a +-+（3）22(a )(a )(a b )b b -++4、计算：（1）()(y 3)(y 3)(y 2)5y +---+ （2）198202⨯5、你认为运用平方差公式有何好处？试写出一些能用平方差公式进行计算的两个多项式相乘的式子 测评反馈1. 辨别下列两个多项式相乘，哪些可以使用平方差公式？ （1）(b 2a)(2a b)--- （2）(23)(32)m n n m -- （3）(41)(41)a a --- （4）(32)(3p 2q)p q -+ （5）(x 2)(2y )y x ---+ （6）(a b)()b a +--2、先化简，再求值：2(x 1)(x 1)x (x 1)+-+-，其中x 2=-3一个正方形的一边增加3cm ，另一边减少3cm ，所得到的长方形比这个正方形的一边少1cm ，另一边少2cm 所得到的长方形的面积大72cm ，求原来正方形的面积。
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14.2乘法公式14.2.1平方差公式1.知道平方差公式,能用几何拼图的方式验证平方差公式,能灵活应用平方差公式进行计算.3.重点:平方差公式的探究及应用.问题探究平方差公式阅读教材“思考”前所有内容,解决下面的问题.1.计算: (1)(x+2)(x-2)=; (2)(y+3)(y-3)=;(3)(3y+1)(3y-1)=.2.观察上面三个等式,说说左边和右边的两个多项式各有什么特点?3.用字母表示上述几个式子反映的规律为. 【归纳总结】两个数的与这两个数的的积,等于这两个数的平方差.【讨论】根据教材“思考”中的问题验证平方差公式.1.图中②和③的面积相等吗?为什么?2.你能用a、b表示图中①和②的面积之和吗?3.由1、2中的问题,你能直接说出图中①和③的面积之和吗?4.图中①和③的面积之和还可以等于哪两个图形的面积之差?你能写出这个差吗?5.由3、4你可以得到什么结论?【预习自测】(1)(x+5)(x-5)=; (2)(a+b)(b-a)=;(3)(-3+a)(-3-a)=()2-()2=;互动探究1:下列多项式相乘时,可以用平方差公式的是() A.(a+b)(-a-b)B.(-a-b)(a-b)C.(a-b)(-a+b)D.(a-2)(a+3)互动探究2:下列计算中,结果正确的是() A.(x-3)(3+x)=x2-3 B.(3x-2)(2+x)=3x2-4C.(7ab-c)(7ab+c)=49a2b2-c2D.(-x-y)(x+y)=x2-y2【方法归纳交流】平方差公式的特征:①公式的左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项,另项;②右边是因式中的两项的平方差(减去). 互动探究3:运用平方差公式计算：(1)(7c-2b)(7c+2b) (2)(-x-1)(1-x);(3)(x+3)(x-3)-(x-1)(x+2).互动探究4:计算:(x-3)(x2+9)(x+3).富不贵只能是土豪，你可以一夜暴富，但是贵气却需要三代以上的培养。
平方差公式导学案
《平方差公式》导学案课型：探究交流课[学习目标]1、理解掌握平方差公式及其结构特征；2、会运用平方差公式进行化简、计算。
3、培养学生的观察、分析和总结能力和敏捷的思维能力。
4、让学生在公式的运用中积累解题的经验、体会成功的喜悦。
[教学重难点]重点：1、理解掌握平方差公式及其结构特征；2、会运用此公式进行计算。
难点：辨析公式的特征和公式的灵活运用。
[学法指导]从“动态的数学观”出发，根据数形结合思想，积极主动参与探究学习，对同一个问题寻求不同的思路，依靠自己的活动去探索问题、解决问题，并注意独立探究与合作学习有机结合，在交流和讨论中培养实践能力和创新意识。
[教学过程设计]一、课前延伸。
1、根据多项式乘法法则化简：（a+b）（a-b）=______________=________2、你能借助图形的面积关系来验证这个关系吗？平方差公式：________________________；语言描述：___________________________________________。
二、课内探究。
[环节1：自主探究]自主探究例题1、2.【环节2：合作交流】1、 小组交流：把自主探究例题时的收获与疑惑在组内交流解决，然后仿照例题计算课后练习。
(1)(a+6)(a-6) (2) (1+x)(1-x)(3) (x+2y)(x-2y) (4) (-x+4y 2)(-x-4y 2)2、 组际交流（班内展示）。
每组选派代表板示计算结果，然后集体订正答案。
【环节3：精讲点拨】师生共同总结平方差公式的特点、规律，应用的注意事项，注意以下变式：1、（-a – b ) ( -a + b) = a 2- b 22、（b + a )( -b + a ) = a 2- b 2【环节4：巩固检测】 （有效训练）A 组：判断下列多项式乘法中,哪些可以用平方差公式来计算.1、（x －2y ）（x ＋2y ） ( )2、（a －2b ）（－a －2b ） ( )3、（－2m －n ）(n + 2m) ( )4、(2c －b)( －b －2c) ( )B 组：计算：（2x ＋21）（2x －21） （－x ＋2）（－x －2）（－2x ＋y ）（2x ＋y ） （y －x ）（－x －y ）C 组：简便计算：（1）498×502 （2）999×1001（课堂小结）1、本节你学到了什么？2、本节课用到了哪些数学思想或方法？3、你还有什么疑惑?（当堂检测）A、判断正误，如果错误，应怎样改正？( 1 ) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 ( ) ( 2 ) (-a+b)(-a-b)=-a2- b2 ( )( 3 ) (2x+3)(2x-3)=2x2-9 ( ) ( 4 ) (3x-1)(-3x-1)=9x2-1 ( )( 5 ) (a+b)(-a-b)=a2-b2 ( ) ( 6 ) (2x+3)(3x-3)=6x-9 ( )B、计算：（1）、( ab + 8)( ab - 8) （2）、( 3a+2b)(-3a+ 2b)（3）、 103 × 97根据集体订正的答案，本节学习情况为：A、优秀 B、一般 C、较差三、课后延伸。
