第九单元矩阵练习题及答案
结构力学课后习题解答：9矩阵位移法习题解答.docx
第9章矩阵位移法习题解答习题9.1是非判断题（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。
（）（2）矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。
（）（3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。
（）（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。
（）（5）结构刚度矩阵与单元的编号方式有关。
（）（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。
（）【解】（1）正确。
（2）错误。
位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。
（3）错误。
不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。
（4）正确。
（5）错误。
结点位移分量统一编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。
（6）错误。
二者只产生相同的结点位移。
习题9.2填空题（1）矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的,其二是分析，其三是分析。
（2）已知某单元的定位向量为[3 5 6 7 8 9]七则单元刚度系数炫应叠加到结构刚度矩阵的元素中去。
（3）将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是。
（4）矩阵位移法中，在求解结点位移之前，主要工作是形成矩阵和_________________ 列阵。
（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为4=[. V2 ft]T=[0.8 0.3 0.5]T,单元①的始、末端结点码为3、2,单元定位向量为尸＞=[0 0 0 3 4 5]T ,设单元与x轴之间的夹角为a =买，则2 尹＞ =O（6 ）用矩阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为F e =[7.5 -48 -70.9 -7.5 48 -121.09]T ,则该单元的轴力心=kN。
【解】（1）离散化，单元，整体；（2）灯8；（3）结点位移相等；（4）结构刚度，综合结点荷载；（5）[0 0 0 0.3 -0.8 0.5]。
（6）-7.5o离、空的值以及K ⑴中元素妍、愚、姒的值。
【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.3图所示。
矩阵练习(带答案详解)(最新整理)
一、填空题：1.若，为同阶方阵，则的充分必要条件是A B 22))((B A B A B A -=-+。
BAAB =2. 若阶方阵，，满足,为阶单位矩阵，则＝。
n A B C I ABC =I n 1-CAB3. 设，都是阶可逆矩阵，若,则＝。
A B n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00A B C 1-C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0011B A 4. 设A ＝，则＝。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11121-A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21115. 设， .则。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=432211B =+B A 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--7317336.设，则＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001A 1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310002100017．设矩阵，为的转置，则=.1 -1 32 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T A A B A T⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1602228. ，为秩等于2的三阶方阵，则的秩等于 2 .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110213021A B AB 二、判断题（每小题2分，共12分）1. 设均为阶方阵，则 （k 为正整数）。
……………（ × ）B A 、n kk k B A AB =)(2. 设为阶方阵，若，则。
……………………………（,,A B C n ABC I =111CB A ---=× ）3. 设为阶方阵，若不可逆，则都不可逆。
……………………… ( × )B A 、n AB ,A B4. 设为阶方阵，且，其中，则。
……………………… ( B A 、n 0AB =0A ≠0B =× )5. 设都是阶矩阵，且，则。
……………………（ C B A 、、n I CA I AB ==,C B =√ ）6. 若是阶对角矩阵，为阶矩阵，且，则也是阶对角矩阵。
…（ A n B n AC AB =B n × ）7. 两个矩阵与，如果秩（）等于秩（），那么与等价。
考研数学一(矩阵)模拟试卷9(题后含答案及解析)
