二次函数最大利润求法经典

分析：本题用到的数量关系是：

（1）利润=售价-进价

（2）销售总利润=单件利润×销售数量

问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 （x-40）

问题2：售价为x 元，售价涨了多少元？可表示为 （x-60）

问题3：售价为x 元，销售数量会减少，减少的件数为 -60202

x ⨯ （件） 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为

-60300202x y =-

⨯= 30010(60)x --= 10900x -+

因为0600

x x ⎧⎨-≥⎩ 自变量x 的取值范围是 60x ≥

问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为

(40)W x y =-⋅

= (40)(10900)x x --+

= 210130036000x x -+-

问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？

因为 (40)W x y =-⋅

= (40)(10900)x x --+

= 2

10130036000x x -+-

=210(130)36000x x ---

=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =2

10(65)4225036000x --+-

=210(65)6250x --+

所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元

分析：本题用到的数量关系是：

（1）利润=售价-进价

（2）销售总利润=单件利润×销售数量

问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 （x-40）

问题2：售价为x 元，售价降了多少元？可表示为 （60-x ）

问题3：售价为x 元，销售数量会增加，增加的件数为 60402

x -⨯ （件） 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为

60300402x y -=+

⨯= 30020(60)x +-= 201500x -+

因为0600

x x ⎧⎨-≥⎩ 所以，自变量x 的取值范围是 060x ≤≤

问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为

(40)W x y =-⋅

= (40)x -（201500x -+）

= 220230060000x x -+-

问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？

因为 (40)W x y =-⋅

= (40)x -（201500x -+）

= 2

20230060000x x -+-

=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002

x --+- =220(57.5)6612560000x --+-

=2

20(57.5)6125x --+

所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元

三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，即：

（1）涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可以使销售过程中的总利润增加

（2）降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加

本题用到的数量关系是：

（1）利润=售价-进价

（2）销售总利润=单件利润×销售数量

根据题目内容，完成下列各题：

1、涨价时

（1）售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为

-60300202x y =-

⨯= 30010(60)x --= 10900x -+

因为0600

x x ⎧⎨-≥⎩ 自变量x 的取值范围是 60x ≥

（2）售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为

1(40)W x y =-⋅

= (40)(10900)x x --+

= 210130036000x x -+-

（3）售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？

1W = (40)(10900)x x --+

= 2

10130036000x x -+-

=210(130)36000x x ---

=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =2

10(65)4225036000x --+-

=210(65)6250x --+

所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元

2、降价时：

（1）售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为 60300402

x y -=+⨯= 30020(60)x +-= 201500x -+

因为0600

x x ⎧⎨-≥⎩ 所以，自变量x 的取值范围是 060x ≤≤

（2）售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为

2W =(40)x -y

= (40)x -（201500x -+）

= 220230060000x x -+-

（3）售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？

因为

2W =(40)x -（60300402

x -+⨯） = (40)x -（201500x -+）

= 2

20230060000x x -+-

=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002

x --+- =220(57.5)6612560000x --+-

=2

20(57.5)6125x --+

所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元

本题解题过程如下：

解：设售价为x 元，利润为W

（1）涨价时， 1W =(40)x -（300 --60202

x ⨯） = (40)(10900)x x --+