高中数学1.1空间几何体1.1.4投影与直观图自我小测新人教B版必修

1.1.4 投影与直观图

自我小测

1．晚上放学后，当你走路回家经过一盏路灯时，你会发现自己的身影是( ) A．变长B．变短C．先变长再变短D．先变短再变长

2．如果图形所在的平面不平行于投射线，那么下列说法正确的是( )

A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形

C．正方形的平行投影一定是矩形D．正方形的平行投影一定是菱形

3．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是( )

4．利用斜二测画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O′A′＝O′B′＝1，则直线AB在平面直角坐标系中对应的函数表达式是( )

A．y＝－x＋1 B．y＝x－1 C．y＝－2x＋2 D．y＝2x－2

5．如图所示，是水平放置的三角形的直观图，D为△ABC中BC边上的中点，则AB，AD，AC三条线段中( )

A ．最长的是A

B ，最短的是A

C B ．最长的是AC ，最短的是AB

C ．最长的是AB ，最短的是A

D D ．最长的是AC ，最短的是AD

6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，

则该平面图形的面积等于( )

A ．12＋2

B ．1＋2

C ．1

D ．2 7．如图所示，矩形A ′B ′C ′D ′是水平放置的图形ABCD 的直观图，其中A ′B ′＝6，

A ′D ′＝2，则图形ABCD 的形状为__________．

8．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图的面积为__________．

9．给出下列说法：

①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°； ②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形； ③水平放置的不等边三角形的直观图是不等边三角形；

④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．

写出其中正确说法的序号__________．

10．用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC 的直观图．

11．用斜二测画法画出底面边长为4 cm ，高为3 cm 的正四棱锥(底面是正方形，并且顶点在

底面的正投影是底面中心的棱锥)的直观图．

12．如图所示，在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，其中对角

线A ′C ′在水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画

出该四边形的真实图形并求出其面积．

参考答案

1．解析：由中心投影的性质知，身影先变短后变长．

答案：D

2．解析：结合平行投影的性质去判断．

答案：B

3．答案：A

4．解析：由直观图还原规律可得A ，B 在平面直角坐标系中的位置如图所示．

令函数表达式为y ＝kx ＋b ，

将A (1,0)，B (0，－2)代入上式得0,2,k b b +=⎧⎨

=-⎩解得2,2,

k b =⎧⎨=-⎩ 故函数表达式为y ＝2x －2．

答案：D

5．解析：逆用斜二测画法把直观图还原，原图还原后为∠B 是直角的直角三角形，如图，

则AB 为一条直角边，从图上可以看出，AC ＞AD ＞AB ．

答案：B

6．解析：建立如图所示的坐标系x ′O ′y ′，梯形为A ′B ′C ′D ′．

所以梯形A ′B ′C ′D ′的底A ′B ′＝1，

对应还原到xOy 中图形为下图．

梯形为直角梯形ABCD ，

所以AB ＝A ′B ′＝1，AD ＝2A ′D ′＝2，DC ＝D ′C ′＝1．

所以S ＝12 (CD ＋AB )×AD ＝12

(1＋1)×2＝2，故选D ． 答案：D

7．答案：菱形

8．解法一：实际图形和直观图如图所示，

根据斜二测画法规则可知，

A ′

B ′＝AB ＝a ，O ′

C ′＝12

OC a ， 作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，

则C ′D ′＝2

O ′C ．

所以△A ′B ′C ′的面积＝

12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×8＝162．

解法二：由于该正三角形面积为S2，

所以由公式S S可得其平面直观图面积S22．

2

9．解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长的比不为1∶2；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于

③，只要坐标系选取的恰当，水平放置的不等边三角形的直观图可以是等边三角形．

答案：④

10．解：如图所示．(1)画x′轴，y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，x′轴，y′轴与xOy坐标系中对应轴的单位长度相同．

(2)在x′轴上取点H，使O′H＝3，作HA′∥y′轴，并取A′H＝1，在y′轴上取C′，

使O′C′＝1，在x′轴上取B′，使O′B′＝4．

(3)顺次连接O′，A′，B′，C′，便得到四边形OABC的直观图O′A′B′C′．11．解：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝4 cm，AD＝2 cm．

(2)过O′作z′轴，使∠x′O′z′＝90°，在z′轴上截取O′S＝3 cm．

(3)连接SA，SB，SC，SD，得到如图②的图形就是所求的正四棱锥的直观图．