数学高考复习综合能力题选讲(二)

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2020高考数学课标二轮：综合能力训练含解析

①是底面直径和高均为1的圆锥;
②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体;
③是底面边长和高均为1的正四棱锥;
④是将上底面直径为2,下底面直径为1,高为1的圆台挖掉一个底面直径为2,高为1的倒置圆锥得到的几何体.
根据祖暅原理,以上四个几何体的体积与T的体积相等的是()
A.①B.②C.③D.④
故答案为3.
14.已知a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
2020高考数学课标二轮：综合能力训练含解析
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综合能力训练第63页
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.设集合A={x|x2-2x<0},B= ,则A∩B=()
A.(-∞,1)B.(2,+∞)C.RD.(1,2)
即12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时,等号成立.
∴S△ABC= bcsinA≤ ×12× =3 .
当且仅当b=c时,△ABC的面积取最大值3 .
16.(13分)设{an}是等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等比数列,a1=-3,S5=5,b1=a4,b1+b3=3(b2+1).
由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,

高考解答题专项突破(二) 三角函数的综合问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析

[考情分析]以三角形、三角函数为载体，以三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查三角函数的综合问题是高考的热点题型，主要考查内容有正、余弦定理、三角形面积的计算、三角恒等变换和三角函数的性质．解题时要充分利用三角函数的图象与性质，交替使用正弦定理、余弦定理，利用数形结合、函数与方程思想等进行求解．考点一三角函数图象与性质的综合例1已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ(1)求f (x )＝2的解集；(2)求函数g (x )＝f 解(1)由图象可知，周期T ＝5π12＋7π12＝π，∴ω＝2ππ＝2，∵，∴A 2×5π12＋0，∴0，解得5π6＋φ＝π＋2k π，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∵点(0，1)在函数图象上，∴A sin π6＝1，A ＝2，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x由f (x )＝x 2，得x 1，即2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ＝π6＋k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2|x ＝π6k π，k ∈(2)g (x )＝由(1)知f (x )＝xg (x )＝2sin 2＋π6－2sin 2＋π6＝2sin2x －2sinx ＝2sin2x －x ＋32cos2sin2x －3cos2x＝x 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，∴函数g (x )＝f k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .解决三角函数图象与性质综合问题的方法利用图象讨论三角函数的性质，应先把函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，然后通过换元法令t ＝ωx ＋φ，转化为研究y ＝A sin t 或y ＝A cos t 的性质．1.已知函数f (x )＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－4sin 2ωx 2sin φ(ω>0，|φ|<π)，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，________，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于y 轴对称且f (0)<0；②函数f (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝－π3且f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈π2，3π4，函数h (x )＝f (x )－a 存在两个不同零点x 1，x 2，求x 1＋x 2的值．解(1)f (x )＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－2(1－cos ωx )sin φ＝2sin(ωx ＋φ)，又函数f (x )的最小正周期为T ＝4×π4＝π，所以ω＝2πT＝2，若选条件①：将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度得到的图象关于y 轴对称，所得函数为y ＝2sin 2φ＝x ＋π3＋由函数y ＝2sin x ＋π3＋y 轴对称，可得π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝π6＋k π(k ∈Z )，因为|φ|<π，所以φ的可能取值为－5π6，π6，若φ＝－5π6，则f (x )＝xf (0)＝1，符合题意；若φ＝π6，则f (x )＝x f (0)＝2sin π6＝1，不符合题意．所以f (x )＝x若选条件②：因为函数f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－π3，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝7π6＋k π(k ∈Z )，因为|φ|<π，所以φ的可能取值为－5π6，π6，若φ＝－5π6，则f (x )＝x则2<f (1)，符合题意；若φ＝π6，则f (x )＝x则2sin π2＝2>f (1)，不符合题意．所以f (x )＝x(2)令t ＝2x －5π6∈π6，2π3，此时函数h (x )＝f (x )－a 存在两个不同零点x 1，x 2等价于直线y ＝a 与函数y ＝2sin t ，t ∈π6，2π3的图象有两个不同交点．当t ＝π2时，函数取到最大值，所以t 1＋t 2＝π，即2x 1－5π6＋2x 2－5π6＝π，所以x 1＋x 2＝4π3.考点二三角函数与解三角形的综合例2(2023·河北石家庄二中模拟)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，该函数图象上相邻两个最高点间的距离为4π，且f (x )为偶函数．(1)求ω和φ的值；(2)已知角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，求[f (A )]2＋[f (C )]2的取值范围．解(1)因为f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象上相邻两个最高点间的距离为4π，所以2πω＝4π，解得ω＝12，所以f (x )＝2sin ＋又因为f (x )为偶函数，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z .又因为0<φ<π，所以φ＝π2.(2)因为(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又因为A ＋B ＋C ＝π，且0<A <π，所以sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3，则A ＋C ＝2π3，即C ＝2π3－A ，由(1)知，函数f (x )＝2cos 12x ，所以[f (A )]2＋[f (C )]2＝2cos 212A ＋2cos 212C ＝cos A ＋cos C ＋2＝cos A ＋2＝cos A －12cos A ＋32sin A ＋2＝32sin A ＋12cos A ＋2＝2，因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6，所以1，则23，即[f (A )]2＋[f (C )]23.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两个方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用．2.设f (x )＝sin x cos x －cos x ∈[0，π]．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．解(1)由题意，得f (x )＝12sin2x －12cos x 1＝sin2x －12，因为0≤x ≤π，所以0≤2x ≤2π，由正弦函数的单调性可知，当0≤2x ≤π2或3π2≤2x ≤2π，即0≤x ≤π4或3π4≤x ≤π时，函数f (x )＝sin2x －12单调递增，所以f (x )的单调递增区间是0，π4和3π4，π.(2)由题意，得sin A －12＝0，所以sin A ＝12，因为△ABC 为锐角三角形，所以A 故A ＝π6.由余弦定理，得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，故b 2＋c 2－3bc ＝1，由基本不等式，得b 2＋c 2≥2bc ，故bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时，等号成立．因此S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋34，当且仅当b ＝c 时，△ABC 的面积取得最大值2＋34.考点三三角函数与平面向量的综合例3已知向量a ＝(sin x ，3sin(π＋x ))，b ＝(cos x ，－sin x )，函数f (x )＝a ·b －32.(1)求f (x )的最小正周期及f (x )图象的对称轴方程；(2)先将f (x )的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移π3个单位长度得到函数g (x )的图象，若函数y ＝g (x )－m 在区间π6，5π6内有两个零点，求m 的取值范围．解(1)因为f (x )＝a ·b －32sin x cos x ＋3sin 2x －32＝12sin2x －32cos2x ＝x 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ，所以f (x )的最小正周期为π，对称轴方程为x ＝k π2＋5π12，k ∈Z .(2)由(1)，知f (x )＝x由题意，得g (x )＝sin x .函数y ＝g (x )－m 在区间π6，5π6内有两个零点，转化为函数y ＝sin x ，x ∈π6，5π6的图象与直线y ＝m 有两个交点．由图象可得，m 的取值范围为12，当题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，首先运用向量数量积的定义、向量共线、向量垂直等，得到三角函数的关系式，然后利用三角函数的图象、性质解决问题．3.已知向量a x b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在－π2，0上的单调递增区间．解(1)由a ∥b ，得(－1)sin x ＝32cos x ，所以tan x ＝－32，所以2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2＋31＋94＝2013.(2)f (x )＝a ·b ＋b 2＝sin x cos x －32＋cos 2x ＋1＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝22sin x 当x ∈－π2，0时，2x ＋π4∈－3π4，π4，令－π2≤2x ＋π4≤π4，得－3π8≤x ≤0.故函数f (x )在－π2，0上的单调递增区间为－3π8，0.考点四解三角形与平面向量的综合例4(2024·四川成都调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2b ＋c ，a )，n ＝(cos A ，cos C )，m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)D 是线段BC 上的点，且AD ＝BD ＝2，CD ＝3，求△ABD 的面积．解(1)因为m ＝(2b ＋c ，a )，n ＝(cos A ，cos C )，m ⊥n ，所以m ·n ＝(2b ＋c )cos A ＋a cos C ＝0，由正弦定理可得2sin B cos A ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝0，即2sin B cos A ＋sin(A ＋C )＝0，又A ＋C ＝π－B ，所以2sin B cos A ＋sin B ＝0，又B ∈(0，π)，则sin B >0，所以cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，因此A ＝2π3.