用复数方法证明三相交流电产生旋转磁场_李力
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当杆的速度为ｖ１ 时 弹 簧 伸 长 ｘ１，ｋｘ１ ＝ｍｇｓｉｎα＋ＢＩ１Ｌ，此 时Ｉ１＝ＢＬＲｖ１ ，Ｌ１＝ｘ１－ｘ０，得 Ｌ１＝Ｂ２ｋ ＬＲ２ ｖ１ ．
（３）杆最后静止时，金属细 杆 所 受 的 安 培 力 为 ０，故 当 棒受到重力、安 培 力 及 弹 簧 的 弹 力 处 于 平 衡 状 态 时 ，杆 回
— ５４ —
与 金 属 杆 的 电 阻 忽 略 不 计 ）．试 求 ： （１）细杆获得初速度瞬间，通过电阻 Ｒ 的电流大小． （２）当杆速度为ｖ１ 时，离最初静止时位置的距离 Ｌ． （３）杆由初速度ｖ０ 开始运动直到最后静 止，电 阻 上 产
生的焦耳热 Ｑ． 解析：（１）由 Ｅ＝ＢＬｖ０，Ｉ０＝ＲＥ ，可得Ｉ０＝ＢＬＲｖ０ ． （２）设 杆 最 初 静 止 不 动 时 ，弹 簧 伸 长 ｘ０ ，ｋｘ０ ＝ｍｇｓｉｎα．
图１
而大
小
是
交
变
的
．因 为
它
们
的
幅
值
相
同
，相
位
彼
此
差２π，所 ３
以３个磁感应强度大小的瞬时值可以表示为
Ｂ１＝Ｂ０ｃｏｓωｔ，Ｂ２＝Ｂ０ｃｏｓ（ωｔ－２３π），Ｂ３＝Ｂ０ｃｏｓ（ωｔ＋２３π）． 在任一时刻，中心点 Ｏ 的总磁感应强度Ｂ 就是这３个
磁感应强度 的 矢 量 和．这 ３ 个 磁 感 应 强 度 矢 量 既 有 相 位 差，又有方向差，合 成 比 较 困 难．根 据 “一 个 简 谐 振 动 矢 量 可以分解成两 个 反 向 旋 转 的 矢 量 ”，［１］利 用 旋 转 矢 量 图 解
Ｂ０ｃｏｓ（ωｔ＋２３π）ｅｉ（－２３π）．
利
用
公
式
ｃｏｓθ＝
（ｅｉθ
＋ｅ－ｉθ ２
），将
上
式
化
为
Ｂ珟＝Ｂ２０ （ｅｉωｔ＋ｅ－ｉωｔ）＋Ｂ２０ ［ｅｉ（ωｔ－２３π）＋ｅ－ｉ（ωｔ－２３π）］·ｅｉ（２３π）＋
Ｂ０ ２
［ｅｉ（ωｔ＋２３π）＋ｅ－ｉ（ωｔ＋２３π）］·ｅｉ（－２３π）＝３Ｂ２０ｅｉωｔ
振动．
例 ５．如 图 １０ 所 示，光 滑 的
金属导 轨 间 距 为 Ｌ，导 轨 平 面 与
水平面成α 角，导 轨 下 端 接 有 阻
值为 Ｒ 的电阻，质量为 ｍ 的 金 属
细杆ａｂ 与 绝 缘 轻 质 弹 簧 相 连 静 止在导轨上，弹 簧 劲 度 系 数 为ｋ，
图 １０
上端固定，弹簧 与 导 轨 平 面 平 行，整 个 装 置 处 在 垂 直 于 导
转磁 场 的 原 理 性 装 置 如
图１ 所 示，３ 个 相 同 结 构 的 绕 组 ａｘ、ｂｙ、ｃｚ 排 列 在
圆周上，位 置 彼 此 相 差２π ３
角 度．把 三 相 交 流 电 通 入 ３个 绕 组 时，它 们 在 中 心
点Ｏ 产生的磁感应强度
矢量 的 方 向 各 自 沿 着 每 个 绕 组 的 轴 线 （如 图 １），
法 可 知 Ｂ珟＝３Ｂ２０ｅ－ｉωｔ，即 旋 转 方 向 为 顺 时 针 ．
参考文献：
１ 赵凯华，陈熙谋．新 概 念 物 理 教 程 （电 磁 学）（第 ２ 版 ）．北 京：高 等 教 育 出 版 社 ，２００６．３７６－３７８ （收 稿 日 期 ：２０１２－０９－１６）
离，放 手 后，小 球 在 斜 面 上 做 简
＋
Ｂ２０ｅ－ｉωｔ
［１＋
ｅｉ（４３π）＋ｅ－ｉ（４３π）］．
显 然 有 １＋ｅｉ（４３π）＋ｅ－ｉ（４３π）＝１＋ｅｉ（２３π）＋ｅｉ（４３π）＝０，所 以 Ｂ珟＝
３Ｂ２０ｅｉωｔ
，这
表
明
总
磁
感
应
强
度
是
一
个
大
小
为３Ｂ０ ２
、以
角
速
度
ω 逆时针方向旋转的矢量．顺便一提，如果将三绕 组 中 任 意 两个相序颠倒，如ｂｙ 接 第 三 相、ｃｚ 接 第 二 相，用 上 面 的 方
