数学模型_回归分析
回归分析
,
,
y1 0 1 x11 2 x12 p x1 p 1 y x x x 2 0 1 21 2 22 p 2p 2 y n 0 1 x n1 2 x n 2 p x np n
（1）建立非线性回归模型1/y=a+b/x； （2）预测钢包使用x0=17次后增大的容积y0； （3）计算回归模型参数的95%的置信区间。
初始值要先计算，先选择已知数据中的两点（ 2,6.42）和（16,10.76）代入设定方程，得到方程组
2 6.42 6.42(2a b) 2 2a b 16 10.76(16a b) 16 10.76 16a b
ˆ 2.7991 y x 23.5493
解释：职工工资总额每增加1亿元，社会商品零售总额将增加 2.80亿。
2、一元多项式回归模型
(1) 多项式回归的基本命令 在一元回归模型中，如果变量y与x的关系是n次多项式，即
y an x an1x
n
n1
... a1x a0
试求：① 给出y与t的回归模型； ② 在同一坐标系内做出原始数据与拟合结果的散点图 ③ 预测t=16时残留的细菌数；
ex006
三、多元线性回归模型 (略)
多元线性回归模型及其表示
对于总体
( X 1 , X 2 ,, X p ;Y ) 的n组观测值
( xi1 , xi 2 ,, xip ; yi )(i 1,2,, n; n p)
例为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细 菌，每次照射6分钟用平板计数法估计尚存活的细菌数，照 射次数记为t，照射后的细菌数y如表3.3所示。
数学建模——线性回归分析82页PPT
2019/11/15
zhaoswallow
2
表1 各机组出力方案 （单位：兆瓦，记作MW）
方案\机组 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1
2
3
4
5
6
7
8
120
73
180
80
125
125
81.1
90
133.02 73
180
80
125
125
81.1
90
3 -144.25 -145.14 -144.92 -146.91 -145.92 -143.84 -144.07 -143.16 -143.49 -152.26 -147.08 -149.33 -145.82 -144.18 -144.03 -144.32
4 119.09 118.63 118.7 117.72 118.13 118.43 118.82 117.24 117.96 129.58 122.85 125.75 121.16 119.12 119.31 118.84
5 135.44 135.37 135.33 135.41 135.41 136.72 136.02 139.66 137.98 132.04 134.21 133.28 134.75 135.57 135.97 135.06
6 157.69 160.76 159.98 166.81 163.64 157.22 157.5 156.59 156.96 153.6 156.23 155.09 156.77 157.2 156.31 158.26
ˆ0
ˆ1 xi )2
min
0 ,1
考研统计学掌握统计分析的五个常用模型
考研统计学掌握统计分析的五个常用模型统计学是一门应用广泛的学科，其研究对象是数据和变异性。
在考研统计学中，学生需要掌握各种统计分析方法，以便能够准确分析和解释数据，为决策提供依据。
本文将介绍考研统计学中五个常用的统计分析模型。
一、回归分析模型回归分析是研究数据间关系的一种常用方法。
它通过建立变量之间的数学函数关系，来分析自变量对因变量的影响程度。
回归分析可以帮助我们预测和控制变量，进而做出合理的决策。
在考研统计学中，回归分析被广泛应用于解决实际问题，如经济学、企业管理、市场营销等。
二、方差分析模型方差分析是比较两个或多个组之间差异的一种统计方法。
