实际问题与二次函数(利润问题)[优质PPT]
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实际问题与二次函数商品利润课件
提高商品售价或降低 成本。
商品利润的影响因素
01
02
03
04
市场需求
市场需求增加，销售收入相应 增加，从而商品利润也增加。
生产成本
生产成本降低，成本减少，商 品利润增加。
销售策略
采用有效的销售策略，如促销 活动、折扣等，可以增加销售 量，提高商品利润。
竞争环境
市场竞争激烈，价格战可能导 致商品利润下降。
在考虑市场需求和竞争因素时，二次函数模型能够 更好地反映实际情况，有助于企业做出更明智的决策。
二次函数在其他领域的应用前景
在金融领域，二次函数可应用 于投资组合优化问题，通过最 小化方差或最大化收益来制定 最佳投资策略。
在物理学中，二次函数可用于 描述物体运动轨迹、行星运动 等。
在工程领域，二次函数可用于 解决各种实际问题，如车辆行 驶阻力、飞机起飞距离等。
确定变量
商品利润通常受到商品价格、成本、市场需求等因 素的影响，需要确定哪些因素作为自变量，哪些作 为因变量。
建立数学模型
根据商品利润与各因素之间的关系，建立二次函数 模型。
确定参数
根据实际情况，确定函数中的各项参数。
利用二次函数求极 值
80%
找到极值点
通过导数求出二次函数的极值点。
100%
计算极值
利用二次函数优化商品利润
确定最佳销售价格
根据二次函数表示的商品利润，可以确定最佳的销售价格，以实现最大利润。
考虑其他因素
除了价格和销售量，还需要考虑其他因素对商品利润的影响，如成本、市场竞 争、税收等。通过对这些因素的全面分析，可以更准确地预测和优化商品利润。
04
利用二次函数解决商品利润问题
二次函数的实际应用商业利润问题课件
降价也是一种促销的手段.请你对问题中的 降价情况作出解答.
二次函数的实际应用商业利润问题课件
若设每件降价x元时的总利润为y元
y=(60-40-x)(300+20x) =(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000
当 x 1005时y最 ，大 6值 125 2(2)02
定价:60562.（ 5 元） 2
(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润? 如果是,说明理由,如果不是,请求出最大利润, 此时篮球的售价应定为多少元?
二次函数的实际应用商业利润问题课件
小结
1.正确理解利润问题中几个量之间的关系 2.当利润的值时已知的常数时，问题通过 方程来解；当利润为变量时，问题通过函 数关系来求解.
二次函数的实际应用商业利润问题课件
二次函数的实际应用商业利润问题课件
有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克， 放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后 每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天 需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去， 假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放 养期间蟹的重量不变）.
二次函数的实际应用商业利润问题课件
（1）设此一次函数解析式为 ykxb。
1分
15k b 25 则 20k b 20
解得：k=－1，b＝40。
5分
所以一次函数解析为 yx40。
6分
（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润
为 w 元。则
7分
wx10 x40 x25x0400
x25 2225
利润 8000
请继续完成.
二次函数的实际应用商业利润问题课件
二次函数的实际应用商业利润问题课件
若设每件降价x元时的总利润为y元
y=(60-40-x)(300+20x) =(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000
当 x 1005时y最 ，大 6值 125 2(2)02
定价:60562.（ 5 元） 2
(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润? 如果是,说明理由,如果不是,请求出最大利润, 此时篮球的售价应定为多少元?
二次函数的实际应用商业利润问题课件
小结
1.正确理解利润问题中几个量之间的关系 2.当利润的值时已知的常数时，问题通过 方程来解；当利润为变量时，问题通过函 数关系来求解.
二次函数的实际应用商业利润问题课件
二次函数的实际应用商业利润问题课件
有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克， 放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后 每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天 需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去， 假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放 养期间蟹的重量不变）.
