变限积分习题
变限积分题目
变限积分题目1. 题目：计算积分$\int_0^1 x^2 \,dx$解答：积分$\int_0^1 x^2 \,dx$ 表示在区间[0, 1] 上对函数$x^2$ 进行积分。
我们可以使用积分的基本公式来计算这个积分。
具体地，我们可以使用不定积分的性质来计算定积分：$$\int x^2 \,dx = \frac{x^3}{3} + C$$其中，C 为常数。
然后，我们计算上限和下限的积分值，并相减：$$\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$$因此，积分$\int_0^1 x^2 \,dx$ 的结果为$\frac{1}{3}$。
2. 题目：计算积分$\int_1^2 (3x^2 + 2x - 1) \,dx$解答：首先对函数$3x^2 + 2x - 1$ 进行不定积分得到$\int (3x^2 + 2x - 1) \,dx = x^3 + x^2 - x + C$，然后计算上限和下限的积分值并相减：$\left[x^3 + x^2 - x\right]_1^2 = (2^3 + 2^2 - 2) - (1^3 + 1^2 - 1) = 14 - 1 = 13$3. 题目：计算积分$\int_0^{\pi/2} \sin(x) \,dx$解答：积分$\int_0^{\pi/2} \sin(x) \,dx$ 表示在区间[0, π/2] 上对函数$\sin(x)$ 进行积分。
这是一个标准的三角函数的积分，结果为1。
4. 题目：计算积分$\int_1^3 \frac{1}{x} \,dx$解答：积分$\int_1^3 \frac{1}{x} \,dx$ 表示在区间[1, 3] 上对函数$\frac{1}{x}$ 进行积分。
这个积分的结果是$\ln(3)-\ln(1)=\ln(3)$。
习题课8变上限的积分
2. cos x e ( yx)2 ( dy 1) 0 dx
dy 1 cos xe( yx)2 , dx
d 2 y sin xe( yx)2 cos x e( yx)2 2( y x)(dy 1)
dx 2
dx
d2y dx 2
x0
2e y2 (0) y(0)(dy dx
x0 1) 2e 2
1.x
t
u ln udu, y
2 u 2 ln udu,求 dx , d 2 x
1
t
dy dy2
2.设 sin x
yx e t 2 dt 0, 求 d 2 y
1
dx 2
x0 .
3.求常数a, b, c, 使 lim x0
ax sin x x ln(1 t 3 )
c(c 0).
b t dt
( A). d
b
f (x)dx f (x)
dx a
(B). 1 e x dx 1 e x2 dx
0
0
(D).上述三式都不成立
dx
(B). dx a f (x)dx f (x)
b
(C).a f (x)dx f (x)
b
(D).a f (x)dx f (x) c
4.设f (x) C [a,b] ,则由y f (x), x a, x b, y 0所围成的 图形面积为
习题课 八
一.选择题：
1. f (x)在[a, b]上连续,则
b
f (x)dx
b
f (t)dt
a
a
( A). 0
(B). 0
(C). 0
(D).不确定
2.下列结论正确的是
( A). 1 e x dx 1 e x2 dx
变上限的定积分
1．变上限的定积分
设 f ( x) 在[a,b] 上连续，则对x[a,b] ，定积分
x a
f
(t
)dt
存在，这就确定了[a,b]
上的一个函数，记为
(
x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
(
x
)
x a
f (t )dt
,
x[a,b]
。积分
x a
f
(t )dt
称
为变上限的定积分。
2．定理 1 设 f ( x) 在[a,b] 上连续， c[a,b] ，则
x
( x) c f (t)dt
在[a,b] 上可导，且
(
x
)[
x c
f
(t )dt
]
f (x)
，x[a,b]
。
证明：设 x[a,b] ，且 x x[a,b] ，则
( x)( xx)( x)
x Δx
c f (t)dt
x
c f (t)dt
x
x Δx
x
x Δx
c f (t)dt x f (t)dt c f (t)dt x f (t)dt .
，在 (a,
b)
内有且只有一个根。
证明：令 F ( x)
x a
f
(t )dt
x b
dt f (t)
，
显然F ( x) C[a, b]，且 f ( x) 0 ,则 f ( x) 0或f ( x) 0，
不妨设 f (x) 0
F (a)
a b
dt 0, f (t)
b
F (b) a f (t)dt0,
定理
1
变限积分的形式
变限积分的形式（原创版）目录1.变限积分的定义2.变限积分的性质3.变限积分的计算方法4.变限积分的应用实例正文1.变限积分的定义变限积分，又称为非定限积分，是指在积分区间上，将一个函数在某一特定区间内进行积分，而积分区间在函数的定义域内变化。
变限积分是定限积分的一种推广，它在实际问题中有广泛的应用。
2.变限积分的性质变限积分具有以下性质：（1）线性性质：若 f(x) 和 g(x) 都是关于 x 的可积函数，那么(f(x)+g(x)) 的变限积分等于 f(x) 的变限积分与 g(x) 的变限积分之和，即∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx。
（2）保号性：若 f(x) 是关于 x 的可积函数，且在区间 [a,b] 上非负，那么 f(x) 的变限积分在 a 到 b 的区间内非负，即∫[a,b]f(x)dx >= 0。
（3）可积函数的有界性：若 f(x) 是关于 x 的可积函数，那么 f(x) 在区间 [a,b] 上有界，即存在 M>0，使得|f(x)|<=M，对 x∈[a,b] 成立。
3.变限积分的计算方法计算变限积分的方法主要有以下两种：（1）分部积分法：将变限积分转化为定限积分，然后利用分部积分法进行求解。
（2）替换法：通过替换变量，将变限积分转化为定限积分，然后进行求解。
4.变限积分的应用实例变限积分在实际问题中有广泛的应用，例如在物理、化学、经济等领域都有涉及。
下面举一个简单的例子：求函数 f(x)=x^2 在区间 [0,t] 上的变限积分，其中 t 为变量。
∫[0,t]x^2dx = (1/3)x^3|[0,t] = (1/3)t^3。
变上限定积分精选试题和答案
变上限定积分1、函数⎰+-=23211)(x dt tx x f ，但减区间为 。
2、若⎰+-=2324)(x dt t t x f ，则的单增区间为 )(x f，3、设函数)(x f 连续，在0=x 处可导，且0)0(=f ，3)0(='f ，若函数[]⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=⎰0,0,5sin )()(2x A x x dtt t f x F x ，在0=x 处连续，则A= 4 。
4、若当0→x 时，无穷小量⎰-=sin 02)1()(x tdt e x f 与)1ln()(3xx g α-=等价，则α5、设连续)(x f '，0)0(=f ，0)0(≠'f ，dt t f t x x F x)()()(022⎰-=，若当时0→x ，是同阶无穷小与k x x F )('，=k 则（ B ） （A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1。
6、设函数)(x y y =是由方程确定x dt e y x t =⎰+-12，则==0x dxdy（ C ）（A ）1+e ； （B ）e -1； （C ）1-e ； （D ）e 2。
7. 设()t u u x f xtd d 10sin 14⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f 1 . 8. 设函数()()01d 23>+=⎰x t t x f x x,则当x ,取得最大值. 9、设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ，记)20()()(0≤≤=⎰x dt t f x F x ，则)(x F 等于（ B ）（A ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,223110,323x x x x x （B ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤21,226710,323x x x x x （C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,22310,3233x x x x x x （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤21,2210,323x x x x x 10. 求()()32d cos ln limx tt t xx ⎰+→ 11.求xx dte xt x sin )1(lim202⎰-→. (31=). 12.求xdttt x xx 202sin )3ln()(lim ⎰+-→； (23ln =)。
高数D5_2变限积分导数、牛莱公式、定积分换元分布(1)
～
1. c ,得 2
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
x
2
0 f (t ) d t
而
I0
0
2
dx
, 2
I1 2 sin x dx 1
0
故所证结论成立 .
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
0
I n (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx
0
(n 1) 2 sin n 2 x (1 sin 2 x) dx
(n 1) I n 2
1 I 由此得递推公式 I n nn n2
0
于是
m 1 I 2 m 3 I 3 1 I I 2 m 22 2 m 2 4 2 0 m 2 m 2 2 m4 m 2 m2 42 I I 2 m1 22 I I 2 m 3 m 1 m 1 22 m 1 5 3 1
d x , 因此
所以
其中
I n I n 1
备用题
3. 证明 是以 为周期的函数.
