第9章正弦稳态功率和能量三相电路资料
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正弦稳态功率和能量-三相电路
Q Qk
4. 视在功率S
端口上电压、电流有效值的乘积定义为视在 功率，即：反映电气设备的容量。
def
S UI 单位 : V A ( 伏安 )
5、有功功率P、无功功率Q、视在功率S之间的关系:
P UI cos(W )
S cos
S UI P2 Q2
Q UI sin(Var )
S sin
P UI cosφ
1）当单口为电阻时： φ 00 , P UI
2）当单口为电感时： φ 900 , P 0
3）当单口为电容时： φ 900 , P 0
结论：平均功率等于电阻吸收功率的平均值， 又称为有功功率，单位为瓦（w）
P
Pk I12 R1 I 22 R2 I k 2 Rk
ZC
ZB
3）三相电路常用名词 端线(火线、相线)； 中线（零线、地线）
线电压 相电压
线电流 相电流 中线电压
中线电流
二、对称三相电路的分析与计算
•
•
I线 I相
1、Y形电路的电流与电压
相量图：
•
•
IA
•
UCA
UCN
30o
30o
•
U AB
•
•
IB
IC
•
U AN
30o
•
UB N
•
UB C
•
UAB
3
•
U A U0
•
U B U 120
•
U C U120
相量图：
•
UC
•
UA
电压相量关系：
•
UB
•
•
•
UAUBUC 0
（3）对称三相电源的相序
4. 视在功率S
端口上电压、电流有效值的乘积定义为视在 功率，即：反映电气设备的容量。
def
S UI 单位 : V A ( 伏安 )
5、有功功率P、无功功率Q、视在功率S之间的关系:
P UI cos(W )
S cos
S UI P2 Q2
Q UI sin(Var )
S sin
P UI cosφ
1）当单口为电阻时： φ 00 , P UI
2）当单口为电感时： φ 900 , P 0
3）当单口为电容时： φ 900 , P 0
结论：平均功率等于电阻吸收功率的平均值， 又称为有功功率，单位为瓦（w）
P
Pk I12 R1 I 22 R2 I k 2 Rk
ZC
ZB
3）三相电路常用名词 端线(火线、相线)； 中线（零线、地线）
线电压 相电压
线电流 相电流 中线电压
中线电流
二、对称三相电路的分析与计算
•
•
I线 I相
1、Y形电路的电流与电压
相量图：
•
•
IA
•
UCA
UCN
30o
30o
•
U AB
•
•
IB
IC
•
U AN
30o
•
UB N
•
UB C
•
UAB
3
•
U A U0
•
U B U 120
•
U C U120
相量图：
•
UC
•
UA
电压相量关系：
•
UB
•
•
•
UAUBUC 0
（3）对称三相电源的相序
电路分析基础课件10正弦稳态功率和能量、三相电路
U
m
I
m
UI
单位为VA（伏安），不用W（平均功率用）
在正弦交流电路中，平均功率P不等于S，而一般是 P<S，只有在纯电阻情况下，P=S.
31
3、功率因数
定义：功率因数
P cos
S
式中，φ是单口网络N的端口电压与端口电流的相位差角，
也称作功率因数角。
讨论：不含独立源时， φ= φZ, 当φZ>0时，阻抗呈感性 当φZ<0时，阻抗呈容性
不断往返。（这是由电感的贮能本质决定的。）
14
2、电容的平均贮能
设：电容的电流为： i(t) Im sin t
则，电容电压为：
u(t)
Im
C
cost
U
m
cost
瞬时功率为：
p(t)
ui
U m Im
cost
sin
t
U m Im
1 2
sin
2t
UI sin 2t
电容吸收的平均功率为:
P
1 T
T
0
p(t )d t
u, i, p u
能量流入电感
p i
2
ωt
能量流出电感
wL
wL
1 2
Li 2
WL
1 2
LI 2
2
ωt
☺12
u, i, p u
能量流入电感
p i
2
ωt
能量流出电感
wL
wL
1 2
Li 2
WL
1 2
LI 2
2
ωt
☺13
说明： 1）由图9-3可知，当P>0时，能量流入电感，电感贮能增
第九章正弦稳态功率和能量