平方差公式教案（共5篇）
平方差公式教案（共5篇）第一篇：平方差公式教案学习周报专业辅导学生学习第七节平方差公式（一）学习目的：1、通过经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。
2、会推导平方差公式、理解平方差公式的特点，并能运用公式进行简单的计算。
3、通过对平方差公式结构的认识，体会数学中的结构美、简约美。
学习重点：理解平方差公式的特点，会运用平方差公式计算学习难点：会推导平方差公式，并能灵活运用公式进行计算学习过程：一、复习探究1、请写出多项式与多项式相乘的法则：2、计算下列各题（1）(x+2)(x-2)；（2）(1+3a)(1-3a)（3）(x+5y)(x-5y)；（4）(y+3z)(y-3z)解：3、通过以上计算，你发现了什么规律？能不能猜想出一个一般性的结论？规律：结论：二、学习新课1、推导公式：现在要对大家提出的猜想进行证明，请试着写出证明过程：证明：我们经历了由发现——猜测——证明的过程，最后得出一个公式性的结论，根据它的特点，我们给它取个容易记的名字，就叫做平方差公式学习周报专业辅导学生学习即：(a+b)(a-b)=a-b两个数的和与这两个数的差相乘，它们的积就等于这两个数的平方差.你知道公式中的a、b表示什么？请同学们分析公式的结构并记忆。
2、应用公式例1、用平方差公式计算：（1）(5+6x)(5-6x)；（2）(x-2y)(x+2y)分析：要利用平方差公式解题，必须找到相同的项和互为相反数的项，结果为相同项的平方减互为相反数的项的平方.解：（1）(5+6x)(5-6x)=5-(6x)=25-36x（2）(x-2y)(x+2y)=x-(2y)=x-4y 例2、利用平方差公式计算（1）(-m+n)(-m-n)；（2）(-2x-5y)(5y-2x)；222222222（3）(ab+8)(-ab+8)分析：注意找准相同项与互为相反数的项.解：（1）(-m+n)(-m-n)=(-m)-n=m-n（2）(-2x-5y)(5y-2x)=(-2x)2-(5y)2=4x2-25y2（3）(ab+8)(-ab+8)=82-(ab)2=64-a2b2 现在让我们来试试吧！练习1：下列各题能否用平方差公式来进行计算？若能，请写出结果。
14.2.1平方差公式 导学案 人教版八年级数学上册
14.2.1平方差公式 导学案 人教版八年级数学上册【学习目标】：理解平方差公式，能运用公式进行计算．2、 在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想．【学习重点】：平方差公式的推导和应用．【学习难点】：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．【学习过程】：（一）、情景引入1、多项式与多项式相乘的法则是什么？多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项 另一个多项式的每一项，再把所得的积 用字母表示为：（a+b ）(p+q)= 、探究新知根据所学知识，计算下列多项式的积：（1）(1)(1)x x +-= （2）(2)(2)m m +-=（3）(21)(21)x x +-= （4）(5)(5)x y x y +-= 思考：观察上述等式，1、上述问题中相乘的两个多项式有什么特点？2、相乘的两个多项式与它们的积中的各项有什么关系？3、你能发现什么规律？你能将发现的规律用式子表示出来吗？（三）、新知学习平方差公式归纳：用文字表示为：两个数的和与这两个数的差的积,等于________________.用公式表示为: (a+b)(a -b)=___________.这个公式叫做平方差公式想一想：你能验证上面发现的结论吗？方法一：从代数的角度 计算（a+b ）(a -b)方法二：从几何的角度 请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b 的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据阴影面积说明平方差公式吗？图1的阴影面积S1=图2的阴影面积S2= 图1 图2下列哪些式子可以运用平方差公式计算？哪些不能？为什么？并写出公式中对应的a,b.(l) (x -y)(y+x) (2) (-y+x)(y+x) (3) (-x+y)(x+y)(4) (-x -y)(-x+y) (5) (x -y)(-x -y) (6)(-x -y)(-x -y)（四）、例题讲解例1、用平方差公式计算 （1）（3x+2)(3x -2) （2）（-x+2y)(-x -2y)课堂练习：辨一辨：下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？