(2)设B ＝θ，因为A ＝2π3，则C ＝π－2π3－θ＝π3－θ，因为AD ＝BD ＝2，所以∠BAD ＝B ＝θ，∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝2π3－θ，在△ACD 中，由正弦定理可知AD sin C ＝CD sin ∠DAC，即23即θ－12sin θ＋12sin 化简可得5sin θ＝3cos θ，即tan θ＝35，所以sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝5314，所以S △ABD ＝12AD ·BD sin(π－2θ)＝12AD ·BD sin2θ＝12×22×5314＝537.解决解三角形与平面向量综合问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．4.(2023·广东广州天河区模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b cos B ＋C 2＝a sin B .(1)求A ；(2)若a ＝19，BA →·AC →＝3，AD 是△ABC 的中线，求AD 的长．解(1)因为cos B ＋C 2＝sin A 2，所以b sin A 2＝a sin B .由正弦定理，得sin B sin A 2＝sin A sin B .因为sin B ≠0，所以sin A 2＝sin A .所以sin A 2＝2sin A 2cos A 2.因为A ∈(0，π)，A 2∈所以sin A 2≠0，所以cos A 2＝12.所以A 2＝π3.所以A ＝2π3.(2)因为BA →·AC →＝3，所以bc cos(π－A )＝3.又A ＝2π3，所以bc ＝6.由余弦定理，得b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝13.又AD →＝12(AB →＋AC →)，所以|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(c 2＋b 2＋2bc cos A )＝74.所以|AD →|＝72，即AD 的长为72.课时作业1．(2023·广东佛山模拟)已知函数f (x )＝cos 4x ＋23sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝1，BC 边的中线AD 的长为7，求△ABC 面积的最大值．解(1)∵f (x )＝cos 4x ＋23sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝x 故f (x )的最小正周期T ＝π，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)由(1)得，f (A )＝A 1，即A ＝12，∵0<A <π，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3，又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)，∴7＝14(c 2＋b 2＋2bc cos A )＝14(b 2＋c 2＋bc )，∵b 2＋c 2≥2bc ，∴b 2＋c 2＋bc ≥3bc ，∴bc ≤283，当且仅当b ＝c ＝2213时取等号，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×283＝733，∴△ABC 面积的最大值为733.2.(2024·江西南昌模拟)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈(1)求函数f (x )的解析式和单调递增区间；(2)若将y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度，然后再将横坐标缩短为原来的12得到y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间－π4，π12上的最大值和最小值．解(1)由图象知，A ＝2，T 4＝π3－π12＝π4，T ＝π，又ω>0，则ω＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，，2，得π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝x 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．(2)将f (x )＝2sin x 的图象向右平移π12个单位长度，得2sin 2＋π3＝2sin x ，然后再将横坐标缩短为原来的12，得g (x )＝2sin x ．因为x ∈－π4，π12，则4x ＋π6∈－5π6，π2，所以－1≤x 1.故当4x ＋π6＝－π2，即x ＝－π6时，g (x )取得最小值，为－2；当4x ＋π6＝π2，即x ＝π12时，g (x )取得最大值，为2.3．设函数f (x )＝m ·n ，其中向量m ＝(2cos x ，1)，n ＝(cos x ，3sin2x )(x ∈R )．(1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知f (A )＝2，b ＝1，△ABC 的面积为32，求b sin B的值．解(1)因为m ＝(2cos x ，1)，n ＝(cos x ，3sin2x )，所以f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝x 1，所以当x 1，即2x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－π3＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，为－1.(2)由f (A )＝2，得A 1＝2，则A ＝12，又A ∈(0，π)，所以2A ＋π6∈故2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3，由S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝32，可得c ＝2，在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋4－2×1×2×12＝3，所以a ＝3，所以b sin B ＝a sin A ＝332＝2.4．(2023·四川成都模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝3，c ＝1，ab ＝23，求△ABC 的周长．解(1)依题意，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝x 1，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．(2)由(1)知，f (C )＝C 1＝3，即C 1，而C ∈(0，π)，则2C ＋π6∈于是2C ＋π6＝π2，解得C ＝π6，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得1＝(a ＋b )2－(2＋3)ab ＝(a ＋b )2－23×(2＋3)，解得a ＋b ＝2＋3，所以△ABC 的周长为3＋ 3.5．(2023·福建福州模拟)已知向量m 23sin x 4，n cos x 4，cos(1)若m ·n ＝2，求cos (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．解(1)m ·n ＝23sin x 4cos x 4＋2cos 2x 4＝3sin x 2＋cos x 2＋1＝ 1.因为m ·n ＝2，所以＝12.所以1－2sin ＝12.(2)因为f (x )＝m ·n ＝1，所以f (A )＝ 1.因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C .所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0.所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.所以0<A <2π3.所以π6<A 2＋π6<π2，12<sin ，故f (A )的取值范围是(2，3)．6．(2024·湖北黄冈调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(b ，a )，n ＝(sin A ，3cos(A ＋C ))，且m ·n ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求3a ＋c 的最大值．解(1)在△ABC 中，因为m ＝(b ，a )，n ＝(sin A ，3cos(A ＋C ))，m ·n ＝0，所以b sin A －3a cos B ＝0.由正弦定理，得sin A sin B ＝3sin A cos B ，又sin A >0，所以sin B ＝3cos B ，即tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由(1)，知B ＝π3，b ＝3，由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B＝2，即a ＝2sin A ，c ＝2sin C .又C ＝2π3－A ，所以3a ＋c ＝6sin A ＋2sin C ＝6sin A ＋7sin A ＋3cos A ＝213sin(A ＋θ)，其中锐角θ由tan θ＝37确定，又0<A <2π3，所以θ<A ＋θ<2π3＋θ.则当且仅当A ＋θ＝π2，即tan A ＝＝733时，sin(A ＋θ)取最大值1，所以3a ＋c 的最大值为213.7．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间0，π2上的值域；(3)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若0，a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解(1)依题意，f (x )＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin2x ＝cos2x －sin2x ＝2sinx 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π8≤x ≤k π－π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为k π－5π8，k π－π8(k ∈Z )．(2)由x ∈0，π2，得2x ＋3π4∈3π4，7π4，则－1≤x ≤22，即－2≤f (x )≤1，所以函数f (x )在区间0，π2上的值域为[－2，1]．(3)由(1)知，＝2sin 0，而0<A <π，即有3π4<A ＋3π4<7π4，则A ＋3π4＝π，解得A ＝π4，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，于是bc ≤4＋22，当且仅当b ＝c 时等号成立，因此S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤2＋1，所以△ABC 面积的最大值为2＋1.8．(2024·重庆永川北山中学模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos(A－C )＋cos B ＝32，设m ＝(b ，c )，n ＝(a ，b )且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)延长BC 至D ，使BD ＝5，若△ACD 的面积S ＝3，求AD 的长．解(1)由cos(A －C )＋cos B ＝32，可知cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32，即cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝32，可得sin A sin C ＝34.由m ∥n 可得b 2－ac ＝0，由正弦定理可知sin 2B ＝sin A sin C ＝34，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝32，因此B ＝π3或2π3.分别代入cos(A －C )＋cos B ＝32，可知当B ＝2π3时，cos(A －C )＝2，不成立．因此B ＝π3.(2)由B ＝π3可知cos(A －C )＝1，即A ＝C ，因此△ABC 为等边三角形，即a ＝b ＝c ，S △ACD ＝12AC ·CD sin ∠ACD ＝12b (5－a )sin 2π3＝34a (5－a )＝3，整理可得a (5－a )＝4，即a 2－5a ＝－4，在△ABD 中，由余弦定理可知，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝c 2＋25－5c ＝a 2＋25－5a ＝21，因此AD 的长为21.。

