理论力学 第二章非惯性系中的质点动力学
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第二章 非惯性系中的质点动力学
M1-28
积分可得
mgR(cos jmax 1 1) m 2 R 2 sin 2 jmax 0 2
因 sin 2 jmax 1 cos2 jmax 上式变为
mgR(cos jmax 1) 1 m 2 R 2 (1 cos 2 jmax ) 0 2
z
或
2 R cos2 jmax 2 g cos jmax 2 g 2 R 0
2. 当加速度 ae 2 g tan 时，牵连惯性力 FIe 2mg tan ，应用 相对运动动能定理，有
m v 2 0 ( F cos )l (mg sin )l Ie 2 r
整理后得
y' m
FN FIe
mg θ ae x'
m 2 vr (mg sin )l 2
力大小为 FIe m 2 R sin j ，方向如图。 经过微小角度dj 时，此惯性力作功为
z
W FIe R cos jdj m 2 R sin j cos jRdj
相对运动的动能定理，得
R
0 0 mgR(1 cos j max )
jmax
0
Байду номын сангаас
j
mg
FIe
m 2 R 2 sin j cos j dj
vr 质点相对动参考系速度
M1-20
上式两端点乘相对位移
dr
dvr m dr F dr FIe dr FIC dr dt
dr 注意到vr , 且科氏惯性力垂直于vr , 有FIC dr 0, 则 dt mvr dvr F dr FIe dr
第二章非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力 科氏惯性力
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
lxy理论力学(II) 非惯性系中的质点动力学
小球相对非惯性基的运动已知
FT
xC l0 vt yC 0
xC yC 0
x : 0 mg cos FT m 2 (l0 vt)
Fe
FC
y : 0 mg sin m(l0 vt) 2mv
G
Fωe
15
刚体动力学/非惯性基下刚体动力学/平面平动/解
18
例2–4 一平板与水面成角, 板上有一质量为 m 的小球, 如图示. 若不计摩擦等阻力, 问平板以多大的加速度向右平移时, 小球能保 持相对静止? 若平板又以这个速度的两倍向右平移时, 小球沿板向
上运动. 问小球沿板走了l 距离后, 小球的相对速度是多少?
解: (1) 令板向右平移, 则无科氏惯 性力.
1
C
转aω动e C向心牵连O2 r加C 速a度ωeC 小球C牵连惯性力 F e
切向牵连惯性力
(l0 vt) 2 FαemaCe mdefaFαeCαe
方向已知
Fωe
Fαe m(l0 vt)
法向牵连惯性力
Fωe方向已m知aωe C
Fωe ml 2
（3）当质点相对动参考系静止时，有ar=0,vr=0,又FIC=0,则
F FIe 0
上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参考 系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性 力相互平衡。
（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有ar=0，则
F FIe FIC 0
方向已知
x 0
aωe C
Fe
x
aαeC
Fωe
13
刚体动力学/非 惯性基下刚体动力学/平面平动/解
大学物理课件第二章质点动力学
大学物理课件第二章 质点动力学
目 录
• 质点动力学的物理模型 • 质点运动的基本规律 • 牛顿运动定律的应用 • 动量与动量守恒定律 • 能量与能量守恒定律 • 质点的角动量与角动量守恒定律
CHAPTER 01
质点动力学的物理模型
质点模型
质点模型的定义
01
质点是一个具有质量的点，用于简化实际物体的运动，忽略其
直线运动
匀速直线运动
物体在直线方向上保持恒定的速度，不受外力作 用时，将一直保持匀速直线运动。
匀加速直线运动
物体在直线方向上以恒定的加速度加速运动，速 度随时间线性增加。
匀减速直线运动
物体在直线方向上以恒定的加速度减速运动，速 度随时间线性减小。
曲线运动
01
02
03
圆周运动
物体围绕一个固定点做圆 周运动，速度方向始终垂 直于运动轨迹的切线。
坐标系的分类
坐标系分为直角坐标系、极坐标系、球坐标系等，用于描述物体在 空间中的位置和运动。
参考系与坐标系的选择