考研数学一（矩阵）模拟试卷9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B是n阶矩阵，则下列结论正确的是( )A．AB=0A=0且B=0。
B．A=D｜A｜=0。
C．｜AB｜=0｜A｜=0或｜B｜=0。
D．｜A｜=1A=E。
正确答案：C解析：取，则AB=O，但A≠O，B≠O，A项不成立。
取，B项不成立。
取，D项不成立。
｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故有｜A｜=0或｜B｜=0，反之亦成立，故选C。
知识模块：矩阵2．设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是( )A．A+B是对称矩阵。
B．AB是对称矩阵。
C．A*+B*是对称矩阵。
D．A—2B是对称矩阵。
正确答案：B解析：由题设条件，则(A+B)T=AT+BT=A+B，(kB)T=kBT=kB，所以有(A —2B)T=AT—(2BT)=A—2B，从而A、D两项是正确的。
首先来证明(A*)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。
(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(j，i)位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。
而矩阵(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。
从而(A*)T=(AT)*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。
结合选项A可知C项是正确的。
因为(AB)T=BTAT=BA，从而B项不正确，故选B。
注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。
知识模块：矩阵3．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。
若A3=0，则( )A．E—A不可逆，E+A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E—A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C解析：已知(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E。
高教线性代数第九章 欧氏空间课后习题答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, nR 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j iij y x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j iij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，,(,)ij i ji ja x xααα==∑，,(,)iji ji jay y βββ==∑，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
2019年沪教版高二必修三第九章矩阵与行列初步单元练习题
2019年沪教版高二必修三第九章矩阵与行列初步单元练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543B.1024C.1523D.60542．关于x y 、的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ）A.0543- B.1024C.0543D.0543-3．展开式为ad bc -的行列式是（ ） A.a b d cB.a cb dC.a db cD.b a d c4．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（ ） A.0a b c ++= B.a b c 、、两两平行 C.//a bD.a b c 、、方向都相同5．若线性方程组的增广矩阵是，解为，则 的值为（ ） A.1B.2C.3D.46．三阶行列式816357492中，元素9的代数余子式的值为（ ）A.38B.-38C.360D.-3607．设1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个二阶方程，100个A 的乘积100A =（ ）A.992AB.993AC.1002AD.1003A8．关于x 、y 的二次一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ）A.0543-B.1024C.0543D.0543-二、填空题9．行列式4125的值为___．10．设0a >，1a ≠，行列式log 11201123a x D -=-中第3行第2列的元素的代数余子式记作y ，函数()y f x =的反函数经过点()1,2，则a =__________.11．三阶行列式567421031x -中元素5-的代数余子式为()f x ，则方程()0f x =的解为________12．增广矩阵为3?110m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭的二元一次方程组的实数解是12x y =⎧⎨=⎩，则m +n =__________.三、解答题13cos 0.5sin 0(0)1cos A x A A x A x>1121312M M -+， 记函数1121()f x M M =+，且()f x 的最大值是4. (1)求A ；(2)将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在11,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域. 14．