PL
I 2 RL
RL
( RS
US2 RL )2 ( X S
1 2
U m I m 1
cos(2t)
Um 2
Im 1 cos(2t)
2
U I 1 cos(2t)
2
6
电阻功率波形图
7
平均功率
平均功率：瞬时功率在一个周期之内的平均值
T
P 0 p(t)dt
电阻的平均功率：
P
T
p(t)dt
T
UI [1 cos(2t)]dt
Zc
QC UI CU 2 2WC
电容的无功功率为负，其值等于其储能
平均值的2ω倍。
15
例题
在正弦稳态条件下求图中各电阻的平均功率 的总和，各电感、电容平均储能的总和，以 及电源的平均功率。
16
例题
首先做出相量模型：
列出网孔方程： 解得：
17
例题
电阻平均功率总和：
复功率 S的模即为视在功率S。
复功率的实部P应为网络中各电阻元件消耗功率的总
和，虚部Q应为网络中各动态元件无功功率的代数和，
且WL应为网络中所有电感储能平均值的总和，WC应 为网络中所有电容储能平均值的总和。这一关系称为
复功率守恒。
31
§9-7 正弦稳态最大功率传输定理
正弦稳态条件下，负载从电源获得最大功率的条件？
WC
1 2
CU12
1 2
CU
2 2
1 (0.362 2
0.12 )
0.0698(J )
18
例题
电路分析基础李瀚荪
u2 Um sin( t 120 ) u3 Um sin( t 120 )
U1 U 0 U
U2 U 120 U3 U 120
波形图
相量图
u
.
u1 u2 u3
U3
120° 240° 360°
O
2
120° .
120°
U1
t
120°
.
U2
39
三个正弦交流电动势满足以下特征
最大值相等
结论：二端口网络的功率
1.平均功率 P UI cos
2.无功功率 Q UI sin
P I2 eZ I2R U2 eY U2G
Q I2ImZ I2X
U2ImY U2B
3.视在功率 S UI
S P2 Q2
4.功率因数 P cos
S
5.平均功率（无源二端网络）
也等于网络中各电阻消耗的平均功率总和
2. 在输电方面：三相系统输电用三根（或四根线）, 而单相系统要六根，三相输电可节省有色金属 25% 。
3. 在配电方面：相同容量的三相变压器的体积比单 相变压器的体积小得多。
4. 在用电方面：三相电动机比单相电动机运行平稳。
36
一、三相电源
1. 三相电压的产生
V2 +
W1
U1
定子
S
W2
+
_
转子
+
I IC
IL
U
R C
L
_
解法一：
U 1000V I 12.6518.5A IL 20 53.1A IC 2090A
P UI cos Z 100 12.65 cos(18.5) 1200W
解法二：
U1 U 0 U
U2 U 120 U3 U 120
波形图
相量图
u
.
u1 u2 u3
U3
120° 240° 360°
O
2
120° .
120°
U1
t
120°
.
U2
39
三个正弦交流电动势满足以下特征
最大值相等
结论：二端口网络的功率
1.平均功率 P UI cos
2.无功功率 Q UI sin
P I2 eZ I2R U2 eY U2G
Q I2ImZ I2X
U2ImY U2B
3.视在功率 S UI
S P2 Q2
4.功率因数 P cos
S
5.平均功率（无源二端网络）
也等于网络中各电阻消耗的平均功率总和
2. 在输电方面：三相系统输电用三根（或四根线）, 而单相系统要六根，三相输电可节省有色金属 25% 。
3. 在配电方面：相同容量的三相变压器的体积比单 相变压器的体积小得多。
4. 在用电方面：三相电动机比单相电动机运行平稳。
36
一、三相电源
1. 三相电压的产生
V2 +
W1
U1
定子
S
W2
+
_
转子
+
I IC
IL
U
R C
L
_
解法一：
U 1000V I 12.6518.5A IL 20 53.1A IC 2090A
P UI cos Z 100 12.65 cos(18.5) 1200W
解法二：
《电路分析》第九章 正弦稳态功率和能量 三相电路
cos P S