关于变限积分问题(1)
3
高等数学研究
2
2010 年 11 月
解
d x sin( x - t) 2 dt . dx 0 不妨令 t - x = u, 那么,
0 -x
d x sin( x - t) 2 dt = d dx 0 dx 3. 3 最值问题
sinu2 du = sinx 2 .
例 6 在区间 [ 1, e] 上求一点 , 使得图 1 中所示 的阴影部分的面积为最小.
b
数的因子时, 总是用分部积分法求解 , 且取积分上限 函数为分部积分公式中的 u( x ) . 例 9 试求 ∀( x ) =
x
f ( t) dt 0 0 ∋ x ∋ 1, 1 < x ∋ 2, x < 0, x > 2.
在(- & , + & ) 内的表达式. 其中 x, f (x) = 2- x, 0,
t
f ( x) = 的最大值不超过 解
0
( t - t 2 ) sin 2nt dt
1 . ( 2n + 2) ( 2 n+ 3) 先求出函数的最大值点 , 然后估计作为函
c = 1.
数最大值的定积分的上界. 由 f ( x ) = ( x - x 2 ) sin2nx = 0, ( x # 0) 解出驻点 x = 1, k ! ( k = 1, 2 , ∃) , 由于当 x % ( 0, 1) 时, f ( x ) > 0, 而当 x % ( 1, + & ) 时, f ( x ) ∋ 0 ( 等号仅在 x = k! 处成立) , 故 f ( 1) 是 f ( x ) 在区间 [ 0, + & ) 上的最大值.
变限积分函数求导
变限积分函数求导变限积分函数求导，是微积分中的重要内容之一。
在求导的过程中，我们需要运用一系列的导数运算法则，灵活运用规则和技巧。
一、基本的变限积分函数求导法则1. 若$f(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} g(t)dt$，其中$a(x)$和$b(x)$是$x$的函数，$g(t)$是$t$的函数，则$f'(x)=b'(x)g(b(x))-a'(x)g(a(x))$。
具体而言，我们可以把这个式子看作：求$b(x)$在$x$处的导数，并用$b'(x)$乘以积分上限的函数值$g(b(x))$；再求$a(x)$在$x$处的导数，并用$a'(x)$乘以积分下限的函数值$g(a(x))$；最后将两项相减得到的结果即为函数$f(x)$在$x$处的导数。
2. 若$f(x)=\int_{a}^{b} g(x,t)dt$，其中$g(x,t)$是$x$和$t$的函数，则$f'(x)=\int_{a}^{b} \frac{\partial g(x,t)}{\partial x}dt$。
这个式子的核心思想是：先对$g(x,t)$关于变量$x$求偏导数，然后再将$t$视为常数，将结果与积分区间$[a,b]$进行积分。
二、使用链式法则当我们需要对复合函数进行变限积分求导时，可以运用链式法则。
具体步骤如下：1. 将复合函数拆分为两部分：$y=f(u)$和$u=g(x)$。
2. 对$y=f(u)$求导：$y'=f'(u)u'$。
3. 对$u=g(x)$进行变限积分求导：$f(u)'=\int_{a(u)}^{b(u)} g'(x,t)dt$。
4. 将两部分的导数相乘：$(f(g(x)))'=\int_{a(g(x))}^{b(g(x))}f'(g(x))g'(x,t)dt$。
三、实际例子下面通过一些实际例子来更好地理解变限积分函数求导的方法。
变上限积分
x3 0 e2 x 3 |1 |0 3 2 e6 1 2 6
在该区间上它的原函数一定存在.
例 1 (1) 已知 ( x)
解
x
1
e dt , 求 (x).
t2
根据定理4. 1，得
( x)
e dt e
x t
2
x2
1
.
d x2 1 (2) 求 1 1 t 4 dt dx
d x2 1 1 2x 2 ' 解 1 1 t 4 dt 1 ( x2 )4 ( x ) 1 x8 dx
3
0
f ( x )dx
1
3
0
4 3
xdx e x dx
1
1
3
3 x 4
( e )
0
x
3 1
3 e2 1 3 . 4 e
请在草稿纸上练习书上例题： 例4 求定积分 解
1
0
(sin x 2e3 x )dx
1
0
(sin x 2e3 x )dx
a c
c
b
即 当点 c 不介于 a 与 b 之间， c < a < b 或 a < b < c 时， 结论仍正确.
补充例题
1
计算下列定积分.
ex (1) dx; ( 2) 4cos2 xdx . 1 1 e x 6 1 1 1 ex d(1 e x ) (1) dx 1 解 1 1 e x 1 ex
n
( x )dx
b
f1 ( x )dx f 2 ( x )dx f n ( x )dx.
不定积分含变上限积分和微分解题方法
不定积分和微分一、公式)()(x f dx x f dx d =⎰和⎰⎰+==c x f dx x f dx d dx x f )()()(/的应用 注意：)(x f 的不定积分为⇔+c x F )()(x F 是)(x f 的原函数⇔)(x f 是)(x F 的导数,即 ⎰+=c x F dx x f )()(或)()(/x f x F =1、已知不定积分的值,求被积函数或被积函数中的一部分,利用两边求导处理已知⎰+=c x F dx x f )())((ϕ,求)(x f方法：求导得)())((/x F x f =ϕ,令t x =)(ϕ,则)(1t x -=ϕ,即))(()(1/x F x f -=ϕ 例11⎰+=c x dx x f 2)(,求⎰-dx x xf )1(2解：对⎰+=c x dx x f 2)(求导得x x f 2)(=,2222)1(x x f -=-则c x x dx x x dx x xf +-=-=-⎰⎰32)22()1(22222⎰+=c x dx x xf arcsin )(,求⎰)(x f dx解：对⎰+=c x dx x xf arcsin )(两边求导得211)(xx xf -=,即211)(xx x f -=c x xd x dx x x x f dx +--=---=-=⎰⎰⎰232222)1(31)1(1211)( 2、已知导数值,求原函数,利用两边积分的方法处理 已知)())((/x f x F =ϕ,求)(x F方法：令t x =)(ϕ,则)(1t x -=ϕ,即))(()(//t f t F ϕ=,故⎰=dt t f x F ))(()(/ϕ 例21x x f 22/tan )(sin =,求)(x f解：令t x =2sin ,则t t -=1cos 2,ttx x x -==1cos sin tan 222即t t t f -=1)(/ 两边积分的⎰+---=-=c t t dt tt t f |1|ln 1)( 2已知]1)([)(//-=-x f x x f ,求)(x f解：令t x =-,则上式为]1)([)(//---=t f t t f ,即]1)([)(//---=x f x x f由上面两式得12)(2/+=x xx f 两边积分得c x dx x xx f ++=+=⎰)1ln(12)(223设)(u f 在+∞<<∞-u 内可导,且0)0(=f ,又101(ln )1x f x x <≤⎧⎪'=>,求)(u f解：令t x =ln 得t e x =,则⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=1101)(/tt t e ee tf 即⎪⎩⎪⎨⎧>≤=01)(2/t et t f t当0≤t 时,1)(/=t f ,两边积分得⎰+==1)(c t dt t f 当0>t 时,2/)(t e t f =,两边积分得⎰+==2222)(c e dt e t f t t又因为设)(t f 在+∞<<∞-u 内可导,所以)(t f 在+∞<<∞-u 内连续 而222002)2(lim )(lim c c e t f tt t +=+=++→→,1100)(lim )(lim c c t t f t t =+=--→→因为)(t f 在0=t 处连续,则0212==+c c ,即2,021-==c c故⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0220)(2t e t tt f t4设)(x f y =在x 处的改变量为)(1x o x xyy ∆+∆+=∆0→∆x ,1)0(=y ,求)1(/y解：由)(1x o x x y y ∆+∆+=∆ 知 x yy +=1/ 即x dx y dy +=1 两边积分得⎰⎰+=xdxy dy 1 得 c x y ++=)1ln(ln 而1)0(=y 故 0=c ,即x y +=1 故1)1(/=y 5设⎰-=ππ0sin )(dt ttx f ,求⎰π0)(dx x f解：dx x x x dx xxdx x xf x xf dx x f ⎰⎰⎰⎰---=-=ππππππππ00/00sin sin )(|)()(⎰==π2sin xdx二、已知)(x F 是)(x f 的原函数⎪⎩⎪⎨⎧+==⇔⎰c x F dx x f x f x F )()()()(/,求被积函数中含有))((x f ϕ的积分1、由)()(/x F x f =求出)(x f ,代入积分计算2、把积分转化为⎰))(())((x d x f ϕϕ的形式,利用⎰+=c x F dx x f )()(求值例31x x sin 是)(x f 的原函数,0≠a ,求⎰dx a ax f )( 解：因为x x sin 是)(x f 的原函数,所以⎰+=c xxdx x f sin )(而c xa ax c t a t dt t f a dx a ax f t ax +=+==⎰⎰=322sin sin )(1)(2x e -是)(x f 的原函数,求⎰dx x f x )(ln 2解：因为x