一次函数动点问题_精心总结版
一次函数动点问题
一次函数是指函数的最高次幂为1的多项式函数，其一般形式为y = mx + b，其中m 和b 是常数。
针对一次函数的动点问题，我们可以考虑一个点在直线上的运动情况。
假设有一条直线，用一次函数的方程y = mx + b 来表示，其中m 是斜率，b 是截距。
给定一点的初始位置(x₀, y₀)，我们可以根据一次函数的方程计算点在直线上的位置。
假设时间t 经过后，点的位置为(x, y)。
根据直线上任意一点的坐标计算公式，我们可以得到：
x = x₀+ vt,
y = y₀+ mt,
其中v 是点在x 轴上的速度，m 是斜率。
这样，我们可以通过给定初始位置、速度和斜率来描述一次函数的动点问题。
根据给定的条件和问题要求，我们可以进一步计算点的运动轨迹、到达特定位置的时间等。
需要注意的是，一次函数的动点问题通常与直线运动或直线关系有关，其中斜率和截距是重要的参数。
具体问题的解决方法和计算步骤可能会因问题的具体条件而有所不同，所以在解决具体问题时，需要根据问题的要求和给定条件来进行适当的数学建模和计算。
专题2 一次函数动点问题(含解析)
专题2一次函数动点问题一、解答题1．已知一次函数3y kx =+的图象经过点（4，0）．（1）求k 的值；（2）画出该函数的图象；（3）点P 是该函数图象上一个动点，连接OP，则OP 的最小值是．2．已知一次函数与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，A 点的坐标为（-4，0），B 点的坐标为（0，2），D 是x 轴上的一动点，坐标为(),0x ，ABD △的面积为S ．（1）求一次函数的解析式；（2）求S 与x 的函数关系式；（3）当12S =时，求点D 的坐标．3．如图，正比例函数y=32x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，3），一次函数y=kx+b图象与x轴负半轴交于点B．（1）根据图象回答问题：不等式kx+b＞32x的解为______；（2）若AB=5，求一次函数的表达式；（3）在第（2）问的条件下，若点P是直线AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为______．4．如图，已知一次函数132y x=+的图像分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）若点P是x轴上的动点，且14BOP ABCS S=△△，求符合条件的点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝k 1x+6与x 轴、y 轴分别交于点A、B 两点，与正比例函数y ＝k 2x 交于点D（2，2）（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若点P（m，m）为直线y＝k 2x 上的一个动点（点P 不与点D 重合），点Q 在一次函数y＝k 1x+6的图象上，PQ ∥y 轴，当PQ＝23OA 时，求m 的值．6．如图，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上一个动点（不包括A 、B 两点），C 是线段OB 上一点，45OPC ∠=︒，若OPC 是等腰三角形，求点P 的坐标．7．如图，一次函数y＝kx+b 的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标；（3）点P 是y 轴上一动点，当PB+PC 最小时，求点P 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数16y k x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，与正比例函数2y k x=交于点(2,2)D ．（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若点P 为直线2y k x =上的一个动点（点P 不与点D 重合），点Q 在一次函数16y k x =+的图象上，//PQ y 轴，当23PQ OA =时，求点P 的坐标．9．已知一次函数图象经过点()35A ，和点()49B --，两点，（1）求此一次函数的解析式；（2）若点（a，2）在该函数的图象上，试求a 的值．（3）若此一次函数的图象与x 轴交点C，点()P m n ，是图象上一个动点（不与点C 重合），设△POC 的面积是S，试求S 关于m 的函数关系式．10．已知一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4).（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标.11．如图，一次函数y kx b =+的图像过点()0,3A 和点()2,0B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使90BAC ︒∠=（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标（3）点P 是y 轴上一动点，当PB PC +最小时，求点P 的坐标.12．已知一次函数的图象经过点()()2004A B ，，，.（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标.13．已知：一次函数图象如图，（1）求一次函数的解析式；＝2，求点P的坐标．（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP14．如图，一次函数x轴、y轴交于A、B两点．动点P从A点开始沿折线AO－OB－BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为(长度单位/秒)；动点E从O单位/秒)的速度沿线段OB运动．设P、E两点同时出发，运动时间为t(秒)，当点P沿折线AO－OB－BA运动一周时，动点E和P同时停止运动．过点E作EF∥OA，交AB于点F．（1）求线段AB的长；（2）求证：∠ABO=30°；（3）当t为何值时，点P与点E重合?（4）当t=时，PE=PF．15．如图，已知一次函数b x y +-=21的图象经过点A（2，3），AB⊥x 轴，垂足为B，连接OA．（1）求此一次函数的解析式，并求出一次函数与x 轴的交点C 的坐标；（2）设点P 为直线b x y +-=21在第一象限内的图像上的一动点，求△OBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的范围；（3）设点M 为坐标轴上一点，且24=∆MAC S ，直接写出所有满足条件的点M 的坐标．16．如图，一次函数y＝kx+b 的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标；（3）点P 是y 轴上一动点，当PB+PC 最小时，求点P 的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点()30A -,与点()0,4B ．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若点M 为此一次函数图象上一点，且△MOB 的面积为12，求点M 的坐标；（3）点P 为x 轴上一动点，且△ABP 是等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，点()1,1A ，点()4,2B ，点A 关于x 轴的对称点为A '．（1）点A '的坐标为________；（2）已知一次函数的图象经过点A '与B ，求这个一次函数的解析式；（3）点(),0P x 是x 轴上的一个动点，当x =________时，PAB △的周长最小；（4）点(),0C t ，()2,0D t +是x 轴上的两个动点，当t =________时，四边形ACDB 的周长最小；（5）点(),0M m ，点()0,N n 分别是x 轴和y 轴上的动点，当四边形ANMB 的周长最小时，m n +=________，此时四边形ANMB 的面积为________．1专题2一次函数动点问题1．(1)k=34-;(2)详见解析;(3)125.【分析】(1)将点(4,0)代入一次函数解出k 值即可.(2)根据一次函数图像的性质画出即可.(3)根据点到直线的距离垂线段最短,再通过面积公式求出结果.【详解】(1)将(4,0)代入y=kx+3,解得k=34-.(2)如图所示:(3)过点O 作OC⊥AB,OC则为所求最短距离.根据勾股定理:AB 2=BO 2+AO 25;根据三角形面积公式:1122BO AO AB OC ⋅⋅=⋅⋅1134522OC ⨯⨯=⨯⨯OC=125【点拨】本题考查一次函数的图象的性质,关键在于熟记一次函数的基本性质定义.2．（1）122y x =+；（2）4S x =+；（3）()8,0或()16,0-．【详解】（1）设一次函数解析式为y kx b =+，将()4,0A -、()0,2B 代入解析式得：122y x =+；（2）()1142422S AD OB x x =⋅=--⨯=+；（3）因为12S =，所以412x +=，即412x +=或412x +=-，解得8x =或16x =-，所以D 的坐标为()8,0或()16,0-．3．（1）x＜2；（2）33y x 42=+；（3）65.【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入正比例函数解析式中，求出m，即可得出结论；（2）设出点B 坐标，利用AB=5，求出点B 坐标，最后将点A，B 坐标代入一次函数表达式中，即可求出k，b，即可得出结论；（3）点判断出OP⊥AB 时，OP 最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵点A（m，3）在正比例函数y=32x 上，∴3=m，∴m=2，∴A（2，3），∴不等式kx+b＞32x 的解为x＜2，故答案为：x＜2；（2）由（1）知，A（2，3），∵点B 在x 轴负半轴上，∴设B（n，0）（n＜0），∵AB=5，∴（n-2）2+9=25，∴n=6（舍）或n=-2，∴B（-2，0），将点A（2，3），B（-2，0）代入y=kx+b 中得，2320,k b k b +=⎧⎨-+=⎩∴3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴一次函数的表达式为3342y x =+.（3）如图由（2）知，直线AB 的解析式为3342y x =+.∴当OP⊥AB 时，OP 最小，由（1）知，A（2，3），由（2）知，B（-2，0），AB=5，∴S △AOC =12OB•|y C |=12AB•OP 最小，∴12×2×3=12×5OP 最小，∴OP 最小=65，故答案为：65．【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，两点间距离公式，求出直线AB 的解析式是解本题的关键．4．（1）132y x =-+；（2）(3,0)-或(3,0)【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，由点C 与点A 关于y 轴对称可得出点C 的坐标，待定系数法求得直线BC 的函数解析式；（2）设点P 的坐标为(,0)m ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【详解】解：（1）当0x =时，132y x =+，∴点B 的坐标为(0,3)；当1302y x =+=时，6x =-，∴点A 的坐标为(6,0)-．点C 与点A 关于y 轴对称，∴点C 的坐标为(6,0)，设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，∴360b k b =⎧⎨+=⎩，∴123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数解析式为132y x =-+；（2）设点P 的坐标为(,0)m ，14BOP ABC S S ∆∆=，∴111||3123242m ⨯⨯=⨯⨯⨯，3m ∴=±，∴点P 的坐标为(3,0)-，(3,0)．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、B 的坐标是解题的关键．5．（1）一次函数和正比例函数的表达式分别为：y＝﹣2x+6，y＝x；（2）m＝﹣1或m＝1【分析】（1）把（2，2）分别代入y＝k 1x+6与y＝k 2x，解方程即可得到结论；（2）由y＝﹣2x+6，当y＝0时，得x＝3，求得OA＝3，根据点P（m，m），得到Q（m，﹣2m+6），根据PQ＝23OA 列方程即可得到结论．【详解】（1）把（2，2）分别代入y＝k 1x+6与y＝k 2x 得，k 1＝﹣2，k 2＝1，∴一次函数和正比例函数的表达式分别为：y＝﹣2x+6，y＝x；（2）由y＝﹣2x+6，当y＝0时，得x＝3，∴A（3，0），∴OA＝3，∵点P（m，m），∴Q（m，﹣2m+6），当PQ＝23OA 时，PQ＝m﹣（﹣2m+6）＝23×3，或PQ＝﹣2m+6﹣m＝23×3，解得：m＝﹣1或m＝1．【点拨】本题考查了两条直线相交于平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．