数学建模 野兔生长问题
兔子繁殖数学建模斐波那契原型
兔子繁殖数学建模斐波那契原型今天咱们来讲一个特别有趣的关于兔子繁殖的事儿。
在一个美丽的大草地里，住着一对可爱的小兔子。
这对小兔子是刚刚出生的，它们呀，还没有长大呢。
这个草地就像一个大大的家，有好多新鲜的青草可以吃。
过了一个月呀，这对小兔子长大了一些，不过还不能生小兔子呢。
又过了一个月，这对长大了的兔子就变成了大兔子，这个时候它们就有能力生小兔子啦。
然后呢，这对大兔子就生出了一对小兔子。
现在草地上就有原来的那对大兔子和新出生的一对小兔子啦，一共是两对兔子。
再过一个月呢，新出生的小兔子还没长大，可是原来的那对大兔子又生了一对小兔子。
这个时候呀，最早出生的那对小兔子长大了。
现在草地上就有最早的那对大兔子，它们生的两对小兔子，还有新长大的那对兔子，一共是三对兔子啦。
又过了一个月呢，最早的那对大兔子又生了一对小兔子，之前长大的那对兔子也生了一对小兔子，新出生的小兔子还没长大。
这样算下来呀，草地上就有最早的那对大兔子，它们生的三对小兔子，之前长大的兔子生的一对小兔子，还有两对新长大的兔子，一共是五对兔子了。
咱们这样一个月一个月地数下去，就会发现兔子的数量是这样变化的：1、1、2、3、5……这个数列就是按照一种很有趣的规律在增长呢。
就像我们数自己的手指头一样，一个一个很清楚。
这个规律就和一个很有名的数学东西有关，它叫斐波那契数列。
斐波那契发现了这个规律，就像他发现了一个藏在兔子世界里的秘密。
想象一下，如果这个草地超级大，兔子可以一直这样繁殖下去，那兔子的数量就会按照这个规律变得越来越多。
比如说，如果我们再往后算几个月，按照这个规律，下一个月兔子的对数就是前面两个月兔子对数的和。
像前面是3对和5对，那下一个月就会有8对兔子啦。
这个兔子繁殖的故事就像一个魔法一样，让我们看到了数学在生活里的影子。
我们可以把这个当成一个好玩的游戏，每个月去数一数兔子的数量，然后发现这个神奇的规律。
这样我们就会发现数学不是那么枯燥，而是像这个兔子的故事一样，充满了乐趣。
兔子问题_精品文档
兔子问题简介兔子作为一种常见的小动物，其繁殖能力极强，因此兔子问题也成为了数学领域中的经典问题之一。
该问题涉及到兔子的繁殖规律，以及在特定的时间段内兔子的数量变化情况。
本文将从数学的角度探讨兔子问题，并分析其数学模型与解法。
数学模型假设一对刚出生的兔子在一个月后成熟，并从第二个月开始每个月都可以繁殖一对新兔子。
根据这个规律，我们可以建立以下递推关系式： - 第一个月，兔子的数量为1对； - 第二个月，兔子的数量为1对； - 第三个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和； - 第四个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和再加上前一个月兔子的数量； - 第五个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和再加上前一个月兔子的数量； - 依此类推…以此得到兔子数量的递推关系：Fn = Fn-1 + Fn-2解法根据兔子问题中的递推关系，我们可以通过递归或迭代的方式求得兔子在特定时间段内的数量。
递归解法递归解法是一种简单直观的方法，基于递归的思想。
递归函数可以通过调用自身来求解问题。
对于兔子问题，我们可以定义一个函数来递归地计算兔子数量。
def fibonacci(n):if n ==0:return0elif n ==1:return1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)通过调用fibonacci(n)函数，可以得到第n个月兔子的数量。
迭代解法迭代解法通过循环的方式来依次计算兔子的数量，相较于递归解法，迭代解法更加高效。
我们可以使用一个循环来计算兔子的数量，并利用两个变量来记录前两个月兔子的数量。
def fibonacci(n):if n ==0:return0elif n ==1:return1else:a, b =0, 1for _ in range(2, n+1):a, b = b, a+breturn b通过调用fibonacci(n)函数，同样可以得到第n个月兔子的数量。
离散生物模型兔子生长模型模型假设与模型建立假设第n年的生物
离散生物模型：兔子生长模型：模型假设与模型建立：假设第n 年的生物数量为n P ，每过一年生物数量是原来的a 倍，则有：n n aP P =+1，这是最简单的一种一阶差分模型；解为 0P a P n n = . 如果进一步分析，由于受到环境资源的限制, 生物的总数是有限的，故增长倍率应改为：)/1(1K P aP P n n n -=+, 其中 K > 0 是常数.当 Pn ≥K, 时， 生物将灭绝。
令 K P x n n /=， 可化成如下典型的logistic 模型：)(:)1(1n n n n x f x ax x =-=+, 当 ]4,0(∈a 时 ]1,0[∈n x 时, ]1,0[1∈+n x这是一个非线性差分方程. a 称为控制参数. 方程没有解析的解 . 我们来看它的不动点(即)(x f x =的点)的稳定性.容易算出它有两个不动点: x ' = 0和x '' =1－1/a . 我们将看到，随着a 的值的不同，它们有着完全不同的稳定性质.兹分几种情况加以讨论.对于任何 a>0, x '=0 是不动点 , 当0 < a ≤1 时 , 对于任何]1,0(0∈x , 都有 n n x x <≤+10, 所以 0lim =∞→n n x , 即 0 是个稳定的不动点. 这说明这生物最终将绝灭. 当 a >1 时, 因为1|)0(|>='a f , 所以x '= 0是不稳定不动点. 而且只要开始时 x 0 在区间 (0,1) 中, 以后的点也在区间 (0,1) 中，即生物永远不会绝灭.再考虑另一个不动点x ''=1－1/a ，.（1） 因为 |2||)(|a x f -=''', 所以当 1<a <3时 x '' 是稳定不动点. a >3 时x '' 是不稳定不动点.而且从 )1)((1n n n ax x x x x -''-=''-+可看出, 当 1< a ≤ 2时 , x x n ''→是单调的; 而 2 < a ≤3 时 x x n ''→在x ''左右两边振荡地趋向x ''. 所以 a = 3时, x '' 也是稳定不动点.(3) 设3 < a <16+≈3.449898743….这时已知x' , x'' 都是不稳定不动点，因此从它们近傍出发的数经迭代后都离它们远去，不再回到x ' 或x ''. 但进一步的计算发现，迭代值并未离得很远，而是在x ''两旁交替地趋向两个特殊的数p 与q ! 这两个数分别是函数f (x )的（周期为二的）周期点. 即满足 n n x x =+2, 但 n n x x ≠+1的点. 解方程x x ax x x a =---)]1(1)[1(2.已知它有根0, 及1－1/a (即不动点), 可将它化为一个二次方程, 实际上， 利用MATLAB 可以很快求出， 命令如下syms a x pp=a^2*x*(1-x)*(1-a*x*(1-x))-x ;factor(p)就得出 因子-x(a*x+1-a)* (a^2*x^2-a*(1+a)*x+(1+a))从而得出不动点以外的两个正根p 与q = aa a a 2)3)(1()1(-+±+且p < x'' < q. 当a从3开始增大时, 考察2周期点的表达式，可以看出这两个2周期点是从不动点x''分离出来的. (不动点可以看成1周期点)换句话说，在现在的a的范围下，不但有两个不动点x' 及x''，而且还有两个稳定的2周期点p, q. 这种情形称之为周期倍化现象. 周期点的稳定性可以从))f在f((x周期点的导数a2(1-2x)[1-2ax(1-x)] 的绝对值小于 1 得知.（4）1+6< a < 3.544090359….