第五章 向量代数与空间解析几何

第五章 向量代数与空间解析几何第一节 向量及其线性运算一、内容要点⒈向量的定义 向量是即有大小、又有方向的量 。

⑴向量的几何表示 有向线段 ﹙与起点无关，称为自由向量﹚.⑵向量的坐标表示：),,(z y x a a a =a ，其中x a 、y a 、z a 为向量a 在三个坐标轴上的投影.以),,(0000z y x M 为起点、),,(0z y x M 为终点的向量),,(0000z z y y x x ---=M M .⑶向量的分解表示k j i a z y x a a a ++=，其 中)0,0,1(=i ，)0,1,0(=j ，)1,0,0(=k ⒉向量的模与方向余弦设),,(z y x a a a =a 则向量的模222zy x a a a ++=a 方向余弦为aaaz y x a a a ===γβαcos ,cos ,cos .其中α、β、γ分别为a 与x 轴、y 轴、z轴正向的夹角﹙称为a 的方向角﹚， 1cos cos cos 222=++γβα⒊向量的加法与数乘运算向量的加法有平行四边形法则和三角形法则. 运算的代数表示：设),,(z y x a a a =a ,),,,(z y x b b b =b则 (1)),,(z z y y x x b a b a b a +++=+b a ; (2)).,,(z y x a a a λλλλ=a 线性运算律为,a b b a +=+ ),()(c b a c b a ++=++ ,)(b a b a λλλ+=+ aa )()(λμμλ=基本定理：设0a ≠，则R b a ∈∃⇔λ，使得 a b λ= ； 或 设0a ≠=),,(z y x a a a ),,(z y x b b b =b ，则a\\zz yy xx a b a b a b ==⇔b .利用数乘 ,任何向量a 可表示为a e a a =，其中a e 表示与a 同方向的单位向量.空间直角坐标系中，三个坐轴上正向的单位向量分别记为k j i ,, ，则),,(z y x a a a =a 的分解表达式为:kj i a z y x a a a ++= .二、数学要求和学习注意点⑴理解空间直角坐标系，理解﹙自由﹚向量的概念及其几何表示和坐标表示；⑵掌握向量的线性运算，了解两个向量平行的条件；⑶理解单位向量、方向角与方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行线性运算的方法。

在学习这部分时，要注意掌握向量的几何表示与坐标表示之间的联系；会用向量及其运算﹙引进坐标、或不引进坐标、或两者结合﹚来解某些几何问题.三、释疑解难⒈设a 、b 为非零向量，指出它们具有什么几何特征，才能使下列各式成立？⑴ b a b a -=+ ； ⑵ b a b a -<+ ； ⑶ b a b a +=- .答 由向量加、减法的平行四边形法则知，当 ，则 时，⑴式成立，﹙图5–1﹙﹚﹚，当 时，⑵式成立﹙图5–1﹙﹚﹚。

由三角形法则知，一般有 ，当且仅当 时，⑶式成立﹙图5–1﹙﹚﹚。

⒉下列说法是否正确，为什么？⑴与 、 、 三坐标轴的正向夹角相等的向量，其方向角为 ； ⑵ ；⑶如图5–2所示，则力F 在向量S 上的分力为 。

答⑴与三坐标轴的正向夹角相同的向量，其方向角不是 ，因为任一向量的三个方向角 、 、 应满足关系式 ，当 时，有 ，即 ，故⑶的说法是错误有。

又因 ，所以，还可看出，三个方向角均为 的向量根本不存在。

⑵不正确。

不等号是用来比较两个实数的大小的，而向量是既有大小、又有方向的量，方向无所谓大小之分，故在向量之间，没有“大于”、“小于”这样的次序关系，正如复数之间没有大小次序关系一样，如果是比较两个向量的模的大小，则当然是可以的，比如 。

⑶不正确。

因F 在S 上的分力是一个方向和S 平行的力﹙向量﹚，而 仍是一个与 同方向的力，F 在S 上分力的正确表示应是 ，其中表示分力的方向，是S 方向的单位向量。

四、例题增补例1 已知三点Ａ﹙﹚，Ｂ﹙﹚，Ｃ﹙﹚。

求⑴ AB、BC、AC；⑵ AB AC在轴上的投影及轴上的分向量；⑶三角形ＡＢＣ是什么三角形。

解⑴ABBCAC⑵因为 AB AC ，所以AB AC在轴的投影为3，在轴上的分向量为。

⑶因为所以故三角形ＡＢＣ为等腰直角三角形。

例２证明空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形。

证如图5–3，设空间四边形的四个顶点依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ；Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ分别为AB，BC，CD，DA四边的中点，因此由于故所以这就是说，四边形ＭＮＰＱ的一双对边平行且相等，所以ＭＮＰＱ是平行四边形。