【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷(2)及参考答案

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷(2)及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案) 数学（文史类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） i 是虚数单位，复数=534ii +- （A ）（B ）1i -1i -+（C ）（D ）1i +1i --【解析】复数，选C.i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435【答案】C（2）设变量x,y 满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为，选 B.yx z 23-=223z x y -=223z x y -=)2,0(C 223zx y -=y x z 23-=423-=-=y x z 【答案】B（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环满足条件输出，选 C.2,2330==-=n S 3,83322==-+=n S 4,2633823==-+=n S 26=S 【答案】C（4）已知，则a ，b ，c 的大小关系为120.2512,(),2log 22a b c -===（A ）c<b<a （B ）c<a<b （C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为，所以，，所以，选 A.122.02.022)21(<==-b a b <<114log 2log 2log 25255<===c a b c <<【答案】A（5）设xR ，则“x>”是“2x2+x-1>0”的∈12 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【解析】不等式的解集为或，所以“”是“”成立的充分不必要条件，选A.0122>-+x x 21>x 1-<x 21>x 0122>-+x x【答案】A（6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） cos 2y x =，xR ∈（B ） xy 2log =，xR 且x ≠0∈（C ） 2x xe e y --=，xR ∈ （D ）31y x =+，xR ∈【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B.x y 2log =0>x x x y 22log log ==)2,1( 【答案】B（7）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是()sin f x x ω=ω4π)0,43(πω（A ）（B ）1 C ）（D ）21353【解析】函数向右平移得到函数，因为此时函数过点，所以，即所以,所以的最小值为2，选 D.4π)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g )0,43(π0)443(sin =-ππω,2)443(πωπππωk ==-Z k k ∈=,2ωω 【答案】D（8）在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足=，=(1-)， R 。