有人仔细算出了这种情形的迭代过程，我们只写出结论如下.这时从二个2周期点各分出1对周期点，得出四个周期点 (周期为4).(5) 当a再变大时，函数f(x)的周期点的个数（和周期）也不断地增加，例如当3.564407266…> a >3.544090359时将有八个周期点（周期为8），当3.568759420…>a >3.564407266时，将出现十六个周期点（周期为16），等等. 随着a的继续增大, 不断产生周期倍化现象. 最后，当a趋向一个特殊的数3.569945672… 时，将不断地产生倍周期点，而且周期趋向无穷大！而当a大于这个特殊的数3.569945672… 时, 时间序列像是分布在区间[0,1]上的随机数, 这种现象称为混沌现象.模型2 兔子繁殖问题已知一对兔子每个月生一对兔子，而每1对兔子出生后第二个月开始生兔子，问一对兔子一年后共有几对兔子？解：记开始时兔子数是F0=1，第1个月初的兔子数是F1=1，第二个月初的兔子数是F2=1，设第n个月初的兔子数是F n, 则F n - F n-1 = F n-2, , 是一个差分方程. 表示新出生的兔子数是二个月前的兔子数. 其中F0=1， F1=1称为初始条件，用来确定差分方程的解. {F n}就是以著名的意大利数学家Fibonacci提出并解决的数列. 1，1，2，3，5，8，13.,…称为Fibonacci数列。
数学建模狐狸野兔问题Word版
狐狸野兔问题摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动（即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。
对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra 模型()0,0,0,021212211>>>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=r r k k xyr y k dtdy xy r x k dtdx并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系 ()()2211k r xk r yxeyec --=为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab 软件绘图。
在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用 Matlab 绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。
对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。
且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。
对于问题三，在Volterra 模型基础上引入人工捕获系数。
只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra 原理：为了减少强者，只需捕获弱者。
只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。
问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。
关键词：Volterra 模型 Matlab 软件 解析法 周期性一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
西农 建模实验六
实验六 机理模型与平衡原理实验目的如果对所研究的问题了解的比较深入，知道产生现象的内在的机理，那么依据机理建模，则模型具有更好的可靠性和广泛性。
不考虑随机因素，假设每一时刻是确定的如果对系统状态的观测和描述只在离散的时间点上，则构成差分方程模型；如果考虑系统随时间连续变化，则是微分方程模型。
本节主要以这两类方程为例，介绍用MATLAB 软件求解机理模型的基本方法。
差分方程模型一、实验题目由一对兔子开始，一年可以繁殖出多少只兔子？如果一对兔子每个月可以生一对小兔子，兔子在出生两个月后就具有繁殖能力，由一对刚出生一个月的兔子开始，一年内兔子种群数量如何变化。
求这个种群的稳定分布和固有增长率。
二、实验内容解 假设（a ）兔子每经过一个月底就增加一个月龄； （b ）月龄大于等于2的兔子都具有繁殖能力；（c ）具有繁殖能力的兔子每一个月一定生一对兔子； （d ）兔子不离开群体（不考虑死亡）记第n 个月初的幼兔（一月龄兔）数量为a 0(n ）,成兔（月龄大于等于2）数量为a 1(n ），则兔子总数为a(n)= a 0(n ）+a 1(n ）,平衡关系为：⎩⎨⎧+==上月初幼兔数量上月初成兔数量本月初成兔数量上月初成兔数量本月初幼兔数量 建立模型：⎪⎩⎪⎨⎧==-+-=-=0)1(,1)1()1()1()()1()(1010110a a n a n a n a n a n a 这个一阶差分方程的矩阵表达式为)1()(-=n Aa n a其中⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()(10n a n a n a ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1110A利用迭代方法求数值解，也就是按时间步长法仿真种群增长的动态过程，模拟幼兔和成兔占整体比例随时间的变化。
>> a=[0 1;1 1];x=[1 0]';for k=2:12y=a*x(:,k-1);x=[x y];endzz=repmat(sum(x),[2 1]);z=x./zz;t=1:12;>> plot(t,x(1,:),'r^',t,x(2,:),'b^'),grid;>> plot(t,z(1,:),'r^',t,z(2,:),'b^'),grid;由数值模拟结果可见，兔子数量递增，但是幼兔和成兔在种群中所占比例很快会趋于一个极限。
数学建模--野兔
数学建模--野兔数学建模2辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期2014-2015学年1学期姓名高显利李浩申李金胜专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模论文题目航空机票超订票问题评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师林清水时间2015年11月15日备注摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
关键词种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下：分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
实习目的学会用logistic模型来表达,用logistic模型来表达增长性问题。
问题重述1、兔子的自然死亡。
2、兔子天敌的种群变化。
3、各种疾病的蔓延。
4、人类的捕杀与破坏问题剖析野兔生长问题。
野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。
数学建模野兔生长问题
野兔生长问题摘要根据题II,野兔生长属自然范畴，若在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的，从著名的斐波纳契数列解决兔子生长问题也可以看出，兔子的生长，呈递增的状态。
可由题口条件可知，野兔生长并不是处于理想的情况下的，中间有递减的情况，考虑到自然的各种原因，诸如，天敌的捕杀，自然灾害，疾病，生存地的减少等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic （逻辑斯蒂方程）模型拟和多项式拟合来模。
Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
用多项式拟合可以大致模拟预测未来的兔子数量。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T二10时，野兔数量为9. 84194 （十万）只。
该结果比较符合客观规律（利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等：也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也山此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。
关键字:Logistic模型生态学MATLAB程序问题重述野兔生长问题。
首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。
现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长,T=3, 6. 90568； T=4, 6. 00512； T=5, 5.56495； T二6, 5.32807。
数学建模论文野兔生长问题
野兔生长问题摘要本文根据已知的野兔连续十年的统计情况，探讨野兔的合理的存活率并推测当前的发展趋势，针对不同情况给出方法推算出野兔数量的走向的目的。
首先，充分利用给出的前两年来野兔的数量变化，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得出不同年份野兔的数量的数学关系，并且求出了平均增长率为：1.718%；所以通过一些比例之间的关系得到这个野兔群落的T＝10的数量（见表1）。
然后，建立一个种群增长的差分方程模型，求出的野兔生长规律。
求解当前野兔对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该野兔种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程⑥即可。
最后，只需将野兔的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程⑥），求出在哪些年内野兔的增长有异常现象，。
考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移走野兔后所需要进行避孕的母兔头数为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。
问题重述位于某国的国家公园中栖息着近10000头野兔。
管理者要求有一个健康自由的环境以便观察这个10000头野兔的数量变化情况。
管理者逐年统计了野兔的数量，发现在过去的10年中，野兔的生长变化并不稳定，呈现波浪式起伏，根据这些信息我们需要解决以下问题：1. 探讨年龄在1岁到10岁之间的野兔的合理的存活率的模型，推测这个野兔群落的当前的年龄结构。
2. 知道哪些环境和内部因素对野兔生长数量的影响，并测算出各个影响的程度如何。
3. 探求偶然突发事件对野兔生长数量的巨大影响和它的规律性。
4. 根据野兔的生长变化，对野兔的生长特点进行分析。
问题假设1、假设野兔的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；2、假设母兔可以怀孕的年龄为1岁—6岁、最高年龄为10岁，10岁的死亡率为100%，并且6—10岁的野兔的只数呈线性递减；3、假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；4、假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大5、假设0岁野兔能够活到1岁的比例为75%；6、假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
第2节 种群数量的变化
用达尔文的观点分析“J”型“S”型曲线 种群数量
“J”型曲线指生物具有什么特性？
图中阴影部分表示什么？
时间 1． “J”型曲线用达尔文的观点分析指：生物具有过度繁殖的 特性。
2．图中阴影部分表示环境阻力，用达尔文的观点分析指通过 生存斗争被淘汰的个体数量。
三、种群数量的波动和下降 影响种群数量变化的因素 直接因素：出生率、死亡率、迁入率、迁出率
1.通过对本节的学习，掌握种群数量变化的“J”型曲 线和“S”型曲线。 2．尝试建立数学模型解释种群的数量变动及培养解决 实际生产问题的能力。
一、种群增长的“J”型曲线 思考：在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌 害等理想条件下，种群的数量变化是怎样的呢？
菌
在营养和生存空间没 有限制的情况下，某 种细菌每20 min就通 过分裂增殖一次。
种 群 增 长 速 率
O
K K/2
（种群数量）
D: 出生率＝死亡率，即
种 群
种群数量处于K值。
数
量
B: 出生率与死亡率之差 增
最大，即种群数量处于 长
K/2值。
速 率
0
种 群 数 量 “S” 型 增 长 曲 线
时间
种群数量变化曲线与种群增长速率曲线的关系
de
g
K/2
c
b a
甲
f
h
乙
⑴图乙的fg段相当于图甲的ac段。
种群增长曲线在生产生活中的应用：
①有害动物的防治，应通过降低其环境
⑵图乙的g点相当于图甲的c点。 容纳量（K值）
②受保护动物的拯救和恢复，应通过改
⑶图乙的gh段相当于图甲的cd段。 善其栖息环境，提高K值。
模型建立与求解
模型建立与求解正如我们所知道的，模型的建立是能否求出答案的重要步骤，是不可缺少的一步，模型的建立与求解是非常关键的一步，我们根据模型的合理假设，在这基础上做出合理的模型建立，进一步求出模型，我们根据模型的合理假设做出了一下的模型建立:对于种群的解决方法，我们一般采用LOGISTIC方法，这种模型方法也是对生物种群求解的普遍方法，不仅科学而且求出得答案也较准确。
我们知道LOGISTIC模型的曲线是单调增长的曲线，而从图表中，我们可以看出事实并不是这样的，在后面几年野兔的增长，却出现了下滑的趋势，所以我们应该根据事实并结合LOGISTIC模型来求解，求得T=10时的野兔数量。
野兔的数量的增长变化并不是太符合LOGISTIC模型，所以我们不能在整个时间进行拟合，分开时间来进行拟合，所以我们应该选取每个单调区间，进行分析。
第一区间为T=0 时1，T=1 时2.31969，T=2时4.50853，T=3 时6.90568。
（从T=0到3，我们可以看出此区间为单调增区间）我们称为第一单调增区间。
第二区间为T=3时6.90568 ，T=4时6.00512，T=5 时5.56495 T=6 时5.32807（从T=3-6时，我们可以看出此区间为单调的减区间）我们称为第一单调减区间。
第二单调增区间T=6 时5.32807 ，T=7时7.56101，T=8时8.9392 T=9 9.5817（从T=6-9时的数据我们可以看出此区间为单调增区间）我们称为第二单调增区间。
于是我们将T=0-9分成了3个大的区间，对每个区间进行模拟拟合，于是我们可以对每个区间进行LOGISTIC分析，从而得到结论。
建立野兔生长的LOGISTIC模型。
我们先假设在一个小的单位时间间隔内新出生的兔子百分比为b，类似的兔子死亡率的百分比为c。
换句话，新的兔子数P(t+Δ t)是原有兔子数P(t)加上在Δ t 时间内新增兔子数减去死亡兔子数，即P(t+Δ t)=P(t)+bP(t)Δ t-cP(t)Δ t有上述假设可知，在一个时间段内兔子数的平均变化率与兔子的数量成正比例。
数学建模案例分析2生态系统--差分方程方法建模.
