离散数学07抽象代数
离散数学总结
离散数学总结离散数学学习总结一、课程内容介绍：1．集合论部分：集合论是离散数学中第一个抽象难关，在老师的生动讲解下，深入浅出，使得集合论成了相当有趣的知识。
只是对于以后的应用还不是很了解，感觉学好它很重要。
直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。
例如：方程x2－1＝0的实数解集合；26个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法，如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。
例如B和C 是不相交的。
两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交：A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An}A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An}2．关系二元关系也可简称为关系。
对于二元关系R，如果∈R，可记作xRy；如果R，则记作x y。
例如R1={<1,2>,}，R2={<1,2>,a,b}。
则R1是二元关系，R2不是二元关系，只是一个集合，除非将a和b定义为有序对。
根据上面的记法可以写1R12，aR1b，aR1c等。
给出一个关系的方法有三种:集合表达式，关系矩阵和关系图。
设R是A上的关系，我们希望R具有某些有用的性质，比如说自反性。
如果R不具有自反性，我们通过在R中添加一部分有序对来改得到新的关系R'，使得R'具有自反性。
但又不希望R'与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。
满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。
通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。
3．代数系统代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。
抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。
离散数学
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
p q的逻辑关系为p与q互为充要条件
p
q
p q
例：1.3是有理数当且仅当加拿大位于亚洲。
F
F
T
2.两圆的面积相等，则他们的半径相等，
1.1 命题和命题联结词
联结词的优先次序： （1）由强到弱依次是：，，， ，,。 （2）按优先级书写，可以省略不必要的括号。 （3）同级的联结词，按从左往右的次序运算。
例：p：北京比天津人口多 q：2＋2＝4
求以下命题的真值
（1）p q q r (2)r q p q p
读作“p与q”或“p合取q”。
是自然语言中的“并且”、
p
“既又”、“不但
F
而且”、“虽然但是”
F
、“一面一面”等的逻辑抽象。 T
T
q
pq
F
F
T
F
F
F
T
T
p：王化的成绩很好。
q：王化的品德很好。
p∧q： 王化不但成绩好而且品德好。
1.1 命题和命题联结词
3).析取词 命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p或q”。
1.1 命题和命题联结词
4).蕴涵词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“如果p,则q” 或“p条件q”。称为前件（前提），q称作后件（结论）。
是自然语言中的“如果，则”，“若，则”
的逻辑抽象。
有位父亲对儿子说：“如果我 p
q
F
F
去书店，就一定给你买电脑 F
最新离散数学参考答案--古天龙-常亮-版
数理逻辑
第三篇之抽象代数
2003年，上海市总人口达到1464万人，上海是全国第一个出现人口负增长的地区。
众上所述，我们认为：我们的创意小屋计划或许虽然会有很多的挑战和困难，但我们会吸取和借鉴“漂亮女生”和“碧芝”的成功经验，在产品的质量和创意上多下工夫，使自己的产品能领导潮流，领导时尚。在它们还没有打入学校这个市场时，我们要巩固我们的学生市场，制作一些吸引学生，又有使学生能接受的价格，勇敢的面对它们的挑战，使自己立于不败之地。第四篇之图论
据介绍，经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人，他们在琳琅满目的货架上挑选，然后亲手串连，他们就是偏爱这种ＤＩＹ的方式，完全自助。
10元以下□ 10～50元□ 50～100元□ 100元以上□
2、你大部分的零用钱用于何处？
