第2章 质点运动学
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１．直角坐标 二维直角坐标的正交归一基矢是 (i,j),(i,j) 分别是沿直角坐 标轴、方向的单位矢量 。在直角坐标下 ,
例 一质点具有恒定加速度 ，在
时，其速度为零，位置矢量
。求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在
平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。 解：由加速度定义式，根据初始条件t0 = 0时v0 = 0，积分可得
（１）．位置矢量
在参考系选定以后，为定量地描述质点的位置和位置随时间的变 化，须在参考系上选择一个坐标系。
在如图２-１所示的直角坐标系中，在时间 ，质点 在坐标系里的位置可用位置矢量 来表示。位置矢量简称位矢，它是一个有向线段，其始端位于坐标系的 原点 ，末端则与质点 在时刻 的位置重合。从图中可以看出，位矢 在ox轴、oy轴和oz轴上的投影(即质点的坐标)分别为 、 和 。所以，质点 在直角坐标系中的位置，既可以用位矢 来表示，也可以用坐标 、
运动方程。
（3）．位移
在如图2-2 平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻 的点 运动到时刻 的点 ，质点相对原点 的位矢由 变化到 。显然，在时间间隔 内，位矢的长度和方向都发生了变化。我们将由起始点 指向终点 的有向线段 称为点
到点 的位移矢量，简称位移。位移 反映了质点位矢的变化。如把 写作 ，则质点从 点到点 的位移为
如图２-３所示，一个质点在平面上沿轨迹 曲线运动。在时刻 ，它处于点 ，其位矢为
。在时刻 ，它处于点 ，其位矢为 。在 时间内，质点的位移为 。在时间间隔 内的平均速度 为
平均速度可写成
图2-3
其中 是平均速度 在 轴和 轴上的分量。
（2 ）． 瞬时速度 当
时，平均速度
的极限值叫做瞬时速度(简称速度)，用 表示，有
（2-11b） 由式(2-10)和式(2-11b)，可将质点作变速圆周运动时的加速度的表达
式(2-8)写成
（2-12a） 或
(2-12b) 其中切向加速度
是由于速度数值的变化而引起的，法向加速度
则是由于速度方向的变化而引起。
可得轨迹方程
图2-5
并可作如图２-５所示的质点运动轨迹图。
3． 加速度
上面已经指出，作为描述质点状态的一个物理量，速度是一个矢 量，所以，无论是速度
的数值发生改变，还是其方向发生改变，都表示速度发生了变化。 为衡量速度的变化，我们将从曲线运动出发引出加速度的概念。
2． 质点
物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。例如,太阳系中,行 星除绕自身的轴线自转外, 还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空 中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平 动、转动外,分子内各个原子还在振动。这些事实都说明,物体的运动情 况是十分复杂的。物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。
（2-3a）
图2-2
亦可写成
上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在
轴和
轴上的位移矢量和。 若质点在三维空间运动，则在直角坐标系Oxyz中其位移为
（2-3b） 应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变 化的实际效果,并非质点所经历的路程。如在图 2-2 中,曲线所示
第2章 质点运动学
本章要点： 1．质点运动状态的描述，掌握基本概念如质点、位置矢量、速度、加速 度； 2．质点运动的矢量性与瞬时性、相对性； 3．三种常用坐标下各运动学量的表达式； 4．解决运动学基本问题的方法； 5．相对运动及伽利略变换。
物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学 科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子 核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动是这些运动中最简单、最常 见的运动形式 ,其基本形式有平动和转动。在平动过程中,若物体内各 点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任 一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改 变的情况。在力学中,这部分内容称为质点运动学。
加方向的矢量
，称为切向单位矢量，另取一单位矢量，沿曲线的法向且指向曲线 的凹侧的矢量
，称为法向单位矢量。下面以圆周运动为例。
（2）．切向速度 如图2-9所示，质点在圆周上点
的速度为 ，于是点 的速度 可以写成
（2-7） 式中
为速度
的值，
则代表速度
的方向。 （3）．切向加速度和法向加速度 在圆周上任意点的加速度为
图2-4
只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所 以位矢 和速度 是描述质点运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程 求出，所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。因 此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运动方程求解运动状 态；另一是由已知运动状态求解运动方程。