§2生态系统一、一阶常系数线性差分方程其通解是对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解。
的算法是待定系数法。
（1）次多项式（2）指数函数二、应用举例设想在一个长满了青草的小荒岛上栖息繁衍着一群野兔。
开始时共有野兔只，我们来研究其数目随时间变化的规律。
假设第年野兔的数目用表示。
记第0年的野兔数为。
（1）先作如下的假设：下一年野兔的净增加数目和上一年的数目成正比，且比例系数是一个常数，记为。
这种假设是很合理的，因为在野兔的食物——青草非常充足的条件下，一年内新出生的野兔数和成年母兔数成正比，而成年母兔数又和野兔总数成正比，因而一年内新出生的野兔数和野兔总数成正比。
另一方面，一年内死亡的野兔数大体也和野兔总数成正比。
这样，第年野兔的净增加数（出生数减去死亡数）和上一年野兔的数目成正比，即可以列出方程：移项整理后得到方程（1）这里。
这是一阶常系数齐次线性差分方程。
可以计算出第年的野兔总数为。
这个描述野兔数目的模型是否合理呢？假设，，计算对应的值列表如下：0 1 2 3 4 8 10 15 20 50100 140 196 274 384 1 475 2 893 15 576 83 668 20(亿这是一个按指数增长的量，由表中数据我们发现，50年后野兔的总数为20亿！也许有人会认为太大，但是对于一年可以生育2~3次的兔子来说不应该算太大。
问题可能出在这个小岛上青草是否能够支持这么多的野兔生存下来？其实，这个模型最严重的缺陷就是没有反映野兔生存资源对野兔种群的约束。
于是我们要改进模型。
（2）进一步的模型设想小荒岛上的青草最多可以养活只野兔。
是自然资源所能承担的野兔的最大容量。
我们修改关于野兔数目的假设如下：下一年野兔的数目和上一年的数目成正比，比例数，即与上一年的野兔数目有关。
这样我们得到方程（2）我们先来看看假设的合理性。
方程（2）等价于（3）方程左端是前后两年野兔数目的比值。
当与之差是一个较大的数时，说明自然资源还有较大的能力支持野兔种群的扩大，下一年的野兔总数可以有一个较大的增长。
数学建模习题2
数学建模（I）习题习题21．兔子出生后两个月就能生小兔，如果最初你养了刚出生的一雌一雄两只小兔，长成后兔子每月生一次且恰好生一雌一雄的一对，出生的小兔年内均不死，问一年后你家里共有多少对兔子?（注：本问题关系到一个十分重要的数列：菲波那奇数列）2．有甲乙二人，乙对甲进行盯梢，甲开始时沿甲乙二人连线的垂线方向运动并一直沿此方向运动，乙的运动方向一直指向甲并与甲一直保持着d距离，求乙的运动轨迹方程。
3．据观察，个子高的人一般来说腿也较长，现从16名成年女子测得数据如下表所示，请给出身高x与腿长y之间的函数关系。
（单位：cm）4．我们测量了十五个不同高度的人的体重，数据见下表。
各高度的人都经适当挑选，既不太胖也不太瘦。
请用这些数据建立一个体重w与身高h之间的函数关系。
单位：米（身高）、公斤（体重）。
5．举重是一种一般人都能看懂的运动，它共分九个重量级，有两种主要的比赛方法：抓举和挺举。
下表给出了到1977年底为止九个重量级的世界纪录。
单位：公斤。
显然，运动员体重越大，他能举起的重量也越大，但举重成绩和运动员体重到底是怎样关联的呢，不同量级运动员的成绩又如何比较优劣呢？试根据这些数据建立一些经验模型并通过对它们相互之间的比较来验证一下这些模型的可信度。
6．为了检查X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线照射细菌，每次照射6分钟，共照射15次，数据如下表所示。
其中t为照射次数，y为各次照射后所剩的细菌数。
请用这些数据建立y与t之间的函数关系。
表2.87材料不断地侵蚀，使钢包的容积不断增长。
经测试，钢包的容积y 与相应的使用次数x 的数据如下表所示，请建立x 与y 之间的函数关系。
单位：公斤。
由于容积不便测量，容积以钢包盛满时钢水的重量来表示。
的功率p 与v 、s 、ρ的关系。
9．用量钢分析法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量。
记水的流速为v ，密度为ρ，比热为c ，粘性系数为μ，热传导系数为k ，人体尺寸为d 。
野兔生长问题
数学建模一周论文（论文题目）姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：年月日摘要：根据某地区野兔连续十年统计量的曲线分布和野兔增长的一般规律，先找出野兔增长中的异常点，然后排除异常点，建立野兔增长的理论模型，然后应用理论于实际，基于现实问题进行运用和对t=10的推测。
首先，利用三次样条插值做出其原始图像，在假设条件下，遵循自然规律分析图像，找出并去除t=4,t=5,t=6这三个异常点；然后，利用微分方程分析法，先对t 到tt∆+年兔子增量和增长率a的关系进行分析，列出其微分方程，考虑到自然因素对野兔增长的影响，在前模型的基础上增加竞争项2bx-，重新建立模型；对其进一步分析并用原始值与理论之进行比较，进一步发现其中的问题：曲线不能很好地反映断层后野兔的增长趋势；最后，为了更好地反映t=7以后的野兔的增长规律，提出分段表示其增长趋势的思路：把异常点所在的年份作为“断层”，在其两侧分别采用微分方程对其建模，在异常点采用了多次连续“断层”的拟合方法对其求解，即先用三次多项式拟合其断层，并进一步对其函数，特别是其两端进行修正，以保证整个函数的连续性。
从而画出分段函数的图像，得出该地区野兔的生长规律，并以此预测第十年野兔的数量。
最后，函数以分段形式表示如下：()()(())771555.09688.235624.09949.1)3402.09285.2(4439.00255.030971.02885.15059.10234586.40<<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+++-++≤≤+=--ttexxxtet ytt并由此计算出t=10年时野兔的数量为y= 10.6864万只。
关键字：微分方程分析法竞争项多次连续“断层”的拟合1问题的重述测T=10 时野兔的数量。
2问题的分析在自然界中野兔的增长受很多因素的影响，水、食物、或是自然灾害等都会对其产生一定的影响，这其中水和食物会对其产生恒久的制约作用，但不会影响其大体的增长趋势，它会使野兔增长到一定数量之后因为彼此的竞争而使其数量趋于一个稳定值；自然灾害则有可能对其产生致命的打击，导致其增长产生异常现象，而我们在研究其生长问题时应将其排除在外。
兔子增长模型
