全等三角形判定经典

11.2三角形全等的判定ABC DEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。

表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEAC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。

例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。

求证：△ABC ≌△DCB 。

A BCD分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。

证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。

“ASA ”。

表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。

例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。

ABEFCD分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。

事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。

证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，()()()B C BF CE AFB CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证已证已证∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）角边”或“AAS ”。

表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，A D B E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）。

例3. 如图所示，R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CD 于D ，BF ⊥CD 于F ，AB 交CD 于E ，求证：AD ＝BF －DF 。

ABCDE F分析：要证AD ＝BF －DF ，观察图形可得CF ＝CD －DF ，只需证明CF ＝AD ，CD ＝BF 即可，也就是要证明△CFB ≌△ADC 。

由已知BC ＝AC ，∠CFB ＝∠ADC ＝90°，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BF ⊥CD ，∠ACB ＝90°，易证得∠CBF ＝∠ACD ，问题便得到证明。

证明：∵∠ACB ＝90°，BF ⊥CD∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠CBF ＋∠BCD ＝90° ∴∠CBF ＝∠ACD （同角的余角相等） 又∵AD ⊥CD ，∴∠CFB ＝∠ADC ＝90°在△CFB 和△ADC 中，CBF ACD CFB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知） ∴△CFB ≌△ADC （AAS ）∴CF ＝AD ，BF ＝CD （全等三角形的对应边相等） 又∵CF ＝CD －DF ∴AD ＝BF －DF评析：由条件AC ＝BC 和垂直关系可得，AC 、BC 为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用AAS 证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”。

表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEB E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF（SAS ）。

例4. 已知：如图所示，AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，BE＝CF 。

求证：AC ∥DF 。

ABCDE F分析：欲证AC ∥DF ，可通过证明∠ACB ＝∠F ，由平行线的判定定理即可得证。

而∠ACB 与∠F 分别是△ABC 和△DEF 的内角，所以应先证明△ABC ≌△DEF 。

由BE ＝CF 易得BC ＝EF ，再结合已知条件AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF 即可达到目的。

证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF 。

在△ABC 和△DEF 中，AB DE ABC DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）。

∴∠ACB ＝∠F 。

∴AC ∥DF 。

评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。

这里大括号中的条件按照“SAS ”顺序排列ABCD（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

表示方法：如图所示，在R t△ABC和R t△DEF中，∵AB＝DE，BC＝EF，∴R t△ABC≌R t△DEF（HL）。

A B CD E F注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。

②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC 和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。

③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。

例5. 如图所示，R t △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动。

问点P 运动到AC 上什么位置时，△ABC 才能和△PQA 全等？BCAPQM分析：要使△ABC 与△PQA 全等，由于∠C ＝∠PAQ ＝90°，PQ ＝AB ，则只需AP ＝CB 或AP ＝CA ，由HL 即可知道它们全等，从而容易确定P 点的位置。

解：由题意可知，∠C ＝∠PAQ ＝90°，又AB ＝PQ ， 要使△ABC ≌△PQA ，则只需AP ＝CB 或AP ＝CA 即可，从而当点P 运动至AP ＝5cm ，即AC 中点时，△ABC ≌△QPA ； 或点P 与点C 重合时，即AP ＝CA ＝10cm 时，△ABC ≌△PQA 。

评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。

解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。

本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。

例6. 如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，A 、B 、D 三点在同一直线上，连结CD 、AE ，并延长AE 交CD 于F 。

（1）求证：△ABE ≌△CBD 。

（2）直线AE 与CD 互相垂直吗？请证明你的结论。

分析：根据已知条件易得AB ＝BC ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠CBD ＝90°正好是△ABE 和△CBD 全等的条件。

对于AE 与CD 垂直关系的证明需要推证出∠CFA ＝90°。

证明：（1）∵△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，∴AB ＝CB ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠CBD ＝90° ∴△ABE ≌△CBD （SSA ） （2）AE ⊥CD ，∵在△ABE 和△CEF 中，∠EAB ＝∠ECF ，∠AEB ＝∠CEF ， 且∠ABE ＝90°，∴∠ECF ＋∠CEF ＝∠EAB ＋∠AEB∴∠ECF ＋∠CEF ＝180°－（∠EAB ＋∠AEB ） 即∠AFC ＝∠ABE ＝90°∴AE ⊥CD 。

评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。

A B CEF D拓展提高1.(07北京中考)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上， 设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠． 请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形；（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．1. 解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可. （2）与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ） 四边形DBCE 是等对边四边形. （3）此时存在等对边四边形DBCE.证明1：如图，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 的延长线于F 点. ∵∠DCB=∠EBC=12∠A ，BC 为公共边 ∴△BGC ≌△CFB ∴BF=CG∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A ∠GEC=∠ABE+∠A ∴△BDF ≌△CEG ∴BD=CE故四边形DBCE 是等对边四边形。

证明2：如图，在BE 上取一点F ，使得BF=CD ，连接CF.易证△BCD ≌△CBF ，故BD=CF ，∠FCB=∠DBC.∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A ∠CEF=∠ABE+∠A ∴CF=CE ∴BF=CE故四边形DBCE 是等对边四边形.BOADECAB CD EFMN P2.(09宣武一模)已知等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动）．（1）如图1，当点M 在点B 左侧时，请你连结EN ，并判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？请写出结论，并说明理由；（2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点M 在点C 右侧时，请你判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．（第23题图1） （第23题图2）（第23题图3） 2．解：（1）判断： EN=MF ，点F 在直线NE 上．证明：如答图1,连结DE 、DF 、EF ．∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC ． 又∵D 、E 、F 是三边的中点， ∴DE 、DF 、EF 为△ABC 的中位线． ∴DE=DF=EF ，∴∠FDE=∠DFE ＝60°． ∵△DMN 是等边三角形， ∴∠MDN ＝60°，DM=DN ．∴∠FDE ＋∠NDF=∠MDN+∠NDF ， ∴∠MDF=∠NDE ．在△DMF 和△DNE 中，DF=DE ，∠MDF=∠NDE ， DM=DN ， （第23题答图1）∴△DMF ≌△DNE ． ∴MF=NE ． 设EN 与BC 交点为P ，连结NF ．由△ABC 是等边三角形且D 、F 分别是AB 、BC 的中点可得△DBF 是等边三角形， ∴∠MDN=∠BDF ＝60°,MNMAB C D E∴∠MDN －∠BDN =∠BDF －∠BDN ，即∠MDB=∠NDF. 在△DMB 和△DNF 中，DM=DN ，∠MDB=∠NDF ，DB=DF ， ∴△DMB ≌△DNF ． ∴∠DBM=∠DFN ． ∵∠ABC =60°， ∴∠DBM =120°，∴∠NFD =120°. （第23题答图2）∴∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°.∴N 、F 、E 三点共线，∴F 与P 重合，F 在直线NE 上．…………………………………………4分（2）成立。