若 > 0，则网络 N 吸收电能。 若 < 0，则网络 N 产生电能，N 中必含有源元件。 若网络 N 中无独立源，则 为该网络的阻抗角。 若网络N中仅含 R、L、C ，则必有 > 0， 即 2
不能反映 的正负，需另加说明。常以“滞 后”表示电流滞后于电压， 角为正；以“超前” 表示电流超前于电压， 角为负。
PD 解 ID 1000 5.68A UcosφD 220 0.8 cosφD 0.8(感性） φD 36.8o , 设 U 2200o
P I 2 ReZ I 2 R
P U 2 ReY U 2G
Z 25 j 25
I U Z 2 2 ( A)
2 P I 2 Re Z 2 2） 25 200W （
解法三：网络中只有电阻消耗功率，所有电阻消耗 功率的总和即为单口网络的功率。
不妨设
+ u -
i N
i 2 I cost
u 2 U cos(t )
其中 是电压与电流的相位差。
网络 N 吸收的瞬时功率为：
p (t ) u i 2U cos(t ) 2 I cost
U I [cos cos(2t )]
cos(x y ) cos(x y ) cos x cos y 2
I1 1
解法二：
US
j 2
I 2 j 2
+ 1 U1 － j 0.5
+
－
I3
j 0.5
+ U
2
－
1 *(2 j j2 总阻抗为 Z 1 2 j 1 2j j2
第九章 正弦稳态功率和能量 三相(4学时)
R ＝ R L 0 共扼匹配的条件: Z ＝Z ，即 L 0 X L＝－X 0
二 、模匹配 问题：若负载的 Z L 可变，θL 不可变，则 ZL 为何值时，其吸收的平均功率为最大。 结论： 若负载 ZL 的模可变，阻抗角不可变，则 当 ZL Z0 时，负载吸收的功率为最大。
这种阻抗匹配称为负载与电源内阻抗 (模)
第九章正弦稳态功率和能量
u(t)=Umcos(ωt＋u） i(t)=Imcos(ωt＋i） P(t)=u(t)i(t) 本章重点： 1、掌握单口网络有功功率、无功功率、视 在功率、功率因数的概念和求法 2、掌握正弦交流稳态下功率的传输 p(t)是时间t 的函数。
§9－1 二端网络的平均功率
一、瞬时功率p(t)＝u(t)i(t)
§9－2 二端网络的无功功率 功率因数的提高
一、无功功率： u(t)=Umcos(ωt＋u） i (t)=Imcos(ωt＋i）
复功率及
+ u -
i N
1 p (t ) U m I m cos z [1 cos(2t 2 i )] 2 1 U m I m sin z sin(2t 2 i ) 2
z
X
R
Z:电压、电流的相位差，称为功率因数角。 0≤λ≤1. 在工程上，λ＝0.9最好. 一般，在求λ出后，要标出超前或滞后的 字样(表示电流超前或滞后电压）或标出感性 或容性。
3、求P、S、λ
I＝5A 6Ω
XC ＝ －6Ω
3Ω
XL ＝4Ω
XC2 ＝ －3Ω
4、ZL的功率为2kW,功率 因数为0.8（容性），求 电源 U S 并求ZL的等效相 量模型。
30Ω j5Ω
＋
US
二 、模匹配 问题：若负载的 Z L 可变，θL 不可变，则 ZL 为何值时，其吸收的平均功率为最大。 结论： 若负载 ZL 的模可变，阻抗角不可变，则 当 ZL Z0 时，负载吸收的功率为最大。
这种阻抗匹配称为负载与电源内阻抗 (模)
第九章正弦稳态功率和能量
u(t)=Umcos(ωt＋u） i(t)=Imcos(ωt＋i） P(t)=u(t)i(t) 本章重点： 1、掌握单口网络有功功率、无功功率、视 在功率、功率因数的概念和求法 2、掌握正弦交流稳态下功率的传输 p(t)是时间t 的函数。
§9－1 二端网络的平均功率
一、瞬时功率p(t)＝u(t)i(t)
§9－2 二端网络的无功功率 功率因数的提高
一、无功功率： u(t)=Umcos(ωt＋u） i (t)=Imcos(ωt＋i）
复功率及
+ u -
i N
1 p (t ) U m I m cos z [1 cos(2t 2 i )] 2 1 U m I m sin z sin(2t 2 i ) 2
z
X
R
Z:电压、电流的相位差，称为功率因数角。 0≤λ≤1. 在工程上，λ＝0.9最好. 一般，在求λ出后，要标出超前或滞后的 字样(表示电流超前或滞后电压）或标出感性 或容性。