当然，在竞争日益激烈的现代社会中，创业是件相当困难的事。我们认为，在实行我们的创业计划之前，我们首先要了解竞争对手，吸取别人的经验教训，制订相应竞争的策略。我相信只要我们的小店有自己独到的风格，价格优惠，服务热情周到，就一定能取得大多女孩的信任和喜爱。
（二）DIY手工艺品的“热卖化”
500元以上 1பைடு நூலகம் 24%
一、 消费者分析
标题：大学生“负债消费“成潮流 2004年3月18日
北京大学数学科学学院考研参考书目汇总
北京大学数学科学学院考研参考书目汇总考试科目编号：01 数学分析 02 高等代数03 解析几何 04 实变函数05 复变函数 06 泛函分析07 常微分方程 08 偏微分方程09 微分几何 10 抽象代数11 拓扑学 12 概率论13 数理统计 14 数值分析15 数值代数 16 信号处理17 离散数学 18 数据结构与算法01 数学分析（ 150 分）考试参考书：1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。
2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。
02 高等代数（ 100 分）考试参考书：1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。
高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。
高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。
2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。
03 解析几何（ 50 分）考试参考书：1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。
2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社， 2003年。
04 实变函数（ 50 分）考试参考书：1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社， 2001年。
05 复变函数（ 50 分）考试参考书：1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。
06 泛函分析（ 50 分）考试参考书：1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。
07 常微分方程（ 50 分）考试参考书：1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。
2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。
3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。
08 偏微分方程（ 50 分）考试参考书：1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。
2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。
离散数学 第4章 代数系统(祝清顺版)
代数结构的知识体系
半群与群 环与域 格与布尔代数
分类 成分：载体及运算 公理：运算性质 产生 代数系统的构成
子集
子代数
同 种 的 同 类 型 的
等价关系
映射
代数系统的 同态与同构 代数系统间的关系
离散数学 第四章 代数系统 2007年8月20日
商代数 新代数系统
，有限域理论是差错控制编码理论的数学基础，在通讯中发 挥了重要作用。而电子线路设计、电子计算机硬件设计和通 讯系统设计更是离不开布尔代数。
离散数学 第四章 代数系统 2007年8月20日
学习本篇的方法
1、要按照数学的思维方式学习, 即观察客观世界, 抽象出模型 , 再分析、推理揭示内在规律的过程。 2、领会“抽象”性：代数的抽象性不仅体现在元素的抽象上, 还体现在相应运算的抽象上, 是在最纯粹的形式下研究代数结 构中的运算的规律与性质, 从运算的角度来考虑代数结构中的 元素。因此, 初等代数的相应概念、结论不能直接应用在抽象 代数中。如何跨越从直观到抽象是学习抽象代数的重要一步。 3、教材的基本思路是： 首先严格定义什么是代数结构, 并讨 论一般代数结构的基本性质。然后讨论代数结构研究的两个方 面：其一是通过一些基本性质来规定一类特定的代数结构, 并 对这类代数结构的性质进行研究。其二是研究代数结构之间的 各种关系, 通过对代数结构之间关系的研究 , 就可以把一个代 数结构中的某些性质推广到另一个代数结构中。
离散数学