它通过比较组内的差异和组间的差异，来判断因素之间是否存在显著差异。
方差分析在考研统计学中经常用于实验设计和质量控制等领域中，可以帮助我们评估因素对结果的影响程度，从而做出相应的调整和改进。
三、因子分析模型因子分析是一种通过降维技术来简化数据的方法。
它可以将大量变量归纳为少数几个隐含因子，从而减少数据的复杂性。
因子分析在考研统计学中被广泛应用于心理学、社会学、教育学等领域，可以帮助我们识别出潜在的变量，并得出相应的结论。
四、时间序列分析模型时间序列分析是一种研究时间序列数据的方法。
它通过分析过去的数据，来推断未来的趋势和模式。
时间序列分析在考研统计学中被广泛应用于经济学、金融学、气象学等领域，可以帮助我们做出准确的预测和决策。
五、生存分析模型生存分析是一种处理生存时间数据的方法。
它可以分析个体在给定时间段内的生存情况，并推断其生存函数和风险函数。
生存分析在考研统计学中主要应用于医学、生物学、社会科学等领域，可以帮助我们评估治疗效果、预测风险和制定干预策略。
以上，我们简要介绍了考研统计学中五个常用的统计分析模型：回归分析、方差分析、因子分析、时间序列分析和生存分析。
掌握这些模型，可以帮助我们更好地理解和解释数据，从而做出准确和可靠的决策。
希望本文对你在考研统计学中的学习有所帮助。
数学建模-回归分析
一、变量之间的两种关系 1、函数关系：y = f (x) 。
2、相关关系：X ，Y 之间有联系，但由 其中一个不能唯一的确定另一个的值。 如： 年龄 X ，血压 Y ； 单位成本 X ，产量 Y ； 高考成绩 X ，大学成绩 Y ； 身高 X ，体重 Y 等等。
二、研究相关关系的内容有
1、相关分析——相关方向及程度（第九章）。 增大而增大——正相关； 增大而减小——负相关。 2、回归分析——模拟相关变量之间的内在 联系，建立相关变量间的近似表达式 （经验 公式）（第八章）。 相关程度强，经验公式的有效性就强， 反之就弱。
三、一般曲线性模型 1、一般一元曲线模型
y = f ( x) + ε
对于此类模型的转换，可用泰勒展开 公式，把 在零点展开，再做简单的变 f ( x) 换可以得到多元线性回归模型。 2、一般多元曲线模型
y = f ( x1 , x2源自,⋯ , xm ) + ε
对于此类模型也要尽量转化为线性模 型，具体可参考其他统计软件书，这里不 做介绍。
ˆ ˆ ˆ ˆ y = b0 + b1 x1 + ⋯ + bm x m
2、利用平方和分解得到 ST , S回 , S剩。 3、计算模型拟合度 S ，R ，R 。 （1）标准误差（或标准残差）
S =
S剩 ( n − m − 1)
当 S 越大，拟合越差，反之，S 越小， 拟合越好。 （2）复相关函数
R =
2
仍是 R 越大拟合越好。 注： a、修正的原因：R 的大小与变量的个数以及样本 个数有关； 比 R 要常用。 R b、S 和 R 是对拟合程度进行评价，但S与 R 的分 布没有给出，故不能用于检验。 用处：在多种回归模型（线性，非线性）时， 用来比较那种最好；如：通过回归方程显著性检验 得到：
回归分析线性回归Logistic回归对数线性模型
逻辑回归的模型为 (P(Y=1) = frac{1}{1+e^{-z}})，其中 (z = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ... + beta_nX_n)。
逻辑斯蒂函数
பைடு நூலகம்
定义
逻辑斯蒂函数是逻辑回归模型中用来描述自变量与因变量之 间关系的函数，其形式为 (f(x) = frac{1}{1+e^{-x}})。
。
在样本量较小的情况下， logistic回归的预测精度可能高 于线性回归。
线性回归的系数解释较为直观 ，而logistic回归的系数解释相 对较为复杂。
对数线性模型与其他模型的比较
对数线性模型假设因变量和自变量之间存在对 数关系，而其他模型的假设条件各不相同。
对数线性模型的解释性较强，可以用于探索自变量之 间的交互作用和效应大小。