3、求P、S、λ
I＝5A 6Ω
XC ＝ －6Ω
3Ω
XL ＝4Ω
XC2 ＝ －3Ω
4、ZL的功率为2kW,功率 因数为0.8（容性），求 电源 U S 并求ZL的等效相 量模型。
30Ω j5Ω
＋
US
电路教案12-2正弦稳态功率和能量三相电路
●
在对称三相制中，由相量图可知，两个功率表的读数分别为： P1 = Uac· Ia · cosφ1 = Uac· Ia · cos(30°–φ) Uca = UL· IL · cos(30°– φ) P2 = Ubc· I b· cosφ2 = Ubc· I b· cos(30°+φ)
c 相：pc = ucic = Upmcos(ωt+120º)·Ipmcos(ωt+120º–φz) = UpIp[cosφz+cos(2ωt+240º–φz)]
三相总瞬时功率：p(t) = pa+pb+pc = 3UpIpcosφz = P = 定值
此式表明，对称三相电路的瞬时功率是一定值（常量），其值等于平均 功率。这是对称三相制的一个优点。习惯上把这一性能称为 瞬时功率平衡 （或平衡制）。这反映在三相电动机上，就得到了稳定的电磁转矩。这是单
●
●
●
Ib
●
φz
由KCL ，可得中线电流：
In = Ia + Ib + I c = 0
● ● ● ●
Ub
●
2、三相三线制（即 Y 联接无中线，“三火” ） 对称 Y—Y 联接无中线，即 Zn = ∞（开路），但 Un'n = 0，每 相电路仍是独立的，故仍可采用计算一相，推知其它两相的方法 进 行。 总归一句话，计算方法如同三相四线制。
● ● ● ● ● ●
Ub = 220 –120º V，
●
– Uc n●
●
Ua
●
●
In
●
Za
●
Uc = 220 120º V
由于有中线，且中线阻抗为零
●
n' Zc
在对称三相制中，由相量图可知，两个功率表的读数分别为： P1 = Uac· Ia · cosφ1 = Uac· Ia · cos(30°–φ) Uca = UL· IL · cos(30°– φ) P2 = Ubc· I b· cosφ2 = Ubc· I b· cos(30°+φ)
c 相：pc = ucic = Upmcos(ωt+120º)·Ipmcos(ωt+120º–φz) = UpIp[cosφz+cos(2ωt+240º–φz)]
三相总瞬时功率：p(t) = pa+pb+pc = 3UpIpcosφz = P = 定值
此式表明，对称三相电路的瞬时功率是一定值（常量），其值等于平均 功率。这是对称三相制的一个优点。习惯上把这一性能称为 瞬时功率平衡 （或平衡制）。这反映在三相电动机上，就得到了稳定的电磁转矩。这是单
●
●
●
Ib
●
φz
由KCL ，可得中线电流：
In = Ia + Ib + I c = 0
● ● ● ●
Ub
●
2、三相三线制（即 Y 联接无中线，“三火” ） 对称 Y—Y 联接无中线，即 Zn = ∞（开路），但 Un'n = 0，每 相电路仍是独立的，故仍可采用计算一相，推知其它两相的方法 进 行。 总归一句话，计算方法如同三相四线制。
● ● ● ● ● ●
Ub = 220 –120º V，
●
– Uc n●
●
Ua
●
●
In
●
Za
●
Uc = 220 120º V
由于有中线，且中线阻抗为零
●
n' Zc
瞬时功率-电路分析基础
由分流公式得： I2
I1
10 10
j5
1.334
90
A
I3 I1
2019年8月23日星期信五息学院
10
j5 j5
0.6668
0
A
结束
12
结束
第9章 正弦稳态功率和能量
电路分析基础
U1 j2 I1 2.98290V
U2 10 I3 6.6680V
2）由题意可得
Z L1 j2 jL1 L1 2H
Z L2 j5 jL2 L2 5H
则两电感的平均储能分别为：
WL1
1 2
L1I12
1 2
2 1.4912
2.223J
WL2
1 2
L2 I 2 2
1 2
5 1.3342
4.449J
则电路中磁场的储能，为两电感平均储能之和
( j0.5)I1 (1 j2 j)I2 0
解得
2019年8月23日星期信五息学院
结束