第四章 代数系统
2007年8月20日
例题
例2 实数集R和两个二元运算: 普通加法＋和普通乘法 ×, 构成一代数系统, 记作(R, ＋, ×).
(1) 载体是实数集R.
离散数学证明方法有哪些
离散数学证明方法有哪些离散数学中的概念和定理偏多，思维较抽象，证明强调技巧性但改变不多。
下面我给大家整理了关于离散数学证明方法，盼望对你有协助!1离散数学证明方法离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中根底理论的核心课程。
离散数学以探究离散量的构造和相互间的关系为主要目标，其探究对象一般地是有限个或可数个元素，因此他充分描述了计算机科学离散性的特点。
2离散数学证明方法干脆证明法干脆证明法是最常见的一种证明的方法，它通常用作证明某一类东西具有一样的性质，或者符合某一些性质必定是某一类东西。
干脆证明法有两种思路，第一种是从确定的条件来推出结论，即看到条件的时候，并不知道它怎么可以推出结论，那么可以先从确定条件遵照定理推出一些中间的条件(这一步可能是没有目的的，要看看从确定的条件中能够推出些什么)，接着，选择可以推出结论的那个条件接着往下推演;另外一种是从结论反推回条件，即看到结论的时候，首先要反推一下，看看从哪些条件可以得出这个结论(这一步也可能是没有目的的，因为并不知道要用到哪个条件)，以此类推始终到确定的条件。
通常这两种思路是同时进展的。
反证法反证法是证明那些“存在某一个例子或性质”，“不具有某一种的性质”，“仅存在”等的题目。
它的方法是首先假设出所求命题的否命题，接着依据这个否命题和确定条件进展推演，直至推出与确定条件或定理相冲突，那么认为假设是不成立的，因此，命题得证。
构造法证明“存在某一个例子或性质”的题目，我们可以用反证法，假设不存在这样的例子和性质，然后推出冲突，也可以干脆构造出这么一个例子就可以了。
这就是构造法，通常这样的题目在图论中多见。
值得留意的是，有一些题目其实也是本类型的题目，只不过比拟隐藏罢了，像证明两个集合等势，事实上就是证明“两个集合中存在一个双射”，我们即可以假设不存在，用反证法，也可以干脆构造出这个双射。
数学归纳法数学归纳法是证明与自然数有关的题目，而且这一类型的题目可以递推。
离散数学 代数结构-代数系统
例：设B={0,a,b,1}，S1={a,1} S2={0,1} S3={a,b} 二元运算+和*由表给出，则： 1）<B,*,+,0,1>是代数系统吗？ 2）<S1,*,+>是代数系统吗？ 是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 3）<S2,*,+,0,1>是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 4）<S3,*,+>是代数系统吗？
4、子代数系统
定义14 设V＝ <S，fl，f2，…，fk> 是代数系统, B⊆S， 如果B对fl，f2， …，fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数 常数，则称<B，fl，f2，…，fk > 是V的子代数系统，简称子 代数． 有时将子代数系统简记为B． 例 <N，+>是<Z，+> 的子代数，因为N对加法运算+是封闭的． < N，+> 也是<Z，+，0> 的子代数，因为N对加法运算封闭， 且N中含有代数常数0 注：从子代数定义不难看出，子代数和原代数不仅具有相同的构 成成分，是同类型的代数系统，而且对应的二元运算都具有相同 的运算性质。 任何代数系统其子代数一定存在；最大的子代数是其本身。 如果代数常数构成子代数，最小的子代数。 最小和最大的的子代数成为平凡的子代数。 如果B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数。
3 相同代数性质(同种类）的代数系统
引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将相同 代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。
代数系统 V ＝ < S ， * >, 其中 * 是一个可结合的二元 运算, 就代表了一类特殊的代数系统——半群．
抽象代数应用
抽象代数应用抽象代数是数学的一个分支，研究数的代数结构及其运算规则。
抽象代数的应用广泛存在于数学、物理、计算机科学等领域，对于深入研究这些学科至关重要。
本文将探讨抽象代数在几个不同领域的应用。
一、密码学与抽象代数密码学是信息安全领域的一个重要分支，而抽象代数则是密码学的理论基础。
抽象代数中的群论、域论和线性代数等概念与密码学中的秘密密钥、公钥密码体制以及加密算法密切相关。
例如，RSA加密算法中就应用了抽象代数中的模指数运算、欧几里得算法等概念，保证了数据的安全性并实现了加密通信。