6．(2，2)或(-【分析】分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，易得△AOB 与△BPO 都是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质解答即可；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，根据AAS 可证PCB OPA ≌△△，进而可得4BP AO ==，进一步即可求出点P 坐标；当OP=OC 时，易得P、A 两点重合，此种情况不合题意，综上可得答案．【详解】解：分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，45COP OPC ∠=∠=︒，∴90OCP ∠=︒，即PC y ⊥轴．又∵一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，∴4y x =-+中，令0x =，则4y =；令0y =，则4x =，∴4AO BO ==，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴45ABO ∠=︒，∴COP CBP ∠=∠，∴OP BP =，∴C 是BO 的中点，∴122CO CP BO ===，∴()2,2P ；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，∵45PBC OPC OAP ∠=∠=∠=︒，∴135PCB BPC OPA BPC ∠+∠=︒=∠+∠，∴PCB OPA ∠=∠．又∵PC OP =，∴()PCB OPA AAS △△≌，∴4BP AO ==，∴在Rt BDP △中，22BD PD ==，∴422OD OB BD =-=-∴(22,422P -．当OP=OC 时，45OCP OPC ∠=∠=︒，则∠POC=90°，此时P、A 两点重合，不合题意；综上所述，若OPC 是等腰三角形，点P 的坐标为（2，2）或(22,422-．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．7．（1）y＝﹣43x+4；（2）（4，7）；（3）P（0，3）【解析】【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD⊥y 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标．【详解】（1）设AB 直线的解析式为：y=kx+b，把（0，4）（3，0）代入可得：430b k b ⎧⎨+⎩＝＝，解得：434k b ＝＝⎧-⎪⎨⎪⎩，（2）如图，作CD⊥y 轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO 与△CAD 中，∵90BAO ACD BOA ADC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．则C 的坐标是（4，7）．（3）如图2中，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′交x 轴于P，此时PB+PC的值最小．∵B（3，0），C（4，7）∴B′（﹣3，0），把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n 中，可得：4730m n m n +⎧⎨-+⎩＝＝，解得：13m n ⎧⎨⎩＝＝，∴直线CB′的解析式为y＝x+3，令x＝0，得到y＝3，∴P（0，3）．【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．8．（1）一次函数解析式为26y x =-+，正比例函数的解析式为：y x =；（2）点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）点D（2，2）代入16y k x =+和2y k x =中，求出解析式即可；（2）通过一次函数解析式求出点A 的坐标，设P 点坐标为（m，m），则Q 点坐标为（m，-2m+6），再根据23PQ OA =，解出m 的值，即可求出点P 的坐标.【详解】（1）把点D（2，2）代入16y k x =+中得：1226k =+，解得：12k =-，∴一次函数解析式为26y x =-+，把点D（2，2）代入2y k x =中得：222k =，解得：21k =，∴正比例函数的解析式为：y x =；（2）把y=0代入26y x =-+得：3x =，∴A 点坐标为（3，0），OA=3，设P 点坐标为（m，m），则Q 点坐标为（m，-2m+6），()2636PQ m m m =--+=-，∵23PQ OA =，∴23633m -=⨯，解得：83m =或43m =，∴点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点拨】本题是对一次函数的综合考查，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及一次函数知识是解决本题的关键.9．（1）21y x =-；（2）32a =；（3）1124S m =-（12x >）或1142S m =-（12x <）【分析】（1）利用A、B 两点坐标用待定系数法求得此一次函数解析式；（2）将点（a，2）代入解析式计算即可；（3）根据一次函数解析式求得C 点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用三角形的面积公式得到11121222S n OC m =⋅⋅=⨯-⨯，再分两种情况求解即可.【详解】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，将点()35A ，和点()49B --，的坐标代入，得3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式为：21y x =-；（2）∵点（a，2）在该函数的图象上，∴2a-1=2，解得32a =；（3）当y=0时，得到2x-1=0，解得x=12，∴C 点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵P 点在直线上，∴21n m =-，∴11121222S n OC m =⋅⋅=⨯-⨯，当12x >时，1124S m =-，当12x <时，1142S m =-.【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，利用解析式求出点的坐标，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数图象与几何图形.10．（1）一次函数的解析式为y=-2x+4；（2）P（1，2）或P（3，-2）.【解析】（1）根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B 两点代入可求出k，b，进而可求出函数表达式；（2）设点P 的坐标为（a，-2a+4），结合A 点的坐标可得OA 的长，继而根据△POA 的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P 的坐标.解：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0）∵一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4)，∴204k b b +=⎧⎨=⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y=-2x+4（2）∵14,2POA P SOA y =⋅=∴2,P y =∴2,P y =±当2,P y =时，1,P x =即P（1，2），当2,P y =-时，3,P x =即P（3，-2），∴P（1，2）或P（3，-2）.11．（1）y kx b =+；（2）C 的坐标是()3,5；（3）()0,2P .【解析】【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD⊥y 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标．【详解】解：()1设直线AB 的解析式为：y kx b =+，把()()0,3,2,0代入可得：320b k b =⎧⎨+=⎩，解得：3,32b k =⎧⎪⎨=⎪⎩所以一次函数的解析式为：332y x =-+；()2如图，作CD y ⊥轴于点D90BAC ︒∠=，90,OAB CAD ︒∴∠+∠=在ABO 与CAD 中90o BAO ACD BOA ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，()ABO CAD AAS ∴≅，2,3,5OB AD OA CD OD OA AD ∴=====+=，则C 的坐标是()3,5；()3如图2中，作点B 关于y 轴的对称点'B ，连接'CB 交x 轴于P ，此时PB PC +的值最小，()()2,0,3,5B C ，()'2,0B ∴-，把()()2,0,3,5-代入y mx n =+中，可得：3520m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，∴直线'CB 的解析式为2y x =+，令0x =，得到2y =，()0,2P ∴.【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，以及轴对称-最短距离，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．（1）一次函数的解析式为2 4.y x =-+（2）()()1,2,3,2.P P ∴-或【解析】试题分析：（1），根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B 两点代入可求出k，b，进而可求出函数表达式；对于（2），设点P 的坐标为（a，-2a+4），结合A 点的坐标可得OA 的长，继而根据△POA 的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P 的坐标.试题解析：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0）∵一次函数的图象经过点()A 2,0，()B 0,4，∴02{4k b b =+=，解得2{4k b =-=，∴一次函数的解析式为y 2x 4.=-+（2）∵ΔPOA p 1S OA y 42=⋅=，p y 2,∴=p y 2.∴=±当p y 2=时，()p x 1,P 1,2.=∴当p y 2=-时，()p x 3,P 3,2.=∴-∴()()P 1,2,P 3,2.-或13．（1）y＝﹣x+1；（2）P 点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A 点坐标，设P（t，-t+1），根据三角形面积公式得到12×1×|-t+1|=2，然后解绝对值方程求出t 即可得到P 点坐标．【详解】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得2321k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩，所以一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1，则A（1，0），设P（t，﹣t+1），因为S△OAP＝2，所以12×1×|﹣t+1|＝2，解得t＝﹣3或t＝5，所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．14．（1）6；（2）详见解析；（3）92；（4）94557或【分析】（1）令y=0，求出x，得出A的坐标及OA的长，令x=0，得出B的坐标及OB的长，利用勾股定理即可求出AB 的长；（2）取AB的中点C，连接OC．证明△OAC是等边三角形，得到∠OAB=60°．根据三角形内角和定理即可得出结论；（3）由于P在OB上与E重合，则E的路程为OE，E所用的时间为t秒，P的路程为OA+OE，P在OA上所用的时间为3秒，在OE上所用的时间为（t-3）秒，根据P在OB上的路程与E的路程相同列方程，求解即可；（4）先求出点P沿折线AO－OB－BA运动一周时所花的时间为9秒．然后分三种情况讨论：①当P在线段AO上时；②当P在线段OB上时；③当P在线段BA上时．【详解】（1）令，∴OA=3．令，∴OB=（2）取AB的中点C，连接OC．∵∠AOB=90°，C为AB的中点，∴OC=BC=CA=3．∵OA=3，∴OC=CA=OA，∴△OAC是等边三角形，∴∠OAB=60°．∵∠AOB=90°，∴∠ABO=30°；33(3)t =-，解得：92t =，所以当92t =时，点P 与点E 重合．（4）P 从A 到O 的时间为t=3÷1=3（秒），P 从O 到B 的时间为333=3（秒），P 从B 到A 的时间为：6÷2=3（秒），故点P 沿折线AO－OB－BA 运动一周时所花的时间为3+3+3=9（秒）．分三种情况讨论：①当P 在线段AO 上时，即0＜t＜3时，由题意知：P（3-t，0），E（0，33）．设F（a，b）．∵EF∥OA，∴b=33t ．