19
结束
第9章 正弦稳态功率和能量
电路分析基础
电阻的平均功率的总和为
P
I12
R
I
2 2
R
0.36W
电感的平均储能的总和为
WL
1 2
LI12
1 2
LI22
1 2
(0.5632
0.22 )
为平均功率的最大值，它反映了设备的容量。它的单位不为瓦 特，而用伏安（V·A）
第九章___正弦稳态电路功率和能量__三相电路
= UI cos + UI cos( 2ω t + u + i ) 恒定分量) (恒定分量) 正弦分量: ω (正弦分量:2ω)
1
p ( t ) = UI cos + UI cos( 2ω t + u + i )
电阻的瞬时功率: 电阻的瞬时功率
p ( t ) = UI + UI cos( 2ω t + 2 i )
3I p
A = AB 30° B = BC 30° C = CA 30°
24
3,对称三相电路计算 , 由节点法, 由节点法,有
U NN′ =
U A/ Z +U B/ Z +UC/ Z 1/ Z +1/ Z +1/ Z +1/ ZN
U A +U B +UC = 1+1+1+ Z / ZN
2) 移去 时,R=?时可获最大功率 移去C时 时可获最大功率
Zo = 50 + j62.8
P = m U 2 Zo
R = Zo = 80.2735
2
(Ro + Zo )2 + Xo
= 38.38W
14
9 -3
三相电路
一,三相电源
uA = 2U cos(ωt)
uA
uB
uC
uB = 2U cos(ωt 120°)
电感的瞬时功率: 电感的瞬时功率
p ( t ) = UI cos( 2ω t + 2 i + 90 ° )
电容的瞬时功率: 电容的瞬时功率
p ( t ) = UI cos( 2ω t + 2 i 90 ° )
第九章(正弦稳态功率和能量 三相功率)PPT课件
能否从单口的电压、电流计算 Q ？ 解 ① UL j2I
Q L U L I 2 II 2 ( 0 .5) 2 6 0 .6 2v 3a
I
+ 1.126Ω
+
-
U
10 V
-
UC j0.62I4 j2Ω Q C U CI0.19 v8 ar -j0.624Ω Q Q LQ C0.43 v4 ar
② Q U LI U C IU XI
（c）由模型内部各元件计算
PPK
QQK
平均(有功)功率守恒 无功功率守恒
(4)中(a)、(b)两例分别表明上述两关系
§3 两个应用问题
9-14
(1) 功率因数 λ的提高 例题 220V、50Hz、50kW的感应电动机，
λ =0.5(电感性)。 ①求电源供应的电流I L ；
②若并联C使λ达到1，求C和此时的电源电流I。
第九章 正弦稳态功率和能量 三相电路 9-1
+ I 相量
U-
模型
U I ? UI ?
§1 有关能量、功率的基本概念
§2 基本概念在sss电路中的运用
§3 两个应用问题
§4 三相电路
供教师参考的意见
§1 有关能量、功率的基本概念
9-2
W流入 W流出
(1)电荷移动，必有能量交换。对某一元件或
单口，w或是流入(吸收)或是流出(提供)。
9-11
∴可从单口的电压、电流，得如下算法，即
Ux
Q U si 5 n .7 0 I 0 .4v 3a 5
U
50.7
UR I
（5）重要结论
9-12
（a）已知： U Uu ，I Ii + I
相量
Q L U L I 2 II 2 ( 0 .5) 2 6 0 .6 2v 3a
I
+ 1.126Ω
+
-
U
10 V
-
UC j0.62I4 j2Ω Q C U CI0.19 v8 ar -j0.624Ω Q Q LQ C0.43 v4 ar
② Q U LI U C IU XI
（c）由模型内部各元件计算
PPK
QQK
平均(有功)功率守恒 无功功率守恒
(4)中(a)、(b)两例分别表明上述两关系
§3 两个应用问题
9-14
(1) 功率因数 λ的提高 例题 220V、50Hz、50kW的感应电动机，
λ =0.5(电感性)。 ①求电源供应的电流I L ；
②若并联C使λ达到1，求C和此时的电源电流I。
第九章 正弦稳态功率和能量 三相电路 9-1
+ I 相量
U-
模型
U I ? UI ?