五、习题解析﹙习题5–1，教材下册第12页﹚1、已知点Ａ﹙２，１，４﹚，Ｂ﹙４，３，１０﹚，⑴写出线段ＡＢ为直径的球面方程。

解⑴记线段ＡＢ中点的坐标这﹙﹚，则⑵半径，由，得所求球面方程为注一般定比分点坐标的求法。

设点Ｍ﹙﹚是线段的分点，且，内分点；，外分点，，则分点Ｍ的坐标为当时，Ｍ为有中点。

５、已知点Ａ﹙３，–１，２﹚，Ｂ﹙１，２，–４﹚，Ｃ﹙–１，１，２﹚，试求点Ｄ，使得以Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ为顶点的四边形为平行四边形。

解设平行四边形的4个顶点依次这Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，则由于，设Ｄ，于是所以，即Ｄ﹙１，–２，８﹚。

同理，若平行四边形的4个顶点分别别依次为Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄ和Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ，则由与可得Ｄ﹙５，０，–４﹚与Ｄ﹙–３，４，–４﹚。

本题有且仅有这三解，而且三种情况下分别以△ＡＢＣ的三条边为平行四边形的对角线，读者不妨画图试验证之。

10、设，试用单位向量表示向量。

解用消元法解由题设等式组成的方程组，易得第二节向量的乘法运算一、内容要点⒈数量积﹙点积、内积﹚定义性质夹角ｂ在ａ上的投影。

⒉向量的向量积﹙叉积，外积﹚定义：，其中是同时垂直于是同时垂直于ａ，ｂ的单位向量，并且ａ，ｂ，符合右手法则。

坐标表达式设，则性质几何意义：⑴等于以ａ，ｂ为边的平行四边形面积；⑵⒊混合积定义。

坐标表达式，设，性质⑴⑵ａ、ｂ、ｃ共面或存在一组不全为0的数，使得。

几何意义等于以ａ、ｂ、ｃ为棱的平行六面体的体积。

二、数学要求和学习注意点⑴掌握向量的数量积、向量积、混合积运算以及两个向量垂直、平行的条件，了解三个向量共面的条件。

⑵掌握用坐标表达式进行向量运算的方法，了解向量的向量积、混合积的几何意义。

学习本章节时，必须掌握向量的三种乘积的定义及其在直角坐标系中的计算公式，注意归纳三种乘积的主要应用，特别是这三种乘积的几何意义在空间解析几何中有应用。

三、释疑解难⒈下列命题是否成立？为什么？⑴⑵若，则ａ，ｂ，ｃ共面；答⑴不成立。

可用反例说明。

取，则但注由⑴知，叉积不满足结合律。

⑵当时，等式两端分别与ｃ作数量积，得即故ａ、ｂ、ｃ共面，命题成立。

⒉请归纳一下向量的数量积、向量积和混合积在几何中的主要用途。

答⑴数量积按定义，，可知数量积与向量的长度和夹角都有关。

因此反过来可以利用数量积确定向量的长度及两向量的夹角。

又，在直角坐标系中，数量积的计算公式也比较简单，这就更增加了数量积在应用上的方便，特别值得指出的是，由数量积的这个计算公式，可以很容易地将向量积推广到到高维向量空间中去﹙详见线性代数教材﹚。

这里仅列举数量积的几何应用的要点：﹙ⅰ﹚求向量的模：；﹙ⅱ﹚求两向量的夹角：当时，﹙ⅲ﹚求一个向量在另一个向量上的投影；特别地，向量a在直角坐标系中的坐标为﹙ⅳ﹚向量a和b垂直的充分必要条件是a〃b＝0，或以下再举一例说明数量积的应用。