∵F 在直线AB 上，∴33333a t +=，解得：a=133t -．∴F（133t -，33）．∵PE=PF，∴P 在EF 的垂直平分线上，∴2（3-t）=133t -，解得：t=95；②当P 在线段OB 上时，即3≤t＜63(3)t -）33），F（133t -33）．3(3)t -－332213(3)[3(3)]33t t t -+--，∴133t -=0，解得：t=9（舍去）；③当P 在线段BA 上时，即6≤t＜933），F（133t -33），BP=2(6)212t t -=-．设P（m，n），则m=12BP=12(6)62t t ⨯-=-．∵PE=PF，∴P 在EF 的垂直平分线上，∴2（t-6）=133t -，解得：t=457．综上所述：t=95或457．【点拨】本题是一次函数综合题．考查了等腰三角形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想．分类讨论是解答本题第（4）问的关键．15．（1）421+-=x y C（8，0）;（2）421+-=x y （80<<x ）;（3）M（-8，0）M（24，0）M（0，12）M（0，-4）【解析】试题分析：（1）把点A（2，3）代入一次函数b x y +-=21可求出b=4，然后令y=0，即可求出点C 的坐标；（2）设点P 的坐标为（x，y），则边OB 上的高为y，利用三角形的面积公式即可计算△OBP 的面积S，然后把421+-=x y 代入化简即可得出S 与x 之间的函数关系式，根据点P 为第一象限内的图像上的一动点，可求出自变量x 的范围；（3）分两种情况讨论：当点M 在x 轴上时，利用24=∆MAC S 求出线段MC=16，然后可求点M 的坐标；当点M 在y 轴上时，利用24=∆MAC S 求出点M 到直线b x y +-=21与y 轴的交点的距离为8，然后可求点M 的坐标．试题解析：（1）把点A（2，3）代入一次函数b x y +-=21得b=4，所以421+-=x y ，令y=0，所以x=8，所以点C 的坐标为（8，0）；（2）因为点A（2，3），AB⊥x 轴，所以点B 的坐标为（2,0），所以OB=2，设点P 的坐标为（x，y），所以△OBP 的面积S=112422y y x ⨯==-+（80<<x ）;（3）当点M 在x 轴上时，因为24=∆MAC S ，所以1132422MC AB MC ⋅=⨯=,所以MC=16，因为C（8，0），所以点M 的坐标为M（-8，0）或M（24，0）；当点M 在y 轴上时，设直线421+-=x y 与y 轴的交点为N,令x=0，则y=4，所以点N 的坐标为（0,4），所以118232422MAC MNC MNA S S S MN MN MN ∆∆∆=-=⨯-⨯==，所以MN=8，因为点N 的坐标为（0,4），所以点M 的坐标为M（0，12）或M（0，-4）；综上所求的点M 的坐标为M（-8，0）、M（24，0）、M（0，12）、M（0，-4）．考点：1．一次函数的性质2．坐标系中图形的面积3．点的坐标．16．（1）y＝﹣43x+4；（2）（4，7）；（3）P（0，3）【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD⊥y 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标．【详解】解：（1）设AB 直线的解析式为：y＝kx+b，把（0，4）（3，0）代入可得：430b k b =⎧⎨+=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为：y＝﹣43x+4；（2）如图，作CD⊥y 轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO 与△CAD 中，∵90BAO ACD BOA ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．∴C 的坐标是（4，7）．（3）如图，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′交y 轴于P，此时PB+PC的值最小．∵B（3，0），C（4，7）∴B′（﹣3，0），设直线CB′的解析式为y＝mx+n，把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n 中，可得：4730m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线CB′的解析式为y＝x+3，令x＝0，得到y＝3，∴P（0，3）．【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．17．（1）443y x =+；（2）()6,12或()6,4--；（3）点Р()3,0或()8,0-或()2,0或7,06⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）设一次函数的表达式为y=kx+b，把点A 和点B 的坐标代入求出k，b 的值即可；（2）点M 的坐标为（a，443a +），根据△MOB 的面积为12，列出关于a 的等式，解之即可；（3）分三种情形讨论即可①当AB=AP 时，②当BA=BP 时，③当PA=PB 时．【详解】解：（1）设这个一次函数的表达式为y kx b =+，依题意得304k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：4,34k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴443y x =+．（2）如图：设点M 的坐标为4,43a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵()0,4B ，∴4OB =∵MOB △的面积为12，14122a ⨯⨯=，∴6a =，∴6a =±，当6a =时，44123a +=；当6a =-时，4443a +=-；∴点M 的坐标为：()6,12或()6,4--．（3）∵点A（-3，0），点B（0，4）．∴OA=3，OB=4，5==，当PA=AB 时，P 的坐标为（-8，0）或（2，0）；当PB=AB 时，P 的坐标为（3，0）；当PA=PB 时，设P 为（m，0），则（m+3）2=m 2+42，解得：7m 6=，∴P 的坐标为（76，0）；综上，点Р的坐标是：()3,0或()8,0-或()2,0或7,06⎛⎫ ⎪⎝⎭【点拨】本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18．（1）()1,1-；（2）2y x =-；（3）2；（4）43；（5）1615，2615【分析】（1）根据点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（x，﹣y）解答即可；（2）利用待定系数法求解一次函数解析式即可；（3）根据对称性，求出直线A B '交x 轴的交点P，可使PAB △的周长最小；（4）作A A '''∥x 轴，且A A '''=CD=2，连接BA ''交x 轴于D，在点D 左边取点C，使CD=2，连接AC，此时四边形ACDB 的周长最小，求出直线BA ''的函数解析式，然后求出直线BA ''与x 轴交点D 坐标即可解答；（5）作点A 关于y 轴的对称点A '''，点B 关于x 轴对称点B '，连接B A ''''交x 轴于M，交y 轴于N，连接AN、BM，此时四边形ANMB 的周长最小，求出直线B A ''''的函数解析式，然后求出它与x 轴、y 轴的交点，进而可求出m、n 值和面积．【详解】（1）由于点()1,1A 关于x 轴的对称点为A '（1，﹣1），故答案为：()1,1-；（2）解：设这个一次函数的解析式为y kx b =+，y kx b =+的图象经过点()1,1A '-与()4,2B ，1,4 2.k b k b +=-⎧∴⎨+=⎩解得1,2.k b =⎧⎨=-⎩∴这个一次函数的解析式为2y x =-．（3）∵点A 关于x 轴的对称点为A '，∴直线A B '交x 轴的交点P，可使PAB △的周长最小，当y=0时，由0=x﹣2得：x=2，则P（2，0），故答案为：2；（4）作A A '''∥x 轴，且A A '''=CD=2，则四边形A A DC '''是平行四边形，连接BA ''交x 轴于D，在点D 左边取点C，使CD=2，连接AC，此时四边形ACDB 的周长最小，由作图可知，A ''（3，﹣1），设直线BA ''的函数解析式为y=ax+c，将B、A ''坐标代入，得：2413a c a c =+⎧⎨-=+⎩，解得：310a c =⎧⎨=-⎩，∴直线BA ''的函数解析式为y=3x﹣10，当y=0时，由0=3x﹣10得：x=103，由t+2=103得：t=43，故答案为：43；（5）作点A 关于y 轴的对称点A '''，点B 关于x 轴对称点B '，连接B A ''''交x 轴于M，交y 轴于N，连接AN、BM，此时四边形ANMB的周长最小，，由作图可知，A '''（﹣1，1），B '（4，﹣2），设直线B A ''''的函数解析式为y=px+q，将A '''、B '坐标代入，得：124p q p q =-+⎧⎨-=+⎩，解得：3525p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线B A ''''的函数解析式为3255y x =-+，当x=0时，y=25，∴N（0，25），当y=0时，由32055x =-+得：x=23，∴M（23，0），∴m+n=23+25=1615，此时四边形ANMB 的面积为1121221242(14)11(1)(4)222523523⨯-⨯+⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯-⨯=532108210153----=2615，故答案为：1615，2615．【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式、轴对称-最短路线问题、两点之间线段最短、坐标与图形变换、有理数的混合运算等知识，属于基础综合题型，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻知识间的关联点，利用数形结合思想解决问题．。
完整版)八年级数学一次函数动点问题
完整版)八年级数学一次函数动点问题八年级数学一次函数动点问题1、如图所示，以等边三角形OAB的边OB所在直线为x 轴，点O为坐标原点，在第一象限建立平面直角坐标系。
其中，△OAB边长为6个单位。
点P从O点出发沿折线OAB 向B点以3单位/秒的速度运动，点Q从O点出发沿折线OBA向A点以2单位/秒的速度运动。
两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。
①点A的坐标为（3，3），P、Q两点相遇时交点的坐标为（3，3）；②当t=2时，△OPQ的面积为3/2；当t=3时，△OPQ的面积为9/4；③设△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式为S=(3t-t^2)/4；④当△OPQ的面积最大时，在y轴上无法找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。
2、如图所示，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动。
设点P、Q移动的时间为t秒。
1) 直线AB的解析式为y=-x+6；2) 当t=5时，△APQ的面积为24/5平方单位；3) △OPQ为直角三角形的时间范围为2≤t≤4；4) 无论t为何值，△OPQ都不可能为正三角形。
若点Q的运动速度为4个单位/秒，则此时t=2.3、如图所示，在直角三角形△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点。
它们同时分别从点A、O向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒。
设P、Q移动时间为t（≤t≤4）。
1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）。
证明：由于△OPM与△OAB相似，因此有PM/OB=AO/AB，即PM=AO*OB/AB=9/5.又因为△APM与△AOB相似，因此有AM/OA=PM/OB，即AM=OA*PM/OB=27/20.因此AM：AO=PM：BO=AP：AB=9：15：20.P点的坐标为（3t/5，18t/5）。
(完整版)一次函数动点问题