野兔生长问题在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下T=0T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=91 2.31969 4.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。
二．问题分析年份T=0T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=9数量1 2.319694.508536.905696.005125.564955.328077.561018.93929.5817增长量\ 1.139692.188832.39715-0.90056-0.44017-0.236882.232941.378190.6425增长率\ 31.97%94.36%53.17%-13.04%-7.33%-4.26%41.91%18.23%7.19%地球上有限的资源和环境条件下使野兔总数受到限制。
而有图表可知增长率随着野兔数量的增加而减小，设m N 表示自然资源和环境条件下所能容许的最大野兔数，假设野兔的增长速度与现有野兔数成正比，但增长的比例N(t)的增加而减小。
四． 符号说明m N ————自然资源和环境条件下所能容许的最大野兔数 0r ————T 属于[0,3]时的增长率 1r ————T 属于[4,6]时的增长率 2r ————T 属于[7,9]时的增长率五． 模型建立由于在T=4，T=5，T=6出现反常情况，所以我们将年份分为三段[0,3],[4,6],[7,9]满足 )())(1()(t N N t N r dtt dN m-= （其中r 为常数） (1)将（1）式改写为 r d t dN N N N m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-11 两边积分得 c rt NN Nm +=-ln 即rt m Ae NN N=- （其中A 为待定常数）当t 属于[0,3]时,设N(0)=0N 代入上式可得 N(t)=tr m me N NN )0(00)1(1+--+ 。
狐狸与野兔-数学建模
实验报告一．实验名称：狐狸与野兔二．实验内容：在一个封闭的大草原生长着狐狸和野兔，设t 时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足下列微分方程组 ：kx xy x dtdxxy x dt dxy xy dt dy--=-=-=02.0402.049.0001.0 (k>=0) (1).建立上述微分方程的轨迹线方程: F(x,y)=0 dx/dt=f(x,y)(2).在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态(3).建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果?对狐狸进行捕猎又会产生什么后果?三．实验目的：学习熟悉Mathmatica 的使用,理解人口模型与捕猎问题的建模与求解过程,了解在捕猎过程中两种生物的数量的变化以及其是怎么样达到平衡的.四．问题分析与建模方向: 用matlab 求解人们对野兔进行捕猎的问题。
当封闭(即不考虑人类因素)时:xy x dtdx y xy dt dy02.049.0001.0-=-=运用matlab 直接求解 当有人类干涉时:x k xy x dtdxy k y xy dtdy1202.049.0001.0--=--=）（人们对兔子进行捕猎，是人类捕猎狐狸的速度是人类捕猎野兔的速度022121==k k k k(只对狐狸进行捕猎的情况类此)在一小段时间内△y=△t(0.001xy-0.9y) △x=△t(4x-0.02xy) 则y=y+△y=y+△t(0.001xy-0.9y) x=x+△x=x+△t(4x-0.02xy)运用循环连续求解画出狐狸y,野兔x 与时间t 的曲线图五.算法与求解function sim_hulituzi_ex x0=920; y0=180; a=0.001; b=-0.9; c=4;e=20;f=0.5;delta_t=0.01;x=x0;y=y0;k=0;vec_t=delta_t:delta_t:100for cur_t=vec_t,k=k+1;y=y+(a*x*y+b*y-f*y)*delta_t;x=x+(c*x+d*x*y-e*x)*delta_t;vx(k)=x;vy(k)=y;if vx(end)<1 | vy(end)<1,disp (sprintf('结束时间：t=%10.2f,x=%6.0f,y=%6.0f',cur_t,x,y)) breakendendt=[0,delta_t:delta_t:cur_t]len1=length(t)len2=length([x0,vx])plot(t,[x0,vx],'r-*',t,[y0,vy],'k-o')xlabel('t(unit:day)')hold ontext(t(end)+delta_t*2,vx(end),'X') text(t(end)+delta_t*2,vy(end),'Y') hold offfigureplot(vx,vy,'-*')xlabel('Troop X')xlabel('Troop Y')六.结果以上情况为该草原在自然状况的图形关系，y为兔子，x为狐狸（狐狸初始为180，兔子为92）。
数学建模实验项目八狐狸与野兔问题
数学建模实验项目八狐狸与野兔问题数学建模实验项目八狐狸与野兔问题一、实验目的：1、认识微分方程的建模过程；2、认识微分方程的数值解法。
二、实验要求：1、熟练应用Matlab 的符号求解工具箱求解常微分方程；2、掌握机理分析建立微分方程的方法和步骤；3、提高Matlab 的编程应用技能。
三、实验内容及要求（狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设t 时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组 0.0010.940.02dy xy y dt dx x xy dt =-=- （1）建立上述微分方程的轨线方程；（2）在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？（3）建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？四、实验步骤及过程1.建立一个名为“0*级计算第08次作业*******”（********表示自己的学号）的文件夹。