二、建模与抽象代数在数学建模中，抽象代数为我们提供了一种强大的工具。
通过引入抽象代数的概念，我们可以将实际问题转化为数学模型，利用代数结构和运算规则进行分析和求解。
例如，线性代数中的矩阵运算可以用来描述复杂的投资组合关系和网络连接关系，群论中的群操作可以用于研究社交网络中的信息传递和扩散规律。
抽象代数的建模能力为各行各业提供了解决实际问题的有效方法。
三、编码理论与抽象代数编码理论是信息传输和存储的关键领域，而抽象代数则为编码理论提供了数学基础。
在编码理论中，利用抽象代数的概念可以设计出高效的纠错码和压缩算法，提高数据传输和存储的可靠性和效率。
例如，循环码、汉明码等纠错码都是基于有限域和离散群的概念设计而成，通过引入抽象代数的概念，编码理论可以实现对数据的可靠传输和有效压缩。
四、量子力学与抽象代数抽象代数在量子力学中也有广泛的应用。
量子力学使用抽象代数中的线性代数和群论概念描述微观粒子的运动和相互作用。
通过引入矢量空间、希尔伯特空间和酉群等概念，抽象代数为量子力学提供了明确的数学描述和计算方法。
例如，量子力学中的态矢量、算符和测量等概念都是基于抽象代数的工具来描述和分析的。
五、计算机科学与抽象代数抽象代数是计算机科学中的核心学科之一，与数据结构、算法和计算复杂性等领域密不可分。
抽象代数提供了一种理论框架，用于设计和分析各种计算机程序和算法。
《离散数学》教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程编号：课程中文名称：离散数学课程英文名称：Discrete mathematics课程类型：考查课课程性质：专业技术基础课总学时： 54学时理论授课学时： 46学时实验（实践）学时：8学时学分：3分适用对象：信息管理与信息系统、信息工程本科先修课程：高等数学线性代数一、编写说明（一）制定大纲的依据依据我系信息管理与信息系统、信息工程专业学科体系和特色化人才培养目标的要求，制定编写了该教学大纲，在内容上突出了《离散数学》课程的基本理论、基本知识和基本技能，反映现代科学技术的发展趋势，体现了我系的特色化人才培养模式。
（二）课程简介离散数学，是现代数学的一个重要分支，是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素。
《离散数学》内容主要包括: 数理逻辑中命题演算、谓词演算等形式逻辑的推理规律；集合的概念、运算及应用，集合内元素间的关系以及集合之间的关系,无限集的特性；抽象代数的基本理论和应用,格与布尔代数图论学科的基本概念、欧拉图、哈密尔顿图、最小路径算法、中国邮路问题、树及平面图的基本理论；通过该课程可以培养学生的抽象思维和慎密的概括能力，该课程主要适用于自动控制、电子工程、管理科学等有关专业，是计算机专业的必修课。
（三）课程性质、目的和任务《离散数学》课程是为计算机科学与技术专业的学生开设的一门专业基础课程。
随着计算机科学的发展和计算机应用领域的日益广泛，迫切需要适当的数学工具来解决计算机科学各个领域中提出的有关离散量的理论问题，离散数学就是适应这种需要而建立的，它综合了计算机科学中所用到的研究离散量的各个数学课题，并进行系统、全面的论述，从而为研究计算机科学及相关学科提供了有利的理论基础和工具。
是学习后续专业课程不可缺少的数学工具，如：高级语言、数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论等，离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等的重要工具。
离散数学代数结构部分演示精品PPT课件
解：因为 a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
7
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)，
验证运算*和★满足吸收律。
13
解：对于任意a，b∈N a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a
a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a 因此，*和★满足吸收律。
14
5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算，
23
2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算，
24
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
25
➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
15