一次函数动点问题1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴ CB= ，C′B=∴ AC+CB=AC+CB′=．在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB 的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关于直线AC对称，连结ED 交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是如图⑥，一次函数y=﹣2x+4 的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，点O 为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P 点坐标．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求 a 的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△ POC的面积是S，试求S关于m 的函数关系式．3．已知函数y=kx+b 的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1 的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b 的图象上（1）求此一次函数的表达式和m 的值？（2）若在x 轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P 的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x 轴的交点，若S△OAP=2，求点P 的坐标．5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1 与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x 的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2 的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为．（4）在x轴上找一点M，使△ BMP为等腰三角形，求M 的坐标．（直接写出答案）6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1 与直线l2 相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l 的函数表达式；（2）若点 C 是线段AB 上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△ BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．一次函数动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共 6 小题）1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴CB= CB' ，C′B= C'B'∴ AC+CB=AC+CB′=AB' ．在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB 的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关于直线AC 对称，连结ED交AC于F，则EF+FB 的最小值就是线段DE 的长度，EF+FB的最小值是．如图⑤，已知⊙ O的直径CD为4，∠ AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD 上找一点P，使BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值是 2 ；如图⑥，一次函数y=﹣2x+4 的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，点O 为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P 点坐标．【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴ CB=CB，' C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=A．B'在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小故答案为：CB'，C'B'，AB'；（2）模型应用①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D 关于直线AC对称，连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=9°0 ∵点E是AB 中点，∴AE=1，根据勾股定理得，DE= ，即：EF+FB的最小值，故答案为：DE，；②如图⑤，由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB 的最小值就是线A'BE的长度，∴∠ AOD=∠A'OD=60°∵点 B 是的中点，∴∠ AOB=∠BOD= ∠AOD=3°0，∴∠ A'OB=90°∵⊙ O的直径为4，∴OA=OA'=OB=2，在Rt△A'OB中，A'B=2 ，∴ BP+AP的最小值是 2 ．故答案为 2 ，③如图⑥，由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D 的长度，∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B （0，4），∴C（1，0），D（1，2），∵C与C'关于直径y 轴对称，∴C'（﹣1，0），∴ C'D= =2 ，∴ PC+PD的最小值为 2 ，∵C'（﹣1，0），D（1，2），∴直线C'D 的解析式为y=x+1，∴P（0，1）．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求 a 的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△ POC的面积是S，试求S关于m 的函数关系式．解答】解：①设一次函数解析式为y=kx+b，依题意，得解得，次函数解析式为y=2x﹣1；②将点（a，2）代入y=2x﹣1 中，得2a﹣1=2，③由 y=2x ﹣1，令 y=0得 x= ， ∴C （ 又∵点 P（m ，n ）在直线 y=2x ﹣1 上， ∴ n=2m ﹣1，3．已知函数 y=kx+b 的图象经过点A 43 y=x+1 的图象平行，点 B （ 2， m ）在一次函数 y=kx+b 的图象上1）求此一次函数的表达式和 m 的值？2）若在 x 轴上有一动点 P （x ，0），到定点 A （4，3）、B （2，m ）的距离分别 为 PA 和 PB ，当点 P 的横坐标为多少时， PA+PB 的值最小．解答】 解：（1）∵函数 y=kx+b 的图象经过点 A （4，3）且与一次函数 y=x+1 的图象平行，，解得：∴一次函数的表达式为 y=x ﹣1． 当 x=2 时， m=x ﹣1=2﹣ 1=1， ∴m 的值为1．（2）作点 B 关于x 轴的对称点 B ′，连接 AB ′交x 轴于点 P ，此时PA+PB 取最小值， 如图所示． ∵点 B 的坐标为（ 2，1）， ∴点 B ′的坐标为（ 2，﹣ 1）． 设直线 AB ′的表达式为 y=ax+c ， 将（ 2，﹣1）、（4，3）代入 y=ax+c ，，解得：∴直线 AB ′的表达式为 y=2x ﹣5． 当 y=0 时， 2x ﹣ 5=0，，0），∴S= × ×|n|= | （2m ﹣1）|=|m﹣4．已知：一次函数图象如图： 1）求一次函数的解析式；2）若点 P 为该一次函数图象上一动点，且点 A 为该函数图象与 x 轴的交点，若 S △OAP =2，求点 P 的坐标．解答】 解：（1）设一次函数解析式为 y=kx+b ，所以一次函数解析式为 y=﹣x+1；（2）当 y=0时，﹣ x+1=0，解得 x=1，则 A （ 1， 0）， 设 P （t ，﹣ t+1）， 因为 S △OAP =2，所以 ×1×|﹣t+1|=2，解得 t=﹣3或t=5， 所以 P 点坐标为（﹣ 3，4）或（ 5，﹣ 4）．5．阅读下面的材料：在平面几何中， 我们学过两条直线平行的定义． 下面就两个一次函数的图象所确 定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数 y=k 1x+b 1（k 1≠ 0）的图象为把（﹣ 2，3）、（2， 分别代入得，解得PA+PB 的值最小．P 的横坐标为 ﹣1)直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1 与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x 的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2 的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，）．（4）在x轴上找一点M，使△ BMP为等腰三角形，求M 的坐标．（直接写出答案）【解答】解：（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b，把P（1，3）代入得：3=﹣1+b，即b=4，则过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4；（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，对于直线y=﹣x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，∴ A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，∵△ ABC为等腰直角三角形，∴AB= =4 ，且ON 为斜边上的中线，∴ ON= AB=2 ，则l1 和l2 两平行线之间的距离为 2 ；（3）找出B关于y轴的对称点B′（﹣4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB 最小，设直线B′P的解析式为y=mx+n，把B′和P 坐标代入得：，解得：m= ，n= ，∴直线B′P的解析式为y= x+ ，令x=0，得到y= ，即Q（0，）；故答案为：Q（0，）；（4）如图 2 所示，分三种情况考虑：当PM1=PB时，由对称性得到M1（﹣2，0）；当PM2=BM2时，M2 为线段PB垂直平分线与x轴的交点，∵直线PB的解析式为y=﹣x+4，且线段PB中点坐标为（ 2.5， 1.5），∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5，即y=x﹣1，令y=0，得到x=1，即M 2（1，0）；当PB=M3B= =3 时，OM3=OB+BM3=4+3 ，此时M 3（4﹣3 ，0），M 3（4+3 ，0）．综上，M的坐标为（﹣2，0）或（1，0）或（4﹣ 3 ，0）或（4+3 ，0）．6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1 与直线l2 相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l 的函数表达式；（2）若点 C 是线段AB 上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△ BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．【解答】解：（1）设直线l 的解析式为y=kx+b，∵直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，∴﹣k=﹣1，解得k=2，∵直线l 的图象过点P（﹣1，4），∴﹣k+b=4，即﹣2+b=4，解得b=6，∴直线l 的解析式为y=2x+6；（2）如图1，过O作OC⊥AB 于点C，在y=2x+6 中，令x=0 可得y=6，令y=0 可求得x=﹣3，∴A（0，6），B（﹣3，0），∴OA=6，OB=3∴ AB= =3 ，∵ AB?OC= OA?OB，∴ 3 OC=3×6，∴ OC= ，即线段OC长度的最小值为；（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P″，连接BP″交y轴于点Q，过P″作P″G⊥x 轴于点G，则PQ=P″Q，∴PQ+BQ=BQ+QP″，∵点B、Q、P″三点在一条线上，∴ BQ+PQ最小，∵P（﹣1，4），∴P″（1，4），∴ P″G=，4 OG=1，∴BG=BO+OG=4=″P G，∴∠ OBQ=4°5，BP″=4 ，∴ OQ=BO=3，∴ Q点坐标为（0，3），又BP= =2 ，此时△ BPQ的周长=BP+BP″=4 +2 ；（4）由（3）可知∠ OBQ=∠OQB=4°5，∴∠PQA=∠P″QA=45°，∴PQ⊥BQ，如图3，延长PQ到点P′，使PQ=P′Q，则P′即为点P 关于BQ的对称点，过P′作由（3）可知PQ=Q′P = ，∴QH=H′P =1，∴OH=OQ﹣QH=3﹣1=2，∴ S四边形ABO′P=S△AOB+S△AOP′= ×6×3+ × 6× 1=12，四边形△ △即四边形ABOP′的面积为12．。
中考数学一次函数中的动点问题小结精编