THANKS
感谢您的观看
预测市场细分中的消费者行为等。
对数线性模型还可以用于探索性数据分析，以发现数 据中的模式和关联。
Part
04
比较与选择
线性回归与logistic回归的比较
线性回归适用于因变量和自变 量之间存在线性关系的场景， 而logistic回归适用于因变量为
二分类或多分类的场景。
线性回归的假设条件较为严格 ，要求因变量和自变量之间存 在严格的线性关系，而logistic 回归的假设条件相对较为宽松
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，用于最小化预测值与实际观测值之间的平方误差总和。
通过最小二乘法，可以估计回归系数，使得预测值与实际观测值之间的差距最小化。
最小二乘法的数学公式为：最小化 Σ(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + ...))^2，其中Yi是实际观 测值，X1i, X2i, ...是自变量的观测值。
回归分析
Regression Analysis 回归分析
y
x
5
Regression Analysis
变量间的关系
（函数关系）
函数关系的例子
回归分析
某种商品的销售额 (y) 与销售量 (x) 之间的关 系可表示为 y = p x (p 为单价) 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = r2
样本相关系数的定义公式是：
r
( X X )(Y Y ) ( X X ) (Y Y )
t t 2 t t
2
上式中， X 和 Y 分别是Ｘ和Ｙ的样本平均数。 样本相关系数是根据样本观测值计算的，抽取的样本不同， 其具体的数值也会有所差异。 容易证明，样本相关系数是总体相关系数的一致估计量。
r的取值 相关程度
|r|＜0.3 不线性相关
0.3≤|r|<0.5 0.5≤|r|<0.8
|r|≥0.8
低度线性相 中度线性相 高度线性 关 关 相关
23
Regression Analysis 回归分析
•
3.如果|ｒ|=1，则表明Ｘ与Ｙ完全线性相关，当 ｒ=1时，称为完全正相关， 而ｒ=-1时，称为完全负相关。
相关分析（Correlation Analysis）是用于度量两个
数值变量间的关联程度
3
Regression Analysis 回归分析
一、函数关系与相关关系
1.函数关系
当一个或几个变量取一定的值 时，另一个变量有确定值与之 相对应，我们称这种关系为确 定性的函数关系。
4
（函数关系）
（1）是一一对应的确定关系 （2）设有两个变量 x 和 y ， 变量 y 随变量 x 一起变化 ，并完全依赖于 x ，当变 量 x 取某个数值时， y 依 确定的关系取相应的值， 则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变 量，y 称为因变量 （3）各观测点落在一条线上
回归分析模型
定义
TSS y i y
i 1
n
2
称因变量 y 的总变差平方。它刻画了因变量取值总的波动程度。
TSS 作适当分解 y 波动的两方面原因对 我们希望能根据导致
ˆi y ˆ i y RSS SS回 TSS y i y y i y
这表明回归函数 f x1 , x 2 , , x p 实质上就是在自变量 x1 , x 2 , , x p
根据回归函数 f x1 , x 2 , , x p 的不同数学形式，对回归模型可作 如下大致分类： 若 f x1 , x 2 , , x p 是自变量的线性函数，称线性回归模型
b0 b1 x1 b2 x 2 b p x p
能最大限度地解释
就第i 次试验而言，因变量的实际观测值yi 与可以通过回归函数加以解释的量
b0 b1 x i1 b2 x i 2 b p x ip 之间的偏差为 y i b0 b1 x i1 b2 x i 2 b p x ip .