二次函数的实际应用商业利润问题课件
（1）设此一次函数解析式为 ykxb。
1分
15k b 25 则 20k b 20
解得：k=－1，b＝40。
5分
所以一次函数解析为 yx40。
6分
（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润
为 w 元。则
7分
wx10 x40 x25x0400
x25 2225
利润 8000
请继续完成.
二次函数的实际应用商业利润问题课件
实际问题与二次函数(二)-商品利润最大问题(课件)-2022-2023学年九年级数学上册(人教版)
解：(1)设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.则每星期少卖_____
没调整价格之前的
(60+x)(300-10x)
(300-10x)
件，实际卖出_________件，销售额为_______________元，买进商品需付
6000
利润是_____元.
40(300-10x)
(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
为260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方
式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每降低10元时，月销售量就会增加
7.5吨.综合考虑各种因素,每出售一吨建筑材料共需支付厂家和其他费用100
元.设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元).
(4)小静说:“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.
(2)降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现
在的销售情况Biblioteka 你知道应如何定价能使利润最大了吗？
当定价为65元时，能使利润最大，
最大利润是6250元.
例1.某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件
需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）
(2,-7)
2
1.二次函数y=2x2-8x+1图象的顶点坐标是________，当x=____时，y的最小
-7
值为____.
2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润y(元)与旅行团人数x(人)
没调整价格之前的
(60+x)(300-10x)
(300-10x)
件，实际卖出_________件，销售额为_______________元，买进商品需付
6000
利润是_____元.
40(300-10x)
(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
为260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方
式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每降低10元时，月销售量就会增加
7.5吨.综合考虑各种因素,每出售一吨建筑材料共需支付厂家和其他费用100
元.设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元).
(4)小静说:“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.
(2)降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现
在的销售情况Biblioteka 你知道应如何定价能使利润最大了吗？
当定价为65元时，能使利润最大，
最大利润是6250元.
例1.某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件
需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）
(2,-7)
2
1.二次函数y=2x2-8x+1图象的顶点坐标是________，当x=____时，y的最小
-7
值为____.
2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润y(元)与旅行团人数x(人)
人教版数学九年级上册实际问题与二次函数——利润最大(小)值问题课件
即房价为180+170=350时，利润 y 有最大值。
分析题目的两个变量
解：设房租涨价10x元，则利润为y元，
y写 出(18函0 数10关x)系(50式 x) 20(50 x) (0 x 5写0)出等量关系
利润=房价×入住数量—支出
9000180x 500x 10x2 1000 20x
三、总结提升
实际问题
目 标
实际问题 的答案
归纳
二次函数
抽象
y ax2 bx c
图象 性质
利用二次函数的 图像和性质求解
变式1 原条件不变，旅游局为了促进低碳 环保，规定宾馆空房率不能超过20%，房 价定为多少的时候，利润最大？
y (18010x)(50 x) 20(50 x) (0 x 10) y
本题是以文字信息情势出现，求最大 利润的实际应用问题，要抓住题目中的关 键词来审题，对信息进行梳理、分析 。
二、解题过程
问题一：题目研究的是哪两个变量的关系？ （利润随房价的变化而变化）
问题二：能根据题意列出等量关系吗？
（利润=房价×入住数量—支出） 问题三：等量关系中各数据关系是什么？
房价=180+涨价 入住数量=涨10元空一间 支出=20 ×入住数量
x 设涨价 元，利润为 y 元.
y (180 x)(50 x ) 20(50 x ) 0 x 50
10
10
9000 1 x2 32x 1000 2x
1
10
x2 34x 8000
10
当 x b 34 170 时，利润y 有最大值。
2a 2 ( 1 ) 10
一、题目分析
四、自我评价
1、数学教育要使学生掌握现代生活和学习中 所需要的数学知识与技能。题目的解决体现 了知识对日常生活的重大作用，学生对数学 知识实用性的有更深一层认识。
22.3 实际问题与二次函数(商品利润问题)课件人教版数学九年级上册
巩固练习
该怎么解这个题 目呢？
本题是以文字信息形式出现的求最大总收入的 实际应用问题，解题时要抓住题目中关键词语， 对信息进行梳理，分析，建立二次函数模型。
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑 单件利润就可以，故 20-x≥0，且x≥0, 因此自变量的取值范围是 0≤x≤20.