用行列式讨论关于x ，y 的方程组6(2)320x my m x y m +=-⎧⎨-++=⎩的解的情况.参考答案1．C 【解析】关于,x y 的二元一次方程组50230x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式1523D =，故选C.2．C 【解析】关于x 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式：1523D =，故选C.3．B 【解析】a b ac bd d c=-,错误；a c ad bcb d=-，正确;a d ac bdb c=-，错误；b a bc ad d c=-，错误， 故选B. 4．B 【解析】试题分析：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，所以a b c 、、两两平行，答案为B ． 考点：二元线性方程组的增广矩阵的涵义． 5．C 【解析】 【分析】由题意得，，解方程即可得到所求值. 【详解】由题意得，， 解得 ， ， 则 ，故选C. 【点睛】本题主要考查了线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考查运算能力，属于中档题.6．B 【解析】 【分析】元素9为32a ，先求得32M ，然后由()1i jij M +-求得代数余子式.【详解】依题意329a =，32863837M ==，所以元素9的代数余子式的值为()3232138M +-=-.故选：B. 【点睛】本小题主要考查三阶行列式的代数余子式的求法，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】根据矩阵乘法的定义运算。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。
7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。
对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。
8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。
对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。
9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。
对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。
(完整版)矩阵练习(带答案详解).docx
2
3
解：AB
A 2B
即( A
2I ) B
A．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
2
2
3
1
4
3
1
而( A
2I )1
1
1
0
1
5
3 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
1
2
1
1
6
4
精彩文案
实用标准文档
1
4
3
4
2
3
所以B ( A 2I )1A
1
5
3
1
1
0
1
6
4
1
2
3
3
8
6
=2
9
6
四、解答题：
1
1
1
1
2
3
1.给定矩阵A2
1
3
，B
2
2
1
，求BTA及A1
3
4
4
3
4
3
解：
1
2
3
1
1
1
4
9
5
BTA 2
2
4
2
1
3
6
12
8
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..（5
3
1
3
3
4
4
4
8
6
分）
401
A11
1
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)
2
2
2
5
1
1
2
2
2
1
0
1
1
1
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的一个重要概念，也是在数学、物理、计算机科学等领域中广泛应用的工具。
通过解矩阵练习题，可以帮助我们加深对矩阵运算和性质的理解。
下面给出一些矩阵练习题及其答案，供大家参考。
1. 问题描述：已知矩阵 A = [4 2]，求 A 的转置矩阵 A^T。
解答：矩阵的转置就是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
因此，A 的转置矩阵为 A^T = [4; 2]。
2. 问题描述：已知矩阵 B = [1 -2; 3 4]，求 B 的逆矩阵 B^-1。
解答：对于一个可逆矩阵 B，其逆矩阵 B^-1 满足 B * B^-1 = I，其中 I 是单位矩阵。
通过矩阵的求逆公式，可以得到 B 的逆矩阵 B^-1 = [4/11 2/11; -3/11 1/11]。
3. 问题描述：已知矩阵 C = [2 1; -3 2]，求 C 的特征值和特征向量。
解答：矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的重要性质。
特征值λ 是方程 |C - λI| = 0 的根，其中 I 是单位矩阵。
解方程可得特征值λ1 = 1 和λ2 = 3。
特征向量 v1 对应于特征值λ1，满足矩阵C * v1 = λ1 *v1，解方程可得 v1 = [1; -1]。
特征向量 v2 对应于特征值λ2，满足矩阵C * v2 = λ2 * v2，解方程可得 v2 = [1; 3]。
4. 问题描述：已知矩阵 D = [1 2 -1; 3 2 4]，求 D 的行列式和秩。