x e e x f ---==/)()(,所以xx f 1)(ln -=则⎰⎰+-=-=c x xdx dx x f x 2)(ln 22三、已知)(x f 的表达式,求被积函数中含有))((x f ϕ的积分 1、由)(x f 求))((x f ϕ,再把))((x f ϕ的表达式代入积分计算2、由)(x f 先求⎰dx x f )(,把含有))((x f ϕ的积分转化为⎰)())((x d x f ϕϕ的形式处理 例41x x x f sin )(sin 2=,求⎰-dx x f xx )(1 解：在⎰-dx x f xx )(1中,令t x 2sin =得⎰⎰⎰⋅=-=-dt t f t t d t f tt dx x f xx )(sin sin 2)(sin )(sin sin 1sin )(1222222ct t t tdt t t t td tdt t ++-=+-=-==⎰⎰⎰sin 2cos 2cos 2cos 2)(cos 2sin 2因为x t x t x t arcsin ,1cos ,sin =-== 所以c x x x dx x f xx ++⋅--=-⎰2arcsin 12)(122ln )1(222-=-x x x f ,且x x f ln )]([=ϕ求⎰dx x )(ϕ解：令t x =-12,则11ln )(-+=t t t f ,而x x f ln )]([=ϕ 则x x x ln 1)(1)(ln=-+ϕϕ 即11)(-+=x x x ϕc x x dx x x dx x +-+=-+=⎰⎰|1|ln 211)(ϕ 3)()(/2x f e x =-,)(/x f 连续,求⎰dx x xf )(/解：因为)()(/2x f e x =-,所以22)(x xe x f --=,⎰+=-c e dx x f x 2)(c e e x dx x f x xf x f xd dx x xf x x +--=-==--⎰⎰⎰222/2)()()]([)( 4x xe x f =)(,求⎰⋅xdx x f ln )(/解：⎰⎰⎰-==⋅dx xx f x x f x f xd xdx x f )(ln )()]([ln ln )(/ c e x xe dx e x xe x x x x +-=-=⎰ln ln5x x f cos )(ln =,求⎰dx x f x xf )()(/ 解：dx x f x f x x f xd dx x f x xf ⎰⎰⎰-==)(ln )(ln )]([ln )()(/ c x x x xdx x x +-=-=⎰sin cos cos cos6设dt ttx f x ⎰=21sin )(,求⎰10)(dx x xf解：因为dt tt x f x ⎰=21sin )(,所以x x x x x x f 222/sin 22sin )(=⋅= ⎰⎰⎰⎰-=-==10210/210210210sin )(21|2)()(21)(dx x x dx x f x x f x dx x f dx x xf 2121cos |cos 21sin 211021022-==-=⎰x dx x 四、利用凑微分法求积分注意：))](([)]([)]([)()]([///x g f d x g d x g f dx x g x g f =⋅=⋅ 例511)0(=f ,3)2(=f ,5)2(/=f ,求⎰10//)2(dx x xf解：⎰⎰⎰⎰-====20/20/20/20//210//)(41|4)()]([41)(41)2(dt t f t tf t f td dt t tf dx x xf tx 令 24)0()2(2)2(/=--=f f f 2设)(x f 二阶可导,a b f =)(/, b a f =)(/,求⎰badx x f x f )()(///解：2|2)]([)]([)()()(222//////b a x f x f d x f dx x f x f b a baba -===⎰⎰3设5sin )]()([0//=+⎰xdx x f x f π,2)(=πf ,求)0(f 解：⎰⎰⎰-==πππ0//0//cos )()]([sin sin )(xdx x f x f xd xdx x f⎰⎰--=-=πππ0sin )()()0()]([cos xdx x f f f x f xd因为5sin )]()([0//=+⎰xdx x f x f π,所以5)()0(=-πf f 而2)(=πf ,故7)0(=f五、已知)()(/x f x F =,且)()()(x g x F x f =⋅,求)(x f方法：两边积分⎰⎰=dx x g dx x F x F )()()(/,得⎰=dx x g x F )(2)(2,求)(x f 例61)(x F 是)(x f 的原函数,且0≥x 时,有x x F x f 2sin )()(2=⋅,又1)0(=F ,0)(≥x F ,求)(x f解：因为)(x F 是)(x f 的原函数,所以)()(/x f x F =, 由于 x x F x f 2sin )()(2=⋅ 故x x F x F 2sin )()(2/=⋅, 两边积分得12/84sin 24cos 21212sin )()(c x x xdx dx xdx dx x F x F +-=-==⎰⎰⎰⎰ 而 22/2)()]([)()()(c x F x F d x F dx x F x F +==⎰⎰ 故c xx x F +-=44sin )(2,又1)0(=F 得1=c 而0)(≥x F ,所以144sin )(+-=xx x F 44sin 44cos 1)(+--=x x x x f2)(x f 连续,且当1->x 时,2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰,求)(x f 解：令dt t f x g x⎰=0)()(,)()(/x f x g =,由于2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰则 2/)1(2]1)()[(x xe x g x g x+=+两边积分得 dx x xe dx x g x g x⎰⎰+=+2/)1(2]1)()[( 即 ⎰⎰⎰⎰+-+=+=++dx x e dx x e dx x xe x g d x g xx x 22)1(21121)1(2]1)([]1)([ 故 c xe x g x++=+1]1)([2因为 dt t f x g x⎰=0)()( 令0=x 得0)0(=g ,代入上式0=c故11)(-+±=xe x g x ,23/)1(2)(x e x x f x +±= 3已知)(x f 为非负连续函数,且0>x 时,30)()(x dt t x f x f x=-⎰,求)(x f提示：因为⎰⎰==-x xdu u f x f dt t x f x f 0ut -x 0)()()()(令,令⎰=xdu u f x g 0)()(处理六、变上限积分的导数运算注意：1如],[,)()(b a x dt t f x F bx⎰∈=,则⎰-=xbdt t f x F )()(,则)()(/x f x F -=2如⎰ϕ=)()()(x adt t f x F ,则由复合函数的求导法则有)()]([)()()()(///x x f x u f dxduu F dx d x F ϕϕϕ⋅=⋅=⋅=3如⎰ϕφ=)()()()(x x dt t f x F ,可得成⎰⎰ϕφ+=)()()()()(x cc x dt t f dt t f x F ,则)()]([)()]([)(///x x f x x f x F φφϕϕ⋅-⋅=例71已知)(x f 满足⎰+=xdt t f t x xf 02)(1)(,求)(x f解：两边求导得)()()(2/x f x x xf x f =+ 即dx xx x f x f d )1()()]([-=两边积分得c x x x f +-=ln 2)(ln 2,所以xCe x f x 22)(=2求一个不恒等于零的连续函数)(x f ,使它满足⎰+=xdt ttt f x f 02cos 2sin )()(解：两边求导得xxx f x f x f cos 2sin )()()(2/+=即 0)cos 2sin )(2()(/=+-⋅xxx f x f因为)(x f 是不恒等于零的连续函数,故xxx f cos 24sin )(/+=两边积分得c x dx x x x f ++-=+=⎰)cos 2ln(21cos 2sin 21)(在⎰+=x dt t t t f x f 02cos 2sin )()(中令0=x ,得0)0(=f 代入上式有3ln 21=c故3ln 21)cos 2ln(21)(++-=x x f注意：1上题要充分利用已知条件确定初始条件0)0(=f2定积分或变上限积分的被积函数有参变量时,必须通过换元,使被积函数不含参变量,然后再求导例81已知)(x f 连续,⎰=-xx dt t x tf 02arctan 21)2(,1)1(=f 求⎰21)(dx x f解：令u t x =-2,则⎰⎰⎰⎰-=--=-x xxxx x xdu u uf du u f x du u f u x dt t x tf 2202)()(2)()2()2(即 222arctan 21)()(2x du u uf du u f x xx xx =-⎰⎰两边求导得：421)()(2x xx xf du u f x x +=-⎰因为 1)1(=f ,上式中令1=x 得21)1()(221=-⎰f du u f所以 43)(21=⎰dx x f2求可导数)(x f ,使它满足⎰+=1sin )()(x x x f dt tx f解：令u tx =,则du u f xdt tx f x⎰⎰=01)(1)( 因为⎰+=1sin )()(x x x f dt tx f ,所以x x x xf du u f x