R b0 , b1 , , b p y i b0 b1 xi1 b2 xi 2 b p xip
n i 1
2
y 的取值，很自然地取使残差平方和 为了使回归函数能最大限度地解释因变量 ˆ ,b ˆ ,b ˆ , , b ˆ R b0 , b1 , , b p b 0 1 2 p 达到最小的 作为回归系数的估计。 这种方法称最小二乘
回归方程的显著性检验 从 回 归 系 数 的 求 法 ， 原 则 上 ， 对 任 何n 组 观 测 数 据 xi1 , xi 2 , , xip ; yi ，i 1,2,, n （无论 y 与x1 , x 2 , , x p 是否有 线性相关关系）都可以得到一个经验回归方程。但是，只有 当 y 与 x1 , x 2 , , x p 确实具有线性相关关系时，相应的经验回 y 与x1 , x 2 , , x p 是否确实具有 归方程才有意义。因此，考查 线性相关关系， 是能否进一步将所得经验回归方程用于预测 或控制的前提。
回归分析
逐步回归的基本思想和步骤：
开始
对不在方程中的变 量考虑能否引入？
能
引入变量
否
对已在方程中的变
量考虑能否剔除？
能 剔除变量
否 筛选结束
例2、大春粮食产量的预报模型
某地区大春粮食
产量 y 和大春粮 食播种面积x1、 化肥用量x2、肥 猪发展头数x3、
水稻抽穗扬花期
降雨量x4的数据
如下表，寻求大
春粮食产量的预
变量筛选方法的选择应注意
• 1.变量选择不仅仅是数学问题，不能脱离研究的目的进行。 • 2.最好多做尝试，对不同方法之间所结果的差异认真思考。
Statistics 对话框
X轴或Y轴中有一 个是因变量
标准化的预测值 标准化的残差 删除的残差 修正后的预测值。 用户的残差
用户的删除的残 差
Plots 对话框
报模型。
Y 309.0 400.0 454.0 520.0 516.0 459.0 531.0 558.0 607.0 541.0 597.0 558.0 619.0 618.0 742.0 805.0 859.0 855.0
X1 137.0 148.0 154.0 157.0 153.0 151.0 151.0 154.0 155.0 155.0 156.0 155.0 157.0 156.0 159.0 164.0 164.0 156.0
操作步骤：Analyze→Regression →Linear… →Statistics→Model fit Descriptives
衡量多元线性回归方程的标准
• 1.复相关系数R与校正复相关系数Rad • 2.剩余标准差S
强影响点的诊断及对策
诊断方法： • 1.散点图 • 2.残差诊断指标 • 3.稳健回归方法的使用 • 对策： • 1.去除 • 2.变量变换 • 3.非参数分析 • 4.采用加权最小二乘法
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解三种最常用算法在数学建模中，常使用的三种最常用算法是回归分析法、最优化算法和机器学习算法。
这三种算法在预测、优化和模式识别等问题上有着广泛的应用。
下面将对这三种算法进行详细介绍。
1.回归分析法回归分析是一种用来建立因果关系的统计方法，它通过分析自变量和因变量之间的关系来预测未知的因变量。
回归分析可以通过构建一个数学模型来描述变量之间的关系，并利用已知的自变量值来预测未知的因变量值。
常用的回归分析方法有线性回归、非线性回归和多元回归等。
在回归分析中，我们需要首先收集自变量和因变量的样本数据，并通过数学统计方法来拟合一个最优的回归函数。
然后利用这个回归函数来预测未知的因变量值或者对已知数据进行拟合分析。
回归分析在实际问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用回归分析来预测商品销售量、股票价格等。
此外，回归分析还可以用于风险评估、财务分析和市场调研等。
2.最优化算法最优化算法是一种用来寻找函数极值或最优解的方法。
最优化算法可以用来解决各种优化问题，例如线性规划、非线性规划和整数规划等。
最优化算法通常分为无约束优化和有约束优化两种。
无约束优化是指在目标函数没有约束条件的情况下寻找函数的最优解。
常用的无约束优化算法有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。
这些算法通过迭代计算来逐步优化目标函数，直到找到最优解。
有约束优化是指在目标函数存在约束条件的情况下寻找满足约束条件的最优解。
常用的有约束优化算法有线性规划、非线性规划和混合整数规划等。
这些算法通过引入拉格朗日乘子、KKT条件等来处理约束条件，从而求解最优解。
最优化算法在现实问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以使用最优化算法来确定最优的生产数量和生产计划。
此外，最优化算法还可以应用于金融风险管理、制造工程和运输物流等领域。
3.机器学习算法机器学习算法是一种通过对数据进行学习和模式识别来进行决策和预测的方法。
机器学习算法可以根据已有的数据集合自动构建一个模型，并利用这个模型来预测未知的数据。
回归分析(数学建模)
16 17 18 19 20 21
166.88 164.07 164.27 164.57 163.89 166.35
141.4 143.03 142.29 141.44 143.61 139.29