解答：矩阵的行列式表示线性变换后单位面积或单位体积的变化率。
计算 D 的行列式可得 det(D) = 1 * (2*4 - 4*(-1)) - 2 * (3*4 - 1*(-1)) + (-1) * (3*2 - 1*2) = 10。
矩阵的秩表示矩阵中独立的行或列的最大个数。
对矩阵 D 进行行变换得到矩阵的行最简形式为 [1 0 6; 0 1 -3]，因此 D 的秩为 2。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
(完整版)矩阵练习(带答案详解)
6.设A二、判断题(每小题 2分，共12分)kk k1.设A 、B 均为n 阶方阵，则 (AB) A B (k 为正整数)。
..........................(x )2•设 A,B,C 为 n 阶方阵，若 ABC I ，则 C 1 B 1A 1。
........................... ( x ) 3. 设A 、B 为n 阶方阵，若 AB 不可逆，贝U A, B 都不可逆。
................. (x ) 4. 设A 、B 为n 阶方阵，且AB 0,其中A 0,则B 0。
............................ ( x ) 5•设 A 、B 、C 都是 n 阶矩阵，且 AB I ,CA I ，贝U B C 。
...................................... ( V )、填空题:1.若A , B 为同阶方阵，则 (A B)(A B) A 2 B 2的 充分必要条件2. 3. 4. 5.AB BA 。
若n 阶方阵A , B , C 满足ABC 设A = B 都是n 阶可逆矩阵，若 为n 阶单位矩阵,B ,则CAB 。
2B7.设矩阵-1,B, A T 为A 的转置, 1则 A T B =28. A 3B 为秩等于2 的三阶方阵，贝U AB 的秩等于_26. 若A是n阶对角矩阵，B为n阶矩阵，且AB AC，贝U B也是n阶对角矩阵。
••• ( x )7. 两个矩阵A与B，如果秩(A)等于秩(B),那么A与B等价。
.................... (x )8. 矩阵A的秩与它的转置矩阵A T的秩相等。
................................. (V )三、选择题(每小题3分,共12分)1. 设A为3 x 4矩阵，若矩阵A的秩为2,则矩阵3A T的秩等于(B )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 假定A、B、C为n阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的(C )(A) ABC A(BC) (B) kAB A( kB)(C)AB BA (D) C(A B) CA CB3.已知A、B为n阶方阵，则下列性质不正确的是( A )(A) AB BA (B) (AB)C A(BC)(C) (A B)C AC BC (D) C(A B) CA CB4.设PAQ I ，其中P、Q、A都是n阶方阵，则(D )(A) A 1P 1Q 1(B) A 1Q 1P 1(C) A 1PQ (D) A 1QP5. 设n阶方阵A，如果与所有的n阶方阵B都可以交换，即AB BA，那么A必定是(B )(A)可逆矩阵(B)数量矩阵(C)单位矩阵(D)反对称矩阵6. 两个n阶初等矩阵的乘积为( C )(A)初等矩阵(B)单位矩阵(C)可逆矩阵(D)不可逆矩阵7. 有矩阵A3 2 , B2 3 , C3 3，下列哪一个运算不可行(A )(A) AC (B) BC(C) ABC (D) AB C8.设A与B为矩阵且AC CB ,C为m n的矩阵，则A与B分别是什么矩阵(D )(A) n m m n (B) m n n m(C) n n mm (D) m m n n9. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下列不正确的是 (B)2A 可逆(A ) A 0或 B 0(B) 代B 都不可逆13. 若A,B 都是n 阶方阵，且A,B 都可逆，则下述错误的是(14. A, B 为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是(B ) A B(D ) BAB(A ) AB B (B ) AB BA(C )AA I(D )A 1 I16.设A,B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是(D )(A) 若A 和B 都是对称矩阵，则 AB 也是对称矩阵 (B) 若 A 0 且 B 0 ,则 AB 0(C) 若AB 是奇异矩阵，则 A 和B 都是奇异矩阵 (D) 若AB 是可逆矩阵，则 A 和B 都是可逆矩阵 17. 若A 与B 均为n 阶非零矩阵，且 AB 0,则(A )(A) A 1可逆 (B)I A 可逆10. A,B 均n 阶为方阵, F 面等式成立的是(A ) AB BA (B ) (A B)T A T B T(C ) (A B) 1A 1B 11(D ) (AB) A1B 111.设A,B 都是n 阶矩阵，且AB 0，则下列一定成立的是((C )代B 中至少有一个不可逆 (D ) A12.设A,B 是两个n 阶可逆方阵，则 AB T1等于T 1 T 1(A) A T B T(B) B T 1 A T 1(C ) B 1 T (A 1)T(D )A T 1(A ) A B 也可逆 (B ) AB 也可逆(C ) B 1也可逆(D )1B 1也可逆(C) 2A 可逆(D)(A) AB (C ) BA 15•设A, B 均为n 阶方阵，下列情况下能推出A 是单位矩阵的是实用标准文档(A) R(A) n(C ) R(A) 0(B ) R(A) n(D) R( B) 0四、解答题:1 1 11 2 31.