§1 有关能量、功率的基本概念
§2 基本概念在sss电路中的运用
§3 两个应用问题
§4 三相电路
供教师参考的意见
§1 有关能量、功率的基本概念
9-2
W流入 W流出
(1)电荷移动，必有能量交换。对某一元件或
单口，w或是流入(吸收)或是流出(提供)。
9-11
∴可从单口的电压、电流，得如下算法，即
Ux
Q U si 5 n .7 0 I 0 .4v 3a 5
U
50.7
UR I
（5）重要结论
9-12
（a）已知： U Uu ，I Ii + I
相量
电路分析基础9正弦稳态功率和三相电路
专业基础课
电路分析基础
教师：张 荣
第九章 正弦稳态功率和能量 三相电路
正弦稳态电路的平均功率、无功功率、
视在功率、功率因数 正弦稳态最大功率传递定理 三相电路
§9-1 正弦稳态电路中的功率
无源单口网络吸收的功率( u, i 关联)
+
i
无 源
u( t ) 2U cos t (V) i ( t ) 2 I cos( t ) (A)
QR =UIsin =UIsin0 =0
对电阻，u, i 同相，故Q=0，即电阻只 吸收(消耗)功率，不发出功率。
纯电感：
PL=UIcos =UIcos90 =0 QL =UIsin =UIsin90 =UI 电感不消耗有功，且QL>0。
纯电容：
PC=UIcos =Uicos(-90)=0 QC =UIsin =UIsin (-90)= -UI
有功功率
(a) 若ZL实部RL固定，虚部XL可调，则当XL =-X0时，PL获得极值
2 RLU oc PL ( R0 RL )2
(b) 若RL 、XL均可调，则先调节使XL =-X0之后再调RL , PL还可
以进一步增大。
dPL 令 0 dRL 知当RL R0时PL可获最大值：
2 U oc 4 R0
PL max
综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
ZL= Z0*=R0-jX0
（共轭匹配）
二、 模匹配 I
Z0 +
Z0= R0 + jX0=|Z0|0
ZL= RL + jXL=|ZL|L
ZL 若Z 的阻抗角 不可调，只能调节|Z |， L L L 重新讨论负载获取最大功率的条件。 （模匹配）
电路分析基础
教师：张 荣
第九章 正弦稳态功率和能量 三相电路
正弦稳态电路的平均功率、无功功率、
视在功率、功率因数 正弦稳态最大功率传递定理 三相电路
§9-1 正弦稳态电路中的功率
无源单口网络吸收的功率( u, i 关联)
+
i
无 源
u( t ) 2U cos t (V) i ( t ) 2 I cos( t ) (A)
QR =UIsin =UIsin0 =0
对电阻，u, i 同相，故Q=0，即电阻只 吸收(消耗)功率，不发出功率。
纯电感：
PL=UIcos =UIcos90 =0 QL =UIsin =UIsin90 =UI 电感不消耗有功，且QL>0。
纯电容：
PC=UIcos =Uicos(-90)=0 QC =UIsin =UIsin (-90)= -UI
有功功率
(a) 若ZL实部RL固定，虚部XL可调，则当XL =-X0时，PL获得极值
2 RLU oc PL ( R0 RL )2
(b) 若RL 、XL均可调，则先调节使XL =-X0之后再调RL , PL还可
以进一步增大。
dPL 令 0 dRL 知当RL R0时PL可获最大值：
2 U oc 4 R0
PL max
综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
ZL= Z0*=R0-jX0
（共轭匹配）
二、 模匹配 I
Z0 +
Z0= R0 + jX0=|Z0|0
ZL= RL + jXL=|ZL|L
ZL 若Z 的阻抗角 不可调，只能调节|Z |， L L L 重新讨论负载获取最大功率的条件。 （模匹配）
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p(t) UmIm cos( t ) cos t UI cos UI cos(2 t )
UI cos
p，i，u p(t) u(t)
o
t
i(t)
从图上看出，u(t)或i(t)为0时，p(t)为0，当二者同号时， p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时，p(t)为负，电路释放 功率。
阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能 量多，说明电路有能量的消耗。
平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。 表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，
而且与 cos 有关，这是交流和直流的很大区别，主要由
于电压、电流存在相位差。
如果一端口仅有R、L、C元件组成，则可以证明，有 功功率等于各电阻消耗的平均功率的和。即：