选择合适的参考系和坐标系可以简化物体的运动，便于分析和计算 。
时间和空间的测量
时间测量的历史
时间测量是物理学中一个重要的基本概念，经历了从天文观测到 现代精确计时技术的发展过程。
空间测量的方法
角动量守恒定律的意义
揭示了物体运动的基本规律，是理解和分析复杂运动的基础。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
通过分析合外力的冲量和质点动量的 变化，可以确定质点的运动状态和运 动规律。
动量守恒定律
动量守恒定律
在没有外力作用或合外力为零的系统中，系统的总动量保持不变。
动量守恒定律的应用
目 录
• 质点动力学的物理模型 • 质点运动的基本规律 • 牛顿运动定律的应用 • 动量与动量守恒定律 • 能量与能量守恒定律 • 质点的角动量与角动量守恒定律
CHAPTER 01
质点动力学的物理模型
质点模型
质点模型的定义
01
质点是一个具有质量的点，用于简化实际物体的运动，忽略其
直线运动
匀速直线运动
物体在直线方向上保持恒定的速度，不受外力作 用时，将一直保持匀速直线运动。
匀加速直线运动
物体在直线方向上以恒定的加速度加速运动，速 度随时间线性增加。
匀减速直线运动
物体在直线方向上以恒定的加速度减速运动，速 度随时间线性减小。
曲线运动
01
02
03
圆周运动
物体围绕一个固定点做圆 周运动，速度方向始终垂 直于运动轨迹的切线。
坐标系的分类
坐标系分为直角坐标系、极坐标系、球坐标系等，用于描述物体在 空间中的位置和运动。
参考系与坐标系的选择
选择合适的参考系和坐标系可以简化物体的运动，便于分析和计算 。
时间和空间的测量
时间测量的历史
时间测量是物理学中一个重要的基本概念，经历了从天文观测到 现代精确计时技术的发展过程。
空间测量的方法
角动量守恒定律的意义
揭示了物体运动的基本规律，是理解和分析复杂运动的基础。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
通过分析合外力的冲量和质点动量的 变化，可以确定质点的运动状态和运 动规律。
动量守恒定律
动量守恒定律
在没有外力作用或合外力为零的系统中，系统的总动量保持不变。
动量守恒定律的应用
非惯性系内质点动力学讲解
2 d( mv ) m r dr r0 2
§5-3 非惯性系内质点动力学
1 1 2 mv m 2 r 2 r02 2 2
v r 2 r02
方法二 机械能守恒定律
1 1 1 2 2 2 2 2 mv m r 0 m r0 2 2 2
§5-3 非惯性系内质点动力学 非惯性系与惯性系相比是不同的,在非惯性系中 牛顿第二定律不能成立.
非惯性系中的动力学与惯性系中的动力学又有 它们相似之处. 在引入惯性力之后, 在非惯性系中 把惯性力与相互作用力等同看待, 则在非惯性系内 牛顿第二定律在形式上得以成立. 通过简单的类比, 我们就可以知道在惯性系中得到的动力学规律 (如 三个定理、三个守恒定律等), 只要计入惯性力, 则 在非惯性系中亦可形式上不变地成立.从某种意义上 说，惯性系与非惯性系的差别仅仅在于是否考虑惯 性力而已. 在非惯性系内惯性力不但是一个真实的力, 而 且也可以是保守力, 并存在与其相关的势能.
§5-3 非惯性系内质点动力学
FN W mgk 例题5 2m v m r
方法一 动能定理
1 2 d mv m r dr 2
m r dr
§5-3 非惯性系内质点动力学 （1）非惯性系做匀加速平动
Ft ma mai ma x
保守力
V ma x
（2）非惯性系以匀角速度绕固定轴转动
1 2 2 2 FIc m r m e m 2 1 保守力 V m 2 2 2
2 2 v r r0
§5-3 非惯性系内质点动力学
1 1 2 mv m 2 r 2 r02 2 2
v r 2 r02
方法二 机械能守恒定律
1 1 1 2 2 2 2 2 mv m r 0 m r0 2 2 2
§5-3 非惯性系内质点动力学 非惯性系与惯性系相比是不同的,在非惯性系中 牛顿第二定律不能成立.
非惯性系中的动力学与惯性系中的动力学又有 它们相似之处. 在引入惯性力之后, 在非惯性系中 把惯性力与相互作用力等同看待, 则在非惯性系内 牛顿第二定律在形式上得以成立. 通过简单的类比, 我们就可以知道在惯性系中得到的动力学规律 (如 三个定理、三个守恒定律等), 只要计入惯性力, 则 在非惯性系中亦可形式上不变地成立.从某种意义上 说，惯性系与非惯性系的差别仅仅在于是否考虑惯 性力而已. 在非惯性系内惯性力不但是一个真实的力, 而 且也可以是保守力, 并存在与其相关的势能.
