第九单元矩阵练习题及答案
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第9章 矩阵
一、填空题
⒈ 两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .
⒉ 设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X .
⒊ 设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 .
4．设⎥
⎦
⎤⎢
⎣⎡--=2131
A ，则A I 2-= . 5．当a 时，矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=a A 131可逆.
6．设⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=1320201b a A ，当a =
，b = 时，A 是对称矩阵.
7．当λ= 时，矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----λ420
451143
21的秩最小.
二、单项选择题
⒈设B A ,为两个n 阶矩阵，则有（ ）成立.
A . 22))((
B A B A B A -=-+ B . T T T A B AB =)(
C . T T T A B B A -=-)(
D . )(2B A A BA A +=- ⒉ 下列说法正确的是（ ）.
A . 0矩阵一定是方阵
B . 可转置的矩阵一定是方阵
C . 数量矩阵一定是方阵
D . 若A 与A T
可进行乘法运算，则A 一定是方阵 ⒊ 设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）.
A . I
B + B . 1+B
C . B
D . ()I AB --1 ⒋ 设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（ ）
A .kA -1
B .
11k
A n
- C . --kA 1
D . 11k A - 5．设A 是4阶方阵，若秩3)(=A ，则（ ）.
A . A 可逆
B . A 的阶梯阵有一个0行
C . A 有一个0行
D . A 至少有一个0行
6. 设B A ,为同阶方阵，则下列说法正确的是（ ）.
A .若0=A
B ，则必有0=A 或0=B B .若0≠AB ，则必有0≠A ,0≠B
C .若秩0)(≠A ,秩0)(≠B ，则秩0)(≠AB
D . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B 三、解答题
⒈ 设⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I T
)2(-.
⒉ 设⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=012411210A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=653312B ，求解矩阵方程T
B AX =. ⒊ 若A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥
⎥1253140132，求A . ⒋ 求矩阵⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=12412116030242201211A 的秩 ⒌ 已知矩阵 )(2
1I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1
-B .
6. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，AA I T
=，证明A 是对称矩阵.
答案及解答：
一、填空题
⒈ A 与B 是同阶矩阵 ⒉ A B I 1)(-- ⒊ m t n s ==, ⒋ ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--1165
5. 3≠
6. 0, 3
7. 0 二、单项选择题
⒈ B ⒉ C ⒊ A ⒋ D 5. B 6. B 三、解答题
⒈ 因为⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=142120
311T A ，
T
2A I -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142120311100
010
0012=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----142
100
31
1
所以， B A I )2(T
-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-303112=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎣⎡---1103051
⒉ 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12000101083021041
1100010001012411210)(I A
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200
210201