谐运动．若 小 球 与 斜 面 之 间 存 在
着摩 擦 力，则 小 球 做 阻 尼 振 动．
将轻质弹 簧 的 一 端 固 定，另 一 端
连接一根 杆，不 计 导 轨 与 金 属 杆 之间的摩 擦，则 由 于 金 属 杆 在 运
图９
动过程总受 到 安 培 力 的 作 用，金 属 杆 所 做 的 运 动 为 阻 尼
轨平面向上的 匀 强 磁 场 中，磁 感 应 强 度 为 Ｂ．现 给 杆 一 沿
轨道向下的初速度ｖ０，杆 向 下 运 动 至 速 度 为 ０ 后，再 沿 轨 道平面向上运动达到最大 速 度，大 小 为 ｖ１，然 后 减 速 为 ０， 再沿轨道平面向下运动……一 直 往 复 运 动 直 到 静 止 （导 轨
法
证
明
了
“矢
量
和
是
一
个
长
度
为３Ｂ０ ２
、具
有
角
速Fra Baidu bibliotek
度
＋ω
的
旋
转矢量”．这种方 法 思 路 上 比 较 巧 妙，但 推 导 篇 幅 较 长．本
文将用复数方法给出一个简捷的证明．
在图１建立复平面，以 Ｂ１ 方向 为 实 轴 的 正 方 向，把 矢 量 和 转化为相应的３个复数之和
Ｂ珟＝Ｂ珟１ ＋Ｂ珟２ ＋Ｂ珟３ ＝Ｂ０ｃｏｓωｔ＋Ｂ０ｃｏｓ（ωｔ－２３π）ｅｉ（２３π）＋
到初始位置．由能量守恒可得 Ｑ＝ １２ｍｖ０２． 综上所述，电磁感应现象是 高 中 物 理 教 学 中 的 一 个 难
点．将阻尼振动 的 模 型 运 用 到 电 磁 感 应 现 象 中 ，为 我 们 处 理和理解电磁感应这一类问题带来了一定的方便．
（收 稿 日 期 ：２０１２－０６－１０）
Ｖｏｌ．３４ Ｎｏ．３ （２０１３）
物 理 教 师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
第 ３４ 卷 第 ３ 期 ２０１３ 年
用复数方法证明三相交流电产生旋转磁场
李 力１ 胡 先 进２
（１．重 庆 清 华 中 学 ，重 庆 ４０００５４；２．重 庆 市 实 验 中 学 ，重 庆 ４０１３２０）
三相交流电产生旋
（３）杆最后静止时，金属细 杆 所 受 的 安 培 力 为 ０，故 当 棒受到重力、安 培 力 及 弹 簧 的 弹 力 处 于 平 衡 状 态 时 ，杆 回
— ５４ —
与 金 属 杆 的 电 阻 忽 略 不 计 ）．试 求 ： （１）细杆获得初速度瞬间，通过电阻 Ｒ 的电流大小． （２）当杆速度为ｖ１ 时，离最初静止时位置的距离 Ｌ． （３）杆由初速度ｖ０ 开始运动直到最后静 止，电 阻 上 产
生的焦耳热 Ｑ． 解析：（１）由 Ｅ＝ＢＬｖ０，Ｉ０＝ＲＥ ，可得Ｉ０＝ＢＬＲｖ０ ． （２）设 杆 最 初 静 止 不 动 时 ，弹 簧 伸 长 ｘ０ ，ｋｘ０ ＝ｍｇｓｉｎα．
图１
而大
小
是
交
变
的
．因 为
它
们
的
幅
值
相
同
，相
位
彼
此
差２π，所 ３
以３个磁感应强度大小的瞬时值可以表示为
Ｂ１＝Ｂ０ｃｏｓωｔ，Ｂ２＝Ｂ０ｃｏｓ（ωｔ－２３π），Ｂ３＝Ｂ０ｃｏｓ（ωｔ＋２３π）． 在任一时刻，中心点 Ｏ 的总磁感应强度Ｂ 就是这３个
磁感应强度 的 矢 量 和．这 ３ 个 磁 感 应 强 度 矢 量 既 有 相 位 差，又有方向差，合 成 比 较 困 难．根 据 “一 个 简 谐 振 动 矢 量 可以分解成两 个 反 向 旋 转 的 矢 量 ”，［１］利 用 旋 转 矢 量 图 解
Ｂ０ｃｏｓ（ωｔ＋２３π）ｅｉ（－２３π）．
利
用
公
式
ｃｏｓθ＝
（ｅｉθ
＋ｅ－ｉθ ２
），将
上
式
化
为
Ｂ珟＝Ｂ２０ （ｅｉωｔ＋ｅ－ｉωｔ）＋Ｂ２０ ［ｅｉ（ωｔ－２３π）＋ｅ－ｉ（ωｔ－２３π）］·ｅｉ（２３π）＋
Ｂ０ ２
［ｅｉ（ωｔ＋２３π）＋ｅ－ｉ（ωｔ＋２３π）］·ｅｉ（－２３π）＝３Ｂ２０ｅｉωｔ