§5-3 非惯性系内质点动力学
FN W mgk 例题5 2m v m r
方法一 动能定理
1 2 d mv m r dr 2
m r dr
§5-3 非惯性系内质点动力学 （1）非惯性系做匀加速平动
Ft ma mai ma x
保守力
V ma x
（2）非惯性系以匀角速度绕固定轴转动
1 2 2 2 FIc m r m e m 2 1 保守力 V m 2 2 2
2 2 v r r0
《理论力学 动力学》 第五讲 非惯性系中质点的动能定理
4、非惯性系中质点的动能定理惯性参考系中的动能定理只适用于惯性系。
在非惯性参考系中，由于质点的运动微分方程中含有惯性力，因此需要重新推导动能定理。
质点的相对运动动力学基本方程为r d d m t=++Ie IC v F F F 式中e C r2m m m =-=-=-´Ie IC F a F a ωv ，r d d tv 是对时间t 的相对导数r v 上式两端点乘相对位移d ¢r r d d d d d d m t¢¢¢¢×=×+×+×Ie IC v r F r F r F r 注意到，并且科氏惯性力垂直于相对速度，所以IC F r v d 0¢×=IC F r d d r t¢=r v 上式变为：r r d d d m ¢¢×=×+×Ie v v F r F r δW ¢Ie—表示牵连惯性力F Ie 在质点的相对位移上的元功。
δF W ¢—表示力F 在质点的相对位移上的元功。
则有：2r 1d()δδ2F mv W W ¢¢=+Ie 质点在非惯性系中相对动能的增量等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
——质点相对运动动能定理（微分形式）4、非惯性系中质点的动能定理积分上式得22r r01122F mv mv W W ¢¢-=+Ie ——质点相对运动动能定理（积分形式）质点在非惯性系中相对动能的变化等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作功的和。
注意：因为在非惯性系中科式惯性力始终垂直于相对速度，因此在相对运动中科式惯性力始终不做功。
例4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，如图所示，若不计摩擦等阻力。
求: (1)平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止?(2)若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿板向上运动。
力学讲义-2质点动力学
K dr
≠
0
势能：保守力所作的功等于势能函数的减少（即势能增量的负值），即
重力势能为
A = −ΔEP
Ep = mgh （以 h = 0 处为势能零点）
弹性势能为
EP
=
1 2
kx2
万有引力势能为
（ k 为劲度系数，以弹簧原长处为势能零点）
EP
=
−G
m′m r
（以 r = ∞ 处为势能零点）
机械能守恒定律：若作用于系统的外力和非保守内力都不对系统作功或作功之和为
以摩擦力作功为变力作功，而从开始到链条离开
桌面，可由功能原理求得离开桌面的动能，从而求得速率。
解
（1） 建立坐标如图 2-3(b)所示，设任意时刻，链条下垂长度为 x，则摩擦力大小为
f = μ m (l − x)g l
摩擦力的方向与位移方向相反，故整个过程中摩擦力作功为
（1）
6
∫ ∫ Af
=
l f cos180o dx =
⋅
l 2
Ek
=
1 mυ 2 2
Ek0 = 0
将（3）、（4）、（5）、（6）、（7）代入（2）得
− μmg (l − a)2 = −mg l + 1 mυ 2 + mg a 2
2l
22
2l
解得
（4） （5） （6） （7）
υ = [l 2 − a 2 − μ (l − a)2 ]g L
（8）
【方法要略】 此题的关键是正确写出变力作功的表达式，求得摩擦力作的功；然后应
【知识扩展】 由上式结论知，当 t → ∞ ，υ → 0 ，其原因为，摩擦力与正压力 N 成正
比，而 N 与速度平方成正比，随着 t 增大，速度越来越小，但正压力也变小，随之摩擦力变
下2.非惯性系中的质点动力学
o y j 设运动初始条件:
R
x i
x0 y0 0 , z0 h . x0 y0 z0 0
将( 1 ) 、( 3 ) 式分别积分:
x 2y sin A
z gt 2y cos B
由初始条件可得: A = 0, B = 0
x 2y sin
z gt 2y cos
代入( 2 ) 式整理可得: y 22 y 2gt cos
F 在 这 里 应 理 解 为 作 用 在质 点 或 平 动 刚 体 上 的 合力.
上 式 可 写 成: mar F mae maC 我 们 定 义 ：牵 连 惯 性 力Fge mae 科 氏 惯 性 力FgC maC
即 有 mar F Fge FgC
写 成 微 分 方 程 的 形 式 有:
§1 – 2 非惯性系中的动能定理
前面我们使用的动能定理是在惯性参考系下成立的, 它只适合于惯 性系. 对于在非惯性系下运动的物体, 质点在此参考系下的动能的变 化, 除与真实力的功有关, 还与惯性力的功有关.