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
③降价多少元时，利润y最大，是多少？ 即：y=-20x2+100x+6000，
复习回顾
利润问题 一.几个量之间的关系. 1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量 2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价 3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量 二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
新课导入
某商店经营衬衫，已知获利以y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式y=x2+24x+2956，则此店销售单价定为多少时，获利多少？最多获利多少？
巩固练习
解析 总利润=单件产品利润×销售教量
解：（1）获利(30-20）[105-5（30-25）]=800（元)。 (2)设售价为每件x元时一个月的获利为y元。 由题意得y=（x-20）［105-5（x-25）］ =-5x2+330x-4600 =-5（x-33）2+845 当x=33时，y的最大值是845. 故当售价定为每件33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。
新课导入
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大铸量等问题，解此类题的关健 是通过题意，找出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围。
二次函数的实际应用利润问题 ppt课件
设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
y x 8 0 10 x 0 30
10x2110x0
10x55 2302. 50
二次函数的实际应用利润问题
20
某宾馆有50个房间供游客居住，当每个 房间的定价为每天180元时，房间会全部住 满。当每个房间每天的定价每增加10元时， 就会有一个房间空闲。如果游客居住房间， 宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用. 房价定为多少时，宾馆利润最大？
二次函数的实际应用利润问题
9
小结
1.正确理解利润问题中几个量之间的关系
2.当利润的值时已知的常数时，问题通过 方程来解；当利润为变量时，问题通过函 数关系来求解.
二次函数的实际应用利润问题
10
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
部分，这条抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐
标的横坐标时，这个函
数有最大值。由公式可
30
以求出顶点的横坐标. x \ 元 二次函数的实际应用利润问题
13
做一做
在降价的情况下，最大利润是多少？ 请你参考（1）的过程得出答案。
解：设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元
Y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)
Y=-1/10x2+34x+8000
二次函数的实际应用利润问题
21
（三）销售问题
1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出2件。
y x 8 0 10 x 0 30
10x2110x0
10x55 2302. 50
二次函数的实际应用利润问题
20
某宾馆有50个房间供游客居住，当每个 房间的定价为每天180元时，房间会全部住 满。当每个房间每天的定价每增加10元时， 就会有一个房间空闲。如果游客居住房间， 宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用. 房价定为多少时，宾馆利润最大？
二次函数的实际应用利润问题
9
小结
1.正确理解利润问题中几个量之间的关系
2.当利润的值时已知的常数时，问题通过 方程来解；当利润为变量时，问题通过函 数关系来求解.
二次函数的实际应用利润问题
10
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
部分，这条抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐
标的横坐标时，这个函
数有最大值。由公式可
30
以求出顶点的横坐标. x \ 元 二次函数的实际应用利润问题
13
做一做
在降价的情况下，最大利润是多少？ 请你参考（1）的过程得出答案。
解：设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元
Y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)
Y=-1/10x2+34x+8000
二次函数的实际应用利润问题
21
（三）销售问题
1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出2件。
22.3 实际问题与二次函数第2课时 二次函数与商品利润PPT课件(人教版)
(1)李明在开始创业的第1个月将销售单价定为20元，那么政府这 个月为他承担的总差价为多少元？
(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可 获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李 明想要每月获得利润不低于3000元，那么政府每个月为他承担的总 差价最少为多少元？
时，y有最大值2500，∴将售价定为125元，销售利润最大，最
大销售利润是2500元
8．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租 出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每床每晚 收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方 法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( 46 )