2022版高考数学二轮复习综合练习题2

综合练习题(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，∁U A ＝{1，2，5}，则集合A 等于( D ) A ．{0，1，2} B ．{2，3，4} C ．{3，4}D ．{0，3，4}【解析】因为全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤5}， ∁U A ＝{1，2，5}，由补集的定义可知集合A ＝{0，3，4}．故选D.2．已知复数z 满足(2＋i)z ＝|4-3i|(i 为虚数单位)，则z ＝( B ) A ．2＋i B ．2-i C ．1＋2iD ．1-2i【解析】由(2＋i)z ＝|4-3i|＝42＋（-3）2＝5，得z ＝52＋i ＝5（2-i ）（2＋i ）（2-i ）＝5（2-i ）22＋12＝2-i ，故选B. 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n 的最大值是S 8”⇔a 8＞0，a 9＜0.则“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0a 8＋a 9<0.∴“S n 的最大值是S 8”是“⎩⎪⎨⎪⎧a 7＋a 8＋a 9>0a 7＋a 10<0”的充要条件．故选C.4．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋log 2Q10(其中a 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，其耗氧量至少需要( )个单位．( C )A ．70B ．60C ．80D ．75【解析】由题意可得0＝a ＋log 22010，解得a ＝-1，∴v ＝-1＋log 2Q10，∴-1＋log 2Q10≥2，解得Q ≥80，故选C.5．已知数列{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，前n 项和为S n ，满足2a 4＝a 3＋5，则S 9＝( C )A ．35B ．40C ．45D ．50【解析】 ∵2a 4＝a 3＋5，∴2(a 5-d )＝a 5-2d ＋5， ∴a 5＝5，∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝5×9＝45，故选C.6．某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为( A )A ．83B ．8C ．43D ．4【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体是四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为正方形，边长为2，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，则该四棱锥的体积V ＝13×2×2×2＝83.故选A ．7．已知在边长为3的等边△ABC 中，AP →＝12AC →＋13AB →，则CP →在CB →上的投影为( C )A ．154B ．-54C ．54D ．152【解析】 CP →＝AP →-AC →＝12AC →＋13AB →-AC →＝13AB →-12AC →，∴CP →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →-12AC →·(AB →-AC →)＝13AB →2-56AB →·AC →＋12AC →2 ＝13×9-56×3×3×12＋12×9＝154， ∴CP →在CB →上的投影为CP →·CB →|CB →|＝1543＝54.故选C.8．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与直线y a -xb＝1交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为( A )A ．5-12B ．3-12 C.3＋14D ．5＋14【解析】椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与直线y a -xb ＝1交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，则BA →·BF →＝0，解得b 2＝ac ，即a 2-c 2＝ac ，即e 2＋e -1＝0，e ∈(0，1)，故e ＝5-12.故选A ． 9．下列只有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2-1)x ＋1(a ≠0)的导函数的图象，则f (-1)＝( A )A ．-13B ．13C ．73D ．-13或73【解析】因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2-1)x ＋1(a ≠0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2-1)，Δ＝4a 2-4(a 2-1)＝4＞0，开口向上，故导函数图象开口向上，与x 轴有2个交点，对称轴是x ＝-a ，结合选项(3)符合，由f ′(0)＝a 2-1＝0且-a ＞0得a ＝-1，故f (-1)＝-13-1＋1＝-13.故选A ．10．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[-π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( C ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【解析】 f (-x )＝sin|-x |＋|sin(-x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )则函数f (x )是偶函数，故①正确，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin|x |＝sin x ，|sin x |＝sin x ，则f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x 为减函数，故②错误，当0≤x ≤π时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，由f (x )＝0得2sin x ＝0得x ＝0或x ＝π，由f (x )是偶函数，得在[-π，0)上还有一个零点x ＝-π，即函数f (x )在[-π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x |＝1，|sin x |＝1时，f (x )取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选C. 11．设a ＝3π，b ＝π3，c ＝33，则( C ) A ．b ＞a ＞c B ．c ＞a ＞b C ．a ＞b ＞cD ．b ＞c ＞a【解析】考查幂函数y ＝x 3在(0，＋∞)是单调增函数，且π＞3，∴π3＞33，∴b ＞c ；由y ＝3x 在R 上递增，可得3π＞33，由a ＝3π，b ＝π3，可得ln a ＝πln 3，ln b ＝3ln π，考虑f (x )＝ln x x 的导数f ′(x )＝1-ln xx2，由x ＞e 可得f ′(x )＜0，即f (x )递减，可得f (3)＞f (π)，即有ln 33＞ln ππ，即为πln 3＞3ln π，即有3π＞π3，则a ＞b ＞c ，故选C.12．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点和右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1＝2r 2，则直线l 的斜率为( D )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2【解析】记△AF 1F 2的内切圆圆心为C ，边AF 1、AF 2、F 1F 2上的切点分别为M 、N 、E ，易见C 、E 横坐标相等，则|AM |＝|AN |，|F 1M |＝|F 1E |，|F 2N |＝|F 2E |，由|AF 1|-|AF 2|＝2a ，即|AM |＋|MF 1|-(|AN |＋|NF 2|)＝2a ，得|MF 1|-|NF 2|＝2a ，即|F 1E |-|F 2E |＝2a ，记C 的横坐标为x 0，则E (x 0，0)，于是x 0＋c -(c -x 0)＝2a ，得x 0＝a ，同样内心D 的横坐标也为a ，则有CD ⊥x 轴，设直线的倾斜角为θ，则∠OF 2D ＝θ2，∠CF 2O ＝90°-θ2，在△CEF 2中，tan ∠CF 2O ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°-θ2＝r 1|EF 2|，在△DEF 2中，tan ∠DF 2O ＝tan θ2＝r 2|EF 2|，由r 1＝2r 2，可得2tan θ2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°-θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝22，则直线的斜率为tan θ＝2tanθ21-tan 2θ2＝21-12＝22，故选D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤3x -y ≤0x ＋2≥0，则z ＝x -2y 的最大值为__2__.【解析】由z ＝x -2y 得y ＝12x -12z ，作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤3x -y ≤0x ＋2≥0对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y ＝12x -12z ，由图形可知当直线经过点B 时，直线y ＝12x -12z 的截距最小，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-2x -y ＝0，得B (-2，-2)．代入目标函数z ＝x -2y ，得z ＝-2-2×(-2)＝2，故答案为2.14．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (1＋x )＝f (1-x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝__2__.【解析】根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (-x )＝-f (x )，又由f (x )满足f (1＋x )＝f (1-x )，则f (-x )＝f (2＋x )，则有f (x ＋2)＝-f (x )，变形可得：f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )为周期为4的周期函数；又由f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，则f (2)＝-f (0)＝0，f (3)＝-f (1)＝-2，f (4)＝f (0)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0＋(-2)＋0＝0，则有f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×504＋f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2；故答案为2.15．已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝__-3【解析】已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，则sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3-π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，整理得：12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3-32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，故：32cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝-52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，解得：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝-35，则：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3-π6 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3-tan π61＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3tan π6＝-233，故答案为-233. 16．设直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是4010π3，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是__22__.