492)2)(3a -a 3-42-=-a ）（（课堂练习：运用平方差公式计算：(a+3b)(a - 3b)； （2）(3+2a)(－3+2a)；例2、 计算:(1) 102×98 (2) (y+2) (y -2) – (y -1) (y+5)课堂练习：计算(1)51×49 (2)(3x+4)(3x -4)-(2x+3)(3x -2)（五）、课堂小结1、平方差公式：2、两个二项式相乘，有一项 ，另一项 ，可用平方差公式计算.3、使用平方差公式应注意的几个问题:（1）它适用于两个项数相同的多项式相乘，注意识别相当于公式中的a 的项和相当于公式中的b 的项.（2）公式中的a 、b 可以代表具体的数，单项式或多项式.【课堂检测】：1、判断题(1) (a+b)(-a -b)=a2-b2 ( ) (2)2221)21)(21(n m n m n m -=-+ ( ) 2、填空(1)(3m+2n)(-3m+2n)=(2)(-1-n)(-n+1)=3.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )A ．(x ＋y)(x ＋y)B ．(－x ＋y)(x －y)C ．(－x －y)(y －x)D ．(x ＋y)(－x －y)4.计算： （1） (－22x －y)(－22x +y). (2) (y+2)(y -2)-(3-y)(3+y ）22)3()2()32)(3x 21a x b x a -=-+）（（22)3()2()32)(3a 22b a b a b -=--）（（2)2)(232-=-+x x x ）（（。
平方差公式导学案
1.5 平方差公式（1） 一、学习目标会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算二、学习重点：掌握平方差公式的特点，能熟练运用公式三、学习难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差预习指导：1.先精读一遍教材P20~P21，用红笔进行勾画；再针对学案二次阅读教材，并回答问题；2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在下面，准备课上讨论质疑。
四、教学过程（一）温故知新1、整式的乘法法则多项式乘以多项式：。
(二)新知探究1、计算下列各题：（1）()()22-+x x（2）)31)(31(a a -+（3）)5)(5(y x y x -+（4）)2)(2(z y z y -+观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？特点：公式的左边是（ ）的积，在这两个二项式中，它们的前项（ ），后项（ ），右边是这两个数的（ ）。
平方差公式的推导（a ＋b ）（a －b ）＝（多项式乘法法则）＝（合并同类项）即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差平方差公式结构特征：① 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；② 右边是乘式中两项的平方差。
即用相同项的平方减去相反项的平方（二）平方差公式的应用 判断下面计算是否正确（1）)121(+x )121(-x =1212-x （ ）（2）（3x －y ）（－3x +y ）=9x 2－y 2 （ ）（3）（m+n ）（－m －n ）=m 2－n 2 （ ）2、例题1、利用平方差公式计算：（1）)65)(65(x x -+ （2）)2)(2(y x y x +- （3）))((n m n m --+-3、例题2：利用平方差公式计算：（1）)41)(41(y x y x +---（2）)8)(8(-+ab ab1、猜猜看（在括号划√或× ） 错误的改正在后面(1) (4x+3b)(4x – 3b)=4x 2 –3b 2 ( )(2) (4x+3b)(4x –3b)=16x 2 –9 ( )(3) (3a –bc)(–bc –3a)=9a 2 –b 2 c 2( )(4) (3a –bc)(–bc –3a)=b 2 c 2 – 9a 2( )2、利用平方差公式计算：（1）1()3x y -1()3x y +； （2）（－mn +3）（－mn －3）想一想（a−b ）（－a−b ）=？你是怎样做的？练一练计算 1、（5m －n ）（－5m －n ）2、（a+b ）（a －b ）（a 2+b 2）课堂小结：1.平方差公式：（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差2．应用平方差公式的注意事项：1）注意平方差公式的适用范围2）字母a 、b 可以是数，也可以是整式3）注意计算过程中的符号和括号课堂检测（3分钟）利用平方差公式计算：（1）（－x －1）（1－x ） (2)（0.3x +2y ）（0.3x －2y ） (3) )21(-x )21(+x )41(2+x。
14.2.1平方差公式导学案 2022—2023学年人教版数学八年级上册
14.2.1平方差公式导学案一、知识概述1.1 平方差公式在学习完完全平方公式之后，我们来学习平方差公式。
所谓平方差公式，就是：(a+b)(a−b)=a2−b2其中，a、b是任意实数。
1.2 平方差公式的作用平方差公式是解决许多代数式和方程的重要工具。
利用平方差公式可以把含有二次项的代数式转化为没有二次项的代数式，便于进一步的求解。
二、教学环节2.1 导入教师可以放上题目：“把112−92的值算出来。
”在同学们尝试计算一段时间后，提出问题：“你们是怎么计算的？”2.2 初探平方差公式在同学们回答不同的计算方法后，引出平方差公式，并且提醒同学们，在代数式中，很多时候我们需要化简式子，因此知道平方差公式对于以后的代数式计算是很有帮助的。
在说明了平方差公式的意义之后，让同学们自己推导平方差公式。
