理论力学 第二章非惯性系中的质点动力学

g mg
F T cos
aA
l
M
FT FIe
M
mg
§2－2 非惯性系中质点的动能定理
质点的相对运动动力学基本方程为
m dvr dt
F
FIe
FIC
式中 FIe
mae
，FIC
maC
2m r
dvr dt
是
r
对时间t的相对导数
上式两端点乘相对位移dr 则有
m
dvr dt
dr
F
dr
FIe
dr
mar = FIen sin(90-/2)
O
marn = N - FIen cos(90-/2) - FIk
mR 2mR2 sin sin(90 )
2
2
mR 2 sin (1)
NR
arn
ar
FIen
M
MO
FIk
d
dt
d
dt
d d
d d
d
dt
d d
(2)
联立(1)(2)两式得: d 2 sin d
动点－血流质点
牵连惯性力向下，从心脏 流向头部的血流受阻，造成 大脑缺血，形成黑晕现象。
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
飞行员的黑晕与红视现象
飞机急速俯冲时 飞行员的红视现象
俯冲时：a > 2g
惯性参考系－地球 非惯性参考系－飞机
动点－血流质点
牵连惯性力向上，使血流 自下而上加速流动，造成 大脑充血，形成红视现象。
由于地球的 自转引起的水 流科氏惯性力。
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
水流科氏 惯性力对右 岸的冲刷。
非惯性系中的质点动力学
应用举例
非惯性系中的质点动力学 应用举例
k P
O k
例题1
开有矩形槽的大盘以等角速度
ω绕O轴旋转。矩形槽内安置物
块-弹簧系统，物块P的质量为m， 弹簧的刚度系数为k 。初始状态 下，物块处于大盘圆心O ，这时 弹簧不变形。
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形
惯性参考系－地球 非惯性参考系－大盘 动点－皮带上的小段质 量 m 牵连惯性力－大盘转速 很慢，牵连加速度很小， m的牵连惯性力可以忽略 不计。
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形
运动微分方程
maa F
m(ae ar aC ) F
aa ae ar aC
mar F mae maC
m ar F FIe FIC FIe m ae
FIC m aC 2mω vr
m d2r dt 2
mar
F
FIe
FIC
非惯性系中质点的运动微分方程
非惯性系中的质点动力学 非惯性系中质点的
科氏加速度aC －2m vr
非惯性系中的质点动力学 应用举例
Байду номын сангаасy´
例题1
解：
Pk O
x´ k
x´ ω
3、分析质点(物块)受力：
F －弹簧力F＝2k x´ FN －槽对物块的约束力 FIC －科氏力
aC
vr aen
FIC FIen
FIen －法向牵连惯性力 FIen＝m ω 2 x´
F
FN
非惯性系中的质点动力学 应用举例
从中解出
mg sin FIe cos mae cos
得
ae g tan
（2）当加速度 ae 2g tan 时
牵连惯性力 FIe 2mg tan 应用相对运动动能定理 有
m 2
2 r
0
(FIe
cos
)l
(mg
s in
)l
整理后得
m 2
r2
(mg sin )l
解得
r 2gl sin
Nmax 2(2 2)mR2
例题3
质量为m，长度为l 的单摆，其
悬挂点随框架以匀角速度绕铅
垂轴转动，求单摆相对静止时的 角和摆杆的
张力。摆杆质量不计。
解：取小球 M 为研究对象
单摆相对静止时，应满足
X 0 FIe FT sin 0 Y 0 FT cos mg 0
解得：
tan a l sin 2
y´
Pk O
x´ k
例题1
解：
x´ 4、建立质点(物块)的相对 运动微分方程：
mx F FIe 2kx m 2 x
ω
my FN FIC
aC
vr aen
FIC FIen
F
FN
x ( 2k 2 )x 0
m
FN 2mx
非惯性系中的质点动力学 应用举例
例题1
解： 4、计算结果分析与讨论 x ( 2k 2 )x 0
（2）第二章
非惯性系中的质点动力学
2020年9月29日
(2)第二章 非惯性系中的质点动力学 §2-1 非惯性系中的质点动力学 §2-2 非惯性系中质点的动能定理
§2-1 非惯性系中的质点动力学
几个有意义的实际问题 非惯性系中的质点动力学
§2-1 非惯性系中的质点动力学
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
非惯性系中质点的 运动微分方程
非惯性系中的质点动力学 非惯性系中质点的
运动微分方程
对质点P应用牛顿第二定律
maa F
根据加速度合成定理
aa ae ar aC
aa－质点的绝对加速度 ae－质点的牵连加速度 ar－质点的相对加速度 aC－质点的科氏加速度
非惯性系中的质点动力学 非惯性系中质点的
积分上式得