质点的相对运动的动力学方程可以写为:
~
m d Vr dt
F Fge
FgC
A
注意: d~Vr , d~r表示相对矢量在动系( 这里指非惯性参考系)内的改
d~ 2 r m dt 2 F Fge FgC
d~ 2 r dt 2
称为相对矢径r 的相对导数.(参见六版上册P178)
例一 . (例2－1) 单摆的摆长为L, 小球的质量为m , 其悬挂点O以加 速度 ao 向上运动. 求此单摆的微振动周期.
解: (分 析: 求 运 动 周 期 就 要 先 求 运动 方 程)
地球本身就是一非惯性系, 而且是一有转动的非惯性系. 所以, 严 格地讲,以地球作为参照系的上的力学现象中, 应有牵连惯性力和科 氏惯性力的效应.
理论力学 质点动力学(共114张PPT)
容，本课程只作适当的复习或让学生自学。 牵连惯性力向上，使血流自下而上加速流动，造成大脑充血，形成红视现象。
动点－血流质点
上式可以化为二阶线性齐次微分方程的标准形式
分析小摆动条件下，摆的运动
牵连惯性力向下，从心脏流
确将定式一 B的个表自达由式质对点ω在求空一间次的导位数置并需令要其三等个于独零立，坐可标以，发所现以，空此间时自振由幅质B点有有极三大个值自，向由即度头在。共部振的固有血圆流频率受阻，造成大脑
研究作用在物体上的力系与物体运动的关系，主要 是建立运动物体的力学模型，亦即建立描述受力物体运 动状态变化的数学方程，称为动力学问题的根本方程和 普遍定理。
工程动力学的研究对象是质点和质点系〔包括刚体〕， 因此动力学一般分为质点动力学和质点系动力学，前者是 后者的根底。
第7章 质点动力学
研究作用在质点 上的力和质点运动之间的关系。本章主要介绍质点在惯 性与非惯性系下的运动微分方程和简单的振动问题。
v1
F v2
棒球在被球棒击打后， 其速度的大小和方向发 生了变化。如果这种变 化即可确定球与棒的相 互作用力。
v2 v1
B A
载人飞船的交会与对接
工程动力学主要研究两类问题，一类是：物体的运动，确 定作用在物体上的力；另一类是：作用在物体上的力，确定物 体的运动。实际工程问题中多以这两类问题的交叉形式出现。 总之，工程动力学研究作用在物体上的力系与物体运动的关系。
maa F
aa ae ar aC
m(ae ar aC ) F
mar F mae maC
m ar F FIe FIC
FIe m ae－称为牵连惯性力(connected inertial force) FIC m aC 2mω vr
非惯性系中动力学问题的讨论讲解
包头师范学院本科毕业论文论文题目：非惯性系中动力学问题的讨论院系：物理科学与技术学院专业：物理学姓名：王文隆学号： 0809320007指导教师：鲁毅二〇一二年三月摘要综述了近几十年来国内外学者对非惯性系动力学方面的研究情况 ,以及对非惯性系动力学的实际应用情况。
介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法 ,惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式 ,以及非惯性系中的能量定理和能量守恒定律的应用等研究成果。
最后 ,概述了一些运用非惯性系动力学的方法来解决非惯性系中的理论和实际工程应用两方面的文献 ,并且对非惯性系的研究和应用进行了展望。
关键词：非惯性系；惯性力；动力学方程；拉格朗日方程；动量定理; 动能定律;守恒定律AbstractAnd under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort having translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department.Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply目录引言 (5)1非惯性系概述 (6)1.1非惯性系 (6)1.2 惯性力 (6)2 动力学方程 (7)2.1 质点动力学方程 (7)2.2 拉格朗日方程 (8)3 能量问题 (9)4 应用研究举例 (9)5 研究展望 (10)参考文献 (11)致谢 (12)非惯性系中动力学问题的讨论引言实际工程中有许多系统处于非惯性系内工作 ,如航空航天、天文和外星空探索等领域的许多转子系统。
哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇 第2章 非惯性系中的质点动力学
y′
非惯性系中的质点动力学基本方程，或质点相对运动动力 学基本方程
m a r F F Ie F IC
非惯性系中的质点动力学基本方程，其中 F Ie m a e --- 牵连惯性力 F IC m a C --- 科氏惯性力
在非惯性系中，牵连惯性力和科氏惯性力是真实存在的
2 2 2 2 2 2
1 2
m R (1 cos max ) 0
2
R cos max 2 g cos max 2 g R 0
