第2章 质点运动学
第二章 质点运动学总结
下页 返回 结束 Δr
t 0
dr ds
r2
· B
y
元位移的大小
元路程
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第二章 质点运动学
§2.2
速度与加速度
§2.2.1 平均速度与瞬时速度 §2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
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结束
第二章 质点运动学
§2.2.1 平均速度与瞬时速度
1.平均速度 r (t t ) r (t ) r 定义 v t t __ r 相 同 v 是矢量 , 方向与 __ r 大小为 v t 平均速率 P Q r r ( t t )
地面系
o
日心系
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Y
结束
X
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地心系
返回
第二章 质点运动学
选取不同的参考系，描写物 体运动的规律是不同的。
选择合适的参考系， 建立恰当的坐标系，
月亮 地球 以地球为参照系
以太阳为参考系
以方便确定物体的运动性质； 以定量描述物体的运动；
提出准确的物理模型， 以突出问题中最基本的运动规律。 讨论：刻舟求剑的启示？
x a( sin ) a(t sint ) y a(1 cos ) a(1 cost )
思考：圆内的一点和圆外的一点？
x a b sin y a b cos
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结束
第二章 质点运动学
§2.1.2 位移
1. 位移——位置矢量的增量 位移——是由初位置引向末位置的矢量，
r (t )
O
s v 0 s为路程 t
v 不能反映位移变化相对 于时间的不均匀性 .
大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
位移的大小为
2 2 2 r x y z
z
路程是质点经过实际路径的长
度。路程是标量。
注意区分 Δ r 、r
Δr
Δr r ( A)
o x
A ΔS
B
r ( B) y
rA
o
rB
Δ
r
3. 速率和速度 速度是描述质点位置随时间变化快慢和方向的物理量。
平均速度
青年牛顿1666年6月22日至1667年3月25日两度回到乡间的老家1665年获学士学位1661年考入剑桥大学三一学院牛顿简介1667年牛顿返回剑桥大学当研究生次年获得硕士学位1669年发明了二项式定理1669年由于巴洛的推荐接受了卢卡斯数学讲座的职务全面丰收的时期16421672年进行了光谱色分析试验1672年由于制造反射望远镜的成就被接纳为伦敦皇家学会会员1680年前后提出万有引力理论1687年出版了自然哲学的数学原理牛顿简介牛顿第一定律
g
v v g
v
v g 远日点 g v
g v g g g g g v
v
近日点
v
v
思考题 质点作曲线运动，判断下列说法的正误。
r r s r
r r
s r
s r
Δr
矢量的矢积（或称叉积 、叉乘）
C A B
大小：C AB sin
方向：右手螺旋
C
B
矢积性质：A B B A A C ( A B) C A C B 可以得到：i j k , j k i , k i j . k i i 0, j j 0, k k 0
力学(漆安慎)课件 2-1,2描述质点运动的物理量
v v r = r (t) —— 运动函数（运动方程 ）。 运动函数（
v v v v r (t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k
x = x(t)
y = y(t) z = z(t)
或
由各个时刻的矢径端点连接而描 由各个时刻的矢径端点连接而描 矢径端点 画出的曲线就是质点运动的轨迹 质点运动的轨迹。 画出的曲线就是质点运动的轨迹。
x
位矢长度的变化
x22 + y22 + z22 − x12 + y12 + z12
第二章 质点运动学
讨论 位移与路程 位移与路程:
（A）P1P2 两点间的路程 ） 不唯一的, 是不唯一的 可以是∆s 或 ∆s ' v 是唯一的 而位移 ∆r 是唯一的. （B） 一般情况 位移 ） 一般情况, 大小不等于路程. 大小不等于路程
只要在研究问题中，物体的体积和形状是无关紧要的， 只要在研究问题中，物体的体积和形状是无关紧要的， 我们就可以看作质点。 我们就可以看作质点。 对于同一物体，由于研究的不同，有时可看作质点， 对于同一物体，由于研究的不同，有时可看作质点，有 时不行。 时不行。
第二章 质点运动学
·
物体可以作为质点处理的条件： 物体可以作为质点处理的条件：大小和形状对运 动没有影响或影响可以忽略。 动没有影响或影响可以忽略。 例：研究地球公转
v r (t + ∆t)
∆s v ∆r
A
质点的平均速度
第二章 质点运动学 一、 位置矢量(position vector)
由参考系上的坐标原点引 向质点所在位置的矢量称为质 点的位置矢量 简称位矢 位置矢量， 位矢。 点的位置矢量，简称位矢。
2 质点运动学-2
方向如图所
v
3 an g cos 30 g 2
0
a
A
g
300 an
v 2 3v an 3 g
2
2
第1章
质点运动学
大学物理A教案
4、圆周运动
(1) 圆周运动的角量描述 角位置 ： 角运动方程 (t)： R
B
s
A
质点所在的位矢 r 与x轴正 向的夹角,单位是弧度 rad。 角位移 : 规定：逆时针转向为正, 角速度
,加速度
kx
v v0 e
证： a dv dv dx v dv kv 2
dt dx dt
dx
dv kdx v
两边积分：
x dv v0 v k 0 dx v
v ln kx v0
v v0 e
kx
第1章
质点运动学
大学物理A教案
§1-3 自然坐标系中的速度和加速度
dt
dv a c dt
（2）
v (b ct ) an R R
2
2
a an
b R t c c
当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止自由下 落. 试说明为什么子弹总可以射中椰子[忽略空气阻力]?