-144.34 -140.97 -142.15 -143.3 -140.25 -144.2
正规方程组
一元线性回归
整理得
n n n 0 xi 1 yi i 1 i 1 n n 2 xi 0 xi 1 i 1 i 1
（ 2）
x
i 1
n
i
yi
一元线性回归
ˆ ˆ 0 y x 1 n x i y i n xy ˆ 1 i 1 n 2 2 xi n x i 1
(x
i 1 n
n
i
x )( y i y )
2
（ 3）
( xi x )
i 1
1一元线性回归一元线性回归模型为其中x是自变量y是因变量为未知的待定常数称为回归系数是随机误差且假设其中相互独立且使其随机误差的平方和达到最小即一元线性回归正规方程组一元线性回归整理得一元线性回归其中参数的最小二乘估计一元线性回归xxxx的无偏估计量
线性回归分析
华北电力大学数理系 雍雪林
一、引言
2004年全国数模竞赛的B题 “电力市场的 输电阻塞管理” 第一个问题： 某电网有8台发电机组，6条主要线路，表 1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和 各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了 围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确 定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近 似表达式。
回归分析自学整理
回归分析自学整理一、回归分析的数学模型与假设 ........................................................................................... 1 二、回归分析的步骤 ............................................................................................................... 3 三、回归分析的SPSS 操作与数据解释 (14)一、回归分析的数学模型与假设总体回归模型（理论模型）εββββ+++++=j j x X X Y 22110β0为常数项，也叫截距。
β1,β2,…,βj 为总体偏回归系数。
βj （j=1,2,…,m ）表示当方程中其它自变量保持常量时，自变量Xj 每增加（或减少）一个计量单位时，反应变量Y 平均变化βj 个单位。
ε表示去除m 个自变量对Y 影响后的随机误差，也称作残差。
多元总体线性回归函数一般形式条件均值形式样本回归模型（估计模型）ε=-++++=yy x b x b x b b y j j ˆˆ22110j j x b x b x b b y++++= 22110ˆ就是回归方程。
多元线性样本回归函数一般形式条件均值形式总体回归与样本回归的区别假设古典线性回归模型总是假设1.误差项ε是一个服从均值为零（零均值）、方差是常数（同方差）正态分布的随机变量，即ε~N(0,2 )，E(ε)=0,且相互独立（残差无自相关）；2.解释变量x1，x2，…，xk是可以精确观察的普通变量（非随机变量）。
3.解释变量X与随机误差项ε是各自独立对解释变量Y产生影响（残差与自变量无相关）。
多元回归增加的假定：各自变量之间不存在线性关系。
在此条件下，自变量观测值矩阵X列满秩回归与相关的区别相关分析回归分析作用主要描述两个变量之间相关的方向和密切程度。
数据分析中的回归分析与预测模型
数据分析中的回归分析与预测模型在当今信息爆炸的时代，数据已经成为了一种重要的资源。
随着大数据技术的发展，数据分析也逐渐成为了许多行业中不可或缺的一环。
而在数据分析的过程中，回归分析与预测模型是两个重要的工具。
回归分析是一种通过建立数学模型来描述变量之间关系的方法。
它的基本思想是，通过观察已知的自变量和因变量的取值对，建立一个数学模型，然后用这个模型来预测未知的因变量取值。
回归分析可以用来探索变量之间的关系、预测未来的趋势以及评估变量之间的影响程度。
预测模型是一种通过利用已知的数据来推断未知数据的方法。
它基于已有的数据，通过建立一个数学模型，来预测未来的趋势或者未知变量的取值。
预测模型可以应用于各种领域，如金融、市场营销、医疗等。
通过预测模型，企业可以更好地了解市场需求，制定合理的销售策略；医疗机构可以预测疾病的发生概率，提前采取相应的防控措施。
回归分析和预测模型之间有着紧密的联系。
回归分析可以作为预测模型的一种方法，通过建立回归方程来预测未知的因变量取值。
而预测模型则可以通过回归分析的结果来进行优化和调整。
两者相辅相成，共同为数据分析提供了强大的工具。
在进行回归分析和预测模型时，我们需要注意一些问题。
首先，选择合适的自变量和因变量。
自变量应该与因变量之间存在一定的相关性，否则建立的模型将无法准确预测。
其次，我们需要选择合适的回归方法和模型。
常见的回归方法有线性回归、多项式回归、逻辑回归等，每种方法都有其适用的场景。
最后，我们需要对模型进行评估和验证。
通过比较模型的预测结果与真实值，我们可以评估模型的准确性和可靠性。
回归分析和预测模型在实际应用中有着广泛的应用。
在金融领域，回归分析可以用来预测股票价格的变化趋势，帮助投资者做出合理的投资决策。