sin )()(20+=⎰两边求导得x x x x f cos sin 2)(/--=两边积分得c x x x xdx x xdx x f +-=--=⎰⎰sin cos cos sin 2)( 3由方程1sin e 22y0t =+⎰⎰dt tt dt x 0>x 确定y 是x 的函数,求dxdy解：对x 求导得0sin 22/2=+⋅x y e y ,故22sin 2y ex dx dy -=4)(x y y =是由012=-⎰+-dt e x xy t 确定的函数,求0//=x y解：对x 求导得0)1(1/)(2=+-+-y e x y 故12)(/-=+x y ey在012=-⎰+-dt e x xy t 中令0=x 时,有012=⎰-dt e yt ,即1=y故1/0/-==e y x注意：此题确定y 的方法5设)(x f 为已知可导奇函数,)(x g 为)(x f 的反函数,则⎰--)()(x f x xdt x t xg dx d 解：令u x t =-,则du u g x dt x t xg x f x f x x⎰⎰--=-)(0)()()(所以⎰⎰---⋅-=-)(0/)()]([)()()(x f x f x xx f g x xf du u g dt x t xg dx d 令⎰-=)(0)()(x f du u g x h ,则)()]([)()(///x xf x f g x f x h =-⋅-=两边积分得⎰⎰-==dx x f x xf dx x xf x h )()()()(/ 故⎰⎰-+=--dx x f x f x x xf dt x t xg dxd x f x x )()()()(/2)( 6设函数)(x f 可导,且0)0(=f ,⎰-=-x n n n dt t x f t x g 01)()(,求nx x x g 20)(lim → 解：令u t x nn=-,则⎰⎰=-=-nx xnnn du u f n dt t x f tx g 01)(1)()(由于 )()(1/n n x f x x g -=故n f x f x f n x x f n nx x g x x g n n x n n x n x n x 2)0(0)0()(lim 21)(lim 212)(lim )(lim /0012/020=--===→→-→→ 七、求分段函数的不定积分先分别求分段函数)(x f 的各分段在相应区间的原函数)(x F ,然后考虑函数)(x F 在分段点处的连续性.如果)(x f 在分段点0x 处连续,则)(x F 在0x x =处连续例91⎩⎨⎧>≤+=1211)(x xx x x f ,求⎰dx x f )(解：当1≤x 时,⎰⎰++=+=122)1()(c x x dx x dx x f 当1>x 时,⎰⎰+==222)(c x xdx dx x f 因为⎰dx x f )(在1=x 处连续,故12231c c +=+,即c c c +=+=212112 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰12112)(22x c x x c x x dx x f2dx x ⎰),1max(2解：⎪⎩⎪⎨⎧-<>≤≤-=11111),1max (222x x x x x x当11≤≤-x 时,⎰⎰+==12),1max(c x dx dx x当1>x 时,⎰⎰+==23223),1max (c x dx x dx x当1-<x 时,⎰⎰+==33223),1max (c x dx x dx x求满足1)1(=F 的原函数由于)(lim )1(11x F F x +→==,即213111c c +=+= 得01=c ,322=c又由于)(lim )1(1x F F x -→=-,即3311c +-=- 得323-=c⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+->++≤≤-+=⎰1323132311),1max(332x c x x c x x c x dx x 3⎰dx x ][0≥x解：分别求出在区间]1,[+n n 3,2,1,0=n 上满足0)0(=F 的原函数 在]1,[+n n 上,n c nx dx x +=⎰][,n n F n F =-+)()1(在],1[x n +上,1)1(][+++=⎰n c x n dx x ,)1)(1()1()(--+=+-n x n n F x F 故c n x n c n x n n dx x +--+=+--++++++=⎰)12)(1()1)(1(3210][ 八、分段函数的变上限积分例101⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=πππx c x x x f 220cos )(,求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ,并讨论)(x ϕ在],0[π的连续性解：当20π≤≤x 时,⎰⎰===xx x tdt dt t f x 0sin cos )()(ϕ当ππ≤<x 2时,⎰⎰⎰-+=+==2020)2(1cos )()(ππππϕx c cdt tdt dt t f x x)(x ϕ在],2(,)2,0[πππ上连续,在2π=x 处,1)]2(1[lim )(lim 22=-+=++→→πϕππx c x x x ,1sin lim )(lim 22==--→→x x x x ππϕ故)(x ϕ在2π=x 处连续2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤=2220cos )(πππx x x x x f ,求⎰-xdt t x tf 0)(解：令u t x =-,则⎰⎰⎰-=-xxxdu u uf du u f x dt t x tf 0)()()(当20π≤≤x 时,⎰⎰==x xx udu du u f 0sin cos )(1cos sin cos )(0-+==⎰⎰x x x du u u du u uf x x此时x dt t x tf xcos 1)(0-=-⎰当2π>x 时,⎰⎰⎰++-=-+=x xx x du u udu du u f 0202221822)2(cos )(πππππ⎰⎰⎰-++-=-+=x xx x udu u udu u du u uf 0203232124843)2(cos )(ππππππ此时1248)18(46)(32230+--++-=-⎰ππππx x x dt t x tf x九、积分估值估计积分⎰ba dx x f )(的值方法：1令)(x f y =,],[b a x ∈2求)(//x f y =,确定0)(/=x f 和)(/x f 不存在的点 3在],[b a 上确定)(x f y =的最值4利用⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(估计积分值例11估计积分值⎰-22dx e xx解：设函数xxe xf y -==2)(,其中]2,0[∈xxxe x y --=2)12(/令0/=y ,得21=x 因为1)0(=f ,41)21(-=e f ,2)2(e f =,故241e y e ≤≤-所以 2241222e dx e exx≤≤⎰--十、形如⎰+=badx x f x h x g x f )()()()(的等式,求)(x f 和⎰badx x f )(方法：1令A dx x f ba=⎰)(2两端积分⎰⎰⎰+==b abab adx x Ah dx x g A dx x f )()()(得⎰⎰+=b abadx x h A dx x g A )()(,求A 的值3把A 的值代入原式求)(x f例12设⎰⎰++=203102)()()(dx x f xdx x f xx x f ,求)(x f解：令a dx x f =⎰10)(,b dx x f =⎰20)( 则 32)(bx ax x x f ++=两边积分⎰⎰++=++=13214321)()(b a dx bx ax x dx x f 即 638=-b a两边积分⎰⎰++=++=23224382)()(b adx bx ax x dx x f 即 638=-b a故83=a ,1-=b ,即3283)(x x x x f -+= 十一、已知函数)(x f 在],[b a 上的形式,求)(x f 方法：1求)(/x f2对)(/x f 两边积分得c x F x f +=)()(3取],[b a d ∈,由已知条件求)(d f 的值确定c 例131设20π≤≤x ,求⎰=x dt t x f 2sin 0arcsin )(+dt t x ⎰2cos 0arccos解：两边求导得02sin 2sin )(/=-=x x x x x f ,所以c x f =)(c 为常数 又因为当0=x 时,⎰⎰=-==1010341arccos )(dt tt dt t x f 所以 34)(=x f 2设0>x , ⎰+=xdt t x f 0211)(+dt t x⎰+10211,求)(x f解：两边求导得0111111)(222/=+⋅-+=xx x x f ,所以c x f =)(c 为常数又因为当1=x 时,2112)(102π=+=⎰dt t x f 所以 2)(π=x f十二、例14 已知111)(432-=--+++⎰⎰⎰⎰⎰dx yydx y dx y ydx dx ,求()x f y =. 