2.3 练习接着，在学生的相互帮助下，让大家尝试推导出一些比较特殊的情况的平方差公式，如：(a+2)(a−2)(a+10)(a−10)让学生感受到这两组式子比一般情况下的平方差公式简单。
然后，老师可以继续举出一些例子，让同学们在推导中巩固自己的公式，例如：92−72(x+3)(x−3)(5a−3b)(5a+3b)在每一个例子中，老师都可以先让学生自己尝试，然后交流解决，及时让错的同学找出自己错误的地方并改正。
2.4 拓展练习对于一些基础比较扎实的同学，教师可以提供一些更具挑战性的练习，如：1.(2x+5)(x−4)(2x−6)(2x+6)(x+2y)(x−2y)三、思考题1.在推导时，是否有更便捷，更快速的方式能够推导出平方差公式呢？2.最开始给出的题目“把112−92的值算出来。
”，你是否对此有更加快速的计算方式？四、总结在本节课学习中，我们主要学习了平方差公式，并通过练习，让学生掌握了平方差公式的运用。
除此之外，在推导过程中，也锻炼了学生的逻辑思维能力。
希望同学们能够继续巩固并应用这一内容，为今后的学习打下坚实基础。
平方差公式导学案
平方差公式（1）一、学习目标：1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.学习重点：能运用公式进行简单的计算学习难点：能运用公式进行简单的计算二、复习旧知、引入新课：回顾整式乘法中多项式与多项式相乘的法则：1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个多项式的每一项，再把 .符号表示：（m+b )(n+a )=2、两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明三、探究规律、发现结论1.提出问题：计算下列各题（1） （x +2）（x －2）=（2）（1+3a ）（1－3a ）=（3） （x +5y ）（x －5y ）=（4）（2y +z ）（2y －z ）=观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？2.验证猜想，得到平方差公式：(a+b)(a−b)＝a 2−b 2两数和与两数差的积，等于它们的 .四、典例分析、巩固提高巩固练习： 判断下面计算是否正确（1）)121(+x )121(-x =1212-x （ ） （2）（3x －y ）（－3x +y ）=9x 2－y 2 （ ）（3）（m+n ）（－m －n ）=m 2－n 2 （ ）例1 利用平方差公式计算：（1） （5+6x ）（5－6x ）=（2）（x －2y ）（x +2y ）=（3） （－m +n ）（－m －n ）=巩固练习：利用平方差公式计算：（1） （a +2）（a －2）= （2）（3a +2b ）（3a －2b ）=例2 利用平方差公式计算：（1）)41(y x --)41(y x +- = （2）（ab +8）（ab －8） = 巩固练习：利用平方差公式计算：（1）1()3x y -1()3x y += （2）（－mn +3）（－mn －3）= 五、 观察思考、拓展延伸想一想：（a−b ）（－a−b ）=？你是怎样做的？练一练：计算 1、（5m －n ）（－5m －n ）=2、（a+b ）（a －b ）（a 2+b 2）=课堂小结1.平方差公式：（a+b ）（a －b ）=公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积； 右边是 .2．应用平方差公式的注意事项：1）注意平方差公式的适用范围 2）字母a 、b 可以是数，也可以是整式3）注意计算过程中的符号和括号课堂检测：利用平方差公式计算：（1） （－x －1）（1－x ） （2）（+2y ）（－2y ）（3）)21(-x )21(+x )41(2+x 布置作业1. 必做题：教材习题2. 选做题：你能用图形来验证平方差公式吗？教学反思：。
《平方差公式(1)》导学案
1.5 平方差公式（1）导学案一、教学（学习）目标：1、知识与技能：经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理水平，会推导平方差公式，并能使用公式实行简单的计算和推理。
2、过程与方法：通过创设问题情境，让学生在活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。
3、情感与态度：让学生感受到数学既来源于生活实际，又是解决生活中很多问题的工具，从而促使学生热爱数学。
二、温故知新计算：（多项式乘多项式）(1)(m+n)(a+b) (2) (x-1)(x+2) (3) (a+3)(a-3) (4) (x+2)(x-2)问题：两个二项式相乘在合并同类项前应该是几项？合并同类项后，积可能是三项式或二项式？当两个二项式相乘，乘式具备什么特征时积是二项式？三、互动导学（一）发现特征、探索规律，亲历建构过程。
计算下列各题，并用自己的语言叙述你的发现(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3) x+5y)(x-5y) (4) (y+3z)(y-3z)你的发现（公式的结构特征）：__________________________________________________________________ 归纳：(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=__________________(2)语言叙述：(3)口诀：同前项，反后项，平方作差切莫忘。
(4)注意：只有符合公式结构才能使用公式，公式中的a 和b 若是多项式时应该用括号括起来，并且最后结果要化最简形式。