动点产生的一次函数关系题型一：点运动的路程与面积之间的一次函数关系此类问题的两个难点：一、分类讨论思想，需要求出动点运动到不同位置时路程与所形成图形的面积之间的关系；二、用动点运动的路程来表示所需线段的长度． 另外，需要注意自变量的取值范围．【引例】 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）D.C.B.A.【解析】 B 【解析】PD C B A【例1】 如图，正方形ABCD 的边长是1，E 是CD 边上的中点，P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B →C →E 运动，到达点E ，若点P 经过的路程为x ，APE △的面积为y ，求y 与x 的关系式；并求当13y =时，x 的值等于多少？【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，长方形OABC 的顶点，A C 的坐标分别为()()3005，，，．⑴ 直接写出点B 的坐标；⑵ 若过点C 的直线CD 交AB 边于点D ，且把长方形OABC 的周长分为1:3两部分，求直线CD 的解析式；⑶ 设点P 沿O A B C →→→的方向运动到点C （但不与点，O C 重合），求△OPC 的面积y 与点P 所行路程x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．【例3】 如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，沿A →B →C →D 匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成的面积为y ，点P 运动的路程为x ，请写出y 与x 之间的函数关系式 ．D题型二：动点的坐标与面积之间的一次函数关系此类问题的两个难点：一、根据已知直线的解析式表示动点坐标；二、用动点及已知点的坐标来表示所需线段的长度；三、根据动点所处不同位置进行分类讨论．另外，需要注意自变量的取值范围．【例4】已知四条直线3y=-，y=3，x=1所围成的四边形的面积为12，求m的值．y mx=-，1题型三：一次函数与“将军饮马”问题【引例】【引例】【引例】【引例】 已知直线12y x b =+经过点A （4，3），与y 轴交于点B .⑴ 求B 点坐标；⑵ 若点C 是x 轴上一动点，当AC BC +的值最小时，求C 点坐标.【解析】 ⑴ 将点()43A ，代入解析式中，解得1b = ∴()01B ，⑵ 点B 关于x 轴的对称点'B 的坐标为()01-，， 设直线'AB 的解析式为y kx b =+，依题意得341k b b =+⎧⎨-=⎩ 解得11k b =⎧⎨=-⎩∴直线'AB 的解析式为1y x =-，与x 轴的交点即为C 点，坐标为()10，. 【例5】 已知点A （1，2）和B （3，5），试分别求出满足下列条件的点的坐标：⑴在x 轴上找一点C ，使得AC +BC 的值最小； ⑵在y 轴上找一点C ，使得AC +BC 的值最小； ⑶在直线y =x 上找一点C ，使得AC +BC 的值最小；⑷在y 轴、y =x 上各找一点M 、N ，使得AM +MN +NB 的值最小．【例6】 已知直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点()P x y ，在直线6y x =-上运动，且0x >，0y <.⑴根据题意，画出直线122y x =-，直线6y x =-（不写画法）；⑵求四边形AOBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围.题型一 点运动的路程与面积之间的一次函数关系 巩固练习【练习1】如图1，边长为2的正方形AOCD 中，M 是AD 边的中点，点P 从O 出发，按O C D M →→→的顺序运动，设点P 经过的路程为x ，OPM △的面积为y ， ⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式； ⑵ 当 1.5y =时，求P 点的坐标.【练习2】如图1，边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标为()02，，一次函数y x t =+的图象l 随着t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 与正方形的边围成的图形面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（关系式不用化简）.题型二 动点的坐标与面积之间的一次函数关系 巩固练习【练习3】已知一次函数图象经过点()35A ，和点()49B --，两点， ⑴求此一次函数的解析式；⑵若点（a ，2）在该函数的图象上，试求a 的值．⑶若此一次函数的图象与x 轴交点C ，点P (m ，n )是图象上一个动点（不与点C 重合），设△POC 的面积是S ，试求S 关于m 的函数关系式．【练习4】如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别是1=y x 和2=2+6y x -，动点()0P x ，在OB 上运动()03x <<，过点P 作直线m 与x 轴垂直.⑴求点C 的坐标，并回答当x 取何值时12> y y ；⑵设COB △中位于直线m 左侧部分的面积为S ，求出S 与x 之间的函数关系式；⑶当x 为何值时，直线m 平分COB △的面积？题型三 一次函数与“将军饮马”问题 巩固练习【练习5】在平面直角坐标系中，若A 点的坐标是()21，，B 点的坐标是()43，，在x 轴上求一点C ，使得CA CB +最短，则C 点的坐标为 .。
一次函数中的动点问题
一次函数中的动点问题一次函数是学生在初中阶段学习的第一个函数，它是最基础的函数，是初中数学中的重要内容之一．本文例析一次函数中的动点问题，供同学们学习时参考．一、动点与函数问题例1 正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，点P自点D出发沿D→C→B的路径匀速移动（到点B后就停止）．设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，求y与x的函数关系式．解析由于点P的位置有两种可能，可能在DC边上，也可能在边BC上，故应该分两种情况讨论：如图1，当点P在DC边上（0≤x≤4）时，y＝12．AD．DP＝12×4x＝2x；如图2，当点P在BC边上（当4<x≤8）时，y＝12．AD．PQ＝14×4×4＝8．所以y＝() () 2,04 8,48 x xx⎧≤≤⎪⎨<≤⎪⎩二、动点与距离问题例2 如图3，在平面直角坐标系中，点A为直线y＝2x＋3上的一个动点．问当点A运动到何处时，点A到y轴的距离为1，求出点A的坐标．解析根据点A到y轴的距离为1，可以得到点A的横坐标的绝对值等于1．故点A的横坐标等于1或者－1，即x A＝±1．当x A＝1时，代入y＝2x＋3，得到y＝2x1＋3＝5，故点A的坐标为(1，5)；当x A＝－1时，代入y＝2x＋3，得到y＝2×（－1）＋－3＝1，故点A的坐标为（－1，1）．所以点A的坐标为(1，5)或者（－1，1）．三、动点与最值问题例3 如图4，在平面直角坐标系中，A（－3，2），B(2，3)，点M为x轴上的一个动点，当点M运动到x轴上何处时，MA与MB的和最短．解析点A和点B在x轴的同侧，在x轴上的确定点M的位置，根据最短路径问题的思路，想到利用轴对称知识解决问题，作点A（－3，2）关于x轴的对称点A'（－3，－2），连结A'B交x轴于点M，则有MA＋MB＝MA'＋MB＝A'B，根据两点之间线段最短，可以得到此时的MA与MB的和最短．设经过点A'（－3，－2）、B(2，3)的一次函数的关系式为y＝kx＋b．根据题意，得方程组32 23k bk b-+=-⎧⎨+=⎩解得11kb=⎧⎨=⎩，∴y＝x＋1．把y＝0代入y＝x＋1，得x＝－1，所以点M的坐标为（－1，0）．所以，当点M运动到（－1，0）时，MA与MB的和最短．四、动点与面积问题例4 如图5，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点N是直线y＝－2x＋4上的一动点．若AON的面积等于△AOB面积的二分之一，求点N的坐标．所以点N的坐标为(1，2)，（－1，6）．五、动点与不等式问题例5（2013年河北中考题）如图6，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l:y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒，(1)当t＝3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．t＝2时，落在x轴上．六、动点与等腰三角形问题例6（2013龙岩中考题）如图7，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求符合条件的点C的个数．解析如图8，AB的垂直平分线与直线y＝x相交于点C1．∵A(0，2)，B(0，6)，∴AB＝6－2＝4．以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x的交点为C2，C3．∵OB＝6．∴点B到直线y＝x的距离为6=∵，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x没有交点，所以，点C的个数是1＋2＝3．。
一次函数动点问题整理
一次函数动点问题整理 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】1、(06年树人期末，14分) 如图，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC＝14，A（16，0），C（0，2）。
（单位：厘米）若点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s速度由C向B运动，点Q以4cm/s速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动。
设运动时间为t s(0≤t<≤=4)。
(1)求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形；(2)求当t为多少时，直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的面积比为1：2，求出此时直线PQ的解析式；(3)点P、Q为线段BC、AO上任意两点（不与线段BC、AO的端点重合），且四边形OQPC的面积为102cm，试说明直线PO一定经过一定点，并求出定点坐标2、 (07年树人期末，14分) 如图①，在矩形 ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm．点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿 D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒dcm．图②是点P出发x秒后上△APD的面积S1（2cm）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（2cm）与x（秒）的函数关系图象．⑴参照图②，求a、b及图②中c的值；3、⑵求d的值；⑶设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需走的路程为y2（cm），请分别写出动点P、Q改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P、Q相遇时x的值．4、⑷当点Q出发秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm．5、(08年树人期末，14分)1、 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线。
一次函数动点问题含答案
例题1：如图，直线1l 的解析表达式为 ，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．例题2：如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 的面积为个平方单位？当堂巩固：如图，直线 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。
524例题3、如图1，等边△ABC中，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x秒．（图2、图3备用）（1）填空：BQ= ，PB= （用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，PQ∥AC？（3）当x为何值时，△PBQ为直角三角形？一次函数压轴题1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC 。