2. 打开Matlab 软件，练习实验指定的内容。
3. 将所得结果保存到文件夹中，并上存到天空教室。
莆田学院期末考试试卷2011 ——2012 学年第 2学期课程名称：数学建模适用年级/专业： 09数学试卷类别开卷（√ ）闭卷（）学历层次本科考试用时《考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题正文要求：（1）写清建模分析过程、建立的模型、模型求解及其结果、并对结果给予简单的分析；（2）要求每人独立完成一份；（3）试卷打印格式参照教务处有关规定执行；（4）在下列二题中选做一题。
一、借贷问题某地银行对个人住房25年贷款期限的贷款条件通常为：年利率为0.12，而且是月均等额还款。
小叶夫妇要买房还缺6万元，正在考虑到银行去错6万元。
正在这时，小叶夫妇看到一个借贷公司的针对银行贷款条件的广告，说他们可以在年利率0.12的前提下，帮你提前三年还清借款，但是，（1）每半个月还一次款（2）由于每半个月就要开一张收据，文书工作多了，要求顾客预付三个月的还款。
兔子的数量 建模
数学建模一周论文论文题目：野兔生长问题姓名1：李坤鹏学号：1020560132姓名2：方扬学号：1020560113姓名3：谭小丁学号：1020560114专业：材料化学班级：10205601指导教师：樊健秋2012年06年08 日摘要本题研究的是某地区的野兔生长问题，题目已给出连续十年的统计数据，分析数据可得野兔的生长规律。
题目要求指出哪些年野兔的增长有异常现象并预测T=10时野兔的数量。
假设野兔生长的条件是在无外界干扰的完美条件下（即不考虑外界因素对野兔繁殖的影响），该种群的成长曲线应该为对数型增长。
但依题意可知，野兔增长先是成对数增长后来趋于平缓，变化幅度不断降低，这说明野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，环境条件因为兔群激增而变得恶劣，天气的变化，天敌的增多等等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic模型是种群生态学的核心理论之一，它可以很好的表示生物种群的生长规律，动态的表示生物种群的增减情况，例如兔子。
由于野兔生长问题相对简单，其涉及的内容和有求也相对较少，并且该问题概过了种群在生态中生长问题。
根据逻辑斯蒂方程，以及建立一只双曲线右支可以预测出在T=10时，野兔数量为10.8156十万只。
关键字：logistic生物模型预测生长规律预测数量一、问题的重述在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。
首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈对数增长的。
现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=1,2.31969；T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495，呈类J 型增长，说明兔子数量不多受内外因素的因数影响不明显。
论文赏析
2）兔子在每个月均死亡1/3时兔子数量变化的规律
3）兔子在每个月均死亡d时兔子数量变化 的规律
进一步的推广
兔子出生后总共存活12月，从第7个 月后就开始生小兔,在第7、8这两个月中 每月每一对兔子恰好生1对小兔，从9、 10两个月月内每一对兔子恰好生2对小 兔，然后停止生育，在第12月末死亡问 第k月有多少对兔子？
一月先计算从上一月存活下来的白鼠，当某月从上一月存活 下来的白鼠的数量超过100对时，该月出生的小白鼠将被转 移到别的实验室。设开始时有1对刚出生的小白鼠，问第k月 有多少对白鼠(0<k<３７, 为自然数)？例如，当n=10、m=1, k=11时，第1至6月白鼠的对数均为1，也就是原来的这一 对，第7月2对：原来的1对加上这一对在第7月生育的1对， 第8月3对：原来的1对加上7月生育的1对，再加上8月生育的 一对，第9月5对：原来的一对，加上7月生育的1对，加上8 月生育的1对，再加上9月生育的2对，第10月5对，与第9月 相同，第11月4对（因为最初的这一对白鼠死亡）。
该问题在理论状态下完全解决！
2. 兔子数量增长的推广 兔子能长生不老吗？
1） 兔子的寿命均为6个月，试讨论兔子数量变化的 规律。
2） 所有兔子在每个月均死亡1/3，试讨论兔子数量 变化的规律。
3） 所有兔子在每个月死亡的比例均是d，试讨论兔 子 数量变化的规律，并探讨兔子数量稳定时d的 值。
1）兔子的寿命为6个月时论兔子数量变化
直接推算
先直接推算，在第1月只有1对兔子;第2月 也只有一对兔子;在第3月这对兔子生了1对 小兔子,共有2对兔子;在第4月,老兔子又生了 1对小兔子,共有3对小兔子;在第5个月,老兔 子生1对小兔子,且在第3月出生的小兔也生 育1对小兔子,故共有5对小兔子,在第6个月, 老兔子、在第3、第4月出生的小兔子各生1 对小兔子,故共有8对小兔子.如此类推,不难 得到月份和小兔对数的关系如表1所示.
数学建模课件(兔子和山猫问题)
当兔子数目较多时，山猫捕食就相对比较容易一 些，因此山猫便增长得较快一些，而当兔子数目较少 时，山猫捕食就较费劲，山猫增长的就较慢。为此， 我们设山猫受兔子数目下的影响因素率为bts,，而兔子 受山猫数目下的影响因素率为bst，（∵山猫与兔子之 间为捕食关系，∴它们之间的相互影响率互为相反数， 该影响率与山猫对兔子的捕食量有关） 我们设兔子被山猫捕食情况下的数目为Mt(t)，而山 猫在捕食兔子情况下的数目为MS(t),综合，我们可得出 它们各自受对方影响下的个体增长率为： dMs ＝bts×Nt×Ns dt
兔 山 子 猫 数 数 目 目
t
t
t
t
在总体上模型下的状况
粉 红 色 为 兔 子 数 目 目 数 猫 山 为 色 绿 浅
的
4/15/2012
的模型
10
问题的进一步分析
该模型是建立在理想的情况下的，因此 有一定的局限性，主要表现在将生育率、 死亡率等平均到每一个个体上，没有考虑 到动物不同性别的数量差异，也没有考虑 到生育率的时滞性和不同年龄时生育率的 变化（群体中不同年龄的生物数一般是不 同的）。此外，自然增长率r和生存极限数 K与很多因素都有关，难以确定，这也给 该模型的应用带来了一定的困难。
数学建模课件
采矿03---1班 杨坤 学号：0301010114
4/15/2012
1
一.问题的提出