➢在自然数集N上加法的幺元是0，乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。
16
17
➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
18
➢定理5.2 设*是S上的二元运算，
如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ，
2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
抽象代数的基本概念与运算
在代数学中的应用
群论：抽象代数中的群论在数学中有着广泛的应用，如对称性、组合数学等。 环论：环论在代数几何、线性代数等领域有着重要的应用，如多项式环、矩阵环等。 域论：域论在数论、代数几何等领域有着重要的应用，如代数数论、伽罗瓦理论等。 模论：模论在代数几何、同调代数等领域有着重要的应用，如向量模、自由模等。
环
定义：环是由加法封闭、结合律和单位元构成的代数结构 分类：根据定义不同，环可以分为整环、除环、交换环等 运算：环中元素可以进行加法、减法、乘法等运算，满足结合律和交换律 性质：环具有一些重要的性质，如零因子不可约、唯一分解性等
元素：域的元素可以是数字、 字母或其他符号
域
运算：域中定义了加法、减法、 乘法和除法四种基本运算
起源：19世纪初，数学家开始研究抽象代数 奠基人：Galois、Cayley等数学家为抽象代数的发展做出了重要贡献 重要成果：群论、环论、域论等分支的形成与发展 应用领域：在数学、物理、计算机科学等领域有广泛的应用
抽象代数的研究对象
代数系统：由集合 和运算组成的代数 结构，包括群、环、 域等。
代数性质：研究代 数系统的性质和关 系，如同态、同构 等。
汇报人：XX
应用领域限制：虽然抽象代数在某些领域中得到了应用，但它仍然没有得到广泛 应用，这限制了其发展前景。
理论难度：抽象代数的理论比较深奥，难以理解和掌握，这给其发展和应用带来 了一定的挑战。
交叉学科融合：抽象代数需要与其他数学分支和学科进行交叉融合，以拓展其应 用领域和研究范围，这需要更多的努力和探索。
未来发展方向与展望
定义：域是一种数学结构，由 集合和定义在该集合上的运算 组成
离散数学-代数系统
1
抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码 理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数 的知识。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：
4
为了研究抽象的代数系统，需要先定义一元和二元代数运算以 及二元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽 象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统 的内在特性和应用。
主要内容：
第四章 代数系统 第五章 群 *第六章 环和域 第七章 格和布尔代数
5
第四章 代数系统
本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复杂的对 象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系 统与代数系统之间的关系（如代数系统的同态、满同态和同构， 这些概念较为复杂也较为抽象，是本章的难点）。它们将集合、 集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。 前三章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、关系、函数等概 念和性质是理解本章内容的关键。
= (r1 + r2 – r1r2) + r3 – (r1 + r2 – r1r2)r3
= r1 + r2 + r3 – r1r2 – r1r3 – r2r3 + r1r2r3,
r1 (r2 r3) = r1 (r2 + r3 – r2r3)
= r1 + (r2 + r3 – r2r3) – r1(r2 + r3 – r2r3)
定理4-1 设 ◦ 是定义在集合 A 上的一个 n 元运算，且在 A 的两 个子集 S1 和 S2 上均封闭，则 ◦ 在 S1 S2 上也是封闭的。
离散数学的代数理论
2016/6/10
zhengjin,csu
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例6 (1)代数<I，· ，1,0>，· 表示乘法，有一个么元 1和零元0 (2)代数<N，+> 有么元0，但无零元。 (3)代数<N，min>有一个零元0，但无么元。
2016/6/10
zhengjin,csu