5、抛体运动
抛体运动的特点：加速度 a 为常量，为重力加速度。
抛体运动的运动学特征：
dr dx dy dz 速度 v i j k dt dt dt dt 2 加速度 a dv d r dt dt 2
平均速率不等于平均速度的大小 瞬时速率等于瞬时速度的大小
dr ds
v v
第1章
大学物理质点运动学(老师课件)
r
rB
r
r r
讨论2：
s AB
比较位移和路程
A
s
B
t 时间内质点运动路径的长度 路程：
r
r AB
位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点 运动轨迹无关，只与始末点有关。 路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点 运动轨迹有关。 例如质点运动一周，位 r s 移为零，路程为周长。 r s
v v(t + t ) v(t) a t t
方向： v 的方向
2、(瞬时) 加速度
2 v d d r 2 a lim t 0 t dt dt
加速度等于速度对时间的一阶导数。 方向：v 的极限方向, 指向曲线凹的一侧 一般 a 与 v 方向不同。
质点
没有大小和形状，只具有物体全部质量 的一点。 物理学中有很多抽象模型：
理想化的 物理模型
质点、刚体、理想气体、点电荷、…
把物体当作质点是有条件的、相对的：当物体的大
小和形状对运动没有影响或影响可以忽略。
研究地球
r
S
R 10 m s E 6
8
r 10 m Rs , RE << r
11
RE 10 m
vA
B'
B
A
速度的方向： 质点所在处轨迹的切线指向前进的方向。
e.g. 设
2 r (t ) i t j t k ( SI )
j 2 tk
t 1 t 1
dr dt
j 2k m / s
则t=1s 末的速度
一维情形，设x=6t–t2(SI),则在t=4s末的速度：
第二章质点运动学(2)
F
F
t1
t2 t
例 质量M=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用 的时间 (1) =0.1s， (2) =0.01s 。试求锤对工件 的平均冲力。 解法一利用动量定理，取竖 直向上为正。
( N Mg ) Mv Mv0
初状态动量为 M 2 gh ， 末状态动量为 0。
第二章 质点动力学
（2） 动量守恒定律 火箭运动 质心运动定律
2-3 冲量‧动量定理
1、冲量
dp 把牛顿第二定律的微分形式 F dt 改写为 F d t d p
考虑一过程，力对质点的作用时间从t1 — t2， t2 p2 两端积分 Fdt dp p 2 p1 mv2 mv1
mi ri
d vi mi d vc dt ac dt mi
由牛顿第二定律得
mi ai
m
i
m1a1 m2 a2 mn an
d v1 m1 F1 f12 f13 f1n dt d v2 m2 F2 f 21 f 23 f 2 n dt d vn mn Fn f n 2 f n 3 f n ( n 1) dt
x g v x g 2 gx 3x g 所以桌面受的压力 N N 3x g
2
例 2 一柔软链条长为 l ，单位长度的质量为。 链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍 伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动，链 条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距 离之间的关系。设链与各处的摩擦均略去不计，且 认为链条软得可以自由伸开。 解 以竖直悬挂的链条 m2 和桌面上的链条为一系统, O 建立如图坐标。 则 F m1 g yg 动量定理 m1
力学第二章质点运动学(PDF)
2.1一、质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。
•能否看成质点依研究问题而定。
例：地球绕太阳公转:地球→质点地球半径＜＜日地距离6.4×103 km 1.5×108 km地球自转:地球≠质点•复杂物体可看成质点的组合。
二、位置矢量与运动方程1、位置矢量k z j y i x r v v v v ++=定义：从坐标原点O 指向质点位置P 的有向线段位置矢量的直角坐标分量：===++=r z r y r x z y x r γβαcos ,cos ,cos 222方向：大小：γβαP (x,y,z )r v z y xo2、运动方程k t z j t y i t x r vv v v )()()(++=矢量形式参数形式===)()()(t z z t y y t x x 3、轨道方程(轨迹)== → ===0),,(0),,()()()(z y x G z y x F t z z t y y t x x t 消去•要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。
三、位移和路程O P P ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s ∆•••1、位移'()()r PP r t t r t ∆==+∆−v v v 2、路程'()()s PP s t t s t ∆==+∆−注意(1) 位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2) 位移与参照系位置的变化无关r s ∆≠∆v 与Δr 的区别r v ∆分清O r v ∆r v∆O r∆••O PP ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s∆•••思考：什么情况下位移的大小等于路程？[例题]一质点在xOy平面内依照x= t 2 的规律沿曲线y = x3/ 320运动，求质点从第2 秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm)。