在加拿大的草原上地带 生长着许多兔子，同时还有 许多大山猫，大山帽依靠吃 兔子生活，不考虑其它动物 的干扰，建立数学模型描述 大山猫和兔子的相互作用， 并分析它们的变化。
4/15/2012 2
二.问题的分析与符号的说明
通过以上问题，我们可以得 知兔子和大山猫之间的关系为捕食 关系，因此双方的数目就彼此影响 着，因此，我们可以得出，兔子的 总数和山猫的数目都受两部分的影 响，一部分是自身之间资源的竞争， 另一部分是对方的数目的影响。因 此我们假设：某时刻时，兔子的数 目为Nt（t), 山猫的数目为Ns （t)。
7.2.2 山猫与野兔生长关系系统动力学模型及仿真分析_系统工程：原理与实务_[共3页]
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175 第7章 系统工程应用综合案例 7.2.2 山猫与野兔生长关系系统动力学模型及仿真分析
1．系统动力学流程图
假定RABBIT—野兔数（只），水平变量（只）；RNBR—野兔纯出生率（只/年）；INRAB—模拟开始时的野兔数（50000只）；TRNBF—野兔纯出生率因子；RDEN—野兔密度；CC—自然容纳野兔的能力（只）；RKL—山猫捕食野兔的速率（只/年）；RTRA—野兔被人猎捕率（只/年）；FRABTR—野兔被人猎捕系数（1/年）；TRKPL—每头山猫一年内捕食的野兔数（只/头·年，由表函数给出）；TLNBF—山猫纯出生率因子；LYNX—山猫数（头）；INLYNX—模拟开始时的山猫数（1 150头）；LNBR—山猫纯出生率（头/年）；RDDIC —山猫生存底线；LTRAP—山猫饿死率（由表函数给出）；LSUBR—山猫的生存状况因子；FLNXTR—山猫被人猎捕系数（头/年）。
则野兔与山猫系统动力学流程如图7-2所示。
图7-2 野兔与山猫系统动力学流程图
2．系统动力学模型
L RABBIT.K = RABBIT.J + （DT ） ×（RNBR.K- RTRAP- RKL ）
N INRAB =50000
R RNBR.K = RABBIT.K ×TRNBF
R RDEN.K = RABBIT.K/CC
C CC = 1000
R RTRA. KL = RABBIT.K×FRABTR
R RKL.KL = LYNX.K ×TRKPL
L LYNX.K = LYNX .J + （DT ）×（LNBR.KL-LTRAP-FLNXTR.KL ）
N INLYNX=1150。
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数学建模一周论文野兔生长问题姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：2009年1月4日摘要：通过观察表格中野兔在连续九年的数量，利用所学数学知识分析得出野兔的生长规律，从而预测出第十年野兔的数量。
分析了野兔种群数量的统计结果，假设野兔在十年内生长环境变化稳定，但是数据显示这是不可能的，因为在两个数据点处出现了异常的增长现象。
在异常的自然条件下野兔的生长状况是不符合正常的生长律的。
因此我们先排除这两个异点，并试图揭示剩下的几组数据兔种群数量变化的规律。
模型里所给出的主要微分方程中有两个参数需要给出。
在给参数的过程中我们发现某些量值之间存在着线性函数关系式，利用计算机我求出了线性比例因子从而确定了所给出的参数。
在模型求解过程中，我们发现，对 logistic 模型赋予不同的参数会导模型的解在一定程度上的变化。
于是我们想知道参数在一定范围内的改变到底对解函数产生多大的影响？这个问题的探讨实际上是对解的可靠性的探讨，对题本身有较强的实践意义。
我们最终把这个问题归结为含参数的初值问题的微方程对初值的依赖性与对参数的依赖性问题。
在对问题的探讨中，我们避免了纯粹的数学理论，而是利用计算机给出模型的解函数在不同的初值条件下、不同参数下的表现，并利用Matlab绘制成图像，直观且清晰地反映出模型的解函数对参数与初值不同选取的表现。
在解决这个问题的途中，我们还利用到了计算方法课程所学到的知识，通过观察数据，利用插值法描出图像，近似得出函数，再得出第十年的野兔数量。
野兔生长模型1、问题重述这是一个关于野兔生长状态的模型。
我们知道研究一定空间内某一生物物种的种群数量随时间变化的规律是很有实践意义的。
通过发现规律，我们可以更有效的了解一个种群发展变化的趋势、种群对自然世界的依赖程度和种群自身的成长结构，对人类了解并掌握自然规律，利用与控制生物资源有较大意义。
人类自身作为地球上的一个物种，也在不断的探求自己的命运。
由于地球上的资源与空间有限，人类自身的种群数量（即通常意义上的人口）就变得很重要了。
事实上，早在 18 世纪末，马尔萨斯(Tho m as M althus,1766—1834)就发表了著作《人口原理》，从此激发了人们研究人口增长趋势的兴趣。
马尔萨斯在他的这本书里提出了人口按指数增长的模型，并断言人口数量最终将超出食物所能提供的容纳能力。
虽然马尔萨斯模型的假设忽略了人口增长中的一些重要因素，但是这个模型作为以后改进模型的基础是很有价值的。
从这个意义上说，我们去探索野生动物的生长规律，正如同探索人类自身的种群数量，即人口增长规律一样，显得很有价值。
我们得到的数据是某地区野兔的数量在连续十年中的统计结果，如下表：时间：年数量：十万我们要做的是通过分析所给数据，得出野兔生长的规律，即想办法用一个关于时间的函数来表达野兔的数量。
并预测 T=10 时野兔的数量。
2、问题的分析增长百分比/ 131.97% 94.36% 53.17%-13.04%-7.33% -4.26%41.91%18.23%7.19%我们先假设在一个小的单位时间间隔内新出生的兔子百分比为 b，类似的兔子死亡率的百分比为 c。
换句话，新的兔子数 P(t+Δt)是原有兔子数 P(t)加上在Δt 时间内新增兔子数减去死亡兔子数，即P(t+Δt)=P(t)+bP(t)Δt-cP(t)Δt或这样我们把问题化归到如何确定 k。
一旦 k 被确定，通过已知数据，我们解这个微分方程，就可以得到一个野兔数量随时间变化的函数了。
我们考虑（式 2-1）中度量增长率的比例因子 k 是兔子数的函数而不是常数。
（否则当 k 是常数时我们知道兔子数将成指数增长，这是令人难以置信、不切实际的。
）考虑到在一定区域内，兔子的生存空间是有限的，食物是有限的，且存在种间竞争与种内竞争，结合生物学理论可知兔子数量必然趋于某个饱和值，是有限的。
我们假设这个饱和值是M，则合理的猜测是随着兔子数的增长并逐渐接近饱和值M 时，比率 k 逐渐减小。