解：(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝300，∴政府这个月为他承 担的总差价为300×(12－10)＝600(元)
(2)依题意，得w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10(x－30)2＋4000. ∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000.即当销售单价定 为30元时，每月可获得最大利润4000元 (3)由题意，得－10x2＋600x－5000＝3000，解得x1＝20，x2＝40， 结合图象可知，当20≤x≤40时，w≥3000，又∵x≤25，∴当20≤x≤25 时 ， w≥3000. 设 政 府 每 个 月 为 他 承 担 的 总 差 价 为 P 元 ， ∴ P ＝ (12 － 10)(－10x＋500)＝－20x＋1000.∵－20＜0，P随着x的增大而减小， ∴当x＝25时，P有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月 为他承担的总差价最少为500元
11．心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的 时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)， y值越大，表示接受能力越强．
(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可 获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李 明想要每月获得利润不低于3000元，那么政府每个月为他承担的总 差价最少为多少元？
时，y有最大值2500，∴将售价定为125元，销售利润最大，最
大销售利润是2500元
8．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租 出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每床每晚 收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方 法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( 46 )
解：(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝300，∴政府这个月为他承 担的总差价为300×(12－10)＝600(元)
(2)依题意，得w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10(x－30)2＋4000. ∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000.即当销售单价定 为30元时，每月可获得最大利润4000元 (3)由题意，得－10x2＋600x－5000＝3000，解得x1＝20，x2＝40， 结合图象可知，当20≤x≤40时，w≥3000，又∵x≤25，∴当20≤x≤25 时 ， w≥3000. 设 政 府 每 个 月 为 他 承 担 的 总 差 价 为 P 元 ， ∴ P ＝ (12 － 10)(－10x＋500)＝－20x＋1000.∵－20＜0，P随着x的增大而减小， ∴当x＝25时，P有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月 为他承担的总差价最少为500元
11．心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的 时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)， y值越大，表示接受能力越强．
最新人教版初中数学九年级上册《实际问题与二次函数(第2课时商品销售最大利润问题)》优质教学课件
故300 − 10 ≥ 0，且 ≥ 0,因此自变量的取值范围是0 ≤ ≤ 30.
（3）涨价多少元时利润最大，最大利润是多少？
= −102 + 100 + 6 000，
当 = −
100
2× −10
= 5时, = −10 × 52 + 100 × 5 + 6 000 = 6 250.
模型，相信所有的题目都万变不
离其宗。
谢谢聆
听
单件利润（元） 销售量（件）
正常销售
涨价销售
20
+
每星期利润（元）
300
6000
−
( + )( − )
建立函数关系式： = (20 + )(300 − 10),
即 = −102 + 100 + 6000.
（2）如何确定自变量x的取值范围？
通常价格上涨，则销量下降，因此只考虑销售量即可，
当 =−
=
时，二次函数
−
.
= + + 有最小（大）值
新课导入
日常生活中到处可以
用到数学知识，商品
买卖过程中，商家追
求的目标往往是利润
的最大化.
如果你是商场经理，
如何定价才能使商场
获得最大利润呢？
知识讲解
商品利润最大问题
问题
商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
y
解：(1)由图象可得函数图象过点（5，0），（7，16），
代入得 = −2 + 20 − 75.
《实际问题与二次函数(2)最大利润问题》课件
100 20
∵－10＜0，∴当x=
y\元
=5时，即定价为65元时，
可以看出，这个函数的图像是 一条抛物线的一部分，这条抛 物线的顶点是函数图像的最高 点，也就是说当x取顶点坐标 的横坐标时，这个函数有最大 值。由公式可以求出顶点的横 坐标.
y最大值=－250+500+6000=6250（元）。
利润求法
每件利润=售价-进价. 总利润=每件利润×销售数量.
总利润=销售额－成本
问题探究
解法1：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元， 则
y =(60+x)(300－10x)－40(300－10x）
【或y=(60+x－40)(300－10x）】
即y=－10x2+100x+6000，其中0≤x≤30.