（二）使用知识解决问题，形成数学意识。
①直接使用新知，解决第一层次问题 利用平方差公式计算巩固练习1 ： (1) (5+6x)(5-6x) (2) (x-2y)(x+2y) (3) (8)(8)ab ab +- (4) (-m+n)(-m-n)②间接运用新知，解决第二层次问题例: 利用平方差公式计算(1) (-2x+3)(3+2x) (2) (m+n)(m-n)+3n2巩固练习2：利用平方差公式计算(1) (-4k+3)(-4k-3) (2) (-2b- 5) (2b -5) (3) x2+(y-x)(y+x)（三）巩固深化，拓展思维例: 计算：(1) (x+y-z)(x+y-z) (2) (a-b+c)(a+b+c)四、反馈检测（感受问题，体验探索成功）1. (1) (x+y)(x-y)=____ (2) (x+3y)(x-3y)=( )2-( )2=____ (3) (2+a)(2-a)=( )2-( )2=____(4) (1-3m)(1+3m)=( )2-( )2=____ (5) (-3x+2y)( )=9x2-4y22、下列式子可用平方差公式计算吗？为什么？如果能，怎样计算？(1) (a-b)(b-a) (2) (a+2b)(2b+a) (3) -(a-b)(a+b) (4) (-2x+y)(y-2x)3、填空：(1) (x+2y)(-x+2y) (2) (3m-5n)(5n+3m) (3) (-2b-5)(2b-5)4、提高题：(1) (m+2)(m-2)(m2+4) (2) (a+b+2)(a+b-2)五、归纳总结，形成知识网络1. 叙述公式2. 公式中的字母可代表什么？3. 方法规律：平方差公式是乘法运算中的一个重要公式，应用十分广泛，对于这个公式不仅要熟记还要灵活运用，要达到灵活运用，关键要准确掌握公式的结构特征、公式的变化形式及公式中字母的广泛含义。
数学《平方差公式》导学案课件
数学《平方差公式》导学案课件(一)教学知识点1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力训练要求1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.平方差公式的推导和应用.用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.探究与讲练相结合.使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用.［师］你能用简便方法计算下列各题吗？(1)XX×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中XX×1999=(XX+1)(XX－1)=XX2－XX+XX－1×1=XX2－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的XX，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，XX和1999，一个比XX 大1，于是可写成XX与1的和，一个比XX小1，于是可写成XX与1的差，所以XX×1999就是XX与1这两个数的和与差的积，即(XX+1)(XX－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：XX2－12，恰为这两个数XX与1的平方差.即(XX+1)(XX－1)=XX2－12.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.［师］出示投影片(§ A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想)［生］从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.［师］为什么会有这样的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？［生］可以.上述规律用符号表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2 ①其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a2－b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.［师］大家同意吗？［生］同意.［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )A.(x+1)(1+x)B.( a+b)(b－ a)C.(－a+b)(a－b)D.(x2－y)(x+y2)E.(－a－b)(a－b)F.(c2－d2)(d2+c2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);(－m+n)(－m－n).［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.( a+b)(b － a)利用加法交换律可得( a+b)(b－ a)=(b+ a)(b－ a),表示b与 a这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a－b)(a－b),同样可利用加法交换律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b与a这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点.