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．3．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10个（请直接写出结果）；（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标（6，2）；（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．4．已知如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求S△OPA的值；（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF 与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．5．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（）且与直线y=3x平行．将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．1.考点：一次函数综合题。
中考复习函数专题06 一次函数中的动点问题(老师版)
专题06 一次函数中的动点问题知识对接考点一、怎样解一次函数图象的平移问题 1、直线的平移规律（1）直线)0(≠+=k b kx y 可由直线)0(≠=k kx y 向上或向下平移得到，当b>0时，将直线kx y =沿y 轴向上平移b 个单位长度得到直线b kx y +=；当b<0时，将直线kx y =沿y 轴向下平移b 个单位长度得到直线b kx y +=.简而言之，“上加下减”（2）直线)(m x k y +=可由直线kx y =向左或向右平移得到，当m<0时，将直线kx y =沿x 轴向右平移m 个单位长度，可得到直线)(m x k y +=；当>0时，将直线kx y =沿x 轴向左平移m 个单位长度，可得到直线)(m x k y +=，简而言之，“左加右减”（3）一次函数的图象平移，不会改变图象的形状与大小，平移后的图象与原来的图象平行，直线平移后的解析式中，k 的值不变，只有b 的值发生变化.专项训练一、单选题1．一次函数y ＝kx +b 的图象是由函数y ＝2x 的图象向左平移3个单位长度后得到的，则该一次函数的解析式为（ ） A ．y ＝2x +6 B ．y ＝﹣2x +6C ．y ＝2x ﹣6D ．y ＝﹣2x ﹣6【答案】A 【分析】利用一次函数平移规律，左加右减得出答案． 【详解】解：由题意可得：y ＝2（x +3）＝2x +6． 故选：A ． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意平移不影响k 的值是关键．2．若一次函数的y ＝kx +b （k ＜0）图象上有两点A （﹣2，y 1）、B （1，y 2），则下列y 大小关系正确的是（ ） A ．y 1＜y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1≤y 2D ．y 1≥y 2【答案】B首先观察一次函数的x 项的系数，当x 项的系数大于0，则一次函数随着x 的增大而增大，当x 小于0，则一次函数随着x 的减小而增大．因此只需要比较A 、B 点的横坐标即可． 【详解】解：根据一次函数的解析式y ＝kx +b （k <0） 可得此一次函数随着x 的增大而减小 因为A （﹣2，y 1）、B （1，y 2）， 根据-2<1，可得12y y > 故选B ． 【点睛】本题主要考查一次函数的一次项系数的含义，这是必考点，必须熟练掌握．一次函数的x 项的系数，当x 项的系数大于0，则一次函数随着x 的增大而增大，当x 小于0，则一次函数随着x 的增大而减小．3．已知一次函数的图象过点(2,0)和点(1,1)-，则这个函数的解析式为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2y x =-- D ．2y x =--【答案】A 【分析】利用待定系数法即可求得函数的解析式． 【详解】设所求一次函数的解析式为：y =kx +b ，其中k ≠0 ∵直线y =kx +b 的图象过点(2,0)和点(1,1)-∵201k b k b +=⎧⎨+=-⎩ 解得：12k b =⎧⎨=-⎩ ∵y =x －2 故选：A ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，其一般步骤是：设函数解析式y =kx +b ；根据条件得出关于k ，b 的方程组；解方程组；写出函数解析式，可简记为：设，代，解，答． 4．将一次函数1y x =-+的图象向上平移3个单位，则新的一次函数的解析式为（ ） A ．21y x =+ B ．4y x =--C ．4y x =-+D ．41y x =-+【答案】C直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将一次函数1y x =-+的图象向上平移3个单位， 所得的直线解析式为：13y x =-++， 即：4y x =-+， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知函数图像的平移法则是解答此题的关键． 5．定义：对于给定的一次函数y ax b =+（a 、b 为常数，且0a ≠，把形如()()00ax b x y ax b x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩的函数称为一次函数y ax b =+的“相依函数”，已知一次函数1y x =+，若点()2,P m -在这个一次函数的“相依函数”图象上，则m 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【分析】找出一次函数1y x =+的“相依函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m 的值． 【详解】解：一次函数1y x =+的“相依函数”为()()1010x x y x x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩，∵点P （−2，m ）在一次函数的“相依函数”图象上， ∵m ＝−1×（−2）−1＝1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“相依函数”的定义，找出一次函数1y x =+的“相依函数”是解题的关键．6．若把一次函数y ＝kx +b 的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A (4，0)和点B (0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（ ） A ．y ＝﹣12x ﹣1 B ．y ＝﹣12x +1C ．y ＝12x +1D ．y ＝12x ﹣1【答案】C 【分析】设直线AB 的解析式为y =kx +b ，根据题意，得402k b b +=⎧⎨=-⎩，得到直线解析式为y ＝12x -2，将其向左平移2个单位，得到y ＝12x -1，绕着原点旋转180°，得解． 【详解】设直线AB 的解析式为y =kx +b ，根据题意，得402k b b +=⎧⎨=-⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∵直线解析式为y ＝12x -2，将其向左平移2个单位，得y ＝12（x +2）-2， 即y ＝12x -1，∵与y 轴的交点为（0，-1），与x 轴的交点为（2,0）， ∵绕着原点旋转180°，∵新直线与与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（-2,0）， ∵设直线的解析式为y =mx +1， ∵-2m +1=0， 解得m =12， ∵y ＝12x +1， 故选C ． 【点睛】本题考查了一次函数的图像平移，旋转问题，熟练掌握平移规律是解题的关键．7．数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点(3,2)A ，(1,6)B --，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：∵该函数表达式为24y x =-；∵该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；∵点(2,44)P a a -该函数图象上；∵直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】已知一次函数过两个点A （3，2），B （-1，-6），可以用待定系数法求出关系式；根据关系式可以判定一个点（已知坐标）是否在函数的图象上；根据一次函数的增减性，可以判定函数值随自变量的变化情况，当k ＞0，y 随x 的增大而增大；根据关系式可以求出函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标，进而可以求出直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积，最后综合做出结论． 【详解】解：设一次函数表达式为y =kx +b ，将A （3，2），B （-1，-6）代入得：326k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：k =2，b =-4，∵关系式为y =2x -4，故∵正确；由于k =2＞0，y 随x 的增大而增大，故∵正确； 点P （2a ，4a -4），代入，得：2×2a -4=4a -4，∵其坐标满足y =2x -4，因此该点在此函数图象上；故∵正确； 令x =0，则y =-4，令y =0，则x =2，∵直线AB 与x 轴，y 轴的交点分别（2，0），（0，-4），因此与坐标轴围成的三角形的面积为：124482⨯⨯=≠，故∵错误；因此，∵∵∵均正确，∵不正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数关系式，一次函数的性质，一次函数图象的点的坐标特征，以及依据关系式求出函数图象与坐标轴的交点坐标，进而求出三角形的面积等知识点，在解题中渗透选择题的排除法，验证法．8．下列函数关系式：（1）y x =-；（2）1y x =-；（3）1y x=；（4）2y x ，其中一次函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可知：（1）y x =-；（2）1y x =-；是一次函数，（3）1y x=，是反比例函数；（4）2yx ，是二次函数；故一次函数的个数有2个． 故选B ．。
一次函数中的动点运动问题
一次函数中的动点运动问题一次函数中的动点问题一直是难点。
其难度在于:①直线或点的旋转、平移、翻折运动；②因动直线或动点产生的面积问题；③因动点产生的三角形存在性问题。
解法分析：本题的第1问是点的平移，点的平移运动遵循“上加下减，左减右加”；本题的第2问是直线的左右平移，尽管是新的背景，但是直线的平移就是直线上点的平移运动，只要找准直线上的一个点进行平移运动，代入即可；本题的第3问是点的旋转运动，经过的路径长就是以O为圆心，AO为半径，圆心角为90°的弧长；本题的第4问是直线的旋转运动，只要求出直线上的任意两点(一般选与坐标轴的两交点)绕旋转中心旋转后的对应点，即可求出型的直线表达式。
(旋转后构造“一线三直角模型”，即可求出旋转后对应点的坐标)对于直线的左右平移按照以下方法进行：①从直线上任意取一点进行左右平移，得到平移后的点的坐标；②设出平移后的直线表达式；③将平移后的点代入平移后的表达式中，即可求出b，得到新的表达式。
对于平面直角坐标系中点的旋转运动，往往可以通过构造一线三直角模型，借助全等三角形找到对应的等边。
解法分析：本题的第1问和第2问是手拉手旋转型模型，难度不大，围绕旋转角相等，证明▲AOE'≌▲BOF'，即可得到AE'=BF'，AE'⊥BF'。
本题的第3问是求P纵坐标的最大值，这是本题的难点，从动态的角度来看，当P与D'重合时，可以求得点P的纵坐标的最大值。
通过画出图形，进行分析，可以得到此时∠A为30°，以此通过30°-60°-90°直角三角形的性质得到点P的纵坐标。
因动点产生的三角形存在性问题有以下几类：①等腰三角形的存在性问题(设点、利用距离公式，线段相等即可求出点的坐标)；②直角三角形的存在性问题(设点，利用距离公式和勾股定理求出点的坐标)；③等腰直角三角形的存在性问题(根据题意画出图形，利用等腰直角三角形的性质求出点的坐标)。
一次函数之动点问题(word文档良心出品)