和 来表示。那么位矢 亦可写成
其值为
（2-1）
位矢
的方向余弦由下式确定
图2-1
(2)． 运动方程
当质点运动时，它相对坐标原点
的位矢
是随时间而变化的。因此，
是时间的函数，即
（2-2） 式(2-2)叫做质点的运动方程；而
、
和
则是运动方程的分量式，从中消去参数
便得到了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程。 应当指出, 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的
应当注意，加速度 既反映了速度方向的变化，也反映了速度数值的变化。所以质点作 曲线运动时，任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同，即加速 度方向不沿着曲线的切线方向。在曲线运动中，加速度的方向指向曲线 的凹侧。
式(２-5)可以写成
即
（2-6） 其中
例 有一个球体在某液体中垂直下落，球体的初速度为
如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只 考虑其平动,那么, 我们就可把物体当作是一个有一定质量的点,这样的 点通常叫做质点。
质点是经过科学抽象而形成的物理模型。把物体当作质点是有条件 的、相对的,而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析。 例如研究地球绕太阳公转时，由于地球至太阳的平均距离约为地球半径 的 104 倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在 研究地球公转时可以把地球当作质点。但是,在研究地球上物体的运动 情况时,就不能再把地球当作质点处理了。
，它在液体中的加速度为
。问:(1)任一时刻
的球体的速度。(2)时刻
球体经历的路程有多长？ 解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度 的方向与球体的速度 的方向相反，由加速度的定义，有
得
有
上式表明，球体的速率 随时间 的增长而减小。
又由速度的定义，有
得
2.1.3 几种常用的坐标
式(2-8)中第一项
（2-8）
，是由于速度大小的变化而引起的，其方向为
的方向，即与速度
的方向相同。因此，此项加速度分矢量称为切向加速度，用
表示， 另外，可得
式中
为角速度随时间的变化率，叫做角加速度，用符号
表示，有
（2-9） 角加速度
的单位为
， 则切向加速度
（2-10）
例 设质点的运动方程为 其中 ， 求 时的速度。 (2)作出质点的运动轨迹图。
解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数 的方法求出。
(1)由题意可得速度分量分别为
故 时的速度分量为
于是 时，质点的速度为
速度的值为 ，速度 与 之间的夹角为 (2)由已知运动方程 消去
称为角坐标，它是时间 t 的函数，即 ＝ （t）, 为角速度，在圆周运动下, 。
3．自然坐标
（１）．自然坐标
一般来说，质点平面运动需用两个独立的变量（是标量）描述，如
在平面直角坐标系中就是用x、y来描述，但质点又有其运动轨迹
y=y(x)，则x、y间只有一个是独立的。这就是说，在已知质点轨迹的前
提下，质点的平面运动仅需一个标量函数就能确切描述质点的运动状
应当指出, 把物体视为质点这种抽象的研究方法,在实践上和理论 上都有重要意义的。当我们所研究的运动物体不能视为质点时,可把整 个物体看成是由许多质点组成的,弄清这些质点的运动,可以弄清楚整个 物体的运动。所以,研究质点的运动是研究物体运动的基础。
2.1.2 质点运动的矢量描述
１．位置矢量 运动方程 位移
况。这里，我们既不选择x,也不选择y充当这一描述运动的标量函数，
而是选用另一种所谓“自然坐标”。
在已知运动轨迹上任选一点0为原点，沿质点的轨迹为“坐标
轴”（当然是弯曲的），原点至质点位置的弧
图2-9
长 s 作为质点的位置坐标，弧长 s 称为平面自然坐标，它确定质点
的位置，并在质点所在处Ａ取一单位矢量沿曲线切线且指向自然坐标增
又由
图2-7
及初始条件t = 0时，r0 = (10 m)i， 积分可得
由上述结果可得质点运动方程的分量式，即
消去参数t，可得运动的轨迹方程
这是一个直线方程，直线斜率
。
图2-8
2．平面极坐标
设有一质点在如图2-8所示 平面内运动，某时刻它位于点 。由坐标原点 到点 的有向线段 称为径矢， 与 轴之间的夹角为 。于是，质点在点 的位置可由( )来确定。这种以( )为坐标的参考系称为平面极坐标系。而在平面直角坐标系内，点 的坐标则为( )。这两个坐标系的坐标之间的变换关系为:
的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的长度为质点所经历的路程, 而位移则是 。当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路程 则不为零。所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念。只有 在△t 取得很小的极限情况下,位移的大小| |才可视为与路程 AB 没有区别。