解：因为111)(432-=--+++⎰⎰⎰⎰⎰dx y ydx y dx y ydx dx 所以⎰⎰⎰⎰⎰---=+++dxy y dx y dx y ydx dx 432111两边对x 求导得⎰----=+++24432)11(111dx yy y y y y y故2424)11()11(y y dx y y --=--⎰ 即441111y y dx y y --=--⎰或441111y y dx y y ---=--⎰ 当441111y y dx y y --=--⎰时,令411)(yy x u --=,则)()(/x u x u =,此时两边积分得 x Ce x u =)( 而 411)(y y x u --=所以411y y Ce x--=)1(132y y y C e x +++=,即c y y y x ++++-=)1ln(32 同理略 十三、计算1、如果⎰=badx x f I )(1,令tx 1=得⎰=badx x f I )(2则 A dx x f x f I ba=+=⎰)]()([221 得2A I =例15⎰∞+++=02)1)(1(1dx x x I p解：令t x 1=,即dt t dx 21-= 则 dt ttt dx x x I p p )1()11)(11(1)1)(1(120202-⋅++=++=⎰⎰∞+∞+ dt t t t p p⎰∞+++=2)1)(1(所以 21)1)(1()1)(1(12020202π=+=+++++=⎰⎰⎰∞+∞+∞+xdx dx x x x dx x x I p p p 即 4π=I2、形如⎰+20tan 1παx dx 的积分,令x y -=2π,然后相加处理 例16dx xx x⎰+2200520052005sin cos cos π解：令x t -=2π,则dt dx -=⎰⎰⎰+=-+---=+=202005200520050220052005200520200520052005sin cos sin )2(sin )2(cos )2(cos sin cos cos ππππππdt tt tdt t t t dx xx xI所以⎰⎰=+++=20200520052005202005200520052sin cos sin sin cos cos 2πππdx x x x dx xx x I故4π=I3、形如⎰++dx xD x C xB x A cos sin cos sin令)cos sin ()cos sin (cos sin '+++=+x D x C b x D x C a x B x A 确定b a , 例171⎰+-dx xx xx cos 2sin cos 4sin 3解：令/)cos 2(sin )cos 2(sin cos 4sin 3x x b x x a x x +++=- 比较上式两端得⎩⎨⎧-=+=-4232b a b a 即1-=a ,2-=bcx x x dx x x x x dx x x x x dx x x x x ++--=++-++-=+-⎰⎰⎰|cos 2sin |ln 2cos 2sin )cos 2(sin 2cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos 4sin 3/2⎰+dx xx xcos 4sin 3sin解：令/)cos 4sin 3()cos 4sin 3(sin x x b x x a x +++=比较上式两端得⎩⎨⎧=+=-034143b a b a 即253=a ,254-=bc x x x dxx x x x dx x x x x dx x x x ++-=++-++=+⎰⎰⎰|cos 4sin 3|ln 254253cos 4sin 3)cos 4sin 3(254cos 4sin 3cos 4sin 3253cos 4sin 3sin /4、利用公式⎰⎰⎰+=+=+b x a x d dx b x a x dx xb x a 22222tan ][tan tan sec cos sin 1处理 例18⎰+2022cos 4sin 3πxx dx解：⎰⎰⎰+=+=+20220222022)2tan 3(1][tan 41tan 34sec cos 4sin 3πππx x d dx x x xx dx123|)2tan 3arctan(321]2tan 3[)2tan 3(1132120202πππ==+=⎰x x d x 5、利用⎰⎰----⋅-=dx x e k x e k dx xe k xk x k x 111111计算,每用一次分部积分法,被积函数的分母次数降低一次例191⎰+dx x xe x2)1( 解：因为 dx x e dx x e dx x xe xx x ⎰⎰⎰+-+=+22)1(1)1( 而 dx x e x e x d e dx x e x x xx ⎰⎰⎰+++-=+-=+11)11()1(2故 c x e dx x xe xx ++=+⎰1)1(24⎰-⋅-dx xxe x )24(sin 2sin 4sin π 解：4)sin 1(]2)2cos(1[)24(sin 224x x x -=--=-ππ 则)(sin )sin 1(sin 8)24(sin 2sin 2sin 4sin x d x xe dx x x e x x ⎰⎰-⋅=-⋅--π 令t x =-sin ,则原式=⎰+⋅dt t te t 2)1(8 由上式知t e dt t t e tt +=+⋅⎰18)1(82,原式=c x e x +--sin 18sin 6、当)(x f 在],[a a -上可积,则⎰⎰⎰---+=-+=aaa a adx x f x f dx x f x f dx x f 0)]()([)]()([21)( 例201dx x ⎰-+44sin 11ππ解：dx x dx x x dx x ⎰⎰⎰----=-++=+4424444sin 11]sin 11sin 11[21sin 11ππππππ2|tan cos 44442===--⎰ππππx x dx2dx x e x ⎰-++112)1)(1(1解：dx x e x e dx x e x x x ⎰⎰---+++++=++1122112])1)(1(1)1)(1(1[21)1)(1(1 4|arctan 21112111112π==+=⎰--x dx x 7、积分⎰=bdx x f I 0)(,作变量替换x b t -=得⎰-=b dx x b f I 0)(则 ])()([2100⎰⎰-+=b bdx x b f dx x f I例211dx xx xx n n n ⎰+π222cos sin sin解：dxx x x x x x x x dx xx x x n n n n n n n n n ⎰⎰-+---++=+ππππππ02222220222])(cos )(sin )(sin )(cos sin sin [21cos sin sin ⎰⎰+++=202222222cos sin sin cos sin sin πππππdx x x xdx xx x n n nn n n ⎰⎰+=+=-2022222222cos sin cos cos sin sin ππππdx x x x dx x x xn n n tx n n n令所以dx x x x x n n n ⎰+π222cos sin sin 2cos sin cos cos sin sin 22022220222πππππ=+++=⎰⎰dx xx x dx x x x n n n n n n 2dx x ⎰+4)tan 1ln(π解：⎰⎰-+++=+4040))]4tan(1ln()tan 1[ln(21)tan 1ln(πππx x dx x42ln 2ln 21)]tan 12ln()tan 1[ln(214040πππ==+++=⎰⎰dx dx x x 8、利用被积函数的奇偶性求积分如果)(x f 是],[a a -上的偶函数,则⎰⎰-=aa adx x f dx x f 0)(2)(如果)(x f 是],[a a -上的奇函数,则⎰-=aadx x f 0)(例22⎰-+22223cos )sin (ππxdx x x解：因为函数x x 23sin 是奇函数,故0cos 2223=⎰-ππxdx x所以dx x dx x x xdx x x ⎰⎰⎰----==+22222222223)4cos 1(81cos sin cos )sin (ππππππ8π=9、凑微分法利用第一换元法和分部积分法 常见的凑微分公式)1()1(12232x x d dx x +=+)11()1(2232x d dx x x +-=+)11()1(2232xd dx x x -=-)1()1(12232xx d dx x -=-)]1[ln(1122x x d dx x ++=+)1(122x d dx x x +=+)1(122x d dx x x --=-例231⎰+dx x x x )ln 1(解：⎰⎰⎰+=+==+=+c x c e x x d e dx x e dx x x x x x x x x x x ln ln ln )ln ()ln 1()ln 1(2⎰dx e xe xx 222sin sin 解：⎰⎰⎰--=⋅=--)22(sin 41sin sin 22sin 222sin 222sin x x d e dx x e dx ex e x x x x x x c e xx +-=-22sin 41 3dx x x ⎰+362解：)3()3(11933)()(31332323362x d x x x d dx x x ⎰⎰⎰+=+=+c x +=)3arctan(93310、分段函数的定积分 例241dx x ⎰+π20sin 1解：dx xx x x dx x ⎰⎰++=+ππ2022202cos 2cos 2sin 22sin sin 1 dx x dx x x |)42(sin |2|2cos 2sin |2020πππ+=+=⎰⎰⎰⎰+-+=230223)42sin()42sin(πππππdx x dx x42222=-++=2dx xx ⎰-1])1[1(解：令t x =1,dt tdx 21-=,当1,1==t x ；当+∞→+→t x ,0 则∑∑⎰⎰⎰∞=∞=+∞++--+=-=-=-11121210]11ln )1[ln()1()][1(])1[1(n n n n n n n dt t n t dt t t t dx x x c n n n -=++++-+=∞→1)]113121()1[ln(lim 注意：∑=++=++++=nk n n c n k1ln 1312111ε ,其中 577216.0=c 称为欧拉常数,且0lim =∞→n n ε 3dx i x n ni ⎰∑=-01||解：∑∑⎰⎰⎰⎰∑===-+-=-=-ni ni i ni nn ni dx i x dx x i dx i x dx i x 110001])()([||||62)2(3122nn n in i ni +=+-=∑= 4dx x f x a⎰0/)(][解：∑⎰⎰⎰=++=][01/][/0/)(][)()(][a k k k aa adx x f a dx x kf dx x f x])([)2()1(])([][)(][)1]([][a f f f a f a a f a a f a ----++=5dx x x x ⎰-π42cos cos解：⎰⎰⎰⎰-==-20200422sin 212sin 21|2sin |21cos cos πππππxdx x xdx x dx x x dx x x x488πππ=+=6dx x x ⎰-33)sgn(解：⎰⎰⎰-=-=-10313031)sgn(dx dx dx x x7dx e x ⎰2][解：令t e x =,dt tdx 1=,当2=x 时,2e t =；当0=x 时,1=t 所以!7ln 147][][227161120-=+==⎰⎰∑⎰⎰=+dt t dt t k dt t t dx e e e k k k x7 dx x ⎰10)]sgn[sin(ln解：当0)sin(ln >x ,得πππ+--<<n n e x e 22,其中 ,3,2,1=n当0)sin(ln <x ,得ππππ222+-+-<<n n e x e ,其中 ,3,2,1=n故∑∑⎰⎰⎰∞=-∞=--=-=+--+-+-122110)12(][)]sgn[sin(ln 22222n n n e ee ee ee dx dx dx x n n n n ππππππππππ11222---=πππe e e 8dx x ⎰-π10002cos 1解：∑⎰⎰⎰=+==-9910001000|sin |2|sin |22cos 1k k k dx x dx x dx x πππππ∑⎰==--=99|sin )1(|2k k tk x dt t ππ令2198=9dx x x n ⎰π0|sin |解：∑∑⎰⎰⎰-=-==-++==110sin )(|sin ||sin |n k n k t k x k k n tdt t k dxx x dx x x πππππππ令ππ21)12(n k n k =+=∑-=11、利用第二换元法求积分 例251dx e e ex x x ⎰+)1(arctan 22解：令t e x =2arctan ,则t x tan ln 2=,dt tt dx cos sin 2⋅=dt t t dt tt t t t dx e e ex x x ⎰⎰⎰=⋅+⋅=+2222cot 2cos sin 2)tan 1(tan )1(arctan ⎰⎰+--=-=c t t t t tdt tdt t 2cot 2|sin |ln 22csc 22c e e ee x x x x x+--+-=-222arctan 2arctan 2)1ln(2dx xne ⎰-1/2|)]1[cos(ln |πn 为自然数 解：因为|)sin(ln ||)]1[cos(ln |/xx x =则 ⎰⎰--=11/22|)sin(ln ||)]1[cos(ln |ππn n e e dx xx dx x令 u x =ln ,则u e x =,du e dx u =所以 du u dx x n e n ⎰⎰-=-021/|sin ||)]1[cos(ln |2ππ 再令t u -=则 ⎰⎰⎰==--πππn n e dt t du u dx xn 20021/|sin ||sin ||)]1[cos(ln |2nvdvdtt n k n k v k t k k4sin |sin |120120===∑⎰∑⎰-=-==-+πππππ令3)1)(2(])2()1ln[(21++⋅+⋅+⎰++x x dxx x x x解：⎰⎰+++++=++⋅+⋅+++dx x x x x x x dx x x x x ]1)2ln(2)1ln([)1)(2(])2()1ln[(21cx x dx x x dx x x x x dx x x x d x +++=+++++-++=+++++=⎰⎰⎰⎰)2ln()1ln(1)2ln(1)2ln()2ln()1ln(1)2ln()]2[ln()1ln(12、被积函数中含有)(22a x x n +的形式,一般作代换tx 1= 例26⎰+dx x x )1(128解：令t x 1=,dt t dx 21-= cx x xx x ct t t t t dt tt t t dt t t dx x x ++--+-=++--+-=++-+--=+-=+⎰⎰⎰1arctan 1315171arctan 357)111(1)1(13573572246282813、杂题 例２７1dx x x ⎰++1021)1ln(解：令t x tan =,则dt t dx xx ⎰⎰+=++4012)tan 1ln(1)1ln(π而 dt t t dt t ⎰⎰-+++=+404))]4tan(1ln()tan 1[ln(21)tan 1ln(πππ82ln 2ln 2140ππ==⎰dt2dx xxx ex⎰--sin sin cos 2解：dx x e dx xxedx xxx exx x ⎰⎰⎰----=-sin sin cos sin sin cos 222cx edx x edx x e x edxx ex d e x x x x x x +=-+=-=------⎰⎰⎰⎰sin 2sin sin sin 2sin )sin (22222224⎰+40tan )1(tan πxdx x e x解：⎰⎰+-=+40240)tan 1(sec tan )1(tan ππdx x x e xdx x e x x12tan |tan |tan tan ][tan 440404040404040-=++-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ππππππππe xdx e e xdx e x e xdxe dx e x d e x xxxx x x５⎰---+112004))(1(dx e e x x x x分析：⎰⎰⎰-----+-+=-+111120052005112004)()())(1(dx e x x dx e x x dx e e x x x x x x而⎰⎰⎰--=---+-=---=+112005112005112005)()()(dt e t t dt e t t dx e xx t t tx x令故⎰⎰⎰-----+=+=-+112005111200511200424)(2))(1(dx e x e dx e xx dx e e xx x x xx此方法易想到但太繁,解略 十四、积分的应用 1、利用转轴公式求值如果平面内一点的旧坐标和新坐标分别为),(y x 和),(11y x ,则转轴公式为⎩⎨⎧+=-=ααααcos sin sin cos 1111y x y y x x例２８：设D ：4,2,,422≤+≥+≥≤-y x y x x y x y ,1)求D 的面积；2求D 绕x y =旋转一周的绕旋体体积.解 把直角坐标系xoy 顺时针转4π,使x y =为1ox 轴,此时转轴公式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-=-=)(224cos 4sin )(224sin 4cos 11111111y x y x y y x y x x ππππ 则D 的各边界在新坐标系下的坐标为111x y =,01=y ,21=x ,221=x 12ln 2ln 22ln |ln 1222222111=-===⎰x dx x S 242|)1(2221122221πππ=-==⎰x dx x V 2、求值例２９１设直线ax y =与抛物线2x y =所围成的图形面积为1S ,它们和直线1=x 围成的图形面积为2S ,且1<a .1求a ,使21S S +最小2求该最小值所对应的平面绕x 轴旋转所得旋转体的体积２设平面图形由x y x 222≤+与x y ≥所确定,求该图形绕直线2=x 旋转所得旋转体的体积.３求曲线x x y 23-=与2x y =所围成图形绕y 轴旋转所形成的旋转体的体积４过点)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线,该切线与抛物线及x 轴围成一个平面图形,求该图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积.５在曲线x e y -=0≥x 上求一点,使该点的切线被两坐标轴所截的线段和该曲线以及过线段端点而垂直于x 轴的两直线所围图形的面积最小. ６求常数k ,使曲线2x y =与直线0,2,=+==y k x k x 所围图形的面积最小 ７设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内,有0)(/>x f ,证明：在),(b a 内存在唯一的点ξ,使曲线)(x f y =与两直线)(ξf y =和a x =所围成图形的面积1S 是曲线)(x f y =与两直线)(ξf y =和b x =所围成图形的面积2S 的面积. ８已知⎰-=xdt t t x f 1||)(1>x ,求)(x f 与x 轴围成的面积.