设，已知向量，令，求。

求解本题时，首先注意到，且，即为两两垂直的单位向量。

在等式两端与作数量积，即得类似可得于是顺便指出，上式称为从坐标系Ⅰ﹙以为基本单位向量的坐标系﹚到坐标系Ⅱ﹙以、、为基本单位向量的坐标系﹚的坐标变换公式。

由于、、是两两垂直的单位向量，因此坐标系Ⅱ也是空间直角坐标系。

两个直角坐标系之间的坐标变换通过数量积很容易计算出来。

⑵向量积按定义其中单位向量同时垂直于ａ和ｂ，且ａ、ｂ、ｃ符合右手规则，在直角坐标系中，ａ×ｂ的计算公式是以下列出向量积的几何应用要点：﹙ⅰ﹚求与两个非共线向量ａ、ｂ同时垂直的向量ｓ，可取ｓ＝ａ×ｂ或ｓ＝﹣ａ×ｂ﹙ⅱ﹚求由两个非共线向量ａ、ｂ所确定的平面的法向量ｎ，可取ｎ＝ａ×ｂ﹙ⅲ﹚求以向量ａ、ｂ为邻边的平行四边形的面积﹙ⅳ﹚给定不共线的三点Ａ、Ｂ、Ｃ，则点Ｃ到直线ＡＢ的距离﹙Ⅴ﹚向量ａ与ｂ共线的充分必要条件是ａ×ｂ＝０。

⑶混合积＝﹙ａ×ｂ﹚·c在直角坐标系中，的计算公式是混合积的主要几何应用是：﹙ⅰ﹚向量ａ、ｂ、ｃ共面的充分必要条件是＝０；﹙ⅱ﹚以ａ、ｂ、ｃ为棱的平行六面体积。

⒊已知向量ａ，ｂ，ｃ，ｄ，从几何上说明：⑴若ａ，ｂ不平行且ａ，ｂ，ｄ共面时，则存在，，使得⑵若ａ，ｂ，ｃ不共面，则存在，，使得答⑴由于ａ，ｂ不平行，故ａ≠０，ｂ≠０，因此当ｄａ或ｄｂ时，易知结论成立。

否则设＝ａ，＝ｂ，＝ｄ过点Ｄ分别作，的平行线，与直线ＯＢ，ＯＡ分别交于，﹙如图５–４﹚，则由于，，故存在，，使得，，，从⑵当ｄ与ａ、ｂ或与ｂ、ｃ或与ｃ、ａ共面时，由⑴可知结论成立，否则设＝ａ，＝ｂ，＝ｃ，＝ｄ，过点Ｄ分别作平面平行平面ＯＡＢ，ＯＢＣ，ＯＣＡ，如图5﹣5得到一个平行六面体，则由于，，，故存在，，使得，，，从而有注本题的结论说明：在分解向量时，并不一定要分解成相互正交的分向量之和，也可分解成两﹙在平面情形﹚或三个﹙在空间情形﹚相互斜交的分向量之和，这是建立斜坐标系的理论依据。

四、例题增补例1 设﹙ａ×ｂ﹚·ｃ＝２，求﹙ａ+ｂ﹚×﹙ｂ+ｃ﹚·﹙ｃ+ａ﹚解﹙ａ+ｂ﹚×﹙ｂ+ｃ﹚·﹙ｃ+ａ﹚＝﹙ａ+ｂ﹚×ｂ〃﹙ｃ+ａ﹚＋﹙ａ+ｂ﹚×ｃ〃ａ＝﹙ａ×ｂ﹚·ｃ+﹙ｂ×ｃ﹚〃ａ＝﹙ａ×ｂ﹚〃ｃ+﹙ａ×ｂ﹚〃ｃ＝４。

例２设ａ、ｂ是两个非零向量，且＝１，〈ａ，ｂ〉＝，求例３证明向量ｃ＝是表示向量ａ与ｂ夹角平分线方向的向量﹙ａ≠０，ｂ≠０﹚。

证设，分别表示与ａ，ｂ同方向的单位向量，则由以、为边所构成的平行四边形为菱形，知其对角线平分顶角，于是这是与ａ、ｂ夹角平行线平行之向量。

又其中﹥０，故ｃ是表示ａ与ｂ夹角平分线方向的向量。

五、习题解析﹙习题５–２，教材下册第２２页﹚⒈设ａ＝３，，求⑴ａ·ｂ；⑵ａ×ｂ；⑶ｂ；⑷ａ；⑸。

解⑴ａ〃ｂ＝３×１＋﹙－１﹚×２+﹙－２﹚×﹙－１﹚＝３⑵ａ×ｂ＝⑶⑷⑸⒎用向量法证明⑴直径对的圆周角是直角；⑵三角形的三条高交于一点。

证⑴如图５－６，AB是⊙Ｏ的直径，ｃ是半圆周上AB所对的任意一点，记＝ａ，＝ｂ，＝ｄ，＝＝ｃ，则ａ＝ｃ+ｄ，ｂ＝－ｄ+ｃ，因为所以ａ〃ｂ＝＝０，由≠０，≠０，知＝０，所以ａ⊥ｂ，即直径所对的圆周角是直角。