[解] ()()r r t t r t ∆=+∆−v v v 1212.6i j=+v v(cm)2121()()x x i y yj=−+−v v [()()][()()]x t t i y t t j x t i y t j =+∆++∆−+v v v v[()()][()()]x t t x t i y t t y t j=+∆−++∆−v v 66222121()()320320t t t t i j=−+−v v 662242(42)()320320i j =−+−vv 17.4 cm r ∆==v 与水平轴夹角Δarctan 46.4Δyx ϕ=o＝2.2一、速度O P P ’r∆v )(t r v )(t t r ∆+vs∆•••反映质点运动的快慢和方向的物理量1、速度的概念平均速度：平均速率:v v v v v r t r t t r t t==+−∆∆∆∆()()tt s t t s t s v ∆∆∆∆)()(−+==瞬时速度:瞬时速率:O P P ’r∆v)(t r v)(t t r ∆+vs∆•••vv v v =≠vv ,瞬时速度沿轨道切线方向2、速度的直角坐标分量()()()()::cos ,cos ,cos x y z y x z r r t x t i y t j z t kdr dx dy dz v i j k v i v j v k dt dt dt dt v v v v v v v αβγ==++==++=++ = ===v v v v vv v v v v v v v 大小方向101552r i tj t k=−++v v v v [例题]某质点的运动学方程为求：t = 0和1s 时质点的速度矢量。
第二章 质点运动学
五. 直线运动 1.直线运动的描述 直线运动：质点运动轨迹为一直线； 位矢： r xi 直线运动中，用坐标x(代数量)可表 示质点的位置； 运动方程：x x(t )
P2
x2
P1
0
x1
x
§ 1-2圆周运动
本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。 一、自然坐标系 图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻 质点P位于A 点，et、en分别为A点切向及法向 的单位矢量，以A为原点， et切向 和en法向为坐标轴，由此构成的 参照系为自然坐标系（可推广到 三维）
xi yj zk
讨论： a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长 度； b. 路程是标量，大小与位移的大小一般不 r s 相等，即； dr ds c. 在极限情况下 ； d. 单方向直线运动时； r s
三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量； 1.平均速度
det d v ds v 2 式（2-2）中第二项为： v v en en en dt dt r dt r
该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。 称此项为法向加速度，记为
v a n en （2-5） r
2
det
et
et d
大小为 （2-6） 是加速度的法向分量。 结论：法向加速度分量等于速率平方除 以曲率半径 。
⑷
三、圆周运动的角量描述 1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt时刻质点在 B处，θ是OA与x轴正向夹角， θ+ Δ θ是OB与 x轴正向夹角，称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ 为Δt时间间隔内角坐标增量，称为在时间间 隔内的角位移。
质点运动学
质点运动学1.描述质点的运动的物理量：位矢、位移、速度和加速度。
（1）位矢：从坐标原点引向质点所在位置的有向线段，记为r。
在直角坐标系中r=x i+y j+z k。
（2）运动方程：质点的位置随时间变化的关系：r=r(t)称为运动方程。
在直角坐标系中的矢量表示式：r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k。
在自然坐标中：s=s(t)（3）位移：由质点初始位置指向末位置的矢量，△r=r(t+△t)-r(t).在直角坐标系中：△r=△x i+△y j+△z k。
（4）路程：物体运动时沿轨迹实际通过的路径长度称为路程，用s 表示。
一般情况下，|△r|≠△s。
（5）速度：质点位置对时间的一阶倒数称为速度v=d r/d t.在直角坐标系中：v=v x i+v y j+v z k=(dx/dt)i+(dy/dt)j+(dz/dt)k在自然坐标系中：v=(ds/dt)e t速度大小称为速率，速率是标量。
