高一数学概念(上)

第一章集合和命题

令狐采学

1.1集合

我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。

集合中的各个对象叫做这个集合的元素。

集合常用大写字母表示，集合中的元素用小写字母表示。

如果a是集合A的元素，就记作A

a∈，读作“a属于A”。

如果a不是集合A的元素，就记作A

a∉，读作“a不属于A”。

数的集合简称数集，常用大写的字母表示：

全体自然数组成的集合，即自然数集记作N，不包括零的自然数组成的集合，记作N*；

全体整数组成的集合即整数集，记作Z；

全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q；

全体实数组成的集合即实数集，记作R。

含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。

规定空集不含元素，记作φ

集合的表示方法常用列举法和描述法。

将集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。

在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即}{p x x A 满足性质|=，这种表示集合的方法叫做描述法。

1.2集合之间的关系

如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或（A B ⊇），读作“A 包含于B”或“B 包含A”。

对于两个A 和B ，如果B A ⊆且A B ⊇，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A ＝B ，读作“集合A 等于集合B”。

对于两个集合A 、B ，如果B A ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B”或“B 真包含A”。

1.3 集合的运算

一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作B A ，读作“A 交B”。集合A 、B 没有公共元素，即交集为空集。

由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 、B 的并集，记作B A ，读作“A 并B”。

在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符号U 表示。设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做集合A 在全集U 中的补集。记作A U C ,读作“A 补”。

1.4 命题的形式及等价关系

可以判断真假的语句叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

一个数学命题用条件α，结论β表示就是“如果α，那么β”，如果把结论与条件互相交换，就得到一个新命题：“如果β，那么α”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。

一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个命题叫做逆否命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题。如果我们把α、β的否定分别记作α、β，那么命题“如果α，那么β”的否命题就是：“如果α，那么β”。

如果A、B是两个命题，B

⇒

B，那么A、B叫做

A，A

⇒

等价命题。原命题与逆否命题就是等价命题。

1.5 充分条件，必要条件

一般地，用α、β分别表示两个命题，如果命题α成立，可以推出命题β也成立，即β

α⇒，那么α叫做β的充分条件。β叫做α的必要条件。

1.6 子集与推出关系

设A、B是非空集合，A＝{}α

b

b|，

具有性质

a|，B＝{}β

具有性质

a

则B

α⇒等价。

⊆

A与β

第二章不等式

2.1 不等式的基本性质

a>b的充要条件是a-b>0；

a=b 的充要条件是a-b=0；

a

性质1：如果a>b,b>c ，那么a>c ；

性质2：如果a>b ，那么a+c>b+c ；

性质3：如果a>b,c>0,那么ac>bc ；

如果a>b,c<0，那么ac

2.2 一元二次不等式的解法

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是：

02>++c bx ax 或02<++c bx ax （0≠a ）

一般地，设一元二次不等式为

02>++c bx ax 或02<++c bx ax （0>a ）

当对应的一元二次方程

02=++c bx ax 的根式判别式042>-=∆ac b 时，先求出方程的两个实数根21x x 、（不妨设21x x <），于是不等式02>++c bx ax 的解集为

{}21|x x x x x ><或；

不等式02<++c bx ax 的解集为

{}21|x x x x <<。

设a 、b 都为实数，并且b a <，规定：

（1）集合{}b x a x ≤≤|叫做闭区间，表示为[]b a ,；

（2）集合{}b x a x <<|叫做开区间，表示为()b a ,；

（3）集合{}b x a x <≤|或{}b x a x ≤<|叫做半开半闭区间，分别表示为[)b a ,或(]b a ,。

（4）把实数集R 表示为()+∞∞-,；把集合{}a x x ≥|、{}a x x >|、{}b x x ≤|和{}b x x <|分别用区间[)+∞,a 、()+∞,a 、(]b ,∞-和()b ,∞-表示，与也叫做区间的端点；“∞+”读作“正无穷大”，“∞-”读作“负无穷大”。

当判别式0<∆时，所以不等式02>++c bx ax 的解集为实数集R ；不等式02<++c bx ax 的解集为空集。

当0=∆时，a

b x x 221-==，所以不等式02>++

c bx ax 的解集为⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,22,a b a b ；不等式02<++c bx ax 的解集为空集。 2.3其他不等式的解法 型如0)

()(>x x f ϕ或0)()(

2.4基本不等式及其应用

基本不等式1 对任意实数a 和b ，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时等号成立。

基本不等式2 对任意正数a 、b ，有

ab b a ≥+2，当且仅当b a =时等号成立。 把

2b a +和ab 分别叫做正数a 、b 的算术平均数和几何平均数。

第三章 函数的基本性质

3.1函数的概念

在某个变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都