黎曼几何学习心得

1 自几何佳缘

在这方面我是很有感受的。我整理了一些心得笔记，打算以后给学生上课的时候，把这些内功心法传授给他们。

这里先随便讲两句。 如果楼主想聊聊的话，可以写信到我的百度邮箱。

以前研究生时候，我学过微分几何，用的是陈维桓那本。 但是学了之后还是不得要领。因为我们的老师只是照着书念，根本没有讲出精髓来。直到后来，我重学的时候，才恍然大悟，接下来可以说是一通百通。

到底是怎么回事呢？且待我慢慢道来。

(I) 首先我这次选的书非常好--可以说是机缘巧合。 我用的书是侯伯宇《物理学家用的微分几何》。这本书有几个特点：它讲述概念非常直观简洁，而且会告诉你这些概念的物理北景； 对重要的定理结论，它不给证明，但是会详细解释它的几何意义和物理意义。初学者看此书是非常省力的。

忠告：如果你初学微分几何，千万不要看陈省身和陈维桓的《微分几何讲义》，这本书已经是高度提炼了。你没有好的几何背景根本不能消化--比如联络那一章就是。

(II)其次， 侯的《物》里说了一段话，使我顿悟微几的关键所在。 他告诉我们，微分几何的概念结论等等都是在一个原则下展开的： 所讨论的东西都要与坐标选取无关。书中引用爱因斯坦一段话，说爱氏花了7年之功才建立广义相对论，其原因就在于他一直努力摆脱坐标系的困扰。

忠告： 不管你学到哪个概念，你一定要牢牢记住这个原则。 举例来说，为什么定义切空间和与切空间要这么大费周章从等价类入手？就是因为它要让定义出来的东西和坐标无关。 明白这个原则，基本上就越过了学微几的第一道坎。后面可说是事半功倍。

(III) 学微几的另一个重要原则就是： 内蕴的思想。 你碰到的所有概念和结论都是内蕴的。就是说他们只和这个流形有关，和流形所在的大空间无关。 这和本科的《曲面微分几何》不同，那里定义的东西常常是在3维空间里看的。

忠告： 牢记这个原则！ 在你学了公理化定义的联络以及黎曼度量以后，再回过头来看，就会明白为什么人家煞费苦心来做这些事。

(IV)理解切空间和与切空间，以及他们的张量，是微分几何入门的关键！

记住上面讲的原则，你再去看一遍体会体会就会领悟的。 这里不再多讲。

我只想说说张量。 如果看陈省身和陈维桓的《微分几何讲义》，那你对张量的理解永远只是表面，你最多只知道他的代数定义。 为什么我们要在微几里讨论张量呢？ 你要是不知道很多背景，就不能体会其用意。

比如黎曼度量， 他就是一个二阶张量。首先你要明白二阶张量不过就是矩阵！ 一般的张量不过是矩阵的推广！你回忆一下，向量可以看作一个1维数组，矩阵可以看作2维表格，那么3维表格不就是3阶张量吗？

所以无非是要造一个在流形上处处有定义的矩阵，并且这个矩阵和坐标无关。怎么才叫和坐标无关呢？ 这就引出了我们说的协变规律反变规律等等。

然后你在回忆一下，我们在曲面微分几何里怎么定义度量，那时候曲面的度量就是3维空间度量限制在它上面，这不是内蕴的方式。

所以人们要绕个弯子，从张量上来重新定义度量，因为张量是内蕴概念，只和这个流形有关。

上面的说明就是要你看到，我说的这两个原则是怎么始终贯穿在学习理解中的。

(V) 学习联络又是一个很难过的坎。 你要是直接看那种公理化的定义，最多只能像大多数人一样，只会背诵“法律条文”。 这个时候，你要先去看那种不是内蕴的定义方式。 然后你才会真正明白联络的几何意义，知道人家为什么这么做。 公理化定义只是为了满足我刚才说的两个原则。

你可以参看《黎曼几何讲义》作者记不大清了，好像有一个姓白。 封面是蓝色的，版本较旧。 这本书写的联络一章非常好。

(VI)过了这几关，基本上可以轻松读完陈维桓的那本书。 微分几何真正困难的东西，初学者是学不到的。初学者的困难就在于没有真正把握住我说的那两条原则。

上面说的都是我的经验之谈，我就是这么学过来的。

黎曼几何的切入口(/bbs/viewthread.php?tid=95)

一般从直观的角度来说，要研究线的弯曲起码要在二维空间才能进行。（如果是非平面曲线还得在三维空间里）同样面的弯曲只能在三维空间里才能直观地研究。即便如此，三维空间的弯曲还是直观不起来了。因为四维以上的空间无法用图表示。当然用相应的类比还是可以进行研究的。

要研究N维空间的弯曲是否至少要在N＋1维空间里才能进行呢?

极而言之，现在假设有一个最高是N维的空间，如果比N维的维数少的空间的弯曲情况还可以在N维空间里研究的话，那么N维空间的弯曲，由于没有更高维的空间，如何研究呢？

在N维空间里研究N维空间自身的弯曲看来只能是另辟蹊径了。

如果不借助更高维空间，仅通过空间自身的“努力”来研究弯曲的话，那你相对于黎曼几何的殿堂已经可以说是登堂入室了。

此话怎讲。

众所周知，在欧几里德空间里，一个矢量作平行移动“兜”一个圈回到原处，这个矢量的大小和方向都不会发生变化。这因为欧几里德空间是平直空间。

那么在一个弯曲的空间里对矢量这样作是否会发生某种变化呢？回答是肯定的！不仅如此，还可以根据其大小和方向变化的多少来判断空间弯曲的程度和特性。换句话说，我们只要将某个矢量在N 维空间里“兜”个圈，研究矢量的变化就可知晓此N维空间的弯曲的情况啦。看！研究N维空间的弯曲不必借助N+1维空间。

关于矢量大小和方向的变化先分开来讨论比较方便。

关于矢量方向的变化至少和一个叫“仿射联络”的量有关。如该空间是平直的，那么“仿射联络”量必为零。如果该空间的“仿射联络”不为零，则该空间就是弯曲的。不过，大家可要当心！“仿射联络”为零，该空间可不一定是平直的。因为“仿射联络”量不是一个张量。一个“仿射联络”不为零的空间可以通过坐标变换使它在空间的某个“局部”为零。

关于矢量大小的变化则和一个叫度规张量的量有关。一般来说，在弯曲空间里矢量在平移时起码大小是变化的。这个度规张量可以反映空间的种种特性。当这个量与坐标和时间有关时，那么该空间不仅是弯曲的而且是“蠕动”的。