变限积分习题

1. 设函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=2

1,210,)(2x x x x x f ，试求)(x f 在[0,2]上的一个原函数。

2.设⎰

⋅=Φ+x x x t tdt e x sin 23sin sin )（，求)(x Φ'。

3.已知⎰-+=x

dt t x t x 30

)1ln(）（φ，求)(x φ'。

4.设)(x f 在[0,1]内可导，1)(00)0(≤'<=x f f ，

。试证： dx x f dx x f )())((103210⎰⎰≥。

5.设)(x f ，)(x g 在[a ，b]上连续，证明：至少存在一个),(b a ∈ξ，使得⎰⎰=b a dx x f g dx x g f ξξ

ξξ)()()()(

6. 设dt t t x f ⎰-=ππ0sin )(，求dx x f ⎰π0)(。

7.设连续函数)(x f 满足2)1(=f ，且⎰+=-x x dt t x tf 021)2(，求⎰21)(dx x f

8.设)(x f 连续，且常数0>a ，证明：⎰⎰+=+a a x dx x a x f x dx x a x f 121222

)()(。

9.求⎰+)()()(x b x a dy y x f dx d ，其中)(,)(x b x a 是),(+∞-∞内的可微函数。