v=|v|=|d r/dt|=ds/dt（6）加速度：质点速度对时间的一阶求导a=d v/dt=d2r/dt2 在直角坐标系中：a=a x i+a y j+a z k=(dv x/dt)i+(dv y/dt)j+(dv z/dt)k=(d2x/dt2)i+(d2y/dt2)j+(d2z/dt2)k 在自然坐标系中：a=a t e t+a n e n=(dv/dt)e t+(v2/ρ)e n2.常见的几种运动形式（1）匀速直线运动：v=v0+atx=x0v0t+1/2*at2v2-v20=2a(x-x0)（2）抛体运动：a x=0,a y=-gv x=v0cosθ,v0=v0sinθ-1/2*gt2x=(v0cosθ)t,y=(v0sinθ)t-1/2*gt2 （3）圆周运动：角位置：θ=θ(t)角位移：△θ=θ(t+△t)-θ(t)角速度：ω=dθ/dt=v/R角加速度：β=dω/dt=d2θ/dt2法向加速度：a n=v2/R=Rω2切向加速度：aτ=dv/dt=Rβ3.伽利略变换伽利略速度变换式：v=v0+u。
第二章质点运动学
教学时数:10教学目的与要求:（1）使学生牢固掌握即时速度和即时加速度的概念。
（2）要区分时刻与时间间隔以及位置坐标、位置矢量、位移和路等概念。
（3）要求掌握位移图线与速度图线，并能应用它们来计算位移及速度、加速度。
（4）要熟练掌握匀加速直线运动规律并能灵活运用，重点研究自由落体及竖直上抛运动。
（5）掌握好位移、速度及加速度的矢量性，能正确进行速度的合成分解。
仅讲授动坐标系作平移的情况下的相对运动。
（6）要熟练掌握圆周运动及切向加速度、法向加速度的意义。
（7）通过抛体运动的学习，使学生对运动的独立性及运动的合成有明确的认识。
（8）在圆周运动基础上介绍一般曲线运动，但不作深入研究。
（9）熟练掌握在不同坐标系下，速度、加速度的表达形式。
教学重点:参照系和坐标系；质点；时间和时刻,位置矢量，位移、速度、加速度；运动方程，运动迭加原理，切向加速度和法向加速度。
角位移、角速度、角加速度；角量与线量的关系,相对运动.教学难点:运动方程, 相对运动本章主要阅读文献资料:顾建中编《力学教程》人民教育出版社赵景员、王淑贤编《力学》人民教育出版社漆安慎杜婵英《〈力学基础〉学习指导》高等教育出版社质点运动学方程一、质点的位置矢量与运动学方程位置矢量的引入，例：研究某时刻直升飞机在空中的位置。
首先选择参考系如图：设地面上的某一点为参考点，飞机视为质点。
仅由飞机和参考点的距离并不能确定飞机的方位（飞机可以位于以参考点为球心的球面上的任何位置），只有确定飞机的方位，才能完全唯一的确定飞机的位置。
1．位置矢量的定义：由参考点指向质点所在位置的矢量为质点的位置矢量，简称“位矢”。
如图中的，即是P点的位矢：通常用表示。
若建立如图所示的直角坐标系，令坐标原点和参考点重合，则有位矢的正交分量形式：（1）上式中的称为位置坐标，即：位矢在坐标轴上的投影。
有上述定义可知：“位矢”可以描述质点的位置。
同样：建立坐标系后的“位置坐标”也可以描述质点位置。
第2章质点运动学2
=
d 2rr dt 2
= axir + a y rj
a = ar =
a2 x
+
a2 y
两种表示法下加速度
lim ar =
∆t →0
∆vr ∆t
的大小相同吗？
= anern + at ert
a = ar =
a2 n
+
a2 t
a = dv , a = v2
t dt n ρ
16
课堂讨论
ar = anern + atert
*法向加速度: 由速度方向的变化带来得的加速度
大小:
方向
an :
= ern
arn
= v2
ρ
= vω = ρω2
ρ：曲率半径。
垂直于速度,指向曲线的凹侧。
*切向加速度：由速度大小的变化带来的加速度。
大小:
方向:
at
ert
=
art
= dv dt
= ρβ
切线方向,与该点速度同向或反向.
圆周运动的加速度：ρ=R； at = Rβ ;
=dβrt × rr + ωv ×d(ωrt × rr)
切向at 法向an
20
抛体运动
例: 设质点在XOY铅垂平面内作无阻力抛体运动。
试求: 质点的速度与时间t的关系和质点的运动方程.
解: 建立坐标系
y
⎪⎪⎧a x
=
dv x dt
=0
⎨ ⎪⎪⎩a y
=
dv y dt
=
−g
vr0
由初始条件：o α
t = t0;
v(t) = v2 + v2
x
第2章大学物理质点运动学选择题真题及其答案
1. 如图Z1-1所示，细绳通过两轻质定滑轮在两端各挂一个物体A 和B ，设mA=mB ，初始A 、B 处于同一高度且静止，若使B 偏离平衡位置θ角而来回摆动，则物块A 将（D ）（A ）保持不动 （B ）向上运动 （C ）向下运动 （D ）上下运动2. 有一物体在0xy 平面上运动，受力作用后其动量沿两轴方向变化分别为Δp x i 和-Δp y j 。
则该力施于此物体的冲量的大小为（C ）（A ）I=Δp x +Δp y （B ）I=Δp x -Δp y （C ）22y x p p I ∆+∆= （D ）22-y x p p I ∆∆=3. 如图Z1-2图所示，有一物体置于小车的左端，小车放在光滑的水平面上，用力F 拉物体使它从车的左端运动到右端，保持F 的大小和方向不变，以地面为参考系，在车固定和不固定的两种情况下，下列结论正确的是：（D ）（A ）两种情况下力F 做的功相等（B ）两种情况下物体与车间的摩擦力对物体做的功相等（C ）两种情况下物体获得的动能相等（D ）两种情况下由于摩擦而长生的热相等4. 如图Z1-3所示，质点沿直线沿AB作直线运动，A、B为轨道上的任意两点，O为线外任一定点，（可视为垂直纸面的轴与纸面的交点）。