给定矩阵A2 13 ，B2 2 1求B T A 及A 13443 4 3解：1 23 1 1 14 95B T A2 2 4 2 13 6 12 8 ............................ ..(53 133444 8 6分）1 0 1 解：1100 1 111 0 1 1 1 0 0 1 140 111 1 1 A- — — 2 2 2 5 1 12221 0 1 1 2.求解矩阵方程1 1 0 X 40 1 111 3 32 2 5(5分)1 1 1 1 1 1 3.求解矩阵方程XA B，其中A 02 2 , B 1 1 01 1 02 1 1解：因为 A 6 所以A 可逆（4分）0 10 1 0 0 1 4 34.求解下F 面矩f 阵方程中 卞的矩i 阵 X : 10 0 X 0 0 1 2 0 10 10 1 01 2 0解:0 11 0 01 4 3令A1 0 0 ,B0 0 1 7 C2 0 1，则 A,B 均可逆，且0 010 1 0120 1 01 0 0A 11 0 0 , B 10 0 10 0 10 1 02 1 1所以XA 1 CB 11 3 41 024 2 35.设矩 阵A1 1 0 ，求矩阵 B : ，使其满足矩阵方程 AB A 2B.1 12 3解: ABA 2B 即（A2I ）B A........ 2分21231 4 3而（A 12I ）1 1 0 1 53 .......3分12 11 64.（2 分）1-34-313 5-6••（41 4 3 42 3所以B (A 2I ) 1A 1 5 3 1 1 01 6 4 12 33 8 6=2 9 6 . ....3分2 12 9五、证明题1.若A是反对称阵，证明A是对称阵。
矩阵试题及答案
矩阵试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的线性无关行（列）向量组的个数C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B2. 若矩阵A与矩阵B相等，则下列说法正确的是：A. A和B的行列式相等B. A和B的迹相等C. A和B的行列式和迹都相等D. A和B的行列式和迹都不相等答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 将矩阵的行变成列B. 将矩阵的列变成行C. 将矩阵的行和列互换D. 将矩阵的元素取相反数答案：C4. 对于任意矩阵A，下列说法正确的是：A. A的行列式等于A的转置的行列式B. A的行列式等于A的逆矩阵的行列式C. A的行列式等于A的逆矩阵的转置的行列式D. 以上说法都不正确答案：A5. 若矩阵A是可逆矩阵，则下列说法正确的是：A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式可以是任意非零值答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为____。
答案：1/22. 设矩阵A为2x2矩阵，且A的行列式为3，则矩阵A的转置的行列式为____。
答案：33. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量组的____。
答案：线性无关4. 设矩阵A为3x3矩阵，且A的行列式为0，则矩阵A是____。
答案：奇异矩阵三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式。
答案：\(\begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)2. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵B的逆矩阵。
线性代数第9章习题答案
思考题9-11.是。
因为T =PAP B 可写成()T T T =P AP B ，记T =M P ，则.T=M AM B 2.是。
设,T T ==P AP B Q BQ C ，则,()().T T T==Q P APQ C PQ A PQ C 3.两个实对称矩阵合同的充要条件是它们同阶且正、负惯性指数相同。
4.参考第3题5.证:设实对称矩阵A 的正、负惯性指数分别为p 和q ，则A 有p 个正特征值1,,pλλ 和q 个负特征值1,,p p q λλ++ 。
于是，存在正交矩阵Q ，使得111diag(,,,,,,0,,0),p p p q λλλλ-++= Q AQ 即 11diag(,,,,,,0,,0).Tp p p q λλλλ++=-- Q AQ 取1111222211diag(,,,,,,1,1)p p p qλλλλ----++= D ，则diag(1,,1,1,,1,0,,0),T D =-- DQ AQ 即 ()()diag(1,,1,1,,1,0,,0).T=-- QD A QD 记=P QD ，则diag(1,,1,1,,1,0,,0).T =-- P AP习题9-11.解：（1）12012021012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，该二次型的秩为3. (2) 011111110-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，该二次型的秩为3. 2.（1）所求正交变换为2121,122,3221-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦x Qy Q 标准形为2212()33g y y =-y ，正惯性指数为1，负惯性指数为1.(2) 所求正交变换为3,,0⎥==⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x Qy Q 标准形为222123()22g y y y =+-y ，正惯性指数为2，负惯性指数为1.3.