振动．
例 ５．如 图 １０ 所 示，光 滑 的
金属导 轨 间 距 为 Ｌ，导 轨 平 面 与
水平面成α 角，导 轨 下 端 接 有 阻
值为 Ｒ 的电阻，质量为 ｍ 的 金 属
细杆ａｂ 与 绝 缘 轻 质 弹 簧 相 连 静 止在导轨上，弹 簧 劲 度 系 数 为ｋ，
图 １０
上端固定，弹簧 与 导 轨 平 面 平 行，整 个 装 置 处 在 垂 直 于 导
转磁 场 的 原 理 性 装 置 如
图１ 所 示，３ 个 相 同 结 构 的 绕 组 ａｘ、ｂｙ、ｃｚ 排 列 在
圆周上，位 置 彼 此 相 差２π ３
角 度．把 三 相 交 流 电 通 入 ３个 绕 组 时，它 们 在 中 心
点Ｏ 产生的磁感应强度
矢量 的 方 向 各 自 沿 着 每 个 绕 组 的 轴 线 （如 图 １），
法 可 知 Ｂ珟＝３Ｂ２０ｅ－ｉωｔ，即 旋 转 方 向 为 顺 时 针 ．
参考文献：
１ 赵凯华，陈熙谋．新 概 念 物 理 教 程 （电 磁 学）（第 ２ 版 ）．北 京：高 等 教 育 出 版 社 ，２００６．３７６－３７８ （收 稿 日 期 ：２０１２－０９－１６）
离，放 手 后，小 球 在 斜 面 上 做 简
＋
Ｂ２０ｅ－ｉωｔ
［１＋
ｅｉ（４３π）＋ｅ－ｉ（４３π）］．
显 然 有 １＋ｅｉ（４３π）＋ｅ－ｉ（４３π）＝１＋ｅｉ（２３π）＋ｅｉ（４３π）＝０，所 以 Ｂ珟＝
３Ｂ２０ｅｉωｔ
，这
表
明
总
磁
感
应
强
度
是
一
个
大
小
为３Ｂ０ ２
、以
角
速
度
ω 逆时针方向旋转的矢量．顺便一提，如果将三绕 组 中 任 意 两个相序颠倒，如ｂｙ 接 第 三 相、ｃｚ 接 第 二 相，用 上 面 的 方
谐运动．若 小 球 与 斜 面 之 间 存 在
着摩 擦 力，则 小 球 做 阻 尼 振 动．
将轻质弹 簧 的 一 端 固 定，另 一 端
连接一根 杆，不 计 导 轨 与 金 属 杆 之间的摩 擦，则 由 于 金 属 杆 在 运
图９
动过程总受 到 安 培 力 的 作 用，金 属 杆 所 做 的 运 动 为 阻 尼
轨平面向上的 匀 强 磁 场 中，磁 感 应 强 度 为 Ｂ．现 给 杆 一 沿
轨道向下的初速度ｖ０，杆 向 下 运 动 至 速 度 为 ０ 后，再 沿 轨 道平面向上运动达到最大 速 度，大 小 为 ｖ１，然 后 减 速 为 ０， 再沿轨道平面向下运动……一 直 往 复 运 动 直 到 静 止 （导 轨
法
证
明
了
“矢
量
和
是
一
个
长
度
为３Ｂ０ ２
、具
有
角
速Fra Baidu bibliotek
度
＋ω
的
旋
转矢量”．这种方 法 思 路 上 比 较 巧 妙，但 推 导 篇 幅 较 长．本
文将用复数方法给出一个简捷的证明．
在图１建立复平面，以 Ｂ１ 方向 为 实 轴 的 正 方 向，把 矢 量 和 转化为相应的３个复数之和
Ｂ珟＝Ｂ珟１ ＋Ｂ珟２ ＋Ｂ珟３ ＝Ｂ０ｃｏｓωｔ＋Ｂ０ｃｏｓ（ωｔ－２３π）ｅｉ（２３π）＋
到初始位置．由能量守恒可得 Ｑ＝ １２ｍｖ０２． 综上所述，电磁感应现象是 高 中 物 理 教 学 中 的 一 个 难
点．将阻尼振动 的 模 型 运 用 到 电 磁 感 应 现 象 中 ，为 我 们 处 理和理解电磁感应这一类问题带来了一定的方便．
（收 稿 日 期 ：２０１２－０６－１０）
Ｖｏｌ．３４ Ｎｏ．３ （２０１３）
物 理 教 师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
第 ３４ 卷 第 ３ 期 ２０１３ 年
用复数方法证明三相交流电产生旋转磁场
李 力１ 胡 先 进２
（１．重 庆 清 华 中 学 ，重 庆 ４０００５４；２．重 庆 市 实 验 中 学 ，重 庆 ４０１３２０）
三相交流电产生旋