P ＝端口处所接电源提供的平均功率 ＝网络内部各电阻消耗的平均功率的总和
P
Rk
I
2 k
UI
cos
求图中电源对电路提供的有功功率，其中uS (t) 10 2 cos 2t V
3
4
I 3 I1 4
＋ uS(t－)
2H
1 8
F
U＋－S 100o V j4
－j4
作电路的相量模型
解1：Z 3 j 4(4 j 4) 7 j 4 8.06 / 29.7o j4 (4 j4)
LI 2 2WL
（3）电容元件 i C
Q UI sin S sin
S
Q
S P2 Q2 UI
arctan Q
P
P
功率三角形
有功功率守恒： P Pk P1 P2
无功功率守恒： Q Qk Q1 Q2
视在功率不守恒：S P 2 Q2 Sk
六、动态元件的储能
1、电感元件
w(t)
1 2
Li 2 (t )
Z eq
(R
j
L) //
1
j C
(3 j 4) //( j 5)
＋ I
I1 IC
R
1
U
jC
jL
－
7.5 j 2.5 7.906 / 18.43o
cos(18.43o ) 0.9487
则：P U 2 1002 0.9487 1200 W
Zeq
7.906
三、无功功率 电感和电容虽然并不消耗能量，但却会在二端
I1
1.24
/
29.7o
(4
j4 j 4)
j4
1.24
/
60.3o
A
P 1.242 3 1.242 4 10.8 W
如图所示电路，已知R=3， jL=j4，－j/C =－j5 。
U 100 / 0o V I 12.65 / 18.5o A
求单口网络的功率P以及功率因素 。＋ I
I1 IC
二、有功功率（也叫平均功率）和功率因素
P 1
T p(t)dt 1
T
[UI cos UI cos(2 t )] dt
T0
T0
UI cos UI UI cosZ 单位：W
总电压
总电流
( cos ) —— 单口网络的功率因素，用来衡量对电源的
利用程度。
称为功率因数角，电压与电流的相位差 u i 当N内无独立源时为端口等效阻抗的阻抗角 Z
第9章 集总电路中电压、电流的约束关系
§9.1 基本概念 §9.2 电阻的平均功率 §9.3 电感、电容的平均储能 §9.4 单口网络的平均功率 §9.5 单口网络的无功功率 §9.6 复功率 复功率守恒 §9.7 正弦稳态最大功率传递定理 §9.8 三相电路
本章重点
正弦稳态电路的功率分析 三相电路的基本概念 对称三相电路的分析 不对称三相电路的概念 三相电路的功率
§9.1 基本概念
一、瞬时功率
i(t)
设端口电流i(t)及电压u(t) 分别为：
＋
u(t)
N
i(t) Im cos t u(t) Um cos( t ) －
则网络N吸收的瞬时功率为：
p(t) u(t)i(t) Um cos( t ) Im cos t UmIm cos( t ) cos t UI cos UI cos(2 t )
R
1
U
jC
jL
－
u i 0o 18.5o 18.5o
cos cos(18.5o ) 0.948
则：
P UI 100 12.65 0.948 1199 W
如图所示电路，已知R=3， jL=j4，－j/C =－j5 。 U 100 / 0o V，求单口网络的功率P以及功率因素 。
1 2
LIm2
sin2
t
1 4
LIm2 (1
cos 2t)
1 LI 2 1 LI 2 cos 2t
2
2
平均储能：wL
1 2
LI
2
2、电容元件
wC
1 4
CU
2 m
1 2
CU 2
七、R、L、C元件的有功功率和无功功率
（1）电阻元件 i R
＋u－
u(t) Um cos( t ) i(t) Im cos t 0o
网络与外电路之间造成能量的往返交换现象。
无源二端网络的无功功率Q为：
Q UI sin 吸收无功功率。 若电路呈容性时：sin 0 网络发出无功功率。
四、视在功率
通常将单口网络的电压和电流有效值的乘积称为视在 功率，用S表示，即
S＝UI 单位：伏安（VA）
I
US Z
10 / 0o 8.06 / 29.7o
1.24 / 29.7o
A
P USI cos 10 1.24 cos 29.7o 10.8 W
求图中电源对电路提供的有功功率，其中uS (t) 10 2 cos 2t V
I 3 I1 4
解2：
U＋－S 100o V j4
－j4
I 1.24 / 29.7o A
视在功率反映了设备的容量。电机和变压器的容量是 由它们的额定电压和额定电流来决定的，因此往往可以用 视在功率来表示。至于它们能提供多大的平均功率，主要
取决于 。
有功功率 P 与视在功率 S 之比称为电路的功率因数。
P cos
S
五、 P、Q、S 之间存在如下关系
P UI cos S cos
PR
UI
cos
UI
cos 0o
UI
I 2R
U2 R
QR UI sin UI sin0o 0
（2）电感元件 i L
＋
u－
u(t) Um cos( t ) i(t) Im cos t
90o
PL UI cos UI cos 90o 0 QL UI sin UI sin 90o UI