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么元和零元的性质
定理： 设* 是S 上的一个二元运算，若同时具有左么元 a 和右么 元b，则a=b,a就是么元。 证明：由a是左么元知：a*b=b 由b是右么元知：a*b=a 所以a=b, 所以a也是右么元。a就是么元 (这个定理说明：如果同时存在左么元和右么元，则二者相等， 且就是么元，么元若存在，只有一个) 对于零元也有类似结果。 定理：设*是S上的一个二元运算，若同时具有左零元a和右零元 b，则a=b,a就是零元。
2016/6/10
zhengjin,csu
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么元和零元的定义
定义 2 设 *是 S 上的二元运算， 1是 S 的元素，如果对 S 中的 每一元素x,有 1*x=x*1=x 则称元素 1 对运算 *是么元。若 0 是 S中的元素，且对 S中的 每一元素x，有 0*x=x*0=0 则称元素0对运算*是零元。
类似地，有右么元和右零元的定义。
2016/6/10 zhengjin,csu 12
例5 代数A的运算*如下表所示
很显然: a是*的左么元 a也是*的右么元， b是*的左零元。 没有右零元。
* a a b c a b c
b b b c
c c b b
判断方法：
观察运算的行和列： 若存在某一行和上边行相同，则其左边的元素就是运算的左么元。 若存在某一列与左列相同，则其上方的元素就是运算的右么元。
离散数学-格和布尔代数
注： 从偏序集 < L; > 的次序图来看 l1 和 l2 有最大下界：从结点 l1 和 l2 出发，经过向下的路径 至少可以共同到达次序图的一个结点，这些结点中最上面 的那一个就代表 l1 和 l2 的最大下界。 l1 和 l2 有最小上界：从结点 l1 和 l2 出发，经过向上的路径 至少可以共同到达次序图的一个结点，这些结点中最下面 的那一个就代表 l1 和 l2 的最小上界。
且 a2 a1，a1 a2，
由 的反对称性得 a1 = a2。 类似地可以证明，l1 和 l2 若存在 lub，则 lub 也一定是唯一的。
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三、最小元素和最大元素
定义7-4 设 < L; > 是一偏序集。 (1) 如果存在元素 a L，使得对所有的元素 l L，有 a l， 则称 a 是 < L; > 的最小元素。 (2) 如果存在元素 b L，使得对所有的元素 l L，有 l b， 则称 b 是 < L; > 的最大元素。 定理7-2 若偏序集 < L; > 有最小元素，则最小元素是唯一的。 若 < L; > 有最大元素，则最大元素也是唯一的。 证明：设 a1, a2 都是 < L; > 的最小元素，b1, b2 都是 < L; > 的 最大元素，则由定义7-4，有 a1 a2，a2 a1，b1 b2，b2 b1。 由反对称性得 a1 = a2，b1 = b2。 12
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定理7-5（结合律）设 < L; > 是格，则对任意的 l1, l2, l3 L， 有 (1) l1 (l2 l3) = (l1 l2) l3；(2) l1 (l2 l3) = (l1 l2) l3。
离散数学07抽象代数
7.2 代数结构及其性质
定义7.1 设S是一个非空集合。如果有一 个法则, 它对S中任意两个有序元素a与b, 在S中都有一个惟一确定的元素c与它们 对应, 则称这个法则是集合S中一个二元 代数运算。
7.2 代数结构及其性质
一般地,容易得到n元运算的定义：
设S是一个非空集合。如果有一个法则,它 对S中任意n个有序元素a1, a2, „, an, 在S中 都有一个惟一确定的元素d与它们对应, 则称这 个法则是集合S中一个n元代数运算。
7.2 代数结构及其性质
例7.3 设*是定义在集合A上的一个n元运算, S1和S2是在A上运算*下封闭的A的子集, 则 S1∩S2在*下也是封闭的。 证明 对任一组元素a1, a2, „, an∈S1∩S2, 因为a1, a2, „, an∈S1, 且S1在运算*下是 封闭的, 所以, *(a1, a2, „, an)∈S1, 又 因为a1, a2, „, an∈S2, 且S2在运算*下也是 封闭的, 所以有*(a1, a2, „, an)∈S2, 由 此得知*(a1, a2, „, an)∈S1∩S2。即： S1∩S2在*下也是封闭的。
7.2 代数结构及其性质
练习1 通常数的乘法运算是否可看作下
列集合上的二元运算？请说明理由。
（1）A={1,2}
（2）B={x|x是素数}
（3）C={x|x是偶数}
（4）D={2n|n∈N}