在市场营销领域，预测模型可以用来预测用户的购买行为，帮助企业制定个性化的推广策略。
在医疗领域，回归分析可以用来预测疾病的发生概率，帮助医生制定个性化的治疗方案。
NBA分析与评价的数学模型
NBA分析与评价的数学模型在NBA中，数学模型在分析和评价球队、球员和比赛方面起到了重要的作用。
这些数学模型可以帮助我们深入了解NBA的比赛规律、球员的表现以及球队的实力，同时可以为球队和球员提供战术和训练建议。
以下是几个常见的NBA分析与评价的数学模型。
1.回归分析模型回归分析模型可以用来预测球员或球队的表现。
通过收集和整理大量的数据，例如场均得分、场均篮板、场均助攻等，可以构建一个回归模型来预测球员的表现。
该模型可以提供球员在不同比赛中的得分、篮板和助攻等数据，帮助球队做出相关的战术调整。
此外，回归分析模型还可以用来预测球队的胜率，包括使用场均得分、场均失分、场均助攻、主客场胜率等数据来预测球队赛季的胜率。
2.聚类分析模型聚类分析模型可以帮助我们将球队或球员分为不同的类别，以了解其特点和实力。
聚类分析模型利用各种统计指标，例如场均得分、场均篮板、场均助攻等来将球队或球员进行聚类。
通过聚类分析，我们可以发现具有相似特征的球队或球员，从而为球队制定合适的战术和球员选择。
3.网络分析模型网络分析模型可以用来分析球队或球员之间的关系和影响力。
该模型利用节点和边来表示球队或球员之间的关系，例如球员之间的传球关系、球队之间的比赛胜负等，通过计算节点之间的度中心性、接近中心性等指标，可以帮助我们了解球员或球队在比赛中的作用和影响力。
此外，网络分析模型还可以用来预测球队或球员之间的比赛结果，从而为球队提供更好的战术决策。
4.优化模型优化模型可以帮助球队在有限资源和约束条件下做出最佳的决策。
例如，通过建立一个线性规划模型，可以将球队的得分最大化或失分最小化，同时满足球队的篮板、助攻等要求。
这样的模型可以帮助球队制定最佳的战术和阵容安排，从而提高球队的胜率和表现。
总结起来，NBA的分析与评价的数学模型可以帮助我们更好地了解和预测球队、球员和比赛的情况。
这些数学模型可以提供准确的数据分析和决策支持，为球队和球员提供更好的战术和训练建议，从而提升整体实力和竞争力。
回归分析
回归分析科技名词定义中文名称：回归分析英文名称：regression analysis定义：研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1，X2，…，Xk)变量的相依关系的统计分析方法。
所属学科：遗传学（一级学科）；群体、数量遗传学（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
目录根据预测目标，确定自变量和因变量明确预测的具体目标，也就确定了因变量。
如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。
通过市场调查和查阅资料，寻找与预测目标的相关影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响因素。
建立回归预测模型依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立回归分析方程，即回归分析预测模型。
进行相关分析回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。
只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。
因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。
进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。
检验回归预测模型，计算预测误差回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模型的检验和对预测误差的计算。
回归方程只有通过各种检验，且预测误差较小，才能将回归方程作为预测模型进行预测。
数学建模——回归分析模型 ppt课件
有最小值：
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ppt课件
ˆx ˆi a ˆ b y i
6
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
ppt课件
1
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
ppt课件
2
数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
可决系数（判定系数） R 2 为:
可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法，以后会逐步接触
15
2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
数学建模——回归分析模型
2 i i 1
残差平 方和
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数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零，得到正规方程组，