（1）22212312233(,,)(2)2()5f x x x x x x x x =--++， 标准形为222123()25g y y y =-+y ，所作变换为122,011001-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x Py P . (2)解：由于该二次型中不含平方项，但含有混合项12x x ,故令11221233x y y x y y x y⎧=+⎪=-⎨⎪=⎩，可得含有平方项的二次型221231223(,,)2g y y y y y y y =-+. 对含有2y 的项配方，得2221231233(,,)()g y y y y y y y =--+.令1122333z y z y y z y⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，则把所给二次型化为标准形222123123(,,)h z z z z z z =-+.所做的可逆变换为1123212333x z z z x z z z x z⎧=++⎪=--⎨⎪=⎩,其系数矩阵为111111001⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦P .4.规范形为222123123(,,)h y y y y y y =++，所做的可逆变换为112321233123111222111222111222x y y y x y y y x y y y ⎧=-+⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=-++⎪⎩5.4, 1.a b ==±6.1,0.a b ==7.证：存在正交变换=x Qy 将该二次型化为标准形2211(),n n g y y λλ=++ y 即2211.Tn n y y λλ=++ x Ax 因为12n λλλ≤≤≤ ，所以2222111()()().n n n y y g y y λλ++≤≤++ y由x 为单位列向量及正交变换保持长度不变可知，y 也是单位向量，因而2211n y y ++= ，所以1Tn λλ≤≤x Ax .8.证：因为对于任何n 元列向量x ，都有T T=x Ax x Bx ，所以TTi i i i =e Ae e Be ，即.ii ii a b =同样也有()()()()T T i j i j i j i j ++=++e e A e e e e B e e ，即i ijj i ja a a ab b b b+++=+++. 因为,ii ii a b =所以.ij ji ij ji a a b b +=+又因为A 和B 都是实对称矩阵，,,ij ji ij ji a a b b ==所以,.ij ij a b ==A B思考题9-21. n 元正定二次型的规范形为221n y y ++ . 2.不一定。
矩阵习题及答案
矩阵习题一、选择题1、设有矩阵A3×2、B2×3、C3×4、，下列运算( )有意义.(A). ABC (B). AB-C (C). A+B(D).BC-A.2、设有矩阵A3×2、B2×3、C3×3、D3×3、，下列运算( )无意义.(A). |AB|(B). |BA|(C). |AB|=|A|⋅|B|(D). |CD|=|C|⋅|D| .3、设|A|≠0，下列结论( )无意义.(A). |A*|≠0 (B). |A－1|=|A|－1(C). A对称⇔ A－1对称(D). A－1=1/A.4、若同阶方阵A、B满足(A+B)(A－B)=A2－B2，则( ).(A). A=B (B).A=E (C). AB=BA (D).B=E.5、设A,B为同阶方阵，满足AB=O，则( )有意义.(A). |A|=0或| B|=0 (B).A+B=O (C). A=O或B=O (D). |A|+| B|=0.6、若A*为A的伴随矩阵，则|A*|=( ).(A). |A|n-1(B). |A|n-2(C)|A|n (D). |A| .7、设A,B为同阶对称阵，则AB对称的充要条件为( ).(A).A可逆(B). B可逆(C). |A B|≠0 (D). AB=BA.8、若A、B为n阶方阵，则( ).(A). |A+ B|=|A|+| B| (B). |A B|=| B A |(C). AB=BA (D). (A+B)－1 =A－1+B－1.9、若A、B、A+B为n阶可逆阵，则(A－1+B－1)－1 = ( ).(A). A－1+B－1(B). A+ B (C). B (A+B)－1 A (D). (A+B)－110、若A*为A的伴随矩阵，则(A*)*=( ).(A). |A|n-1 A (B). |A|n+1 A (C).|A|n-2 A. (D). |A|n+2 A .11、若A、B为n阶可逆阵，则 ( )(A). (AB)T=A T B T(B). (A+B)T=A T+ B T(C). (AB)－1 =A－1B－1(D). (A+B)－1 =A－1+B－1.12、设A、B为n阶矩阵，满足(AB) 2=E，则等式( )不成立.(A). A= B－1(B). ABA= B－1(C). BAB =A－1(D). (BA) 2=E .13、设A、B都可逆，且AB=BA，则等式( )不成立。
矩阵练习题
矩阵练习题一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵是矩阵A的转置？A. [a11 a12]B. [a21 a22][a21 a22] [a12 a11]2. 矩阵A和矩阵B可进行矩阵乘法的条件是：A. A的行数与B的列数相等B. A的列数与B的行数相等C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数3. 矩阵的行列式是：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵元素的乘积D. 矩阵的行与列的乘积4. 以下哪个矩阵是单位矩阵？A. [1 0]B. [0 1][0 1] [1 0]5. 若矩阵A的秩为1，则矩阵A的行向量或列向量：A. 线性相关B. 线性无关C. 垂直D. 正交二、填空题1. 矩阵的______是指矩阵中所有元素的和。