2． 速度 在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是 静还是动,是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态。所以，还 应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度，这就是速度。 （1）．平均速度
（1）．平均加速度 如图２-６所示，设在时刻
，质点位于点
，其速度为
，在时刻
，质点位于点
，其速度为
，则在时间间隔
内，质点的速度增量为
，它在单位时间
内的速度增量即平均加速度为
图2-6
（２）．瞬时加速度 当 时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用 表示，有
（2-5） 的方向是 时 的极限方向，而 的数值是 的极限值。
2.1 质点运动的描述
2.1.1 参考系 质点
1．参考系
在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有 的。在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要选取其他物体作为标 准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描 述的相对性。
为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。不同的参考系对同一 物体运动情况的描述是不同的。因此,在讲述物体的运动情况时,必须指 明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体 的运动时,通常选地球作为参考系 。
亦趋于零，这时
的方向趋于与
垂直，即Baidu Nhomakorabea于与
垂直，并且趋于指向圆心。如果，我们在沿径矢而指向圆心的法线 方向上取单位矢量即法向单位矢量
(如上图)，那么，在
时，
的极限值为
这样，式(2-8)中第二项可以写成
由于这个加速度的方向是垂直于切向的，故叫做法向加速度，用
表示，有
考虑到
（2-11a）
故上式为
（2-4a） 或 （2-4b） 其中
是速度 在Ox轴和Oy轴上的分量，又称为速度分量。
显然，如以 分别表示速度 在 轴和 上的分速度(注意:它们是分矢量!)，那么有
上式亦可以写成 (2-4c) 速度
的方向与 时的极限方向一致。当 时，
趋于和轨道相切，即与点 的切线重合。所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向 就是沿该点曲线的切线方向。如图２-４所示。
式(2-8)中的第二项
图2-10
，则表示切向单位矢量随时间的变化。这一点从图2-10(a)中可以看 出。设在时刻 ，质点位于圆周上点 ，其速度为 ，切向单位矢量为 ；在时刻 ，质点位于点 ，速度为 ，切向单位矢量为 。在时间间隔 内，径矢 转过的角度为 ，速度增量为 ，切向单位矢量的增量则为 。由于切向单位矢量的值为1，即 ，因而，从图(b)可以知道 。当 时，
例 一质点具有恒定加速度 ，在
时，其速度为零，位置矢量
。求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在
平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。 解：由加速度定义式，根据初始条件t0 = 0时v0 = 0，积分可得
（１）．位置矢量
在参考系选定以后，为定量地描述质点的位置和位置随时间的变 化，须在参考系上选择一个坐标系。
在如图２-１所示的直角坐标系中，在时间 ，质点 在坐标系里的位置可用位置矢量 来表示。位置矢量简称位矢，它是一个有向线段，其始端位于坐标系的 原点 ，末端则与质点 在时刻 的位置重合。从图中可以看出，位矢 在ox轴、oy轴和oz轴上的投影(即质点的坐标)分别为 、 和 。所以，质点 在直角坐标系中的位置，既可以用位矢 来表示，也可以用坐标 、
运动方程。
（3）．位移
在如图2-2 平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻 的点 运动到时刻 的点 ，质点相对原点 的位矢由 变化到 。显然，在时间间隔 内，位矢的长度和方向都发生了变化。我们将由起始点 指向终点 的有向线段 称为点
到点 的位移矢量，简称位移。位移 反映了质点位矢的变化。如把 写作 ，则质点从 点到点 的位移为
如图２-３所示，一个质点在平面上沿轨迹 曲线运动。在时刻 ，它处于点 ，其位矢为
。在时刻 ，它处于点 ，其位矢为 。在 时间内，质点的位移为 。在时间间隔 内的平均速度 为
平均速度可写成
图2-3
其中 是平均速度 在 轴和 轴上的分量。
（2 ）． 瞬时速度 当
时，平均速度
的极限值叫做瞬时速度(简称速度)，用 表示，有
（2-11b） 由式(2-10)和式(2-11b)，可将质点作变速圆周运动时的加速度的表达
式(2-8)写成
（2-12a） 或
(2-12b) 其中切向加速度
是由于速度数值的变化而引起的，法向加速度
则是由于速度方向的变化而引起。
可得轨迹方程
图2-5
并可作如图２-５所示的质点运动轨迹图。
3． 加速度
上面已经指出，作为描述质点状态的一个物理量，速度是一个矢 量，所以，无论是速度
的数值发生改变，还是其方向发生改变，都表示速度发生了变化。 为衡量速度的变化，我们将从曲线运动出发引出加速度的概念。
2． 质点