7.2 代数结构及其性质
定义7.2 设S上有n元运算*（n为正整数）， S′S, 若对任意 a1, a2, „, an∈S′，有 *(a1, a2, „, an)∈S′, 则称S上的*运算对 S′封闭，或称为S′在*下是封闭的。
例7.4
(1)设A=｛1, 2, „, m｝, m是一个正整数。A2 到A的映射定义为：
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7.2 代数结构及其性质
设R为实数集合，它关于普通乘法*是R上的代数运算。 R-{0}是全体非零实数集合, 对任意a, b∈ R-{0},也 有 a*b∈R-{0}。因此，普通乘法*还是R-{0}上的代 数运算。 R关于普通加法+是R上的代数运算。 对任意a, b∈ R-{0},但不一定a+b∈R-{0}，例如2+ （-2）=0。因此，普通加法+不是R-{0}上的代数运算。
第7章 抽象代数
本章内容提要：
1. 抽象代数概述 2. 代数结构及其性质
重点： 代数结构的判定与构造 代数结构关系：同态、同构 特殊关系：同余关系
3. 同态与同构
7.1 抽象代数概述
抽象代数的创始人是两位英年早逝的青 年数学家，阿贝尔与伽罗瓦。阿贝尔, 是挪威
Байду номын сангаас
青年数学家, 乡村牧师之子, 幼年丧父, 家贫。
7.2 代数结构及其性质
A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下
* 1 1 3 3 9 7
1
3
3
9
9
7
7
1
9
7
9
7
7
1
1
3
3
9
乘法*运算满足交换律、结合律、消去律
7.2 代数结构及其性质
B={0,1,2,3,4,5},B上模6乘法*运算表如下
* 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 4 3 0 3 0 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1
若集合A上的二元运算*满足结合律, 则我们常 用a*b*c来表示(a*b)*c=a*(b*c)。
7.2 代数结构及其性质
于是, 进一步可令an=a*a*„*a,an 读作a 的n次幂。可以通过如下递归定义得到： (1) a1=a;
(2) an+1=an*a。
利用数学归纳法,不难证明下列公式:
(1) am*an=am+n;
抽象代数对计算机科学的发展有着重大的理 论和实践意义, 如在程序理论、语义学、数据结 构和编码理论, 以及逻辑电路设计的研究, 此外， 抽象代数还被广泛用于物理学、生物学以及社会 科学中。本章将探讨代数结构的数学描述以及一 般代数结构的基本性质。后续两章将深入讨论群、 布尔代数等典型的代数结构及其应用。
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抽象代数
Abstract Algebra
本部分所要探讨的数学结 构是由集合上定义若干运
算而组成的系统——称为
代数系统(代数结构)。
抽象代数
主要内容
第7章 抽象代数
第8章
第9章
群
布尔代数
第7章 抽象代数
相对古典代数而言, 抽象代数也称为近世代 数(Modern Algebra), 由于其研究对象是由对象 集合及运算组成的数学结构，即代数结构, 因此, 抽象代数也被称为代数结构或代数系统。
7.2 代数结构及其性质
其他例子：A={0,1}，A上逻辑非、析取、合取运算
一元运算
二元运算
¬
0 1 1 0
∨ 0 1
0 0 1 1 1 1
∧ 0 1
0 0 0
1 0 1
以上二元运算使用运算表。
7.2 代数结构及其性质
设I为全体整数集合, n是正整数, 规定 In到I的映射为f：(a1, a2, „, an)→a1,
对于任意(a1, a2, „, an)∈In,
则f是一个n元运算。其中 f(a1,a2,„,an)=a1。 上述代数运算的表示方法称为解析公式 法, 也就是用函数来表示运算。
7.2 代数结构及其性质
练习1 通常数的乘法运算是否可看作下 列集合上的二元运算？请说明理由。 （1）A={1,2} （2）B={x|x是素数} （3）C={x|x是偶数} （4）D={2n|n∈N}
(2) (am)n=amn。
其中，m，n∈I+。
7.2 代数结构及其性质
全体n×n实矩阵的集合Mn(R)上普通的
矩阵乘法*满足结合律，
但不满足交换律。因为一般有：
A*B≠B*A ，
Mn(R)上矩阵乘法*对加法+满足分配律。
7.2 代数结构及其性质
设A=｛1, 2, „, m｝, m是一个正整数。
定义7.3 设S是一个非空集合, f1, f2, „, fn 是S上的n个代数运算, 则S与n个运算所组成的结 构称为代数结构或代数系统,记为<S;f1, f2, „, fn>。