一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s =vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为 t 秒．（1）求OA ，OB 的长．（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．y xOBA2. 如图，直线=3+43y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与x 轴交于点C ，∠ABC =60°．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 运动（点P 不与点A ，C 重合），同时动点Q 从点C 出发沿折线CB —BA 向点A 运动（点Q 不与点A ，C 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． （3）当t =4时，y 轴上是否存在一点M ，使得以A ，Q ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．C ABOxy CABOxy3. 如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C三点的坐标分别为A (8，0)，B (8，11)，C (0，5)，点D 为线段BC 的中点．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA —AB —BD 的路线运动，至点D 停止，设运动时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式．（2）若动点P 在线段OA 上运动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的14？（3）在动点P 的运动过程中，设△OPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．P DCxA OByyBO A xCD4. 如图，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与直线33y x =交于点P ． （1）求点P 的坐标． （2）求△OP A 的面积．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．PFE xA OB y5. 如图，直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，平行于直线l的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，设运动时间为t 秒（0< t <4）． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重 叠部分的面积为S 2，试探究S 2与t 之间的函数关系式．xy OABm l PM N【参考答案】1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）343y x =-+（2）223(04)2343(48)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤（3）123(0438)(0438)(043)M M M -+-，或，或，443(0)3M 或，3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(33)P ， （2）23（3）223(03)653163243(34)2tt S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤5．（1）(40)(04)A B ，,，（2）2112S t =（3）2221(02)2388(24)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤。
一次函数动点问题(整理好的)
龙文教育学科教师辅导讲义学生： 科目： 数学 第 阶段第 次课 教师：课 题一次函数的应用——动点问题教学目标1．学会结合几何图形的性质，在平面直角坐标系中列函数关系式。
2．通过对几何图形的探究活动和对例题的分析，感悟探究动点问题列函数关系式的方法，提高解决问题的能力。
重点、难点理解在平面直角坐标系中，动点问题列函数关系式的方法。
教学内容例题1：已知：在平面直角坐标系中，点Q 的坐标为（4，0），点P 是直线y=-21x+3上在第一象限内的一动点，设△OPQ 的面积为s 。
（1）设点P 的坐标为（x ，y ），问s 是y 的什么函数，并求这个函数的定义域。
（2）设点P 的坐标为（x ，y ），问s 是x 的什么函数，并求这个函数的定义域。
（3）当点P 的坐标为何值时，△OPQ 的面积等于直线y=-21x+3与坐标轴围成三角形面积的一半。
练习：已知：在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（6，0），另有一动点B 的坐标为（x ，y ），点B 在第一象限，且点B 的横纵坐标之和为8，设△OAB 的面积为s ，求：（1）s 与点B 的横纵坐标x 之间的函数关系式，并写出定义域。
（2）当△OAB 的面积为20时，求B 点的坐标。
例题2：在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 移动, 当点P 运动到点B 时，点Q 也随之停止。
如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设△PAD 的面积为s ，运动时间为t ，求s 与t 的函数关系式？运动到何时△PBQ 为等腰三角形？例题3：如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．例题4： 如图,以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴,点O 为坐标原点,使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动,点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发，运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止.① 点A 坐标为_____________，P 、Q 两点相遇时交点的坐标为________________;② 当t =2时，S =△OPQ ____________;当t =3时，OPQ S =△____________;③ 设△OPQ 的面积为S ，试求S 关于t 的函数关系式;例题5如图，M 是边长为4的正方形AD 边的中点，动点P 自A 点起，由A B C D →→→匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成的面积为y ，点P 运动的路程为x ，请解答下列问题：（1）当1x =时，求y 的值；（2）就下列各种情况，求y 与x 之间的函数关系式；①04x ≤≤；②48x <≤；③812x <≤；（3）在给出的直角坐标系中，画出（2）中函数的图象．例题6如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，但是点P 不与点0、点A 重合．连结CP ， D 点是线段AB 上一点，连PD.(1)求点B 的坐标；(2)当点P 运动到什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；x yO A B x y O AB x yO A B25.（14分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰PRQ 中，∠QPR=120︒,底边QR=6cm,点B 、C 、Q 、R 在同一直线L 上，且C 、Q 两点重合，如果等腰PQR 以1cm/s的速度沿直线L 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰PQR重合部分的面积记为S 平方厘米（1）当t=4时，求S 的值（2）当4≤t ≤10,求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值。
一次函数动点问题精品(难)
B
C
G
【例 10】如图 1，直线 y x 4 与两坐标轴分别相交于 A、B 点，点 M 是线段 AB 上任意 ，过 M 分别作 MC OA于点C ， MD OB于D ． 一点（ A、B 两点除外） ⑴当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理 由； ⑵当点 M 运动到什么位置时，四边形 OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ ⑶当四边形 OCMD 为正方形时，将四边形 OCMD 沿着 x y 轴的正方向移动，设平移的距离为 a 0＜a＜4 ，正方形 OCMD 与 △ AOB 重叠部分的面积为 S ． B D M
O
C 图 1
A
x
【例 11】已知：如图，直线 y 3x 4 3 与 x 轴交于点 A ，与直线 y 3 x 相交于点 P ． ⑴求点 P 的坐标． ⑵请判断 OPA 的形状并说明理由． ⑶动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 O → P → A 的路线向点 A 匀 ，过点 E 分别作 EF x 轴于 F ， EB y 轴于 B ．设 速运动（ E 与点 O 、 A 重合） 运动 t 秒时，矩形 EBOF 与 OPA 重叠部分的面 y 积为 S ．求： ① S 与 t 之间的函数关系式． ②当 t 为何值时， S 最大，并求 S 的最大值．
y B
N
O
M 图①
A
x
【例 4】如图，直角梯形 OABC 中， AB ∥ OC ， O 为坐标原点，点 A 在 y 轴正半轴上， 动 点 C 在 x 轴正半轴上，点 B 坐标为 2 ，2 3 ，BCO 60 ，OH BC 于点 H ． 点 P 从点 H 出发，沿线段 HO 向点 O 运动，动点 Q 从点 O 出发，沿线段 OA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度．设点 P 运动的时间为 t 秒． ⑴求 OH 的长； y ． 求 S 与 t 之间的 ⑵若 △OPQ 的面积为 S （平方单位） A B 函数关系式．并求 t 为何值时，△OPQ 的面积最大，最 大值是多少？ H Q M ⑶设 PQ 与 OB 交于点 M ． P ①当 △OPM 为等腰三角形时，求⑵中 S 的值； x C ②探究线段 OM 长度的最大值是多少，直接写出结论． O
一次函数动点问题 精心总结版
11、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯， 解得803x =秒．∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇2解（1）A （8，0）B （0，6）（2）86OA OB == ，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==， 2S t =当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ （3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 2 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．xAO QP B y23.（2010年金华） 如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动． 请解答下列问题：（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合； （3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为 菱形，则t 的值是多少？② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）333+-=x y ；（2）（0,3），29=t（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1）∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒又∵t FG OE 33==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== BFAP E O xy l(第24题(图1) BFP Ey M P′ H3而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 32=-= 由t t 323=-得 59=t ； 当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2）∵t OE 33=,∴t BE 3333-=,∴3360tan 0t BE EF -==∴6921tEF EH MP -===， 又∵)6(2-=t BP 在Rt △BMP 中，MP BP =⋅060cos 即6921)6(2t t -=⋅-，解得745=t ②存在﹒理由如下：∵2=t ，∴332=OE ,2=AP ，1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到 △EC B '（如图3）∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上， C 点坐标为（332，332－1） 过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q , 则△FEQ ∽△EC B '由3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－32，33） 根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－32，3）也符合条件 9．（2010，浙江义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ ▲ °，猜想∠QFC ＝ ▲ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．