用线性代数的方法求解，求得值为：
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式，具体如下： 其中 X , Y ,
回归分析方差分析
分别对b0,b1,…,bn求导,并令其一阶导数为0,可 求出各个系数
二、回归方程得数学模型
估计标准误差 就是估计y与对应观测值之间得离差平方和
SST Lyy ( yi yi )2
^
^
( yi yi )2 ( yi y)2
• ⑦“Influence Statistics” 统计量得影响。 “DfBeta(s)”删除一个特定得观测值所引起得回归系数得 变化。 “Standardized DfBeta(s)”标准化得DfBeta值 。 “DiFit” 删除一个特定得观测值所引起得预测值得变 化。“Standardized DiFit”标准化得DiFit值。 “Covariance ratio”删除一个观测值后得协方差矩阵得行 列式和带有全部观测值得协方差矩阵得行列式得比率。
Leverage values: 杠杆值。 • ③“Prediction Intervals”预测区间选项:
Mean: 区间得中心位置。 Individual: 观测量上限和下限得预测区间。
• ④“Save to New File”保存为新文件: 选中“Coefficient statistics”项将回归系数保存到指定得 文件中。
Unstandardized 非标准化预测值。在当前数据 文件中新添加一个以字符“PRE_”开头命名得变 量,存放根据回归模型拟合得预测值。 Standardized 标准化预测值。 Adjusted 调整 后预测值。S、E、 of mean predictions 预测 值得标准误。
• ②“Distances”距离栏选项: • Mahalanobis: 距离。 Cook’s”: Cook距离。
数学建模案例分析第十章统计回归模型
岭回归原理及步骤
• 原理：岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方 法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘 法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数 更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于 最小二乘法。
岭回归原理及步骤
• 原理：岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方 法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘 法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数 更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于 最小二乘法。
一元线性回归
01
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模型建立
一元线性回归模型用于描 述两个变量之间的线性关 系，通常形式为y=ax+b， 其中a和b为待估参数。
参数估计
通过最小二乘法等方法对 参数a和b进行估计，使得 预测值与实际观测值之间 的误差平方和最小。
假设检验
对模型进行假设检验，包 括检验模型的显著性、参 数的显著性等，以判断模 型是否有效。
线性回归模型检验
拟合优度检验
通过计算决定系数R^2等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差分析
对模型的残差进行分析，包括残 差的分布、异方差性检验等，以
判断模型的合理性。
预测能力评估
通过计算预测误差、均方误差等 指标，评估模型的预测能力。同 时可以使用交叉验证等方法对模
型进行进一步的验证和评估。
线性回归模型检验
逐步回归原理及步骤
01
3. 对模型中已有的自变量进行检 验，如果不显著则将其从模型中 剔除。
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4. 重复步骤2和3，直到没有新的 自变量可以进入模型，也没有不显 著的自变量可以从模型中剔除。
回归分析模型
回归分析模型
回归模型（regression model）对统计关系进行定量描述的一种数学模型。
如多元线性回归的数学模型可以表示为y=β0+β1*x+εi，式中，β0，β1，…，βp是p+1个待估计的参数，εi是相互独立且服从同一正态分布N(0,σ2)的随机变量，y是随机变量；x可以是随机变量，也可以是非随机变量,βi称为回归系数，表征自变量对因变量影响的程度。
回归模型重要的基础或者方法就是回归分析，回归分析是研究一个变量（被解释变量）关于另一个（些）变量（解释变量）的具体依赖关系的计算方法和理论，是建模和分析数据的重要工具。
在这里，我们使用曲线/线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。
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