现代控制理论基础-C5

结论：线性定常系统是渐近稳定的充要条件是其 系统阵A的特征根都有负实部。
2018年10月24日5时36分
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5.1 关于稳定性的基本概念
BIBO稳定与渐近稳定的关系 若系统系统是能控能观的，则： BIBO稳定 渐近稳定 否则：
渐近稳定
BIBO稳定
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6) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。 (这一点从线性定常系统中的描述中可以得到理解) 7) 如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处 系统的稳定性可能是不同的。因此对有多个平衡 点的系统来说，要讨论该系统的稳定性必须逐个 对各平衡点的稳定性都要逐个讨论。
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5.1 关于稳定性的基本概念
例：设系统的状态空间表达式为:
1 0 1 x x u 0 1 1 y [1,0]x
试分析系统的状态稳定性与BIBO稳定性.
解：1)有A的特征方程: det[ I A] ( 1)( 1) 0 可知系统的状态是不稳定的. 2)由系统的传递函数: s 1 1 1 W ( S ) c( SI A) b ( s 1)( s 1) s 1 故系统输出稳定.这是因为具有正实部的特征值 2 1 被系统的零点s=+1 对消了，不稳定部分被掩盖。
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5.1 关于稳定性的基本概念
预先说明：若用 x xe 表示状态变量x与平衡状态 xe的 距离，用点集 s( )表示以 xe为中心， 为半径的 超球体，那么 x s( )则可表示成 x xe s( ) ， 式中 x xe 为欧几里德范数。 当 很小时，则称 s( )为 xe 的邻域.因此若有 x0 s( ) ，则意味着 x0 xe ，同理，若方程式 x f ( x, t ) 的解 (t; x0 , t0 )位于球域 s( )内，便有: (t; x0 , t0 ) xe t t0
5.1 关于稳定性的基本概念
通过输入和输出关系表征系统的外部稳定。 通过状态和其运动规律，表征系统内部稳定。 外部稳定-BIBO稳定 定义：如果系统对一个有界输入u(t) .即 || u(t ) || k1
产生一个有界输出，即 || y(t ) || k2 ，则称系统为
有界输入有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。 结论：系统 BIBO稳定的充要条件是系统传递函数极 点都有负实部。
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5.1 关于稳定性的基本概念
系统的平衡状态：若系统存在状态矢量 xe ，对 所有t，使得：
f ( xe , t ) 0 成立，则称 xe 为系统的平衡状态。
说明: 1) 对于任一个系统,不一定都存在平衡状态. 2) 如果一个系统存在平衡状态,其平衡状态也不 一定是唯一的. 3)当平衡态的任意小邻域内不存在系统的别的 平衡态时，称此平衡态为孤立的平衡态。
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5.1 关于稳定性的基本概念
4) 对于线性定常系统 x f [ x, t ] Ax ，当A为非奇异 矩阵时， Axe 0 的解 xe 0 是系统唯一的平 衡状态，当A为奇异时，则 xe会有无穷多个。
5) 由于任意一个已知的平衡状态,都可以通过坐标 变换将其变换到坐标原点 xe 0处。所以今后将 只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。
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5.1 关于稳定性的基本概念
内部稳定-渐近稳定 定义：线性系统 X Ax Bu, Y Cx Du u=0 时 x( t 0 )引起的零输入响应为 (t ,0, x0 , t0 )
(t ,0, t0 , x0 ) 0 如果满足如下关系 lim t 则称系统是内部稳定的。（渐近稳定的）
系统的稳定性与李雅普诺夫方法
5.1 关于稳定性的基本概念 5.2 李亚普诺夫第一方法 5.3 李亚普诺夫第二方法
5.4 李亚普诺夫第二方法在线性统的应用 5.5 李亚普诺夫第二方法在非线性系统中的应用 5.6 本章小结
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5.1 关于稳定性的基本概念
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5.1ห้องสมุดไป่ตู้关于稳定性的基本概念
说明:1)这种系统在实际应用时是极不可靠的.若系统参 数发生变化,则零、极点就无法实现对消.这样输 出就能表现出不稳定特性. 2)只有当 W (S )不出现不稳定的零、极点对消(可以 有稳定的零、极点对消) ， W (S ) 的稳定性才与 ( A, B, C) 的稳定性是一致的.
状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为
式中： x—n维状态矢量；f—与x同维的矢量函数,是 xi 和时间t的函数；一般f 为时变的非线性函数，如果不含t， 则为定常的非线性函数.。 在给定初始条件 (t0 x0 ) 下,有唯一解：
x f [ x, t ]
x(t ) (t , x0 , t0 ) 上式描述了系统在n维状态空间中从初始条件 (t0 x0 ) 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状 态轨线。
李雅普诺夫根据 x f ( x, t ) 系统的自由响应是否(没有控 制信号u的驱动) 有界把系统的稳定性定义为四种情况:
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5.1 关于稳定性的基本概念
李氏稳定：对于自治系统 x f ( x, t ) ,如果对任意实数 0 ,都对应存在实数 ( , t0 ) 0 ,使得满足不等式 x(t0 ) xe ( , t0 ) 的任意初态 x(t 0 ) x0 出发的解, x(t ) (t, x0 , t0 ) 在 t t 0 时均有 x(t ) xe 成立。