物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。例如,太阳系中,行 星除绕自身的轴线自转外, 还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空 中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平 动、转动外,分子内各个原子还在振动。这些事实都说明,物体的运动情 况是十分复杂的。物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。
（2-3a）
图2-2
亦可写成
上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在
轴和
轴上的位移矢量和。 若质点在三维空间运动，则在直角坐标系Oxyz中其位移为
（2-3b） 应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变 化的实际效果,并非质点所经历的路程。如在图 2-2 中,曲线所示
第2章 质点运动学
本章要点： 1．质点运动状态的描述，掌握基本概念如质点、位置矢量、速度、加速 度； 2．质点运动的矢量性与瞬时性、相对性； 3．三种常用坐标下各运动学量的表达式； 4．解决运动学基本问题的方法； 5．相对运动及伽利略变换。
物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学 科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子 核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动是这些运动中最简单、最常 见的运动形式 ,其基本形式有平动和转动。在平动过程中,若物体内各 点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任 一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改 变的情况。在力学中,这部分内容称为质点运动学。
加方向的矢量
，称为切向单位矢量，另取一单位矢量，沿曲线的法向且指向曲线 的凹侧的矢量
，称为法向单位矢量。下面以圆周运动为例。
（2）．切向速度 如图2-9所示，质点在圆周上点
的速度为 ，于是点 的速度 可以写成
（2-7） 式中
为速度
的值，
则代表速度
的方向。 （3）．切向加速度和法向加速度 在圆周上任意点的加速度为
图2-4
只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所 以位矢 和速度 是描述质点运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程 求出，所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。因 此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运动方程求解运动状 态；另一是由已知运动状态求解运动方程。
和 来表示。那么位矢 亦可写成
其值为
（2-1）
位矢
的方向余弦由下式确定
图2-1
(2)． 运动方程
当质点运动时，它相对坐标原点
的位矢
是随时间而变化的。因此，
是时间的函数，即
（2-2） 式(2-2)叫做质点的运动方程；而
、
和
则是运动方程的分量式，从中消去参数
便得到了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程。 应当指出, 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的
应当注意，加速度 既反映了速度方向的变化，也反映了速度数值的变化。所以质点作 曲线运动时，任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同，即加速 度方向不沿着曲线的切线方向。在曲线运动中，加速度的方向指向曲线 的凹侧。
式(２-5)可以写成
即
（2-6） 其中
例 有一个球体在某液体中垂直下落，球体的初速度为
如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只 考虑其平动,那么, 我们就可把物体当作是一个有一定质量的点,这样的 点通常叫做质点。
质点是经过科学抽象而形成的物理模型。把物体当作质点是有条件 的、相对的,而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析。 例如研究地球绕太阳公转时，由于地球至太阳的平均距离约为地球半径 的 104 倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在 研究地球公转时可以把地球当作质点。但是,在研究地球上物体的运动 情况时,就不能再把地球当作质点处理了。
，它在液体中的加速度为
。问:(1)任一时刻
的球体的速度。(2)时刻
球体经历的路程有多长？ 解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度 的方向与球体的速度 的方向相反，由加速度的定义，有
得
有
上式表明，球体的速率 随时间 的增长而减小。
又由速度的定义，有
得
2.1.3 几种常用的坐标
式(2-8)中第一项
（2-8）
，是由于速度大小的变化而引起的，其方向为
的方向，即与速度
的方向相同。因此，此项加速度分矢量称为切向加速度，用
表示， 另外，可得
式中
为角速度随时间的变化率，叫做角加速度，用符号
表示，有
（2-9） 角加速度
的单位为
， 则切向加速度
（2-10）
例 设质点的运动方程为 其中 ， 求 时的速度。 (2)作出质点的运动轨迹图。