［师］为什么A、C、D不能用平方差公式呢？［生］A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x这两个数的和与差的形式；(x－2y)(x+2y)是x与2y这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m与n这两个数的和与差的形式.［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2;(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2;(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示投影片(记作§ C)［例2］利用平方差公式计算：(1)(－ x－y)(－ x+y);(2)(ab+8)(ab－8);(3)(m+n)(m－n)+3n2.［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－ x－y)(－ x+y)——(－ x)与y的和与差的积=(－ x)2－y2——利用平方差公式得(－ x)与y的平方差= x2－y2——运算至最后结果(2)(ab+8)(ab－8)——ab与8的和与差的积=(ab)2－82——利用平方差公式得ab与8的平方差=a2b2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m－n)+3n2——据运算顺序先计算m与n的和与差的积=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式=m2－n2+3n2——去括号=m2+2n2——合并同类项至最简结果［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.［生］还需注意最后的结果必须最简.［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.1.计算：(1)(a+2)(a－2);(2)(3a+2b)(3a－2b);(3)(－x+1)(－x－1);(4)(－4k+3)(－4k－3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导)［师］同学们有何体会和收获呢？［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了.。
平方差公式 导学案
7.7 平方差公式导学案学习目标：会推导平方差公式，并能运用平方差公式进行简单计算． 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达。
学习重点：平方差公式的推导和运用难点：掌握平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式进行计算 学习过程一、知识回顾：多项式乘多项式的法则是 二、探索新知：（利用多项式乘多项式法则）（1）（x +2）（x －2） （2）（1+3a ）（1－3a ）；（3）()()22--+-x x ； （4）（y +3z ）（y －3z ）．①观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现． ②能否用含字母a 、b 的式子来表示规律 。
用语言叙述规律。
注意：运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a ，•第二个数b ；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．三、范例学习例1、运用平方差公式计算：（1）（2x +3）（2x －3）； （2）（b +3a ）（3a －b ） （3）（－m +n ）（－m －n ）例题小结：一审（审题，找出相同的项和互为相反数的项） 二套（套平方差公式） 三算（算出最后结果） 例2、计算：（1）103×97 （2）)]([)]([z y x z y x --⋅-+（3）222))((b a b a b a a +-+ （4）（3x +y ）（3y －x ）－（x －y ）（x +y ）四、学以致用：1）．（－a －1）（1－a ）； 2）．))()((22b a b a b a +-+ 3）（12xy －3m ）（－3m －0.5xy ）． 4）1423×1513五、拓展 1）（x －13）（x +13）（x 2+19）（x 4+181）2）12349798991002222222-+-++-+-六、课堂小结：七、反思：1、（x －y ）（x +y ）= ． （3x －2y ）（3x +2y ）= ． （3a －2b ）（____+2b ）=92a －42b（3x －y ）·（___ ___）=92x －2y ( + )( — )=942-a （_____ ）·（x －1）=1－2x2、方程（x +6）（x －6）－x （x －9）=0的解是___ _____．3、已知（x +2）（2x －A ）（x －2）=4x －16，则A =____ ____ 4、计算（1－m ）（－m －1），结果正确的是（ ）A ．2m －2m －1 B ．2m －1 C ．1－2m D ．2m －2m +1 5、计算（2a +5）（2a －5）的值是（ ）A ．4a 2－25B ．4a 2－5C ．2a 2－25D ．2a 2－5 6、下列计算正确的是（ ）A ．（x +5）（x －5）=x 2－10B ．（x +6）（x －5）=x 2－30C ．（3x +2）（3x －2）=3x 2－4D ．（－5xy －2）（－5xy +2）=25x 2y 2－4 7、计算（a +b ）2－（a －b ）2的结果是（ ）A ．2a 2+2b 2B ．2a 2－2b 2C ．4abD ．－4ab 8、利用平方差计算．①（3a +b ）（3a －b ） ②（—12a －b ）（12a －b ）③（3x －4y ）（4y +3x ）+（y +3x ）（3x －y ） ④（a －b ）（a 2+b 2）（a 4+b 4）（a +b ） ⑤ ()()()()1121212123242+++++⑥1003×9972、你能根据右面的两个图形解释平方差公式吗？。
