高中数学：121《任意角的三角函数1》课件必修

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高中数学三角函数121任意角的三角函数(一)PPT课件

6
6 62
3.已知角α的终边与单位圆的交点 P( 5 , 2 5 )，则
55
sinα+cosα= ( )
A . 5 B .5 C .25 D . 25
5
5
5
5
【解析】选B.因为 siny25,cosx5，
5
5
所以 sincos2555.
55 5
4.若角α终边上一点坐标为(-5,12),则cosα=
1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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【自主预习】主题1:任意角的三角函数的定义使锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P,作PM⊥x轴于M,设P(x,y), |OP|=r,据此回答下列问题:
主题2:三角函数值的符号法则及诱导公式一
1.设P(x,y)为α终边上任意一点(异于原点),记r=|OP|,
则 sin y,c o s x,ta n y(x 0 ),由此可知任意角α
r
r
x
的三角函数值的符号与谁有关?
提示:角α的三角函数值的符号与点P的坐标x,y的正负
有关.
2.取角α分别为30°,390°,-330°,它们的三角函数值是什么关系?为什么? 用文字语言描述:它们的同名三角函数值相等,因为三个角的终边相同.
2.已知角α,则角α的三角函数值符号确定,反之若角 α的某个三角函数值符号确定,则角α的终边所在象限确定吗? 提示:不一定,若已知角α的一个三角函数值的符号,则角α所在的象限可能有两种情况,若已知角α的两个三角函数值的符号,则角α所在的象限就唯一确定.

【课件】任意角课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

引起混淆的前提下，
“角α”或“ ∠α”可以
简记成“α”
概念引入（1）
图5.1-3（1）中的角是一个正角，它等于750°；图5.1-3（2）中，
正角α=210°，负角β=-150°，γ=-660°.正常情况下，如果以零
时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是
负角.
图5.1-3
概念理解（1）
都有着循环往复、周而复始的规
律，这种变化规律称为周期性，
例如：地球自转引起的昼夜交替
变化和公转引起的四季交替变化，
月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀
速圆周运动时的位置变化，物体
做简谐运动时的位移变化，交变
电流变化等，这些现象都可以用
三角函数刻画.
复习引入
初中所学的角是如何定义的?角的取值范围如何?
角可以看成平面内
角的加法：设α，β是任意两个角，我们规
定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对
应的角是a+β.
相反角：类似于实数a的相反数是-a，我
们引入任意角α的相反角的概念.
如图，我们把射线OA绕端点0按不同方向旋
转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，
概念的理解（1）
两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
角的减法：像实数减法的“减去一个数等于
第二象限
O
第三象限
第一象限
x
第四象限
270°+k·360°
(-90°+k·360°)
k·360°
深化与思考
思维升华
表示区间(域)角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的

新教材人教版高中数学必修第一册 5-1-1 任意角(1) 教学课件

第二十三页，共三十四页。
于是，终边在y轴上的角的集合 S=S1∪S2 ={β|β=90°+2k·180°，k∈Z } ∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z } ={β|β=90°+2k·180°，k∈Z } ∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z } ={β|β=90°+n·180°，n∈Z }
第二十四页，共三十四页。
例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤α＜720°的元素β写出来. 【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有：
-315°，-135°,45°,225°,405°,585°.
第二十五页，共三十四页。
－450°
第十五页，共三十四页。
y
x o -50°
第四象限角
y
x o -200°
第二象限角
y
x o
405°
第一象限角
y
y 210°
x o
第三象限角
x o
-450° 轴线角
第十六页，共三十四页。
思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
第十七页，共三十四页。
有必要将角的概念及范围推广
想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化.
第七页，共三十四页。
1.角的概念的推广平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.
第八页，共三十四页。
2.角的构成要素
B 终边
方向
O 顶点