解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数 的方法求出。
(1)由题意可得速度分量分别为
故 时的速度分量为
于是 时，质点的速度为
速度的值为 ，速度 与 之间的夹角为 (2)由已知运动方程 消去
称为角坐标，它是时间 t 的函数，即 ＝ （t）, 为角速度，在圆周运动下, 。
3．自然坐标
（１）．自然坐标
一般来说，质点平面运动需用两个独立的变量（是标量）描述，如
在平面直角坐标系中就是用x、y来描述，但质点又有其运动轨迹
y=y(x)，则x、y间只有一个是独立的。这就是说，在已知质点轨迹的前
提下，质点的平面运动仅需一个标量函数就能确切描述质点的运动状
应当指出, 把物体视为质点这种抽象的研究方法,在实践上和理论 上都有重要意义的。当我们所研究的运动物体不能视为质点时,可把整 个物体看成是由许多质点组成的,弄清这些质点的运动,可以弄清楚整个 物体的运动。所以,研究质点的运动是研究物体运动的基础。
2.1.2 质点运动的矢量描述
１．位置矢量 运动方程 位移
况。这里，我们既不选择x,也不选择y充当这一描述运动的标量函数，
而是选用另一种所谓“自然坐标”。
在已知运动轨迹上任选一点0为原点，沿质点的轨迹为“坐标
轴”（当然是弯曲的），原点至质点位置的弧
图2-9
长 s 作为质点的位置坐标，弧长 s 称为平面自然坐标，它确定质点
的位置，并在质点所在处Ａ取一单位矢量沿曲线切线且指向自然坐标增
又由
图2-7
及初始条件t = 0时，r0 = (10 m)i， 积分可得
由上述结果可得质点运动方程的分量式，即
消去参数t，可得运动的轨迹方程
这是一个直线方程，直线斜率
。
图2-8
2．平面极坐标
设有一质点在如图2-8所示 平面内运动，某时刻它位于点 。由坐标原点 到点 的有向线段 称为径矢， 与 轴之间的夹角为 。于是，质点在点 的位置可由( )来确定。这种以( )为坐标的参考系称为平面极坐标系。而在平面直角坐标系内，点 的坐标则为( )。这两个坐标系的坐标之间的变换关系为:
的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的长度为质点所经历的路程, 而位移则是 。当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路程 则不为零。所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念。只有 在△t 取得很小的极限情况下,位移的大小| |才可视为与路程 AB 没有区别。
2． 速度 在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是 静还是动,是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态。所以，还 应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度，这就是速度。 （1）．平均速度
（1）．平均加速度 如图２-６所示，设在时刻
，质点位于点
，其速度为
，在时刻
，质点位于点
，其速度为
，则在时间间隔
内，质点的速度增量为
，它在单位时间
内的速度增量即平均加速度为
图2-6
（２）．瞬时加速度 当 时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用 表示，有
（2-5） 的方向是 时 的极限方向，而 的数值是 的极限值。
2.1 质点运动的描述
2.1.1 参考系 质点
1．参考系
在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有 的。在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要选取其他物体作为标 准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描 述的相对性。
为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。不同的参考系对同一 物体运动情况的描述是不同的。因此,在讲述物体的运动情况时,必须指 明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体 的运动时,通常选地球作为参考系 。
亦趋于零，这时
的方向趋于与
垂直，即Baidu Nhomakorabea于与
垂直，并且趋于指向圆心。如果，我们在沿径矢而指向圆心的法线 方向上取单位矢量即法向单位矢量
(如上图)，那么，在
时，
的极限值为
这样，式(2-8)中第二项可以写成
由于这个加速度的方向是垂直于切向的，故叫做法向加速度，用
表示，有
考虑到
（2-11a）
故上式为
（2-4a） 或 （2-4b） 其中
是速度 在Ox轴和Oy轴上的分量，又称为速度分量。
显然，如以 分别表示速度 在 轴和 上的分速度(注意:它们是分矢量!)，那么有
上式亦可以写成 (2-4c) 速度
的方向与 时的极限方向一致。当 时，
趋于和轨道相切，即与点 的切线重合。所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向 就是沿该点曲线的切线方向。如图２-４所示。
式(2-8)中的第二项
图2-10
，则表示切向单位矢量随时间的变化。这一点从图2-10(a)中可以看 出。设在时刻 ，质点位于圆周上点 ，其速度为 ，切向单位矢量为 ；在时刻 ，质点位于点 ，速度为 ，切向单位矢量为 。在时间间隔 内，径矢 转过的角度为 ，速度增量为 ，切向单位矢量的增量则为 。由于切向单位矢量的值为1，即 ，因而，从图(b)可以知道 。当 时，