第五章 向量代数与空间解析几何

第五章 向量代数与空间解析几何

第一节 向量及其线性运算

一、内容要点

⒈向量的定义 向量是即有大小、又有方向的量 。

⑴向量的几何表示 有向线段 ﹙与起点无关，称为自由向量﹚.

⑵向量的坐标表示：),,(z y x a a a =a ，其中x a 、y a 、z a 为向量a 在三个坐标

轴上的投影.以),,(0000z y x M 为起点、),,(0z y x M 为终点的向量

),,(0000z z y y x x ---=M M .

⑶向量的分解表示k j i a z y x a a a ++=，其 中)0,0,1(=i ，)0,1,0(=j ，)1,0,0(=k ⒉向量的模与方向余弦

设),,(z y x a a a =a 则向量的模2

2

2

z

y x a a a ++=

a 方向余弦为

a

a

a

z y x a a a =

=

=

γβαcos ,cos ,cos .其中α、β、γ分别为a 与x 轴、y 轴、z

轴正向的夹角﹙称为a 的方向角﹚， 1cos cos cos 222=++γβα

⒊向量的加法与数乘运算

向量的加法有平行四边形法则和三角形法则. 运算的代数表示：设),,(z y x a a a =a ,),,,(z y x b b b =b

则 (1)),,(z z y y x x b a b a b a +++=+b a ; (2)).,,(z y x a a a λλλλ=a 线性运算律为

,a b b a +=+ ),()(c b a c b a ++=++ ,)(b a b a λλλ+=+ a

a )()(λμμλ=

基本定理：设0a ≠，则

R b a ∈∃⇔λ，使得 a b λ= ； 或 设0a ≠=),,(z y x a a a ),,(z y x b b b =b ，则a

\\z

z y

y x

x a b a b a b ==⇔

b .

利用数乘 ,任何向量a 可表示为a e a a =，其中a e 表示与a 同方向的单位向量.

空间直角坐标系中，三个坐轴上正向的单位向量分别记为k j i ,, ，则

),,(z y x a a a =a 的分解表达式为:k

j i a z y x a a a ++= .

二、数学要求和学习注意点

⑴理解空间直角坐标系，理解﹙自由﹚向量的概念及其几何表示和坐标表示；

⑵掌握向量的线性运算，了解两个向量平行的条件；

⑶理解单位向量、方向角与方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行线性运算的方法。

在学习这部分时，要注意掌握向量的几何表示与坐标表示之间的联系；会用向量及其运算﹙引进坐标、或不引进坐标、或两者结合﹚来解某些几何问题.

三、释疑解难

⒈设a 、b 为非零向量，指出它们具有什么几何特征，才能使下列各式成立？

⑴ b a b a -=+ ； ⑵ b a b a -<+ ； ⑶ b a b a +=- .

答 由向量加、减法的平行四边形法则知，当 ，则 时，⑴式成

立，﹙图5–1﹙﹚﹚，当 时，⑵式成立﹙图5–1﹙﹚﹚。

由三角形法则知，一般有 ，当且仅当 时，⑶式成立﹙图5–1﹙﹚﹚。

⒉下列说法是否正确，为什么？

⑴与 、 、 三坐标轴的正向夹角相等的向量，其方向角为 ； ⑵ ；

⑶如图5–2所示，则力F 在向量S 上的分力为 。 答

⑴与三坐标轴的正向夹角相同的向量，其方向角不是 ，因为任一向量的三个方向角 、 、 应满足关系式 ，当 时，有 ，即 ，故⑶的说法是错误有。又因 ，所以，还可看出，三个方向角均为 的向量根本不存在。

⑵不正确。不等号是用来比较两个实数的大小的，而向量是既有大小、又有方向的量，方向无所谓大小之分，故在向量之间，没有“大于”、“小于”这样的次序关系，正如复数之间没有大小次序关系一样，如果是比较两个向量的模的大小，则当然是可以的，比如 。

⑶不正确。因F 在S 上的分力是一个方向和S 平行的力﹙向量﹚，而 仍

是一个与 同方向的力，F 在S 上分力的正确表示应是 ，其中

表示分力的方向，是S 方向的单位向量。

四、例题增补

例1 已知三点Ａ﹙﹚，Ｂ﹙﹚，Ｃ﹙﹚。

求⑴ AB、BC、AC；

⑵ AB AC在轴上的投影及轴上的分向量；

⑶三角形ＡＢＣ是什么三角形。

解⑴AB

BC

AC

⑵因为 AB AC ，

所以AB AC在轴的投影为3，在轴上的分向量为。

⑶因为

所以

故三角形ＡＢＣ为等腰直角三角形。

例２证明空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形。

证如图5–3，设空间四边形的四个顶点依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ；Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ分别为AB，BC，CD，DA四边的中点，因此

由于

故

所以

这就是说，四边形ＭＮＰＱ的一双对边平行且相等，所以ＭＮＰＱ是平行四边形。

五、习题解析﹙习题5–1，教材下册第12页﹚

1、已知点Ａ﹙２，１，４﹚，Ｂ﹙４，３，１０﹚，

⑴写出线段ＡＢ为直径的球面方程。

解⑴记线段ＡＢ中点的坐标这﹙﹚，则

⑵半径，

由，得所求球面方程为

注一般定比分点坐标的求法。

设点Ｍ﹙﹚是线段的分点，且，内分点；，外分点，，则分点Ｍ的坐标为

当时，Ｍ为有中点。

５、已知点Ａ﹙３，–１，２﹚，Ｂ﹙１，２，–４﹚，Ｃ﹙–１，１，２﹚，试求点Ｄ，使得以Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ为顶点的四边形为平行四边形。

解设平行四边形的4个顶点依次这Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，则由于，设Ｄ，于是

所以，即Ｄ﹙１，–２，８﹚。

同理，若平行四边形的4个顶点分别别依次为Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄ和Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ，则由与可得Ｄ﹙５，０，–４﹚与Ｄ﹙–３，４，–４﹚。本题有且仅有这三解，而且三种情况下分别以△ＡＢＣ的三条边为平行四边形的对角线，读者不妨画图试验证之。

10、设，试用单位向量表示向量。

解用消元法解由题设等式组成的方程组，易得

第二节向量的乘法运算

一、内容要点

⒈数量积﹙点积、内积﹚

定义

性质

夹角

ｂ在ａ上的投影。

⒉向量的向量积﹙叉积，外积﹚

定义：，其中是同时垂直于是同时垂直于ａ，ｂ的单位向量，并且ａ，ｂ，符合右手法则。

坐标表达式设，则

性质