【解析】设AB ＝AC ＝AA 1＝2m . ∵∠BAC ＝120°，∴∠ACB ＝30°，于是2msin 30°＝2r (r 是△ABC 外接圆的半径)，r ＝2m .又球心到平面ABC 的距离等于侧棱长AA 1的一半， ∴球的半径为（2m ）2＋m 2＝5m . ∴球的体积为43π×(5m )3＝4010π3，解得m ＝ 2.于是直三棱柱的高是AA 1＝2m ＝2 2. 故答案为2 2.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (一)必考题：共60分17．(本小题满分12分)设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a cos B ＝b cos A ＋c ，(1)证明：△ABC 是直角三角形；(2)若D 是AC 边上一点，且CD ＝3，BD ＝5，BC ＝6，求△ABD 的面积．【解析】 (1)由正弦定理a cos B ＝b cos A ＋c 化为：sin A cos B ＝sin B cos A ＋sin C ， ∴sin A cos B -sin B cos A ＝sin C ， ∴sin(A -B )＝sin C ，∵A -B ∈(-π，π)，C ∈(0，π)， ∴A -B ＝C 或A -B ＝π-C (舍) ∴A ＝B ＋C ，∴A ＝π2.即△ABC 是直角三角形．(2)在△BCD 中，CD ＝3，BD ＝5，BC ＝6，由余弦定理得cos C ＝CD 2＋BC 2-BD 22CD ×BC ＝59.∴sin C ＝2149.∴AC ＝BC ×cos C ＝103，∴AD ＝AC -CD ＝13，又AB ＝BC ×sin C ＝4143.∴S △ABD ＝12AB ×AD ＝2149.18．(本小题满分12分)(理)某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和2p -1(0.5≤p ≤1)．(1)从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值p 0；(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1 000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？(文)(2021·金安区模拟)某5G 手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的甲、乙两车间的生产质量，质检部门随机从甲、乙两车间各抽检了100件配件，其检测结果：(1)分别估计甲、乙车间生产出配件的正品的概率．(2)该厂规定一等品每件的出厂价是二等品的出厂价的2倍，已知每件配件的生产成本为5元，根据环保要求需要处理费用为3元，厂家要求生产的每件配件的平均利润不低于21.7元，求二等品每件的出厂的最低价．【解析】 (理)(1)P ＝1-(1-p )(1-(2p -1))＝1-2(1-p )2. 令1-2(1-p )2≥0.995，解得p ≥0.95. 故p 的最小值p 0＝0.95.(2)由(1)可知A ，B 生产线上的产品合格率分别为0.95，0.9. 即A ，B 生产线的不合格产品率分别为0.05和0.1.故从A 生产线抽检的1 000件产品中不合格产品大约为1 000×0.05＝50件，故挽回损失50×5＝250元，从B 生产线上抽检1 000件产品，不合格产品大约为1 000×0.1＝100，可挽回损失100×3＝300元， ∴从B 生产线挽回的损失较多．(文)(1)由数表知，甲车间生产出配件的正品的频率是55＋33100＝0.88. 所以甲车间生产配件的正品的概率估计值为0.88. 乙车间生产出的配件的正品的频率是65＋27100＝0.92.所以，乙车间生产的配件的正品的概率估计为0.92.(2)设二等品每件的出厂价为a 元，则一等品每件的出厂价为2a 元．由题意知：1200[120(2a -5)＋60(a -5)-20×8]≥21.7，整理得32a -5.3≥21.7，所以a ≥18，所以二等品每件的出厂的最低价为18元．19．(本小题满分12分)如图所示，△ABC 是等边三角形，DE ∥AC ，DF ∥BC ，面ACDE ⊥面ABC ，AC ＝CD ＝AD ＝DE ＝2DF ＝2.(1)求证：EF ⊥BC ； (2)求四面体FABC 的体积．【解析】 (1)证明：∵DE ∥AC ，DF ∥BC ，又△ABC 是等边三角形， ∴∠EDF ＝∠ACB ＝60°，又AC ＝DE ＝BC ＝2DF ＝2，在△EDF 中，由余弦定理可得，EF ＝22＋12-2×1×2×cos 60°＝3，∴EF 2＋DF 2＝DE 2，故EF ⊥DF ，又DF ∥BC ，∴EF ⊥BC . (2)取AC 的中点O ，连接DO ，由AD ＝DC ，得DO ⊥AC ，又平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ，∴DO ⊥平面ABC ，且求得DO ＝22-12＝ 3.由DE ∥AC ，DF ∥BC ，且DE ∩DF ＝D ，可得平面DEF ∥平面ABC ，则F 与D 到底面ABC 的距离相等，则四面体FABC 的体积V ＝13×12×2×2×32×3＝1. 20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，过C 的焦点F 的直线l 1与抛物线交于A 、B 两点，当l 1⊥x 轴时，|AB |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，过点F 的另一条直线l 与C 交于M 、N 两点，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 1＋k 2＝0(k 1＞0)，且3S △AMF ＝S △BMN ，求直线l 1的方程．【解析】 (1)根据题意可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，当l 1⊥x 轴时，直线l 1的方程为x ＝p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y 2＝2px，解得y ＝±p ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，-p ，所以|AB |＝2p ＝4，解得p ＝2，进而可得抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由(1)可知F (1，0)，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x -1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x -1）y 2＝4x，得k 21x 2-(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，所以Δ＝(2k 21＋4)2-4k 41＝16k 21＋16＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21，x 1x 2＝1，① 因为k 1＋k 2＝0，所以k 1＝-k 2，因为直线l 2与抛物线交于点M ，N ，所以A 与N 关于x 轴对称，M 与B 关于x 轴对称，因为3S △AMF ＝S △BMN ，S △AMF ＝S △BNF ，所以3S △AMF ＝S △AMF ＋S △BFM ，所以2S △AMF ＝S △BFM ，所以2|AF |＝|BF |，由抛物线定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以2x 1＋2＝x 2＋1，即x 2＝2x 1＋1，代入①得(2x 1＋1)x 1＝1，解得x 1＝12或-1(舍去)，所以x 2＝2x 1＋1＝2×12＋1＝2，所以x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21＝2＋12＝52，解得k 21＝8，即k 1＝22，所以直线l 1的方程为y ＝22(x -1)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x (a ∈R )．(1)若a ＝-1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋1e x -x a ，且g (x )≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立，求实数a 的最小值．【解析】 (1)a ＝-1时，f (x )＝-ln x ＋x ，函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，则f ′(x )＝-1x ＋1＝x -1x，令f ′(x )＞0，解得：x ＞1，令f ′(x )＜0，解得：0＜x ＜1，故f (x )的单调减区间为(0，1)，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)．(2)由g (x )≥0，可得e -x -(-x )≥x a -a ln x ，即e -x -(-x )≥eln xa -a ln x ①，令h (t )＝e t -t ，由h ′(t )＝e t -1得，当t ＜0时，h (t )递减，当t ＞0时，h (t )递增，所以①即为h (-x )≥h (a ln x )，由于求实数a 的最小值，考虑化为a ＜0，所以-x ≤a ln x ，即a ≥-xln x ，令l (x )＝-xln x ，则l ′(x )＝-ln x -1（ln x ）2，令l ′(x )＞0，解得：0＜x ＜e ，令l ′(x )＜0，解得：x ＞e ，故l (x )在(0，e)递增，在(e ，＋∞)递减，故可得l (x )的最大值为-e ，所以a 的最小值为-e.(二)选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分22．(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y -4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t y ＝2sin t(t 为参数)．以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设射线θ＝α(ρ≥0，0≤α＜2π)与直线l 和曲线C 分别交于点M ，N ，求4|OM |2＋1|ON |2的最小值．【解析】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，可得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ-4＝0，即有ρ＝4cos θ＋sin θ；曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t y ＝2sin t(t 为参数)，可得sin 2t ＋cos 2t ＝y 22＋x 2＝1，则ρ2cos 2θ＋12ρ2sin 2θ＝1，即为ρ2＝22cos 2θ＋sin 2θ＝21＋cos 2θ. (2)设M (ρ1，α)，N (ρ2，α)，其中0≤α＜3π4或7π4＜α＜2π，则4|OM |2＋1|ON |2＝（cos α＋sin α）24＋1＋cos 2α2 ＝1＋2sin αcos α4＋3＋cos 2α4 ＝1＋sin 2α＋cos 2α4＝1＋24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝-1即α＝5π8时，4|OM |2＋1|ON |2取得最小值1-24.23．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x |.(1)求不等式3f (x -1)-f (x ＋1)＞2的解集；(2)若不等式f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)的解集包含[-2，-1]，求a 的取值范围．【解析】 (1)∵f (x )＝|x |，∴3f (x -1)-f (x ＋1)＞2，即3|x -1|-|x ＋1|＞2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤-1，-3（x -1）＋x ＋1>2①，或⎩⎪⎨⎪⎧-1<x <1，-3（x -1）-x -1>2②，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3（x -1）-x -1>2③. 解①得x ≤-1，解②得-1＜x ＜0，解③得x ＞3，综合可得x ＜0或x ＞3，所以原不等式的解集为(-∞，0)∪(3，＋∞)．(2)f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)，即|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|.因为不等式f (x -a )＋f (x ＋2)≤f (x ＋3)的解集包含[-2，-1]，所以，|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|对于x ∈[-2，-1]恒成立．因为x ∈[-2，-1]，所以，x ＋2≥0，x ＋3≥0，所以|x -a |＋|x ＋2|≤|x ＋3|等价于|x -a |＋x ＋2≤x ＋3，即|x -a |≤1恒成立，所以a -1≤x ≤a ＋1在[-2，-1]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤-2-1≤a ＋1，解得-2≤a ≤-1，即实数a 的取值范围为[-2，-1]．。