L A和L B代表质点在A、B处对定点O（轴）的角动量，则（D ）（A）L A和L B方向不同，但L A=L B（B）L A和L B方向相同，但L A≠L B（C）L A和L B方向和大小都不同（D）L A和L B方向和大小都相同5. 对于质点组，内力可以改变的物理量是（C ）（A）总动量（B）总角动量（C）总动能（D）总质量6. 如图Z1-4图，一绳穿过水平光滑桌面中心的小孔连接桌面上的小物块，令物块先在桌面上作以小孔为圆心的圆周运动，然后将绳的下端缓慢向下拉，则小物块的（D ）（A）动量、动能、角动量都改变（B）动量不变，动能、角动量都改变（C）动能不变，动量、角动量都改变（D）角动量不变，动量、动能都改变7. 在升降机天花板栓有轻绳，其下端系一重物，如图综合1-1所示，升降机以加速度a 1上升时，绳中的张力正好等于绳子所能承受的最大张力的一半，则升降机以多大加速度上升时，绳子刚好被拉断？（ C ）（A ）2a 1 （B ）2（a 1+g ） （C ）2a 1+g （D ）a 1+g8. 质量分别为m 和m ′的滑块A 和B ，叠放在光滑水平桌面上，如图综合1-2所示，A ，B 间静摩擦因数为s μ，动摩擦因数为k μ，系统原处静止，今有一水平力作用于A 上，要使A,B 间不发生相对华东，则应有（ B ）（A ）F ≦s μmg （B ）F ≦s μ(1+m/m ′)mg（C ）F ≦s μ(m+m ′)g （D ）F ≦k μ(1+m/m ′)mg9. 一质点在外力作用下运动时，下述那种说法正确（ C ）（A ）质点的动量改变时，质点的动能也一定改变（B ）质点的动能不变时，质点的动量也一定不变（C ）外力的冲量是零，外力的功也一定是零（D ）外力的功为零，外力的冲量也一定是零10. 质量相等的两个物体A和B，并排静止在光滑水平面上，如图综合1-3所示，现用一水平恒力F作用在物体A上，同时给物体B一个与F同方向的瞬时冲量I，使两物体沿同一方向运动，则两物体再次达到并排的位置所经过的时间为（ B ）（A）I/F （B）2I/F （C）2F/I （D）F/I11. 如图综合1-4所示，劲度系数为k的弹簧在木块和外力作用下，处于被压缩状态，其压缩量为x0，当撤去外力弹簧被释放后，质量为m的木块沿光滑斜面弹出，木块最后落到地上，应有（ C ）A.在此过程中，木块的动能和弹性势能之和守恒B.木块到达最高点是，高度h满足1/2kx2=mghC.木块落地时的速度v满足1/2kx2+mgH=1/2mv2D.木块落地点的水平距离随θ不同而异，θ越大，落地点越远12. 如图综合1-5所示，在光滑平面上有一运动物体P，在P的正前方有一个连有弹簧和挡板M的静止物体Q，弹簧和挡板M的质量均不计，P与Q的质量相同物体P 与Q 碰撞后P 停止，Q 以碰撞前P 的速度前进，在此碰撞过程中，弹簧压缩量最大的时刻是（ B ）（A ）P 的速度正好变为零时 （B ）P 与Q 速度相等时（C ）Q 正好开始运动时 （D ）Q 正好达到原来P 的速度时13. 一个质量为m 的小球系在长为l 的绳上，绳与竖直线间的夹角用θ表示，当小球从θ=0运动到θ=θ0时，重力所做的功为（D ）（A ）00A cos mg ld θθθ=⋅⎰； （B ）00A sin mg ld θθθ=⋅⎰； （C ）00A cos mg ld θθθ=-⋅⎰； （D ）00A sin mg ld θθθ=-⋅⎰。
力学 第二章 质点运动学
v
arccos vz 5618'
v
二、平均加速度与瞬时加速度
1、平均加速度：速度矢量对时间的平均变化率。
a v v(t t) v(t)
t
t
v(t )
v
速度矢端曲线
v( t t )
§2.3 质点的直线运动(x vx ax )
一、运动学方程
x xt
二、速度和加速度
1、速度（瞬时速度）
vx
dx dt
大小表示质点在t时刻运动的快慢；
正负分别对应于质点沿Ox正向和负向运动。
2、加速度
ax
dvx dt
d2x dt 2
ax与vx同号，则加速；ax与vx反号，则减速。
4、质点的运动学轨迹方程
质点运动时描出的轨迹称为质点的轨迹。 也就是位置矢量的矢端曲线。
质点在平面Oxy上运动，
轨迹方程： y y(x) 或者：f (x, y, z) 0
例题：r R cos tiˆ R sin tˆj, 求:轨迹方程。
y R
解： x2 y2 R2.
x
二、位移
v
v
v
4、注意：
（1）平均速度的大小不等于平均速率。 （2）瞬时速度的大小等于瞬时速率。 （3）即使位置矢量的大小不变，也可以有速度。
ΔS
r(t )
r
S
r(
t
t
)
o
dr / dt
r(t )
ΔS
S
r
r( t t )
第2章《质点运动学》习题解答
第2章 《质点运动学》习题解答2.1.1 质点的运动学方程为ˆˆˆˆ(1).(32)5,(2).(23)(41)r t i j r t i t j =++=-+-求质点轨迹并用图表示。
【解】①.32,5,x t y =+=轨迹方程为y=5②2341x t y t =-⎧⎨=-⎩消去时间参量t 得：3450y x +-=2.1.2 质点运动学方程为22ˆˆˆ2t t r e i e j k-=++，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=-1至t=1质点的位移。
【解】①222tt x e y e z -⎧=⎪=⎨⎪=⎩消去t 得轨迹：xy=1,z=2②221ˆˆˆ2r e i e j k --=++,221ˆˆˆ2r e i e j k -+=++, 222211ˆˆ()()r r r e e i e e j --+-∆=-=-+-2.1.3 质点运动学方程为2ˆˆ4(23)r t i t j =++，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=0至t=1质点的位移。