关于 k 的一个简单情形是线性的子模型k=r(M-P), r>0其中r 是常数，代入(式2-1)得到(式2-2)P(t0)=p0求解这个微分方程我们得到：这个模型最早是由丹麦生物数学家 Pierre-Francois Verhulst(1804--1849) 提出的，称为 logistic 增长模型。
在下面的模型求解部分，我们将大量使用该 函数来模拟野兔生长状态。
当然(式 2-3)的得出依赖着假设 k 是一个简单的线性子模型，我们将在模型的改进部分对此作一些讨论。
3、模型的假设对模型的假设，我们在问题的分析中已经提到，为严谨在此完整列出。
野生兔的生活空间是有限的，食物是有限的，存在着种间竞 争与种内竞争。
因此野生兔的数量将趋于一个稳定的饱和值。
假设除了 T=4、T=5 这两年外，野生兔的生长条件（包括天敌，气侯食物，空间，雌雄比例等）是近似的。
假设统计数据是可靠的。
度量野兔数量增长率的比例因子 k 是线性的子模型。
4、符号说明在问题分析部分已出现并说明了一些符号，为严谨这里完整列出。
M: 野兔种群数量的饱和值 P(t)或 P: 野兔种群数量随时间的函数 k: 增长率比例因子pi ： 时间为 T=i 时所对应的野兔数量统计值C 1,C 2 ,C ： 积分得到的常数 T ，t ： 时间变量 m ： 表示斜率C 1 C 2 C 3 M 1 M 2 M 35、模型的求解对种群饱和值的估计 ：为了求出模型的解函数（式 2-2），我们是需要估计出种群数量的饱和值 M 与另一个参数 r 。
我们有下面的分析： 由（式 2-2）可以得到：⎪ =r (M - p )PdPdt (t ≤t ≤t )P (t )=p MerM (t -t )M - p + p erM (t -t )（式 2-3）P ,P ,P ,P ,P ,P,P ,P,P ,PP ,P,P ,P,P ,PP(M-P) （式 5-1）通过初等运算（式 5-1）改写为dP/P+dP/(M-pP)=rMdt(式5-2）对上式两边积分，得到：lnP-ln(M -P)=r M t+C （C 为常数）(式5-2）由（式5-3）知那么如果我们事先估计并确定 M ，再在图形中画出若干离散的点其中 t=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，就可以利用 Matlab 的直线拟合，求出斜率 m=rM ，从而确定 r 。
M 估计为10（十万）时，ln(p/(M-p))=Mrt+C 的函数曲线时间（年）图 5-1如图 5-1 所示，图形分为两段，第一段（第 0 年到第 3 年）和第二段（第 6 年到第 9 年）确实近似于直线。
并且得到：两条的直线斜率都为 m=1，r=0.1M 估计值为9.9（十万）时，ln(p/(M-p))=Mrt+C 的函数曲线 函数曲线在0-3年的分支，参数为C1ln = rMt+ C -3 2 关于 t 的函数图形是一条直线，斜率为 m =r M 。
（2） M =9.9（十万），ln =rMt+C 图形：时间（年）图 5-2斜率 m =1.007 ，r=0.10172（第 0 年到第 3 年）； 斜率 m =1.0812，r=0.10921（第 6 年到第 9 年） （3） M =10.1（十万），M 估计值为10.1（十万）时，ln(p/(M-p))=Mrt+C 的函数曲线函数曲线在0-3年的分支,参数为C1 函数曲线在6-9年的分支,参数为C2斜率 m =0.99326， r=0.0983 ；斜率 m =0.93706， r=0.09278。
接下来我们让 M 分别取这三个值时，利用式（2-2）估计出的不同年份的野兔数 量和实际统计数据之间的偏差情况。
用（式 2-2）对各年份野兔数量作出计算及比较（1） M=10（十万）时：式（2-2）在从第 0 年到第 3 年就可以变为：t函数曲线在6-9年的分支，参数为C2野兔种群饱和值为10（十万）的对比曲线0-4年logistic函数曲线（第零年为初值）图 5-4（2）M=9.9（十万）时，用类似于（1）的方法，我们得到表格：表 5-2从表格中可以看出：第十年的野兔数量为 978882 只。
同样，作出此时的对比图形：野兔的种群饱和值为9.9（十万）的曲线对比（3） M=10.1（十万），用类似于（1）的方法，得到的表格：5-2 时间 （年） 统计得到的兔子数 量（十万） 通过函数计算得到的兔子数量 （十万） 百分误差 0 1.00000 1.00000 0.00000% 1 2.31969 2.32870 0.38800% 2 4.50853 4.52522 0.37000% 3 6.90568 6.90426 -0.02100% 4 6.00512 8.54547 42.30300% 5 5.56495 9.35811 68.16200% 6 5.32807 5.32807 0.00000% 7 7.56101 7.66817 1.41700% 8 8.93920 9.01047 0.79700% 9 9.58170 9.57924 -0.02600%10 9.78882时间 （年） 统计得到的兔子数 量（十万） 通过函数计算得到的兔子数量（十万） 百分误差0 1.00000 1.00000 0.00000% 1 2.31969 2.31103 -0.37300% 2 4.50853 4.49235 -0.33900% 3 6.90568 6.90685 0.01700% 4 6.00512 8.62344 43.60100% 5 5.56495 9.49769 70.67000% 6 5.32807 5.32807 0.00000% 7 7.56101 7.47658 -1.11700% 8 8.93920 8.87936 -0.67000% 9 9.58170 9.58384 0.02200% 10 9.89129从表格中看出：此时，第十年的野兔数量为 989129 只这个时候的对比图形：图（5-5）模型求解的结论从图形（图 5-4、图 5-5、图 5-6）中可以看出，除了第 4 年和第 5 年之外，函数曲线和原始数据的连线吻合的非常好，因此，我们认为野兔的生长规律可以用函数（式2-2）来模拟。
同时得到，第四年和第五年的野兔增长出现异常现象。
根据图形（图 5-4、图 5-5、图 5-6）的对比和表格（表 5-1、表 5-2、表5-3）中数据的对比，以及最后表格 5-4 的结果，可以得出：取野兔种群的饱和值M 为 10（十万）时，经计算得到的数据与统计数据之间的百分误差最小，因此，我们根据M 为 10（十万）这一情形对第十年野兔的数量作出预测，得到预测值为 984194 只。