解出
cos max g ( R g )
2
R
2
cos max
g ( R g )
2
R
2
1 2
mv
2 r
1 2
mv
2 r0
W F W Ie
质点相对运动动能定理的积分形式：质点在非惯性系中相 对动能的变化，等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相 对路径上所作的功之和。
例 半径为R的环形管，绕铅垂轴z以匀角速度转动，管内有 一质量为m的小球，原在最低处平衡。小球受微小扰动时可能会 沿圆管上升。忽略管壁摩擦，求小球能达到的最大偏角max。
（4）台风、龙卷风的形成。台风基本发生在大约离赤道5个
纬度以上的洋面上。
（5）证明地球自转的傅科摆(1851年Foucault J L发明）。
北半球
在北半球，摆运动的平面缓慢顺时针转动，平面旋转一周的周期为
T 2
sin
为地球自转角速度， 为傅科摆所在地的纬度。
某人水平抛出一个球，如果考虑科氏惯性力，在下述情况下，由抛球的人
a 2
02_第二章 质点动力学
F 0 时， 恒矢量
惯性和力的概念
如物体在一参考系中所受合外力为零时，而 保持静止或匀速直线运动状态，这个参考系就 称为惯性参考系，简称惯性系。
3
大学物理学
第二章
质点动力学
2. 牛顿第二定律 物体受到外力时，它获得的加速度的大小与 物体所受的合外力成正比，与物体的质量成反 比，加速度的方向与合外力的方向相同。
yb
例2.6 质量为 m 的质点沿曲线从 a 点运动到 b 点，已知 a 点离地面的高度为 ya ，b 点离地面 的高度为 yb，求此过程中重力对质点的做功。 y a y
a
W mg d y mg ( ya yb )
ya
重力做功只与质点的始末位置 有关，与运动路径无关。重力 是保守力。
7
大学物理学
第二章
质点动力学
二、 牛顿运动定律的应用 1. 问题分类 ①运动情况→受力情况； ②受力情况→运动情况； ③部分运动、受力情况→其余运动、受力情况。 2. 解题基本步骤 确定研究对象→隔离物体→受力分析→建立坐 标系→列方程→解方程→结果讨论
8
大学物理学
第二章
质点动力学
例2.1 求图所示物体组的加速度及绳子的张力。 已知斜面夹角为30°，物体 A 的质量为 3m ， 物体 B 的质量为 m ，绳子不可伸长，绳子与滑 轮的质量及所有摩擦力均不计。
例2.8 摩托艇在水面上以速度 0 作匀速运动。 当关闭发动机后，它受到的水的阻力与速率成 正比。求：关闭发动机后，摩托艇行走距离 x 时阻力所作的功。
23
大学物理学
第二章
质点动力学
阻力做功 W
x
0
x
k x d x
非惯性系内质点的动力学方程
F = F e 与的约束力 N Nn n
惯性力:
2
2 − m d R / d t = 0 ( R = 0) ×r = 0) ′ = 0(ω − mω
θ 2 ′ ′ − mω × (ω × r ) = 2maω cos er = Ft 2
′ ′ − 2mω × v = −2mωaθen = Fc (v = aθet )
并称之为科里奥利惯性力 , 简称科氏力 .
ma ′ = F + FI
牛顿第二定律在 S ′ 系中形式上得以成立. 下面我们对惯性力作几点说明. 1. 惯性力是力的概念在非惯性系中的推广.
相互作用力: 力是物体间的相互作用, 力的动 力学效果是使受力质点产生加速度. 在非惯性系中, 惯性力与相互作用力有相同的 动力学 效果 ( 这是 力的概念推广的 基础 ); 但 惯性 力 不是物体 间的相互作用 , 不遵从 牛顿第 三 定律 , 不存 在 反 作用力 ( 这是 惯性力与相互作用力的区 别). 2. 惯性力仅存在于非惯性系之中. 3. 在非惯性系中惯性力真实地存在. 在非惯性系中惯性力与相互作用力 是平权 的 . 在非惯性系中可以依据惯性力的动力学效果, 通过 实验而真实地测量到它的存在. 所以惯性力不“虚 构的” “假想的”力. 4. 惯性离心力. − m ω × (ω × r ′) 项 为惯性 离 通常 称牵连惯性力中 心力. 应注意 惯性 离心 力 − mω × (ω × r ′) 仅 在非惯性系 中存在, 与日常生活中说的“离心力”决不是一回 事. 例题 3 内壁光滑 的 水平细管 以 匀角速度 ω 绕 过其一端的竖直轴转动, 管内有一质量为 m 的小球, 如图所示 . 初始时小球 与竖直轴的 距离 为 a , 且相 对管静止. 求小球沿管的运动规律及所受约束力. 解 视 小球 为质点 , 以 小球 为 研究 对 象 . 以与 地固 连的 Oxyz 为 S 系 , z 轴沿竖直轴 ; 以与 管固 连
惯性力:
2
2 − m d R / d t = 0 ( R = 0) ×r = 0) ′ = 0(ω − mω
θ 2 ′ ′ − mω × (ω × r ) = 2maω cos er = Ft 2
′ ′ − 2mω × v = −2mωaθen = Fc (v = aθet )
并称之为科里奥利惯性力 , 简称科氏力 .