第9题【答案】（1）=∠EBF 30°.QFC ∠＝ 60° （2）QFC ∠＝60°不妨设BP ＞3AB , 如图1所示∵∠BAP ＝∠BAE+∠EAP ＝60°+∠EAP ∠EAQ ＝∠QAP+∠EAP ＝60°+∠EAP ∴∠BAP ＝∠EAQ在△ABP 和△AEQ 中 AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ， AP ＝AQ ∴△ABP ≌△AEQ （SAS ） ∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∴QFC ∠＝∠EBF +∠BEF ＝30°+30°＝60° (事实上当BP ≤3AB 时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3) 在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G∵△ABE 是等边三角形 ∴BE ＝AB ＝32，由（1）得=∠EBF 30°A BE QPFC图1ACBEQF P yBF AP E OxQ′B′ Q CC 1D 1 (图3)4在Rt △BGF 中，32BE BG == ∴BF ＝2cos30BG=︒∴EF ＝2 ∵△ABP ≌△AEQ ∴QE ＝BP ＝x ∴QF ＝QE ＋EF 2x =+过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H 在Rt △QHF 中，3sin 60(2)2y QH QF x ==︒=+ （x ＞0）即y 关于x 的函数关系式是：332y x =+11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭， （Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',则B CD BCD '△≌△.由题设OB x OC y '==，，则4B C B C O B O C y'==-=-， 在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤， ∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求. 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小y ∴的取值范围为322y ≤≤.（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．x yBO A xyBy B5（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠ ，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB''=，得2OC OB ''=. 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+， 解得0008450845x x x =-±>∴=-+ ．，.∴点C 的坐标为()08516-，.。
(完整版)八年级《一次函数动点问题》
一次函数动点问题的典例分析1、已知如图，直线与x 轴相交于点A ，与直线相交于点P 。
（1）求点P 的坐标； （2）求的值；（3）动点E 从原点O 出发，沿着O-P-A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B 。
设运动t 秒时，F 的坐标为（a ，0），矩形EBOF 与重叠部分的面积为S 。
求S 与a 之间的函数关系式。
OyxB FE A POyxB FEA P2、如图，在平面直角坐标系内，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点。
（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标。
3、如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60︒,E为CD边的中点，点P从点A开始沿AC方向2cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点以每秒3P到达点C时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为x秒。
当点P在线段AO上运动时，（1）请用含x的代数式表示OP的长度；（2）若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）。
4、如图，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与原点重合，对角线BD 所在直线的函数关系式为x y 43=，AD=8，矩形ABCD 沿DB 方向以每秒1个单位长度运动，同时点P 从点A 出发做匀速运动，沿矩形ABCD 的边经过点B 到达点C ，用了14（1）求矩形ABCD 的周长；（2）如图所示，图形运动到第5秒时，求点D 的坐标；（3）设矩形运动的时间为t ，当60≤≤t 时，点P 所经过的路线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式。
5、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 从A 点出发，沿A —B —C —D 的路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D —C —B —A 运动，到A 点停止。
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11、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯， 解得803x =秒．∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵∴经过803秒点P 与8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，点Q 第一次在边AB 上相遇 2解（1）A （8，0）B （0，6）（2）86OA OB ==，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒）当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==， 2S t =当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 2 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．x AO Q PB y23.（2010年金华） 如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，3.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为13 2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动． 请解答下列问题：（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合； （3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为菱形，则t 的值是多少？② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）333+-=x y ；（2）（0,3），29=t（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，3G 为垂足（如图1）∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒又∵t FG OE 33==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== 而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 32=-= 由t t 323=-得 59=t ；当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2） ∵t OE 33=,∴t BE 3333-=,∴360tan 0t BE EF =∴6921tEF EH MP -===， 又∵)6(2-=t BP 在Rt △BMP 中，MP BP =⋅060cos即6921)6(2tt -=⋅-，解得745=t②存在﹒理由如下：∵2=t ，∴332=OE ,2=AP ，1=OP将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△EC B '（如图3）∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上， C 点坐标为（332，332－1） 过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q ,则△FEQ ∽△EC B '由3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－32，33） 根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－32，3）也符合条件9．（2010，浙江义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ ▲ °，猜想∠QFC ＝ ▲ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．第9题【答案】（1）=∠EBF 30°.QFC ∠＝ 60° （2）QFC ∠＝60°不妨设BP 3AB , 如图1所示∵∠BAP ＝∠BAE+∠EAP ＝60°+∠EAP ∠EAQ ＝∠QAP+∠EAP ＝60°+∠EAP ∴∠BAP ＝∠EAQ在△ABP 和△AEQ 中 AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ， AP ＝AQ ∴△ABP ≌△AEQ （SAS ） ∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∴QFC ∠＝∠EBF +∠BEF ＝30°+30°＝60°(事实上当BP 3AB 时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3) 在图1中，过点F 作FG ⊥ABEQPFC图1ACBEQF P (图1) y BFA PE O xyM P′H （图2)BFAPEO xQ′B′ QC C 1D 14BE 于点G∵△ABE 是等边三角形∴BE ＝AB ＝32，由（1）得=∠EBF 30°在Rt △BGF 中，32BE BG== ∴BF ＝2cos30BG=︒∴EF ＝2 ∵△ABP ≌△AEQ ∴QE ＝BP ＝x ∴QF ＝QE ＋EF 2x =+过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H在Rt △QHF 中，3sin 60(2)2y QH QF x ==︒=+（x ＞0） 即y 关于x 的函数关系式是：332y x =+11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠==°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标； 解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围； （Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△.由题设OB x OC y '==，，则B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+， 即2128y x =-+ 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤， ∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤.（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标． （Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥.则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. y BO Ay By BO A5Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB''=，得2OC OB ''=. 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C的坐标为()016.。