能力挑战
例（2013山东青岛，22，12分） 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶 段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件；销 售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元） 与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ （3）商场的营销都结合上述情况，提出了A、B两种营销方 案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为 25元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
• 学习目标： 能够分析和表示实际问题中，变量之间的二次函数关 系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大 （小）值． • 学习重点： 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问 题的方法．
∵－10＜0，∴当x=
y\元
=5时，即定价为65元时，
可以看出，这个函数的图像是 一条抛物线的一部分，这条抛 物线的顶点是函数图像的最高 点，也就是说当x取顶点坐标 的横坐标时，这个函数有最大 值。由公式可以求出顶点的横 坐标.
y最大值=－250+500+6000=6250（元）。
利润求法
每件利润=售价-进价. 总利润=每件利润×销售数量.
总利润=销售额－成本
问题探究
解法1：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元， 则
y =(60+x)(300－10x)－40(300－10x）
【或y=(60+x－40)(300－10x）】
即y=－10x2+100x+6000，其中0≤x≤30.
能力挑战
例（2013山东青岛，22，12分） 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶 段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件；销 售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元） 与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ （3）商场的营销都结合上述情况，提出了A、B两种营销方 案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为 25元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
• 学习目标： 能够分析和表示实际问题中，变量之间的二次函数关 系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大 （小）值． • 学习重点： 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问 题的方法．
人教版九年级数学上册2实际问题与二次函数最大利润问题课件--2023学年
知识点1
例 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反应：
每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，
已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 元，填空：
单件利润（元）
10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当 x
100
5 时，y=-10×52+100×5+6000=6250.
2 (10)
即定价 65 元时，最大利润是 6250 元.
新知探究
知识点1
利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
新知探究
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么
一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的降落，
即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件. 那么，涨价多少元时，
一个月内利润最大，最大利润是多少？
综合涨价和降价两种情况可知，定价 65 元时，利润最大.
新知探究
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
（2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
综上可知：
该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
新知探究
知识点1
求解最大利润问题时，要熟练掌握利润问题中相关数量的意义以及常用的
数量关系.审清题意，根据具体问题，建立函数关系式，解决实际问题.
例 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反应：
每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，
已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 元，填空：
单件利润（元）
10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当 x
100
5 时，y=-10×52+100×5+6000=6250.
2 (10)
即定价 65 元时，最大利润是 6250 元.
新知探究
知识点1
利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
新知探究
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么
一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的降落，
即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件. 那么，涨价多少元时，
一个月内利润最大，最大利润是多少？
综合涨价和降价两种情况可知，定价 65 元时，利润最大.
新知探究
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
（2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
综上可知：
该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
新知探究
知识点1
求解最大利润问题时，要熟练掌握利润问题中相关数量的意义以及常用的
数量关系.审清题意，根据具体问题，建立函数关系式，解决实际问题.
22.3.1实际问题与二次函数(1)利润
值，是 1 .
问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值. 矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 (60 ml)，场地的面积: S=l(30-l) 即(0S<=l-<l23+030)l
怎样确定x
的取值范 围
即y=-10（x-5）2+6250(0≤x≤30)
∴当x=5时，y最大值=6250
也可以这样求极值
x
b 2a
5时，y最大值
10 52
100
5
6000
6250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的图
段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则
这两个正方形面积之和的最小值是
25 2
或12.5
cm2．
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : ➢求出函数解析式和自变量的取值范围
➢配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
➢检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
2
请同学们画出此函数的图象
s 可以看出，这个函数的图
象是一条抛物线的一部分，
这条抛物线的顶点是函数
200
图象的最高点，也就是说， 100
当l取顶点的横坐标时，这
个函数有最大值.
因此，当l b 30 15时 2a 2 (1)
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请大家带着以下几个问题读题:
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
(0≤x≤30)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x-600)
程 .
问题1 某商品现在的售价是每件60元，每星期可 卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每 涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价 为每件40元，要想获得6000元的利润，该商品应 定价为多少元？
设销售单价x元，每件商品的利润为 (x-40)
元，每周的销售量[为300-10(x-60)] 件，一周(x-的40利)[润30为0-10(x-60)] 元，获得6000元(x利-4润0)[可30列0-方10(x-60)]=6000 程
=-10［(x-5)2-25-600］
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.