ma ′ = F + FI
牛顿第二定律在 S ′ 系中形式上得以成立. 下面我们对惯性力作几点说明. 1. 惯性力是力的概念在非惯性系中的推广.
相互作用力: 力是物体间的相互作用, 力的动 力学效果是使受力质点产生加速度. 在非惯性系中, 惯性力与相互作用力有相同的 动力学 效果 ( 这是 力的概念推广的 基础 ); 但 惯性 力 不是物体 间的相互作用 , 不遵从 牛顿第 三 定律 , 不存 在 反 作用力 ( 这是 惯性力与相互作用力的区 别). 2. 惯性力仅存在于非惯性系之中. 3. 在非惯性系中惯性力真实地存在. 在非惯性系中惯性力与相互作用力 是平权 的 . 在非惯性系中可以依据惯性力的动力学效果, 通过 实验而真实地测量到它的存在. 所以惯性力不“虚 构的” “假想的”力. 4. 惯性离心力. − m ω × (ω × r ′) 项 为惯性 离 通常 称牵连惯性力中 心力. 应注意 惯性 离心 力 − mω × (ω × r ′) 仅 在非惯性系 中存在, 与日常生活中说的“离心力”决不是一回 事. 例题 3 内壁光滑 的 水平细管 以 匀角速度 ω 绕 过其一端的竖直轴转动, 管内有一质量为 m 的小球, 如图所示 . 初始时小球 与竖直轴的 距离 为 a , 且相 对管静止. 求小球沿管的运动规律及所受约束力. 解 视 小球 为质点 , 以 小球 为 研究 对 象 . 以与 地固 连的 Oxyz 为 S 系 , z 轴沿竖直轴 ; 以与 管固 连
理论力学质点动力学
˙ 、和时 质点的加速度¨ r 和作用力F 成正比。一般情况下，力可以是坐标r、速度r 间t 的函数。这里m 为惯性质量。
1.2 动量、角动量和能量
(1) 动量与冲量 动量的定义：p = mv；冲量：Fdt； 动量定理： ˙ = F(r, r ˙ , t), p dp = Fdt；动量对时间的变化率等于力。 冲量定理：p2 − p1 = p1 ，意味着动量守恒。 (2) 角动量与力矩 角动量的定义：J = r × p. 力矩：M = r × F.
Contents
1 质点动力学 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 牛顿动力学方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 动量、角动量和能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 各种坐标系下的牛顿方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4
r
F · dr = V (r) − V (0)
0 r
=
0 r
dV ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∇V · dr.
0
=
0 r
=
r
(F − ∇V ) · dr = 0.
0 r
(1.6)
因为路径是任意的，故F = ∇V ，可以看出V (r) = V (0) + 0 F · dr，只要知 道保守力的表达式，即可由此得到势能的表达式。注意，这里如果假定无穷远 处为能量零点，即可得F = −∇V 。 (iii) 机械能 机械能：势能和动能之和 T + V 。 对于保守力，我们有 dT = F • dr = −∇V (r) • dr = −dV 。 于是，d(T + V ) = 0，即机械能守恒。
《理论力学 动力学》 第五讲 非惯性系中质点动力学的应用
求：套筒运动到端点A所需的时间
z'
及此时对杆的水平压力。
y'
2、非惯性系中质点动力学的应 用
解：研究套筒B相对于OA的运动.
O
选取和杆OA一起转动的坐标
系O x’y’z’为动参考系.