９设c bx ax y ++=2过)0,0(,当10≤≤x 时,0≥y ,如果它与x 轴、直线1=x 所围图形面积为31,求c b a ,,使图形绕x 轴旋转所成的体积最小. 注意：补充隐函数的积分例：设函数)(x f y =是由33)(x y x y =+确定的隐函数,求⎰dx y31换元法 习题1、求值1⎰+=c xe dx x f x )(,求)(x f 2⎰+=c e dx x f x 22)(,求)(x f 3⎰++=c edx e f e xx x 11)(,求⎰dx e f e x x )(2 2求值1x e f x +=1)(/,求)(x f 21)(ln /+=x x f ,求)(x f3x x f 22/sin )(cos =,且0)0(=f ,求)(x f 42/)13(x xe x f =+,且0)1(=f ,求)(x f5设)(x f y =在x 处的改变量为)(sin 12sin 2x o x xx y y ∆+∆+=∆,1)(=πy ,求)2(πy 6)(x f 是x e -的原函数,求⎰dx x f x )(2 3 x e -是)(x f 的原函数,求⎰dx x f x )(ln 2 41xe xf -=)(,求⎰dx xx f )(ln ,⎰dx x x f )(ln / 2x x x f )1ln()(ln +=,求⎰dx x f )( 3xxx F sin )(=是)(x f 的一个原函数,求⎰dx x f x )(/34ax x f sin )(=,求⎰dx x xf )(// 5xxx f sin )(=,求⎰dx x xf )(// 6)()(/x f e x =-,求⎰dx x xf )( 7)()(/x f x F =,求dx x xf ⎰)(sin cos8)(x f 的一个原函数为2x e -,求⎰dx x f x )(251dx x f x xf ⎰)()(2/22dx x f x f ⎰+)(1)(2/ 3⎰+=c x dx x f 2)(ln )(,求⎰dx x xf )(/421)2(=f ,0)2(/=f 且⎰=201)(dx x f ,求⎰10//2)2(dx x f x61)(x F 是)(x f 的原函数,且0≥x 时,有2)1(2)()(x xe x F x f x+=⋅,又1)0(=F ,0)(>x F ,求)(x f2设,)()(的原函数是x f x F ,且π42)1(=F ,当0>x 时,有)1(arctan )()(x x x x F x f +=,试求)(x f .71设0≥x 时,⎰+=2203)(x x x dt t f ,其中)(x f 连续,求)3(f2设)(x f 是),(+∞-∞上的已知连续函数,求函数)(x ϕ,使⎰⎰=211)()(x xdt t dt t f ϕ,且当x x f sin )(=时,)(x ϕ的表达式3⎰=x x dt t f 032)(,求⎰-20)sin (cos πdx x xf4求⎰=xt tdt e x f 0sin )(,在]2,0[π∈x 上的极值和最值5)(x f 在)2,0(π内连续,0)(>x f 且dt tt t f x f x ⎰+=022tan 21tan )()]([,求)(x f6⎰+=21sin )211()(x x t t dt tx f 0>x ,求n n f n 1sin )(lim ∞→ 81已知)(x f 连续,⎰-=-xx dt t x tf 0cos 1)(,求⎰20)(πdx x f2已知)(x g 连续,⎰-=x dt t g t x x f 02)()(21)(,求)(/x f 、)(//x f 3设)(x f 是x 的连续函数,求⎰xx)dt -f(t dx d4设⎰-=--y x tdt y x x 02sec )tan(2y x ≠,求dxdy50→x ,dt t f t x x F x)()()(/022⎰-=的导数与2x 为等价无穷小,求)0(/f6设fx 在－∞,+∞内连续,且10()()xn n n x s f x s ds ϕ-=⋅-⎰,求()x ϕ'. 7求()[()]()x d x t f t dt dx ϕϕ-⎰,其中ft 为已知的连续函数,()x ϕ为已知可微函数.8已知当0→x 时,⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数)(x F '与2x 为等价无穷小,则)0(f ''9设)(x ϕ在]1,0[上可导,有⎰=1)()(x a dt tx ϕϕ,其中a 为常数,求)(x ϕ1022ln 2x 0t 1te x y e dt t dt =++⎰⎰0t e ,求/y11已知⎰++=xudu e y sin 111)1(,其中)(x t t =由方程组⎩⎨⎧==vt v x 2sin 2cos 确定,求dx dy91⎩⎨⎧<-≥=010sin )(x e x x x f x ,求⎰-dx x f )1(2⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=121010)(x x x x x x f ,求⎰dx x f )( 3⎰-dx e x || 4⎰dx x x || 5⎰xdx sgn 6⎰dx x )sgn(sin 7⎰-dx x ][)1(8||x e 的不定积分为c x F +)(,求)(x F 9求⎰xdt t f 0)(,其中⎩⎨⎧><=lt lt t f ||0||1)(101⎩⎨⎧≤<+≤<=21110)(x x x xx f ,求⎰x dt t f 0)(2设x x f =)()0(>x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=2020sin )(ππx x x x g ,求⎰-x dt t x g t f 0)()(3设)(x f 在],[b a 上连续,⎰-=badt t f t x x F )(||)(,且],[b a x ∈,求)(//x F111证明⎰<+<30341160dx x x 2证明222121212≤≤⎰---dx e e x 2估计积分值⎰⋅331arctan xdx x121设⎰-++=1022)(111)(dx x f x xx f ,求)(x f 和⎰10)(dx x f 2设⎰+=1)(2)(dt t f x x f ,求)(x f3设⎰-+=102)()(3)(dx x f x g x x f ,⎰+-=1)(2)(4)(dx x g x f x x g 求)(/x f 、)(x g131设2121≤≤-x 时,求)43arccos(arccos 3)(3x x x x f --= 2当1>x 时,设x x f arctan )(=,212arctan 21)(x xx g -=.求)(),(x g x f 的关系14设)(x y y =,如果⎰⎰-=⋅11dx yydx ,1)0(=y ,且+∞→x 时,0→y ,求)(x y y =15求积分1⎰∞++=0411dx xI 2⎰∞++=0421dx x x I 16求积分1)0(022>-+⎰a x a x dx a2 ⎰+201993tan 1πxdx17求积分1⎰+-dx x x x x cos 2sin 5cos 3sin 7 2⎰-+dx xx 211 3⎰+dx x tan 53118求积分⎰+π20cos 5.01xdx19求积分1⎰-dx e x x 2)21(2⎰-dx xx 2ln 1ln20求积分1dx e x x ⎰--+2221sin ππ2dx e x x ⎰--+2261cos ππ 211证明⎰⎰⎰==2)(sin )(sin 2)(sin πππππdx x f dx x f dx x xf2求dx x x ⎰π10sin 3dx xx x⎰+203cos sin sin π4dx xx x ⎰+203cos sin cos π5dx x xx ⎰+π02cos 1sin。
3-2变上限积分NL公式
2 1
2
dx ; 1 x2
4、
2
sin x dx
.
0
四、求下列极限：
( x e t2 dt)2
1、 lim x
0
x e 2t2 dt
;
0
1
x2 (1 cos t 2 )dt
2、 lim 0
.
x0
5
x2
五、设 f ( x)为连续函数，证明:
x f (t)( x t)dt
xt
( f (u)du)dt
7
x2
C.
2
1
( 1)
1 dx 1 C
x2
x
(3) 1 dx ln x C
x
1 dx 2 x
x C
(4)
1
1 x
2
dx
arctanx C arc cot x C;
(5)
1 1
dx x2
arc sin x
C
arc c osx
C;
(6) e xdx e x C; (7) a xdx a x C;
ln a
(8) cos xdx sin x C;
(9) sin xdx cos x C;
(10)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(11)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(12) sec x tan xdx sec x C;
(13) csc xcot xdx csc x C;
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 4（微积分基本公式）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上
变上限定积分
x
f(t)dt
x0
f (c)(x x0 )
由此推出
F0 (x) F0 (x0 ) f (c), x x0
当x x0时, c x0,于是由函数f的连续性可知x x0时
f (c) f (x0 ), 因而
lim
x x0
F0 (x) F0 (x0 ) x x0
f (x0 ).