根据上述定义, 一个代数结构需满足如下两个 条件： (1)有一个非空集合S, 称为载体;
(2)一些定义在载体S上的运算。
若S为有限集，则该称代数结构为有限代数结构。
根据上述定义，可以看到，如果这个法则 是S的一个代数运算，则该法则其实就是S上的 一个映射(或函数)：Sn→S, n称为这个运算的 阶。对于集合S的一个n元运算f, 若(a1,a2,„, an)∈Sn在f下的像是c, 即f(a1,a2, „,an)→c, 则记为c=f(a1, a2, „, an)。
7.2 代数结构及其性质
定义7.1 设S是一个非空集合。如果有一 个法则, 它对S中任意两个有序元素a与b, 在S中都有一个惟一确定的元素c与它们 对应, 则称这个法则是集合S中一个二元 代数运算。
7.2 代数结构及其性质
一般地,容易得到n元运算的定义：
设S是一个非空集合。如果有一个法则,它 对S中任意n个有序元素a1, a2, „, an, 在S中 都有一个惟一确定的元素d与它们对应, 则称这 个法则是集合S中一个n元代数运算。
{a,b,c} {a,b,c} {b,c} {b,c} {a,b,c} {a,b,c}
{a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,c} {a,b,c} {a,b,c} {b,c} {a,b,c}
{a,b,c} {a,b,c}
{a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c}
7.2 代数结构及其性质
上述示例中, 虽然是对不同集合给
出的不同运算, 但它们都具有这样一个
共同的特点：它们都是某个给定的集合
S(S分别为上述二例中的P(A)和Mn(R))中
的任意一个或一对有序取出的元素, 根
据这个法则可在S中找到惟一的一个元素
与之对应。由此, 我们可以抽象出在一 个集合上的二元代数运算的概念。
3
4
0
0
3
4
0
2
3
0
5
0
5
4
3
乘法*运算满足交换律、结合律
但不满足消去律，例如2*1= 2 =2*4，但1≠4
7.2 代数结构及其性质
练习3 实数集R上的下列二元运算是否满
足交换律和结合律？
（1）r1*r2=r1+r2-r1r2
（2）r1ο r2=(r1+r2)/2
7.2 代数结构及其性质
7.2.2 代数结构
7.1 抽象代数概述
伽罗瓦, 是法国青年数学家, 其父亲是自由主义 思想家, 母亲亦受了良好教育, 中学时就对数学产生 强烈兴趣, 他两次投考巴黎综合技术学院而未被录取， 后进入巴黎高师学习, 提出“群”的概念。但其论文 未被数学家柯西、泊松等接受。跟大多数数学家不问 政治不同，伽罗瓦是一个非常激进的革命者，后因政 治原因入狱。最后与人决斗受伤而去逝。在其决斗前 几天, 写下了其主要研究成果, 直到40年后, 其成果 才被世人所接受。后有著名数学家评价说：“伽罗瓦 的去逝使数学的发展推迟了几十年”。从伽罗瓦的工 作以后，代数学结束了解方程的历史，进入研究新的 数学对象——群、环、域的抽象代数的发展阶段。
定义7.2 设S上有n元运算*（n为正整数），S′S, 若对任意 a1, a2, „, an∈S′，有*(a1, a2, „, an)∈S′, 则称S上的*运算对S′封闭，或称为S′在* 下是封闭的。
7.2 代数结构及其性质
练习2 A={x｜x=2n，n∈N}，问<A，>是否封 闭，<A，+>，<A，/>呢？
多独创性成果, 但大都未受重视, 贫病而逝。 去逝后3天, 柏林大学寄来教授聘书, 让后人 叹息！后人曾评价说：“他工作不是为自己， 而是为他热爱的科学”。2001，在阿贝尔诞生
200周年之际，挪威王国政府宣布，设立面向
国际的“阿贝尔数学奖”。
Niels Abel
A statue of Abel in Oslo
在P(A)上并∪运算的结果均在P(A)中
7.2 代数结构及其性质
7.2.1 代数运算
例7.1 (2) A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下
* 1 1 1 3 3 9 9 7 7
3
9 7
3
9 7
9
7 1
7
1 3
1
3 9
B={0,1,2,3},B上模4加法+运算表如下
+ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2
解
2r，2s∈A，2r 2s=2r+s∈A（r+s∈N）
∴<A， >运算封闭 2，4∈A，2+4A，∴<A，+>运算不封闭 2，4∈A，2/4A， ∴<A，/>运算不封闭
7.2 代数结构及其性质
对于A上两种二元运算ο 和*：
若对于任意a, b∈A有：aο b=bο a, 则称ο 在A 上是可交换的(或称ο 满足交换律)。
Evariste Galois
A drawing done in 1848 from memory by Evariste's brother.