2015届高考数学(理)一轮讲义：一轮复习综合验收题精讲(二) 精品讲义

一轮复习综合验收题精讲(二)主讲教师：王春辉北京数学特级教师选择题注：本讲课程内容较多，故有些题目不在课堂中讲解，没讲到的题目请同学们课下自己练习并对照详解进行自测. 题一：计算120x dx =⎰（）． (A)2(B) 1(C)13(D)14题二：圆1cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）的极坐标方程是（）． (A)cos ρθ= (B) 2cos ρθ= (C)sin ρθ= (D) 2sin ρθ=题三：若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（）． (A)3- (B) 13- (C) 3 (D)13题四：下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出 //AB 平面MNP 的图形的序号是（）．(A) ①、③ (B) ①、④ (C) ②、③ (D) ②、④题五：已知向量a 1),=b (0,1),=-c (,k =．若a 2-b 与c 共线，则k =（）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4题六：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）．（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0（C ）丙地：中位数为2，众数为3 （D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3题七：ABC ∆中，3||=→AB ，1||=→BC ， =→B AC cos ||A BC cos ||→，则=⋅→→BC AB （）．(A)23-或1- (B) 32或1 (C) 23-或2- (D)23或2题八：在ABC ∆中，3,2==AC AB ，D 是边BC 的中点，则=⋅→→BC AD ( )． (A) 5 (B) 25 (C) 23(D) 4题九：函数)(x f )(log 3ax x a -=)1,0(≠>a a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（）．(A))1,41[ (B))1,43[ (C)),49(+∞ (D))49,1(题十：设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,3)C t +，(,3)D t ()t ∈R ．记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（）．（A ）}9,8,6{（B ）}9,8,7{（C ）}8,7,6{（D ）}9,8,7{填空题题一：设不等式组2220x y a x y -⎧⎪⎨⎪+-≥⎩≤≤≤≤0(0)a >确定的平面区域为U ．在区域U 内任取一个点(,)M s t ，已知s t +的最大值为4，则此点到坐标原点的距离不大于2的概率是 .题二：直线1:2)l y x =-关于直线:l y kx =对称的直线2l 与x 轴平行，则k = ．题三：中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日）的对角线走．例如马从方格中心点O 走一步，会有8种走法．则从图中点A 走到点B ，最少需______步，按最少的步数走，共有______种走法．题四：把函数:(1,2,,)k f k i k n →=称为1,2,,n 这n 个整数的一个“置换”，记作：⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i i i n ,,,,2,121，其中},,2,1{n ={n i i i ,,,21 }．置换f 与g 的积（记作g f ）仍为置换，且)]([)(k g f k g f = ，n k ,,2,1 =．（1）1,2,,n 这n 个整数的不同“置换”共个；（2）求置换的积：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= ．解答题题一：(理)在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===.（1）求直线1AC 和11A B 所成角的大小；（2）求直线1AC 和平面11ABB A 所成角的大小.题二：(文)已知：点P 到定点)0,1(-M 、)0,1(N 的距离之比为2．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．题三：某村子有1000人，因附近工厂有毒物质泄漏，现要对每个人的血液进行化验。