解：设降价x元时利润为y元，根据题意得：
y=(60-x-40) ) (300+20x) (0≤X≤20)
=(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法 或通过配方求出二次函数的最大值或最小 值。
例题变式 进价为每件40元商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星 期少卖出10件；若试销期间获利不得低于40%又不得高于 60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最 大利润是多少？
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.
问题2. 某商品现在的售价是每件60元，每星
期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价 格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已 知商品的进价为每件40元.该商品定价为多少 元时，商场能获得最大利润？
涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价
为每件40元，要想获得6000元的利润，该商品应
定价为多少元？
若涨价x元，每件商品的利润（为60+x-40） 元每周的销售量为(300-10x) 件，(6一0周+x的-4利0)润(为300-10x) 元，获得600(06元0利+x润-4可0列) (方300-10x)=6000
解：设定价x元获得利润y元，根据题意得：
y=(x-40) )[300-10(x-60)] (60≤X≤90) =-10x2+1300x-36000 =-10(x-65)2+6250
当x=65时，y的最大值是6250，
即：当定价为65元时，可获得最大利润为6250元.
例1：某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出300件.市场 调查反映：每涨价1元，每星期要 少卖出10件；每降价1元，每星期 可多卖出20件.已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润 最大？
由(1)(2)的讨论及现在 的销售情况,你知道应
=-20(x-2.5)2+6125
该如何定价能使利润 最大了吗?
当x=2.5时，y的最大值是6125.
即：定价为60-2.5=57.5时利润最大为6125元.
综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变 量的实际意义，确定自变量的取值范围；
拓展延伸
某超市经销一种成本为每件40元的商品．据市 场调查，如果按每件50元销售，一周能售出500件； 若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销 售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y件.
(1)写出y与x的函数关系式(写出x的取值范围) (2)设一周的销售利润为S，求出销售利润为S的最大 值； (3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下， 使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
.
问题2. 某商品现在的售价是每件60元，每星
期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价 格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已 知商品的进价为每件40元.该商品定价为多少 元时，商场能获得最大利润？
解：设涨价x元获得利润y元，根据题意得：
y=(60+x-40) (300-10x) (0≤X≤30) =-10x2+100x+6000 用顶点坐标公式解 =-10(x-5)2+6250
十一月份每台售价降低100元，结果比十月份多 售出10台，则销售每台电脑的利润为 500元 ， 十一月份的利润为 500(m+10)元 .
销售问题常用数量关系：
每件产品的利润=售价-进价
销售总利润=每件产品的利润×销售数量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题1 某商品现在的售价是每件60元，每星期可
卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每
26.3实际问题与二次函数
如何获得最大利润问题
1.掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方 法，并会应用函数关系式求利润的最值； 2.会应用二次函数的性质解决实际问题.
某种品牌的电脑进价为3000元，售价3600元. 十 月份售出m台，则每台电脑的利润为 600元 ， 十月份的利润为 600m元 .
解：设商品售价为x元，获得利润为y元，根据 题意得：
y=(x-40)[300-10(x-60)]
=(x-40)(900-10x) =-10x2+1300x-36000 =-10(x-65)2+6250
∵ 40(1＋40%)≤x≤40(1＋60%) 即56≤x≤64 ∴由函数增减性可知当x=64时y最大,最大值为 6240元
解： （1）y=500－10(x－50)
=1000-10x (5（0≤2）x≤S=1(0x0－) 40)(1000-10x)
=－10x2＋1400x-40000 =－10(x－70)2+9000
∴当x=70时，S有最大值为9000 即：
单价为70元时获得最大利润为9000元.
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况 下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应 定为多少？ 解：（3）－10x2＋1400x-40000=8000
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
(0≤x≤30)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x-600)
程 .