平方差公式导学案
平方差公式导学案节与课题§9.4.2平方差公式课时安排2课时使用人使用日期或周次本课时学习目标或学习任务1、经历探索平方差公式的过程，能总结出平方差公式及语言叙述.能正确运用平方差公式进行简单的计算.培养语言表达能力、逻辑思维能力.本课时重点难点或学习建议教学重点：理解平方差公式，运用平方差公式进行计算.教学难点：平方差公式的推导.本课时教学资的使用电脑、投影仪.学习过程学习要求或学法指导教师二次备课栏自学准备与知识导学：看图回答：边长为的小正方形纸片放置在边长为的大正方形纸片上，你能求出阴影部分的面积吗？⑴阴影部分由2个相同的直角梯形组成，梯形的上底等于_____，下底等于_____，高等于_____，因此梯形的面积等于___________，阴影部分的面积等于____________________.⑵大正方形的面积等于_____，小正方形的面积等于_____，因此阴影部分的面积等于____________.⑶显然，⑴和⑵中求得的面积一样.由此可得出的结论是：__________________=____________，这个公式称为平方差公式.你还能用多项式乘多项式法则得到同样的结论吗？请写出你的过程.=你能说出平方差公式的特点，以及它与完全平方公式的不同点吗？平方差公式的语言叙述是：_____________________________________.总结：完全平方公式、平方差公式通常称为乘法公式，在计算时可以直接使用.分别从整体和局部两个方面去思考.梯形的面积=×高÷2.公式的语言叙述：两数和乘两数差等于这两个数的平方差.学习交流与问题研讨：例题一用平方差公式计算：⑴⑵例题二计算：⑴⑵分析：把⑴中的看作平方差公式中的，把看作，把⑵中的看作平方差公式中的，把看作，再用平方差公式进行计算.与公式比较，哪个相当于公式中的，哪个相当于公式中的．练习检测与拓展延伸：巩固练习一⑴口答下列各题①②③④⑵判断正误①②③④⑶填空①②③④巩固练习二⑴课本P67练一练1、2；⑵补充习题P381、2.提升训练⑴课本P67练一练3；⑵计算：当堂测试探究与训练P45-464-9.分析：与公式比较，哪个相当于公式中的，哪个相当于公式中的．要更好、更灵活的掌握平方差公式.课后反思或经验总结：通过适量的练习使学生能够正确熟练的运用乘法公式进行混合运算，引导学生运用公式简单计算，让学生在应用公式的过程中，提高变形应用公式的能力.。
数学《平方差公式》导学案课件
数学《平方差公式》导学案课件数学《平方差公式》导学案课件●教学目标(一)教学知识点1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力训练要求1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.●教学重点平方差公式的推导和应用.●教学难点用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.●教学方法探究与讲练相结合.使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用.●教学过程Ⅰ.创设情景，引入新课［师］你能用简便方法计算下列各题吗？(1)2001×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即(2000+1)(2000－1)=20002－12.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律［师］出示投影片(§1.7.1A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观察以上算式，你发现什么规律运算出结果，你又发现什么规律再举两例验证你的发现［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想)［生］从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的'积，等于它们的平方差.［师］为什么会有这样的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？［生］可以.上述规律用符号表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2①其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a2－b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.［师］大家同意吗？［生］同意.［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是()A.(x+1)(1+x)B.(a+b)(b－a)C.(－a+b)(a－b)D.