分析套筒受力, 其中
FIe = mw2 x¢ FIC = 2mw x&¢
套筒的相对运动动力学方程为：
m
d2r¢ dt 2
2、非惯性系中质点动力学的应 用
（1）傅科摆
在北半球，球铰链悬挂一支摆，摆锤摆动时，与 地球表面有相对速度，由于地球自转的影响，会 产生向左的科氏加速度，对应的科式惯性力向 右，因此它不会像单摆一样在一个固定平面内运 动，而会向右偏斜，轨迹如右图所示。这种现象 是傅科1851年发现的，称之为傅科摆。它证明了 地球的自转。摆绳摆动的平面在缓慢地顺时针旋 转，旋转一周的周期为：
2、非惯性系中质点动力学的应 用
例 1 如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m。其悬挂点O以加速度a0向上运动。
求：此时单摆作微振动的周期。
a0
解：在悬挂点固结一个平移坐标系O x’y’。
O
x'
小球相对于此动参考系的运动相当于悬挂点固定的单摆振动。
分析小球受力, 其中 FIe = ma0
φ
因动参考系作平移运动，所以科氏惯性力 FIC = 0
2
3) = 0.209s
m
d2r¢ dt 2
=
ห้องสมุดไป่ตู้mg
+
F1
+
F2
+
FIe
+
FIC
将相对运动动力学方程投影到y’轴上，得： F2 = FIC = 2mw x&¢
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y´
Pk O
x´ k
例题1
解：
x´ 4、建立质点(物块)的相对 运动微分方程：
mx F FIe 2kx m 2 x
ω
my FN FIC
aC
vr aen
FIC FIen
F
FN
x ( 2k 2 )x 0
m
FN 2mx
非惯性系中的质点动力学 应用举例
例题1
解： 4、计算结果分析与讨论 x ( 2k 2 )x 0
由初始条件得: t = 0时, , 0
2
d 2 sin d
0
/2
2 22 cos
(3)
mR2 N 2mR 2mR2 sin cos(90 )
2
2
N mR2 2mR 2mR2 sin2
(4)
2
联立(3)(4)两式得: N mR2(1 2 2cos 3cos)
飞行员的黑晕和红视现象
爬升时：a > 5g
俯冲时：a > 2g
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
？北半球由南 向北流动的河 流对河岸将产 生什么作用
§2-1 非惯性系中的质点动力学
非惯性系中的质点动力学
非惯性系中的质点动力学
动点－血流质点
牵连惯性力向下，从心脏 流向头部的血流受阻，造成 大脑缺血，形成黑晕现象。
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
飞行员的黑晕与红视现象
飞机急速俯冲时 飞行员的红视现象
俯冲时：a > 2g
惯性参考系－地球 非惯性参考系－飞机
动点－血流质点
牵连惯性力向上，使血流 自下而上加速流动，造成 大脑充血，形成红视现象。
g mg
F T cos
aA
l
M
FT FIe
M
mg
§2－2 非惯性系中质点的动能定理
质点的相对运动动力学基本方程为
m dvr dt
F
FIe
FIC
式中 FIe
mae
，FIC
maC
2m r
dvr dt
是
r
对时间t的相对导数
上式两端点乘相对位移dr 则有
m
dvr dt
dr
F
dr
FIe
dr
运动微分方程
当非惯性参考系仅作平移时
d2r
m dt 2
mar
F FIe FIC
d2r m dt2
mar
F
FIe
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
飞行员的黑晕与红视现象
爬升时：a > 5g
飞机急速爬高时 飞行员的黑晕现象
惯性参考系－地球 非惯性参考系－飞机
从中解出
mg sin FIe cos mae cos
得
ae g tan
（2）当加速度 ae 2g tan 时
牵连惯性力 FIe 2mg tan 应用相对运动动能定理 有
m 2
2 r
0
(FIe
cos
)l
(mg
s in
)l
整理后得
m 2
r2
(mg sin )l
解得
r 2gl sin
Nmax 2(2 2)mR2
例题3
质量为m，长度为l 的单摆，其
悬挂点随框架以匀角速度绕铅
垂轴转动，求单摆相对静止时的 角和摆杆的
张力。摆杆质量不计。
解：取小球 M 为研究对象
单摆相对静止时，应满足
X 0 FIe FT sin 0 Y 0 FT cos mg 0
解得：
tan a l sin 2
若平板又以这个加速度的两倍向右平移时， 小球应沿板向上运动。 问小球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是多少？
ae
解：（1）在平板上固结一动参考系 Oxy 重力mg 平板的约束力 FN
牵连惯性力 FIe mae 方向如图 FIC 0 小球相对静止
Fx 0，FN mg cos FIe sin 0 Fy 0， mg sin FIe cos 0
（2）第二章
非惯性系中的质点动力学