任意角的三角函数(优质课)精品PPT课件

cos 的值
变式3：已知角θ的终边在直线y= 43x上求θ的三个三角函数值
y
o
x
例2 确定下列三角函数值的符号：
(1) cos 7 ;
12
(2) sin( 465);
(3) tan 11 .
3
解： (1) 7 是第二象限角，所以 cos 7 0.
12
12
(2) 因为 465 2 360 225,即 465是第三象限角，所以 sin(465) 0.
课本练习P15T1、T2、T3
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四:归纳小结
1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域、符号； 3．数学思想方法：类比思维、数形结合、分类讨论思想．
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五:布置作业
1：课本P22页T1 、T5
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学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
苏教版高中数学必修4
任意角的三角函数
一:设置情境二:建构数学三:例题精讲四:归纳小结五:布置作业
一:设置情境
问题1：在初中，锐角的三角函数是如何定义的？
图形
定义
B
c
a
Ab C
sin
A
a c
对边斜边
cos
A
b c
邻边斜边
tan
A
a b
对边邻边
问题2：怎样将锐角三角函数推广到任意角的三角函数？
演讲人：XXXXXX 时间：XX年XX月XX日
(3) 因为 11 2 5 ,即 11 是第四象限角,所以

高中数学1.2.1任意角的三角函数优秀课件

其中: OM a
sin MP b
OP r
MP b OP r a2 b2
cos OM a
OP r
y
﹒Pa, b
r b
tan MP b
OM a
o
﹒
aMx
5
诱思探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
﹒ P(a,b)
O
M M
OMP ∽ OM P
sin MP M P
y
T
M
A(1,0)
O
x
α的 P终边ຫໍສະໝຸດ (Ⅲ)yTα的终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
PT
α的
(Ⅳ) 终边 34
这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、
AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;
OP OP
cos OM
OP
OM OP
x
tan MP
OM
M P OM
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？ 6
若OP r 1，则以原点为圆心,以单位
长度为半径的圆叫做单位圆.
Y
P(a,b)
O
M
sin
MP OP
b
cos OM a
X
OP
tan MP b a OM
7
1、任意角的三角函数第一定义
弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3)2 (4)2 5
y
设角的终边与单位圆交于 P(x, y) ，

人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件

• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨论．
()
• A．第一象限二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限．在第二象限取直线上的点(－1， 3)，则 r＝－12＋ 32＝2，所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3；在第四象限取直线上的点(1，－ 3)，则 r＝ 12＋－ 32＝2，所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.

人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数.ppt

cos
2
3 2
6， 4
tan
3
15 3
.
(3) 当 y 5 时，P（ 3 ， 5），r 2 2 ，
cos 6 ，tan 15 .
4
3
综上所述：
(1) 当 y 0 时，cP（os 3，1， 0）ta，nr 03.
(2) 当 y 5 时，coP（s 3 ，6 ，5 ）tan，r2 125，.
sin 5 3 ,
3
2
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当时，在直角坐标系中， y 角的终边与单位圆的交点坐标为 P(1, 0).
sin 0, cos 1, tan 0.
y
(1)正弦:sinα=y ;
P(x,y)
α
(2)余弦:cosα=x ;
0
A(1,0) x (3)正切:tanα= (yx≠0).
x
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
|
OP0
|5
P0(-3,-4)
x cos 3
三角函数的坐标定义：(见教材13页)
一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)的距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.

人教A版高中数学必修一课件《任意角和弧度制》三角函数PPT(第一课时任意角)

理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
经过 2 个小时，钟表的时针和分针转过的角度分
别是( )
A．60°，720°
B．－60°，－720°
D．－390°
解析：选 D.－390°＝330°－720°，所以与 330°角终边相同的角是－390°.
3．若角 α 的终边与 75°角的终边关于直线 y＝0 对称，且－360° <α<360°，则角 α 的值为____________．解析：如图，设 75°角的终边为射线 OA，射线 OA 关于直线 y＝ 0 对称的射线为 OB，则以射线 OB 为终边的一个角为－75°，所以以射线 OB 为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°<α<360°，令 k＝0 或 1，得 α＝－75°或 285°.
－110°是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角答案：C
与 30°角终边相同的角的集合是( ) A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}
本部分内容讲解结束
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象限角的条件是角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合．
3．终边相同的角所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝ _{_β_|β_＝__α_＋__k_·_3_6_0_°__，__k_∈__Z_}__，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与_______整__数_个__周_角_____的和． ■名师点拨