2. 若矩阵A的元素满足aij=aji，则称矩阵A为______矩阵。
3. 矩阵的______是指矩阵中不为零的元素的个数。
4. 矩阵的______是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
5. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A的行向量和列向量中，线性无关的向量最多有______个。
三、简答题1. 简述矩阵的可逆性的条件。
2. 描述矩阵的初等行变换和初等列变换。
3. 解释什么是矩阵的特征值和特征向量。
四、计算题1. 给定矩阵A=[2 1; 3 4]，求矩阵A的转置。
2. 已知矩阵B=[1 2; 3 4]和矩阵C=[1 0; 0 1]，计算矩阵B与矩阵C 的乘积。
3. 计算以下矩阵的行列式：D=[1 -2; 3 4]。
4. 若矩阵E=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵E的秩。
5. 给定矩阵F=[1 0; 0 1]，求矩阵F的逆矩阵。
五、证明题1. 证明若矩阵A可逆，则矩阵A的转置也是可逆的，并且(A^T)^-1=(A^-1)^T。
2. 证明矩阵的行列式与矩阵的转置的行列式相等。
六、应用题1. 某公司有三个部门，每个部门有四个员工。
矩阵的练习题
矩阵的练习题矩阵是线性代数重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
在学习矩阵的过程中，我们需要通过大量的练习题来加深对矩阵的理解和掌握。
下面，我将为大家提供一些矩阵的练习题，希望能够帮助大家提高解题能力。
练习题一：矩阵的基本操作1. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵。
解答：矩阵A的转置矩阵是矩阵A的行和列互换得到的矩阵。
所以，矩阵A的转置矩阵为：[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。
2. 已知矩阵B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵B的逆矩阵。
解答：要求矩阵B的逆矩阵，需要满足矩阵B与其逆矩阵相乘的结果为单位矩阵。
对于3阶方阵的逆矩阵，可以使用伴随矩阵法求解。
经过计算，矩阵B的逆矩阵为：[0 0.333 -0.167; -0.667 0.333 0.333; 0.333 -0.667 0.333]。
练习题二：矩阵的乘法1. 已知矩阵C = [1 -2; 3 4]，矩阵D = [5 6; -7 8]，求矩阵C和矩阵D的乘积。
解答：矩阵的乘法是按行乘以列再求和的运算。
根据定义，矩阵C和矩阵D的乘积为：[1*-2+(-2)*(-7) 1*6+(-2)*8;3*-2+4*(-7) 3*6+4*8] = [-9 -10; -34 42]。
2. 已知矩阵E = [2 3; -1 4; 0 1]，矩阵F = [-2 1 5; 3 4 -2]，求矩阵E和矩阵F的乘积。
解答：矩阵E是一个3×2矩阵，矩阵F是一个2×3矩阵。
根据定义，矩阵E和矩阵F的乘积为：[2*-2+3*3 2*1+3*4 2*5+3*(-2);-1*(-2)+4*3 -1*1+4*4 -1*5+4*(-2);0*(-2)+1*3 0*1+1*4 0*5+1*(-2)] = [5 14 4; 14 15 -15; 3 -2 -10]。
练习题三：矩阵的行列式1. 求矩阵G = [2 1; 3 4]的行列式。
矩阵的测试题及答案
矩阵的测试题及答案一、选择题1. 矩阵A和矩阵B相乘，结果为矩阵C，若矩阵A是3x2矩阵，矩阵B是2x4矩阵，矩阵C的维度是：A. 3x2B. 3x4C. 2x4D. 4x3答案：B2. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [2 0; 0 2]D. [0 1; 1 0]答案：C3. 矩阵的转置操作会改变矩阵的：A. 行数B. 列数C. 行列式D. 秩答案：B二、填空题4. 若矩阵A的行列式为3，矩阵B是A的伴随矩阵，则矩阵B的行列式为______。
答案：95. 对于任意矩阵A，其逆矩阵A^-1与A的乘积结果是______。
答案：单位矩阵I三、简答题6. 解释什么是矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3x3矩阵的特征值和特征向量的计算方法。
答案：矩阵的特征值是指能使得线性方程组(A - λI)v = 0有非零解的标量λ，其中A是给定的矩阵，I是单位矩阵，v是非零向量，称为对应于特征值λ的特征向量。
对于一个3x3矩阵A，计算其特征值通常需要求解特征多项式det(A - λI) = 0，得到特征值λ后，将λ代入(A - λI)v = 0，求解线性方程组得到特征向量v。
四、计算题7. 给定两个矩阵A和B，其中A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算矩阵A和B的和以及A和B的乘积。
答案：矩阵A和B的和为 [6 8; 10 12]，矩阵A和B的乘积为[19 22; 43 50]。
8. 若矩阵C = [1 0; 0 1]，求矩阵C的100次幂。
答案：矩阵C的100次幂仍然是 [1 0; 0 1]，因为C是单位矩阵，其任何次幂都是其自身。
五、论述题9. 讨论矩阵的秩在解决线性方程组中的应用，并举例说明。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性独立行或列的最大数目。
在线性方程组中，系数矩阵的秩可以用来判断方程组的解的情况。