2020年9月29日
(2)第二章 非惯性系中的质点动力学 §2-1 非惯性系中的质点动力学 §2-2 非惯性系中质点的动能定理
§2-1 非惯性系中的质点动力学
几个有意义的实际问题 非惯性系中的质点动力学
§2-1 非惯性系中的质点动力学
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
质点非惯性系运动 非惯性系中质点的运动微分方程 牵连惯性力与科氏力实例 应用举例
非惯性系中的质点动力学
质点非惯性系运动
非惯性系中的质点动力学
质点惯性系运动
宇航员在航天器中的运动 傅科摆的摆动平面相对于地球的运动 飞行员血管中的血液质点相对于飞行器 的运动 水轮发电机中水流相对于水轮的运动
非惯性系中的质点动力学
m
物块不能在x´＝0处附近作自由振动，物块在x´＝0处 的平衡是不稳定的。
当 2 2k 牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力
m
物块在x´＝0处为随遇的平衡位置。
例 题 2 质量为 m的小环M沿半径为R的光滑园环
运动。园环在自身平面(水平面)内以匀角速度绕通
过O点的铅垂轴转动。在初瞬时，小环M 在MO 处
积分上式得
1 2
m
2 r
1 2
m
2 r0
WF
WIe
质点在非惯性参考系中相对动能的变化
等于作用在质点上的力与牵连惯性力
在相对路程上所作的功之和
这一规律称为质点相对运动动能定理的积分形式
例4
一平板与水平面成θ角， 板上有一质量为m的小球， 如图所示。若不计摩擦等阻力， 问平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。
运动微分方程
maa F
m(ae ar aC ) F
aa ae ar aC
mar F mae maC
m ar F FIe FIC FIe m ae
FIC m aC 2mω vr
m d2r dt 2
mar
F
FIe
FIC
非惯性系中质点的运动微分方程
非惯性系中的质点动力学 非惯性系中质点的
由于地球的 自转引起的水 流科氏惯性力。
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
水流科氏 惯性力对右 岸的冲刷。
非惯性系中的质点动力学
应用举例
非惯性系中的质点动力学 应用举例
k P
O k
例题1
开有矩形槽的大盘以等角速度
ω绕O轴旋转。矩形槽内安置物
块-弹簧系统，物块P的质量为m， 弹簧的刚度系数为k 。初始状态 下，物块处于大盘圆心O ，这时 弹簧不变形。
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形
惯性参考系－地球 非惯性参考系－大盘 动点－皮带上的小段质 量 m 牵连惯性力－大盘转速 很慢，牵连加速度很小， m的牵连惯性力可以忽略 不计。
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形
ω 求：1、物块的相对运动微分方程； 2、物块对槽壁的侧压力。
非惯性系中的质点动力学 应用举例
y´
OP P k x´
kk
aC
vr aen
例题1
解： x´ 1、非惯性参考系－O x´ y´
动点－物块P 动系－大盘
ω
2、分析相对速度和各种加
速度：
相对速度vr －沿着x´正向 牵连加速度aen－由大盘 转动引起
mar = FIen sin(90-/2)
O
marn = N - FIen cos(90-/2) - FIk
mR 2mR2 sin sin(90 )
2
2
mR 2 sin (1)
NR
arn
ar
FIen
M
MO
FIk
d
dt
d
dt
d d
d d
d
dt
d d
(2)
联立(1)(2)两式得: d 2 sin d
m
当 2 2k 时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，
m
物块的相对运动为自由振动，其固有频率为
0
2m 2
k
物块在x´＝0处的平衡位置为稳定平衡位置。
非惯性系中的质点动力学 应用举例
例题1
解： 4、计算结果分析与讨论 x ( 2k 2 )x 0
m
当 2 2k 牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，
非惯性系中质点的 运动微分方程
非惯性系中的质点动力学 非惯性系中质点的
运动微分方程
对质点P应用牛顿第二定律
maa F
根据加速度合成定理
aa ae ar aC
aa－质点的绝对加速度 ae－质点的牵连加速度 ar－质点的相对加速度 aC－质点的科氏加速度
非惯性系中的质点动力学 非惯性系中质点的
(o = 90)且处于相对静止状态。求小环 M 对园环的
径向压力的最大值。
R O
M MO
解:取小环M为研究对象.
aen =[2Rsin(/2)]2
O
= 2R2sin(/2)
arn R 2
art R
ak 2R
aM = aen + arn + art + ak
arn R
aen
MO
art
M
ak
对小环M进行受力分析.