即
dF0 (x) dx
定理１(积分中值定理) 若函数 f(x) 在闭区间[a,b]
上 连续，则在[a,b]内至少存在一个点c ，使得
b
a f (x)dx f (c) (b a) .
证 因为f (x)在[a,b]上连续，它在[a,b]上有最大值M和
最小值m.则
b
b
b
m f (x) M , x [a,b]. a mdx a f (x)dx a Mdx,
a
b
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说明:
• 积分中值定理对
y f (x)
• 可把
b
a f (x) dx f (c)
y
ba
因
oa c bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
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定理2 设f 在[a,b]上连续，则其变上限积分的积分
x
F0 (x) a f (t)dt (a x b)
是[a, b]上的连续函数,且在 a, b 内可导，且
F0(x) f (x) , x a,b.
即
F0 (x)
d dx
x
f (t)dt f (x)
a
x a,b.
证 由积分中值定理，x0 [a,b) 及x x0, x (a,b], 有
F0 (x) F0 (x0 )
《变上限定积分》课件
直接法
总结词
直接法是利用微积分基本定理，将变上限定积分转化为定积分进行计算。
详细描述
直接法的基本思路是将变上限定积分$int_{a(x)} f(x,t) dt$转化为定积分$int_{a}^{b} f(x,t) dt$，其中$a(x)$和 $b$都是关于$x$的函数。然后利用微积分基本定理，将定积分转化为关于$x$的函数，从而求出变上限定积分的 值。
积分与微分的关系
如果f(x)在[a, b]上可微，则∫(a→b) f'(x) dx = f(b) - f(a)。
变上限定积分与普通定积分的联系
当a和b均为常数时，变上限定积分退 化为普通定积分。
普通定积分是变上限定积分的特殊情 况，而变上限定积分是普通定积分的 推广。
03
CATALOGUE
变上限定积分的计算方法
几何意义
变上限定积分可以理解为曲线y=f(x)与直线x=a，x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积随a和b的变化 而变化。
变上限定积分的性质
积分区间的可加性
∫(a→c) f(x) dx = ∫(a→b) f(x) dx + ∫(b→c) f(x) dx。
线性性质
∫(a→b) [k*f(x) + m*g(x)] dx = k*∫(a→b) f(x) dx + m*∫(a→b) g(x) dx。
换元法
总结词
换元法是通过引入新的变量替换原变量，将变上限定积分转化为更容易计算的 积分。
详细描述
换元法的基本思路是引入新的变量替换原变量，使得新的变量与原变量之间的 关系更容易处理。通过这种方式，可以将变上限定积分转化为更容易计算的积 分，从而简化计算过程。
分部积分法
第六讲：变限积分函数问题(16题)
y(x) 在 [a ,b] 上是凸函数
例10 [练习十二/十] 求 f (x) , 使 f(x) 对任意正数 a 在 0 , a上可积, 且当 x > 0 时, f (x) > 0 , 又满足:
f ( x) f ( t )dt
0 x
解
f ( x ) f ( t )dt f 2 ( x ) f ( t )dt
0 0
x
x
两边对 x 求导有 由 f (x) > 0
2 f ( x) f ' ( x) f ( x)
1 1 f '( x) f ( x) x c 2 2 1 f ( x) x 2
又
f (0) f ( t )dt 0 c 0
0
0
例12 已知 f (x) 在 a , b 上连续 , 对任意的 , a , b , 有
a b
是 a , b上的凸函数
x b
解
y x t f ( t )dt ( x t ) f ( t )dt ( t x ) f ( t )dt
a x x a b x b
b
x f ( t )dt tf ( t )dt tf ( t )dt x f ( t )dt
F ( x ) F ( x0 ) F ' ( x0 ) lim 0 x x0 x x0
由于 x0 在 [a , b] 中任取 F '( x ) 0 , x [a, b]
即
F ' ( x ) f ( x ) 0 , x [a, b]
3°与积分有关的数列极限计算
x0 x F ( x ) F ( x0 ) 1 f ( t )dt f ( t )dt x x0 x x0
10变上限定积分
) f (x )2
2
2
2
(
2
x 之间)
b
a f ( d)
b
a
f
(
2
)(x
2
b
)dx a
2
( x d)x 2 2
M b
(x
d)x 2
2a
2
Mab 24
3
例 17 设 f ( x) 在 [ , 上连续 且对任意 x , x [ , ],
即
b
( a f ( x)g(
)d
)2
b f 2(
a
)d
b
g
2
(
)
a
证明 2
t
令 F (t ) ( a f ( x)g( d))
t f ( d) a
t
g2 ( d)
a
(其中 a ) F (a),0
t
F (t ) 2( a f ( x)g( d))
g2(t)
都有| f ( x1 ) f ( x2 ) || .| 证明
证明
b
f ( x)dx (b a))(af a b
f ( x)dx (b a))( a
1 ( .) 2 2
b
f ( d)
a
b
f (d)
a
b [ f (x) f ( )]d a
b
[ f ( x) f ( )]d a
0
0
所确定的函数 y )(
的极值点，并判别是极大点还是极小点。
解 方程两边求导得
e y 2 dy ( 3 dx
解得
dy ( 3 x 3 dx 3e y2 3 x2 .
变限积分的形式
变限积分的形式（原创版）目录1.变限积分的定义与形式2.变限积分的性质3.变限积分的计算方法4.变限积分的应用实例正文1.变限积分的定义与形式变限积分，又称为非定限积分，是指在积分区间内，积分上限和下限至少有一个是变量的函数的积分。
其形式通常表示为：∫[a(x)][b(x)]dx，其中 a(x) 和 b(x) 分别是积分的上限和下限，它们至少有一个是关于x 的函数。
2.变限积分的性质变限积分具有以下性质：(1) 线性性质：如果 Y=f(X)+g(X)，那么∫[a(x)][b(x)]f(X)dx + ∫[a(x)][b(x)]g(X)dx = ∫[a(x)][b(x)]Y(X)dx。
(2) 保号性：如果 f(x)≥0，g(x)≥0，那么∫[a(x)][b(x)]f(x)dx + ∫[a(x)][b(x)]g(x)dx ≥ 0。
(3) 一致连续性：如果 f(x) 在 [a, b] 上一致连续，那么∫[a(x)][b(x)]f(x)dx 在 [a, b] 上一致连续。
3.变限积分的计算方法计算变限积分通常采用分部积分法，即将变限积分转化为两个定限积分的差。
具体步骤如下：(1) 求出变限积分的原函数 F(x)。
(2) 对原函数在区间 [a, b] 上求值，得到 F(b) - F(a)。
(3) 计算差值：∫[a(x)][b(x)]f(x)dx = F(b) - F(a)。
4.变限积分的应用实例变限积分在实际问题中有广泛应用，例如求解物理量的变化率、计算经济问题的最优解等。
下面举一个简单的应用实例：求解函数 y = x^2 在区间 [0, t] 上的最大值。
解：设 f(x) = x^2，t 为变量，则∫[0, t]f(x)dx = ∫[0, t]x^2dx = (1/3)x^3|[0, t] = (1/3)t^3。
第08讲-09讲 定积分概念与变限积分求导
dy
3
arctan1 3
dx x0
4
例: 设函数f x在 ,上连续,
且 x2 2
f t
2dt
ln x
1 ln 2 , 2
则
f 1
___ .
分析 : 方程 x2 f t 2 dt ln x 1 ln 2
2
2
两边对x求导得2xf x 2 2 1 x
两边对x 求导
得
g f
x
f
x
1
3
1
x2
1
1
x2
32
2
又因
g f x x
f
x
1
1
x2
1
2
2x
f x x c 当 f x 1时 x 4
c 1 f x x 1
例: 设f ( x)在[a, b]上 连 续, 且f ( x) 0, 试 证
方程 x f (t)dt x 1 dt (a b) 2x
a
b f (t)
在(a, b)内有且仅有一实根.
例: 求 由 方 程 y et2 dt
3
x
1
t
3
dt
0所 确 定 的 函 数
0
0
y yx的 极值 点, 并 判定 是 极 大点 还 是 极小 点.
0 x 2
x
2
令f x 0得驻点x , x 3 , 不可导点x
4
4
2
f 2, f 3 2 2, f 1