高考数学复习备战：最新真题解析—不等式选讲

（2）基本不等式:如果a，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
（2）法一：利用基本不等式得到，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy不等式证明.
(1)∵ ，，都为正整数，且．
∴ ，
当且仅当时“=”成立．
(2)法一：由题意得
①+②+③，得，
当且仅当时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得．
令，
则．
令，则在上单调递增．
∴ ，即．
(1)当时，等价于，
该不等式恒成立，所以；
当时，等价于，
解得，此时不等式无解；
当时，等价于，解得，所以．
综上所述，不等式的解为．
(2)由，得，
当时，恒成立，所以；
当时，恒成立，
因为，
当且仅当时取等号，所以．综上所述，的取值范围是．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数．
当时，，解得，
故不等式的解集为或；
(2)由（1）可知：
当时，，
当时，，
当时，，
故的最小值为3，即，则，即
则，
当且仅当时取等号，
故的最小值为 .
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数 .
(1)求不等式的解集；
(2)设时，的最小值为M.若正实数a，b，满足，求的最小值.

广西高考数学二轮复习第2部分高考22题各个击破专题

不必要条件,则下列命题为真命题的是( D )
A.p∧q
B.( p)∧q
C.p∧( q)
D.( p)∧( q)
解析命题p:对任意x∈R,总有2x>x2;是假命题,例如取x=2时,2x与x2 相等. q:由“a>1,b>1”⇒“ab>1”;反之不成立,例如取a=10,b=12 .
∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必要不充分条件,是假命题. ∴选项中为真命题的是( p)∧( q),故选 D.
5.(2018天津,文1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-
1≤x<2},则(A∪B)∩C=( C )
A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1}
D.{2,3,4}
解析 ∵A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},∴A∪B={-1,0,1,2,3,4}.
解析
∵1
1-i
=
1+i (1-i)(1+i)
=
1+i 2
=
1 2
+
12i,∴12
+
12i
的共轭复数为1
2
−
12i,而
在复平面内,12 − 12i 对应的点的坐标为
1 2
,-
1 2
,点
1 2
,-
1 2
位于第四象限,
故选 D.
-11-
12.(2018 陕西西安质检)已知命题 p:∀x∈R,关于 x 的不等式
2.(2018全国Ⅱ,文1)i(2+3i)=( D )
A.3-2i B.3+2iC.-3-2i D.-3+2i 解析 i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.

高考数学大二轮复习专题8 解析几何第2讲综合大题部分增分强化练理-人教版高三全册数学试题

第2讲综合大题部分1．已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，长轴的长为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 1的直线l 与椭圆C 交于E ，D 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C 的焦距为2，长轴的长为4，所以2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m,0)．易知F 1(－1,0)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.又y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝k 2(4k 2－124k 2＋3－8k24k 2＋3＋1)＝－9k 24k 2＋3，直线ME ，MD 的斜率k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m，则k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－mx 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－9k 24k 2＋34k 2－124k 2＋3－m －8k 24k 2＋3＋m 2＝－9k 24k 2＋34k 2－12＋8mk 2＋4m 2k 2＋3m24k 2＋3 ＝－9k24m 2＋8m ＋4k 2＋3m 2－12. 要使直线ME ，MD 的斜率之积为定值，需3m 2－12＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，k ME ·k MD ＝－9k 24m 2＋8m ＋4k 2＝－9k 236k 2＝－14；当m ＝－2时，k ME ·k MD ＝－9k 24m 2＋8m ＋4k 2＝－9k 24k 2＝－94.当直线l 的斜率不存在时，不妨设E (－1，32)，D (－1，－32)，此时，当m ＝2时，M (2,0)，k ME ·k MD ＝－14；当m ＝－2时，M (－2,0)，k ME ·k MD ＝－94.综上，在x 轴上存在两个定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值．当定点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14；当定点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.2．(2018·高考某某卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值X 围．解析：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A (14y 21，y 1)，B (14y 22，y 2)．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程(y ＋y 02)2＝4·14y 2＋x 02即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22y 20－4x 0. 因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，因此，△PAB 面积的取值X 围是[62，15104]．3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，过右焦点F 且垂直于x 轴的弦长为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△MFN 的面积取最大值时m 的值．解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，2b2a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－4＝0，Δ＝16m 2－12(2m 2－4)＝－8m 2＋48>0，∴|m |< 6.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－43，∴|MN |＝2|x 1－x 2|＝2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×－4m 32－42m 2－43＝46－m 23. 又点F (2，0)到直线MN 的距离d ＝|2＋m |2，∴S △FMN ＝12|MN |·d＝23|2＋m |·6－m 2(|m |<6)．令u (m )＝(6－m 2)(m ＋2)2(|m |<6)，则u ′(m )＝－2(2m ＋32)(m ＋2)(m －2)，令u ′(m )＝0，得m ＝－322或m ＝－2或m ＝2，当－6<m <－322时，u ′(m )>0；当－322<m <－2时，u ′(m )<0；当－2<m <2时，u ′(m )>0；当2<m <6时，u ′(m )<0. 又u (－322)＝34，u (2)＝32，∴u (m )max ＝32，∴当m ＝2时，△MFN 的面积取得最大值，最大值为23×32＝83. 4．(2018·高考卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值X 围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．解析：(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值X 围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)．令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1k －1x 1＋x 2－1k －1x 2＝1k －1·2x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．。