如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的数量，则方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解；如果系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩，则方程组有无穷多解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第9章 矩阵
一、填空题
⒈ 两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .
⒉ 设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X .
⒊ 设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 .
4．设⎥
⎦
⎤⎢
⎣⎡--=2131
A ，则A I 2-= . 5．当a 时，矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=a A 131可逆.
6．设⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=1320201b a A ，当a =
，b = 时，A 是对称矩阵.
7．当λ= 时，矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----λ420
451143
21的秩最小.
二、单项选择题
⒈设B A ,为两个n 阶矩阵，则有（ ）成立.
A . 22))((
B A B A B A -=-+ B . T T T A B AB =)(
C . T T T A B B A -=-)(
D . )(2B A A BA A +=- ⒉ 下列说法正确的是（ ）.
A . 0矩阵一定是方阵
B . 可转置的矩阵一定是方阵
C . 数量矩阵一定是方阵
D . 若A 与A T
可进行乘法运算，则A 一定是方阵 ⒊ 设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）.
A . I
B + B . 1+B
C . B
D . ()I AB --1 ⒋ 设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（ ）
A .kA -1
B .
11k
A n
- C . --kA 1
D . 11k A - 5．设A 是4阶方阵，若秩3)(=A ，则（ ）.
A . A 可逆
B . A 的阶梯阵有一个0行
C . A 有一个0行
D . A 至少有一个0行
6. 设B A ,为同阶方阵，则下列说法正确的是（ ）.
A .若0=A
B ，则必有0=A 或0=B B .若0≠AB ，则必有0≠A ,0≠B
C .若秩0)(≠A ,秩0)(≠B ，则秩0)(≠AB
D . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B 三、解答题
⒈ 设⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I T
)2(-.
⒉ 设⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=012411210A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=653312B ，求解矩阵方程T
B AX =. ⒊ 若A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥
⎥1253140132，求A . ⒋ 求矩阵⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=12412116030242201211A 的秩 ⒌ 已知矩阵 )(2
1I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1
-B .
6. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，AA I T
=，证明A 是对称矩阵.
答案及解答：
一、填空题
⒈ A 与B 是同阶矩阵 ⒉ A B I 1)(-- ⒊ m t n s ==, ⒋ ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--1165
5. 3≠
6. 0, 3
7. 0 二、单项选择题
⒈ B ⒉ C ⒊ A ⒋ D 5. B 6. B 三、解答题
⒈ 因为⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=142120
311T A ，
T
2A I -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142120311100
010
0012=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----142
100
31
1
所以， B A I )2(T
-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-303112=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎣⎡---1103051
⒉ 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12000101083021041
1100010001012411210)(I A
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200
210201。