【解】①.24,23,x t y t ==+消去t 得轨迹方程2(3)x y =-②0110ˆˆˆˆˆ3,45,42r j r i j r r r i j ==+∆=-=+2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为0114100,33.7R m θ==，0.75s 后测得022124240,29.3,,R m R R θ==均在铅直平面内。
求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。
【解】 221212122cos()R R R R R θθ∆=+--代入数值得：22041004240-241004240cos 4.4349.385()R m ∆=+⨯⨯≈349.385465.8(/)0.75Rv m s t ∆≈==∆ 利用正弦定理可解出034.89α=-2.2.2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为2/200y x =（长度mm ）。
力学第二章质点运动学思考题答案
第二章质点运动学思考题2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。
质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。
如图所示。
2.2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。
2.3“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。
因为瞬时速度与一定的时刻相对应。
瞬时速度的定义是质点在t时刻的瞬时速度等于t至t+△t时间内平均速度t/r∆∆，当△t→0时的极限，即dtr dtrlimvt=∆∆=→∆。
很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到很高的精确度。
2.4试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。
是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小？答：,dtdvtvlima xxtx=∆∆=→∆加速度与速度同号时，就是说,0a,0va,0vxxxx<<>>或以a,0vxx>>为例，速度为正表示速度的方向与x轴正向相同，加速度为正表示速度的增量为正，t t ∆+时刻的速度大于t 时刻的速度，质点作加速运动。
同理可说明,0a ,0v x x <<质点作加速运动。
质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。
例如初速度为x 0v ，加速度为t 6a x -=，速度为20t0x 0x t21t 6v dt )t 6(v v -+=-+=⎰，,0v ,0a 6t x x >><时，速度逐渐增加。
质点运动学第二章
相对速度—物体相对运动参考系的运动速度 用 表示
牵连速度—运动参考系相对静止参考系的运动速度 用 表示
则 = +
3．绝对时空观 在伽利略变换下，时间的测量和空间的测量均与参考系的运动状态无关，时间和空间亦不相联系。即： ， ，
x
y
o
雨车
雨地
车地
6下雨时，若雨点相对地匀速直线下落，汽车在平直公路上匀速行驶，求坐在汽车中的人在下列两种情况下观察的雨点运动轨迹（1）汽车做匀速直线运动，（2）汽车做匀加速速直线运动
解：研究对象：雨点，视为质点。
基本参考系：地面；运动参考系：汽车；
则： 绝= 雨地， 相对= 雨车， 牵连= 车地
在ＯＡ上截取 ，则：
当 时， ， （等腰直角三角形的两个底角相等，各为 ），
所以， ，所求船的速率； ，收绳速率。
又因为，在 中， ，
所以船速
可见： ，且 ，所以不是常量。
第二种方法：由运动学方程求解，先求小船的运动学方程，在求小船的速度。
O
A
B
O‘
自然坐标系：s=s(t)
直线运动的运动学方程：x=x(t)
3．运动轨迹：质点运动时描出的轨迹，也即位置矢量的矢端画出的曲线（矢端曲线）
轨迹方程：如在O-xy平面上 y=y(x)
4．位移：位置矢量的增量，即自质点初位置引向末位置的矢量。
在直角坐标系：
（三）．速度和加速度
5．圆周运动 速度 角速度 角加速度
加速度
法向加速度 指向圆心； 切向加速度 沿切线方向
（四）．由加速度求速度和位移
1． 一般情况
2．匀加速运动： 常矢量
第二章 质点与刚体的运动
二、参考系和坐标系 1、运动的绝对性和相对性 2、参考系：为描述物体运动而被选作标准的另外的一个不变 形的或几个无相对运动的物体。 （在描述物体运动时,被选作参考的其他物体,叫做参考系） （1）物体的运动性质与参考系有关 （2）参考系应是客观存在的不变形的物体 （3）参考系的选择原则：视研究问题方便而定
刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。 刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布 的质点系。
§2.2
一、空间和时间的量度
空间和时间
1、经典时空观： – 时间是连续、均匀、独立、单方向流逝的东西 – 空间是连续、均匀、各向同性、独立存在着的东西 – 物质、空间、时间彼此独立无关 2、时空度量 ：时间和长度标准单位的规定 • 一切周期运动都可用来量度时间。
v2 8 m/s 与x轴正向Fra bibliotek反[例题3]将真空长直管沿竖直方向放置.自其中O点向上 抛小球又落至原处所用的时间为t2. 在小球运动过程中
经过比O点高h处,小球离开h处至又回到h处所用时间为
t1.现测得t1、t2和h，试决定重力加速度g.