2024-2025学年高一数学必修第一册(湘教版)配套课件第5章-5.2.1任意角三角函数的定义

sin α，cos α，tan α分别叫作角α的正弦函数。余弦函数、正切函数.
以上三种函数都称为α的三角函数
高中数学
必修第一册
湖南教育版
教材引入&任意角的三角函数定义
【总结】三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以
角
单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
（1）正弦函数：
（2）余弦函数：
高中数学
必修第一册
湖南教育版

6.设0<α< 2 ，证明：sin α<α<tan α.
证明如图所示，角α的终边交单位圆于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，过x轴的正半轴与单位圆的交点A作单
位圆的切线AT，交角α的终边于点T，连接AP，
则有MP＝sin α，AT＝tan α，且S△OAP<S扇形OAP<S△OAT .

值，，与α的终边上的点P的位置无关.我们规定：

（1）比值叫作α的正弦（sine），记作sin α，即sin α＝；

（2）比值叫作α的余弦（cosine），记作cos α，即cos α＝；

（3）比值（x≠0）叫作α的正切（tangent），记作tan α，即tan α＝ .
Θ为第三象限角.
再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0， cosθ＞0，
所以必要性成立，即充要性成立.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
即时巩固
【1】求证：角θ为第三象限角的充要条件为
【证明】首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.
因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和

高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)

tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10

'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的定义来推导的.要正确记忆三个三角函数在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基本关系求某个角的三角函数值例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin

y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做的余弦，记作cos，即 cos x y y （3）叫做的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢?

人教版数学必修4第一章1.2.1《任意角的三角函数》课件

公式作用：可以把求任意角的三角函数值，
转化为求 0 到 2 或 0 到角3 的三 6 角函0数值 .
例3 求下列三角函数值：
（1） cos9
4
（2） tan( 11)
6
解：（1）co 9 4 sco 4 s 2 ( ) co 4 s2 2
（2）ta 1 n )1 ( ta n 2 ) (ta n ta n 3
A.4 3
B.4 3
C.4 3
D. 3
例2、已知角的终边经过点P0(3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解：由已知可得：
rx2y2 3 2 ( 4 )2 5
于是，sin y 4 r5
cosx 3 r5
tan y 4 x3
合作演练
变式1、已知角的终边过点 P1,2 5 ，
求的三个三角函数值.
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(67)2（3）sin
4
解：（1）因为 250是第三象限角，所以co 2s5 0 0；
（2）因为 tan(67)2= ta 2 n 3 ( 6 4 ) 0 8 ta 4 ，n 8
r
第二象限： x 0 ,r 0 ,故 r x 为负值； o
x
第三象限： x 0 ,r 0 ,故 x 为负值； r
第四象限： x 0 ,r 0 ,故 x 为正值； r
三角函数在各象限内的符号：
交叉正负
第 3一、象正限切：函 x 数 0 ,值 y t0 a,n 故 y 为 x y 正值； y x

人教A版高中数学必修四任意角的三角函数教学PPT精品课件

概念拓展
课堂小结
类比
当r=1
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究
【概念再探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
单位圆：
r=1
直角坐标系中，以原点为圆
O
x
心，以单位长为半径的圆。
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究
【概念形成】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
O
x
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究
【概念复习】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
直角三角形中线段比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究
【概念初探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
y
O
x
线段比--坐标比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究
【探究发现】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
类比
？
演示，观察相应的坐标比值。
人教A版必修四第一章
《任意角的三角函数》
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究概念形成概念应用概念拓展课堂小结
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究概念形成概念应用概念拓展课堂小结 y
O r=1 P
x
〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究概念形成概念应用概念拓展课堂小结 y
情景《引三入角函数概》整念体复设习计概念探究
【探究发现】