1 2
m
2 r
1 2
m
2 r0
WF
WIe
质点在非惯性参考系中相对动能的变化
等于作用在质点上的力与牵连惯性力
在相对路程上所作的功之和
这一规律称为质点相对运动动能定理的积分形式
例4
一平板与水平面成θ角， 板上有一质量为m的小球， 如图所示。若不计摩擦等阻力， 问平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。
牵连惯性力 —— 大盘 转速很慢，牵连加速度很 小， m的牵连惯性力可 以忽略不计。
科氏力 —— m的科氏
加速度aC＝2 vr,科氏力 FIC＝－2 m vr，使皮
带变形。
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
质点非惯性系运动 非惯性系中质点的运动微分方程 牵连惯性力与科氏力实例 应用举例
非惯性系中的质点动力学
质点非惯性系运动
非惯性系中的质点动力学
质点非惯性系运动
宇航员在航天器中的运动 傅科摆的摆动平面相对于地球的运动 飞行员血管中的血液质点相对于飞行器 的运动 水轮发电机中水流相对于水轮的运动
非惯性系中的质点动力学
ω 求：1、物块的相对运动微分方程； 2、物块对槽壁的侧压力。
非惯性系中的质点动力学 应用举例
y´
OP P k x´
kk
aC
vr aen
例题1
解： x´ 1、非惯性参考系－O x´ y´
动点－物块P 动系－大盘
ω
2、分析相对速度和各种加
速度：
相对速度vr －沿着x´正向 牵连加速度aen－由大盘 转动引起
(o = 90)且处于相对静止状态。求小环 M 对园环的
径向压力的最大值。
R O
M MO
解:取小环M为研究对象.
aen =[2Rsin(/2)]2
O
= 2R2sin(/2)
arn R 2
art R
ak 2R
aM = aen + arn + art + ak
arn R
aen
MO
art
M
ak
对小环M进行受力分析.
飞行员的黑晕和红视现象
爬升时：a > 5g
俯冲时：a > 2g
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
？北半球由南 向北流动的河 流对河岸将产 生什么作用
§2-1 非惯性系中的质点动力学
非惯性系中的质点动力学
非惯性系中的质点动力学
m
当 2 2k 时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，
m
物块的相对运动为自由振动，其固有频率为
0
2m 2
k
物块在x´＝0处的平衡位置为稳定平衡位置。
非惯性系中的质点动力学 应用举例
例题1
解： 4、计算结果分析与讨论 x ( 2k 2 )x 0
m
当 2 2k 牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，
m
物块不能在x´＝0处附近作自由振动，物块在x´＝0处 的平衡是不稳定的。
当 2 2k 牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力
m
物块在x´＝0处为随遇的平衡位置。
例 题 2 质量为 m的小环M沿半径为R的光滑园环
运动。园环在自身平面(水平面)内以匀角速度绕通
过O点的铅垂轴转动。在初瞬时，小环M 在MO 处
由初始条件得: t = 0时, , 0
2
d 2 sin d
0
/2
2 22 cos
(3)
mR2 N 2mR 2mR2 sin cos(90 )
2
2
N mR2 2mR 2mR2 sin2
(4)
2
联立(3)(4)两式得: N mR2(1 2 2cos 3cos)
运动微分方程
当非惯性参考系仅作平移时
d2r
m dt 2
mar
F FIe FIC
d2r m dt2
mar
F
FIe
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力与科氏力实例
飞行员的黑晕与红视现象
爬升时：a > 5g
飞机急速爬高时 飞行员的黑晕现象
惯性参考系－地球 非惯性参考系－飞机
若平板又以这个加速度的两倍向右平移时， 小球应沿板向上运动。 问小球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是多少？
ae
解：（1）在平板上固结一动参考系 Oxy 重力mg 平板的约束力 FN
牵连惯性力 FIe mae 方向如图 FIC 0 小球相对静止
Fx 0，FN mg cos FIe sin 0 Fy 0， mg sin FIe cos 0
FIC
dr
注意到
vr
dr dt
且科氏惯性力FIC
垂直于相对速度
r
有 FIC dr 0 上式成为
mr dr F dr FIe dr
若以 WF 和 WIe
表示力 F 和牵连惯性力 FIe 在质点的相对位移上的元功
则有
d(1 2
mr2 )
WF
WIe
质点相对运动动能定理的微分形式：
质点在非惯性系中相对动能的增量 等于作用于质点上的力与牵连惯性力 在相对运动中所作的元功之和