(x2－y)(x+y2)E.(－a－b)(a－b)F.(c2－d2)(d2+c2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);(－m+n)(－m－n).［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.(a+b)(b－a)利用加法交换律可得(a+b)(b－a)=(b+a)(b－a),表示b与a这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a－b)(a－b),同样可利用加法交换律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b与a这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点.［师］为什么A、C、D不能用平方差公式呢？［生］A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x这两个数的和与差的形式；(x－2y)(x+2y)是x与2y这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m与n这两个数的和与差的形式.［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2;(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2;(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示投影片(记作§1.7.1C)［例2］利用平方差公式计算：(1)(－x－y)(－x+y);(2)(ab+8)(ab－8);(3)(m+n)(m－n)+3n2.［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－x－y)(－x+y)——(－x)与y的和与差的积=(－x)2－y2——利用平方差公式得(－x)与y的平方差=x2－y2——运算至最后结果(2)(ab+8)(ab－8)——ab与8的和与差的积=(ab)2－82——利用平方差公式得ab与8的平方差=a2b2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m－n)+3n2——据运算顺序先计算m与n的和与差的积=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式=m2－n2+3n2——去括号=m2+2n2——合并同类项至最简结果［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.［生］还需注意最后的结果必须最简.［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.1.计算：(1)(a+2)(a－2);(2)(3a+2b)(3a－2b);(3)(－x+1)(－x－1);(4)(－4k+3)(－4k－3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导)Ⅳ.课时小结［师］同学们有何体会和收获呢？［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了.Ⅴ.课后作业。
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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
学习目标：1、掌握平方差公式的结构特征。
2、会用平方差公式进行计算。
学习过程： 一、自学与指导：
1、计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（小组合作）
①（x ＋ 1)( x －1）=（ ） ②（m ＋ 2)( m －2）=（ ） ③（2m ＋ 1)(2m －1）=（ ） ④（5y ＋ z)(5y －z ）=（ ） 想一想：这些计算结果有什么特点？
要点归纳：(a+b)(a −b)=（ ）
两个数的（ ）与这两个数的（ ）的积,等于这两数的( )，这个公式叫做（乘法的）平方差公式。
2、试一试：你能根据下图中图形的面积说明平法差公式吗？（师友合作）
二、展示与点拨：
1、填一填：（师友合做，再展示）
2、利用平方差公式计算：（学生先独做，再组内交流，展示） (1) (3x －5)(3x ＋5) (2) (－2a －b)(b －2a)
a
b
(3) (－2a2＋b)(b＋2a2) (4) 51×49;
三、训练与总结：
（一）、当堂训练:（学生独立完成）
1、在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式进行计算的是( )
A (x＋1)(1＋x)
B (1
2
a＋b)(b－
1
2
a)
C (－a＋b)(a－b)
D (x2－y)(x＋y2)
2、利用平方差公式计算
（1）(1
4
a－1)(
1
4
a＋1) （2） (－x－y)(x－y)
（3）(a-2)(a+2)(a2 + 4) （4）20152－ 2014×2016
3、先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1，其中x＝1。
（二）课堂小结：
本节课你有什么收获？还有哪些困惑？
四、作业：
课本：108页第2题、习题14.2.1第1题。