问题1 某商品现在的售价是每件60元，每星期可 卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每 涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价 为每件40元，要想获得6000元的利润，该商品应 定价为多少元？
设销售单价x元，每件商品的利润为 (x-40)
元，每周的销售量[为300-10(x-60)] 件，一周(x-的40利)[润30为0-10(x-60)] 元，获得6000元(x利-4润0)[可30列0-方10(x-60)]=6000 程
=-10［(x-5)2-25-600］
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.
解：设降价x元时利润为y元，根据题意得：
y=(60-x-40) ) (300+20x) (0≤X≤20)
=(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法 或通过配方求出二次函数的最大值或最小 值。
例题变式 进价为每件40元商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星 期少卖出10件；若试销期间获利不得低于40%又不得高于 60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最 大利润是多少？
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.
问题2. 某商品现在的售价是每件60元，每星
期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价 格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已 知商品的进价为每件40元.该商品定价为多少 元时，商场能获得最大利润？
涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价
为每件40元，要想获得6000元的利润，该商品应
定价为多少元？
若涨价x元，每件商品的利润（为60+x-40） 元每周的销售量为(300-10x) 件，(6一0周+x的-4利0)润(为300-10x) 元，获得600(06元0利+x润-4可0列) (方300-10x)=6000
解：设定价x元获得利润y元，根据题意得：
y=(x-40) )[300-10(x-60)] (60≤X≤90) =-10x2+1300x-36000 =-10(x-65)2+6250
当x=65时，y的最大值是6250，
即：当定价为65元时，可获得最大利润为6250元.
例1：某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出300件.市场 调查反映：每涨价1元，每星期要 少卖出10件；每降价1元，每星期 可多卖出20件.已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润 最大？
由(1)(2)的讨论及现在 的销售情况,你知道应
=-20(x-2.5)2+6125
该如何定价能使利润 最大了吗?
当x=2.5时，y的最大值是6125.
即：定价为60-2.5=57.5时利润最大为6125元.
综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变 量的实际意义，确定自变量的取值范围；
拓展延伸
某超市经销一种成本为每件40元的商品．据市 场调查，如果按每件50元销售，一周能售出500件； 若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销 售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y件.
(1)写出y与x的函数关系式(写出x的取值范围) (2)设一周的销售利润为S，求出销售利润为S的最大 值； (3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下， 使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
.
问题2. 某商品现在的售价是每件60元，每星
期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价 格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已 知商品的进价为每件40元.该商品定价为多少 元时，商场能获得最大利润？
解：设涨价x元获得利润y元，根据题意得：
y=(60+x-40) (300-10x) (0≤X≤30) =-10x2+100x+6000 用顶点坐标公式解 =-10(x-5)2+6250
十一月份每台售价降低100元，结果比十月份多 售出10台，则销售每台电脑的利润为 500元 ， 十一月份的利润为 500(m+10)元 .
销售问题常用数量关系：
每件产品的利润=售价-进价
销售总利润=每件产品的利润×销售数量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题1 某商品现在的售价是每件60元，每星期可
卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每
26.3实际问题与二次函数
如何获得最大利润问题
1.掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方 法，并会应用函数关系式求利润的最值； 2.会应用二次函数的性质解决实际问题.
某种品牌的电脑进价为3000元，售价3600元. 十 月份售出m台，则每台电脑的利润为 600元 ， 十月份的利润为 600m元 .
解：设商品售价为x元，获得利润为y元，根据 题意得：
y=(x-40)[300-10(x-60)]
=(x-40)(900-10x) =-10x2+1300x-36000 =-10(x-65)2+6250
∵ 40(1＋40%)≤x≤40(1＋60%) 即56≤x≤64 ∴由函数增减性可知当x=64时y最大,最大值为 6240元
解： （1）y=500－10(x－50)
=1000-10x (5（0≤2）x≤S=1(0x0－) 40)(1000-10x)
=－10x2＋1400x-40000 =－10(x－70)2+9000
∴当x=70时，S有最大值为9000 即：
单价为70元时获得最大利润为9000元.
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况 下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应 定为多少？ 解：（3）－10x2＋1400x-40000=8000