[解] 建坐标系如图,
1 2 y y0 v0 y t gt 2
v 2 v0 2a( x x0 ) ③ (v 2 v0 2as)
2 2
方法二：用加速度平均定义求 图示法：位移—时间图；速度—时间图；加速度—时间图
v
x
1 2 at 2
v0
0 v0t t a 0
t
0
t
⒊只在重力作用下的直线运动
自由落体, 竖直上抛, 竖直下抛都是加速度大小a=g，方向 竖直向下的匀变速直线运动, 可直接应用匀变速直线运动 的公式，但要注意初始条件。 自由落体运动：v gt , y gt , v 2 gy (t 0, y 0)
第一,二,三 ,四章
v
t
dx ( 2) v dt
物理学
第五版
选题目的： 掌握自然坐标系下对运动的描述
1-17 质点在Oxy平面内运动，其运动方程为
-1 -2 2 r (2.0m s )ti [19.0m (2.0m s )t ] j
求：（1）质点的轨迹方程； （2）在t1=1.0s到t2=2.0s时间内的平均速度； （3） t1=1.0s时的速度及切向和法向加速度． （4） t=1.0s时质点所在轨道的曲率半径 ρ
α 3 s x x0 v0t t 467 m 6m
物理学
第五版
选择题答案：P48-49
2-1 D 2-5 A
2-2 A
2-3 C 2-4 B
第 三 章
动量守恒定律和 能量守恒定律
物理学
第五版
本章目录
3- 1 3- 2 * 3- 3 3- 4 3- 5 3- 6 3- 7 3- 8
基础
牛顿运动定律
力的空间累积
瞬时效果
力的时间累积
动量定理 动量守恒定律
动能定理 机械能守恒定律
物理学
第五版
第 一 章
质 点 运 动 学
物理学
第五版
本章目录
1-1 质点运动的描述 1-2 圆周运动 1-3 相对运动
物理学
第五版
第01章 质点运动学
1. 运动的描述
三种坐标系下描述运动的物理量
2. 运动学的两类问题
注意变力、矢量 2. 力的空间累积效应——动能、功、动能定理、 功能原理机械能守恒定律
注意变力的功
物 理 学
物理学
第五版
选题目的： 掌握一维运动下处理变力问题
大学物理 - 1-6章练习附答案
第一章 质点运动学1、已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m ，v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置。
解：∵ t tva 34d d +==分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 12234c t t v ++= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c故 2234t t v += 又因为 2234d d t t t x v +==分离变量， t t t x d )234(d 2+=积分得 232212c t t x ++=由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 521232++=t t x 所以s 10=t 时m70551021102s m 190102310432101210=+⨯+⨯=⋅=⨯+⨯=-x v2、质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62x ，a 的单位为2s m -⋅，x 的单位为 m 。
质点在x ＝0处，速度为101s m -⋅,试求质点在任何坐标处的速度值。
解： ∵ xv v t x x v t v a d d d d d d d d ===分离变量： 2d (26)d v v adx x x ==+ 两边积分得c x x v ++=322221 由题知，0=x 时，100=v ,∴50=c∴ 13s m 252-⋅++=x x v第二章 质点动力学1、质量为M 的大木块具有半径为R 的四分之一弧形槽，如图所示。
质量为m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度。
解: m 从M 上下滑的过程中，机械能守恒，以m ，M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有222121MV mv mgR +=又下滑过程，动量守恒，以m 、M 为系统，则在m 脱离M 瞬间，水平方向有0=-MV mv联立以上两式，得2MgR v m M =+2、 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。
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（3）．位移
在如图2-2 平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻 的点 运动到时刻 的点 ，质点相对原点 的位矢由 变化到 。显然，在时间间隔 内，位矢的长度和方向都发生了变化。我们将由起始点 指向终点 的有向线段 称为点
到点 的位移矢量，简称位移。位移 反映了质点位矢的变化。如把 写作 ，则质点从 点到点 的位移为
2． 质点
物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。例如,太阳系中,行 星除绕自身的轴线自转外, 还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空 中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平 动、转动外,分子内各个原子还在振动。这些事实都说明,物体的运动情 况是十分复杂的。物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。
（2-11b） 由式(2-10)和式(2-11b)，可将质点作变速圆周运动时的加速度的表达
式(2-8)写成
（2-12a） 或
(2-12b) 其中切向加速度
是由于速度数值的变化而引起的，法向加速度
则是由于速度方向的变化而引起。
的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的长度为质点所经历的路程, 而位移则是 。当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路程 则不为零。所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念。只有 在△t 取得很小的极限情况下,位移的大小| |才可视为与路程 AB 没有区别。
2． 速度 在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是 静还是动,是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态。所以，还 应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度，这就是速度。 （1）．平均速度
又由
图2-7
及初始条件t = 0时，r0 = (10 m)i， 积分可得
由上述结果可得质点运动方程的分量式，即
消去参数t，可得运动的轨迹方程
这是一个直线方程，直线斜率
。
图2-8
2．平面极坐标
设有一质点在如图2-8所示 平面内运动，某时刻它位于点 。由坐标原点 到点 的有向线段 称为径矢， 与 轴之间的夹角为 。于是，质点在点 的位置可由( )来确定。这种以( )为坐标的参考系称为平面极坐标系。而在平面直角坐标系内，点 的坐标则为( )。这两个坐标系的坐标之间的变换关系为:
应当注意，加速度 既反映了速度方向的变化，也反映了速度数值的变化。所以质点作 曲线运动时，任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同，即加速 度方向不沿着曲线的切线方向。在曲线运动中，加速度的方向指向曲线 的凹侧。
式(２-5)可以写成
即
（2-6） 其中
例 有一个球体在某液体中垂直下落，球体的初速度为
亦趋于零，这时
的方向趋于与
垂直，即趋于与
垂直，并且趋于指向圆心。如果，我们在沿径矢而指向圆心的法线 方向上取单位矢量即法向单位矢量
(如上图)，那么，在
时，
的极限值为
这样，式(2-8)中第二项可以写成
由于这个加速度的方向是垂直于切向的，故叫做法向加速度，用
表示，有
考虑到
（2-11a）
故上式为
（2-4a） 或 （2-4b） 其中
是速度 在Ox轴和Oy轴上的分量，又称为速度分量。
显然，如以 分别表示速度 在 轴和 上的分速度(注意:它们是分矢量!)，那么有
上式亦可以写成 (2-4c) 速度
的方向与 时的极限方向一致。当 时，
趋于和轨道相切，即与点 的切线重合。所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向 就是沿该点曲线的切线方向。如图２-４所示。
如图２-３所示，一个质点在平面上沿轨迹 曲线运动。在时刻 ，它处于点 ，其位矢为
。在时刻 ，它处于点 ，其位矢为 。在 时间内，质点的位移为 。在时间间隔 内的平均速度 为
平均速度可写成
图2-3
其中 是平均速度 在 轴和 轴上的分量。
（2 ）． 瞬时速度 当
时，平均速度
的极限值叫做瞬时速度(简称速度)，用 表示，有
况。这里，我们既不选择x,也不选择y充当这一描述运动的标量函数，
而是选用另一种所谓“自然坐标”。
在已知运动轨迹上任选一点0为原点，沿质点的轨迹为“坐标
轴”（当然是弯曲的），原点至质点位置的弧
图2-9
长 s 作为质点的位置坐标，弧长 s 称为平面自然坐标，它确定质点
的位置，并在质点所在处Ａ取一单位矢量沿曲线切线且指向自然坐标增
例 设质点的运动方程为 其中 ， 求 时的速度。 (2)作出质点的运动轨迹图。
解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数 的方法求出。
(1)由题意可得速度分量分别为
故 时的速度分量为
于是 时，质点的速度为
速度的值为 ，速度 与 之间的夹角为 (2)由已知运动方程 消去
式(2-8)中第一项
（2-8）
，是由于速度大小的变化而引起的，其方向为
的方向，即与速度
的方向相同。因此，此项加速度分矢量称为切向加速度，用
表示， 另外，可得
式中
为角速度随时间的变化率，叫做角加速度，用符号
表示，有
（2-9） 角加速度
的单位为
， 则切向加速度
（2-10）
第2章 质点运动学
本章要点： 1．质点运动状态的描述，掌握基本概念如质点、位置矢量、速度、加速 度； 2．质点运动的矢量性与瞬时性、相对性； 3．三种常用坐标下各运动学量的表达式； 4．解决运动学基本问题的方法； 5．相对运动及伽利略变换。
物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学 科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子 核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动是这些运动中最简单、最常 见的运动形式 ,其基本形式有平动和转动。在平动过程中,若物体内各 点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任 一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改 变的情况。在力学中,这部分内容称为质点运动学。
2.1 质点运动的描述
2.1.1 参考系 质点
1．参考系
在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有 的。在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要选取其他物体作为标 准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描 述的相对性。
为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。不同的参考系对同一 物体运动情况的描述是不同的。因此,在讲述物体的运动情况时,必须指 明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体 的运动时,通常选地球作为参考系 。
（1）．平均加速度 如图２-６所示，设在时刻
，质点位于点
，其速度为
，在时刻
，质点位于点
，其速度为
，则在时间间隔
内，质点的速度增量为
，它在单位时间
内的速度增量即平均加速度为
图2-6
（２）．瞬时加速度 当 时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用 表示，有
（2-5） 的方向是 时 的极限方向，而 的数值是 的极限值。
称为角坐标，它是时间 t 的函数，即 ＝ （t）, 为角速度，在圆周运动下, 。
3．自然坐标
（１）．自然坐标
一般来说，质点平面运动需用两个独立的变量（是标量）描述，如
在平面直角坐标系中就是用x、y来描述，但质点又有其运动轨迹
y=y(x)，则x、y间只有一个是独立的。这就是说，在已知质点轨迹的前
提下，质点的平面运动仅需一个标量函数就能确切描述质点的运动状
式(2-8)中的第二项
图2-10
，则表示切向单位矢量随时间的变化。这一点从图2-10(a)中可以看 出。设在时刻 ，质点位于圆周上点 ，其速度为 ，切向单位矢量为 ；在时刻 ，质点位于点 ，速度为 ，切向单位矢量为 。在时间间隔 内，径矢 转过的角度为 ，速度增量为 ，切向单位矢量的增量则为 。由于切向单位矢量的值为1，即 ，因而，从图(b)可以知道 。当 时，
图2-4
只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所 以位矢 和速度 是描述质点运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程 求出，所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。因 此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运动方程求解运动状 态；另一是由已知运动状态求解运动方程。
和 来表示。那么位矢 亦可写成
其值为
（2-1）
1
(2)． 运动方程
当质点运动时，它相对坐标原点
的位矢
是随时间而变化的。因此，
是时间的函数，即
（2-2） 式(2-2)叫做质点的运动方程；而
、
和
则是运动方程的分量式，从中消去参数
便得到了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程。 应当指出, 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的
如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只 考虑其平动,那么, 我们就可把物体当作是一个有一定质量的点,这样的 点通常叫做质点。
质点是经过科学抽象而形成的物理模型。把物体当作质点是有条件 的、相对的,而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析。 例如研究地球绕太阳公转时，由于地球至太阳的平均距离约为地球半径 的 104 倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在 研究地球公转时可以把地球当作质点。但是,在研究地球上物体的运动 情况时,就不能再把地球当作质点处理了。
（2-3a）
图2-2
亦可写成
上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在
轴和
轴上的位移矢量和。 若质点在三维空间运动，则在直角坐标系Oxyz中其位移为
（2-3b） 应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变 化的实际效果,并非质点所经历的路程。如在图 2-2 中,曲线所示
（１）．位置矢量