广东省佛山市高三数学下学期综合能力测试试题理(二)(

参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）（1）【答案】D【解析】A =]([),13-∞+∞U ，，B =(0,2]故A B =I (0,1]. （2）【答案】A 【解析】()2+(2)34i i i +=+，则324a =，32a =. （3）【答案】B【解析】由图像可知111,,22a b c >=<，故选B. （4）【答案】C【解析】()=1,1CD x +uu u r ，则有112x x =+.解得12x =-或，考虑到该向量和uuu r CD 反向，则2x =-符合.此时=22a .（5）【答案】 B【解析】如图，通过计算可得Ω实为一个四边形区域ABCO.则该四边形外接圆圆心为()1,3，半径为10，故选B.（6）【答案】D【解析】由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件与丙、丁或戊都无关，所以这三个人获得第一名是等概率事件，概率为13，故选D..（7）【答案】A【解析】该图形为一个半圆柱中间挖去一个四面体，体积为：211116=24244=82323V ππ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-，故选A.（8）【答案】A 【解析】21cos ()sin 22xx f x ππ-==对称轴为()x k k Z =∈，且在区间[]1,2上为减函数，故①②正确.由于()f x 对称轴为()x k k Z =∈，所以()f x 向左平移一个单位后是偶函数.而()g x 向左平移一个单位函数为1x -也是偶函数，则()()f x g x +向左平移一个单位后依然是偶函数，故③正确.已知()()1,1f x g x ≤≤且x=1时()()112f x g x +=+=.故()()f x g x +最大值即为2. 故选A.（9）【答案】C【解析】52log 20log 52552015a =-=-=-，故选B.（10）【答案】B 【解析】已知111=0CA D B ⋅uuu r uuuu r ，则11111()=CE CA D B CE D B -⋅⋅uu r uuu r uuuu r uu r uuuu r 因为CE uur 在11D B uuuu r 上投影最长为1，1111=1CE D B ⋅≤⨯uu r uuuu r 所以故选B.（11）【答案】C【解析】易知()1,0F ，依题意2PF PM == . 所以=22PG .则2==2c FG ，2222a PG PF =-=-.21222e ==+-.故选C.（12）【答案】A【解析】因为sin x 在[]3,3ππ-上有7个根，所以cos sin 0ax ax x x +-=也应该有7个根.化简得cos0cos sin 0222x ax ππ=-=或. 则x 除了3,,,3ππππ--还有三个根满足tan2xax =.如下图可知0a ≤时满足条件，且01a <<时也是满足条件的.故选A.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）（13）【答案】40-【解析】22335522408040C C -=-=-.（14）【答案】63【解析】假设公比为q ,则可列方程232q q q =-+，解得02q =或或-1,其中满足条件的公比只有2.则66126312S -==-.（15）【答案】87【解析】由于1tan=22B ，则22tan 4tan 31tan 2B B B ==- .则可求出BC 边上的高为87，所以ABC ∆的面积等于8182=727⨯⨯.（16）【答案】[)6+∞，【解析】对于()32321f x x x x =-++，由于()()11f x f x +=-.则()f x 的对称中心为()1,1.直线l 过()f x 中心，假设其3个交点分别为124,,x x x ，则有2141,2x x x =+=. 则必有34x x <恒成立.联立3232321y x y x x x =-⎧⎨=-++⎩解得443,7x y ==.则有71632a -≥=-.三、解答题（共70分）（17）（本小题满分12分）解: （Ⅰ）因为21(1)22n n na n a n n --+=+，为首项，2为公差的等差数列. …………………………3分，即(1)(21)n a n n =++. …………………………6分…………………………9分………………………12分（18）（本小题满分12分）解:（Ⅰ）r ==………………………3分220.6740.93600.485316r r ∴=≈>且 ,故y 与x 具有很强的正相关关系.………………………6分（Ⅱ）依题意，.又101149.6110i i x x ===∑，101116.8610i i y y ===∑. ………………………9分解得.故y 关于x 的回归方程为0.34y x =.………………………12分（19）（本小题满分12分）(I)解：直线DF 与平面'BCE 相交，理由如下：因为'E ⊄平面ABCD ，所以D ⊄平面'BCE .若DF ∥平面'BCE ，设平面'DCE I 平面'BCE CM =，则DF CM ∥. 显然CM 与CB 不重合. 又因为AD BC ∥，所以平面'ADE ∥平面'BCE ，矛盾.所以直线DF 与平面'BCE 相交.…………………………4分(II)证明：取AB 的中点O ，连接',E O BD ，由等腰梯形ADCE 中，AD EC ∥，224EC AD AE ===,π3E ∠=可得：',E O AB DO AB ⊥⊥ …………………………6分分别以,BA OD 所在的直线为x 轴，y 轴，过O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设二面角'E AB D --的大小为α.则(1,0,0),(1,0,0),(A B C D --.过'E 作'E G OD ⊥于点G . 因为',E O AB DO AB ⊥⊥，所以AO ⊥平面'E OD ，'E OD α∠=. 所以'E G AO ⊥. 所以'E G ⊥平面ABCD .…………………………8分所以)E αα. 设平面'E AB 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,'0,AB E O ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uuu ur n n即20,0.x y z αα-=⎧⎪⎨⨯⨯=⎪⎩ 令1y =，得平面'E AB 的一个法向量为(0,1,cot )α=-n .…………………………10分同理可求平面'E DC 的一个法向量为11(0,1,cot )sin αα=-n .所以11πcos4⋅==⋅n n n n . 解得：π2α=. 所以二面角'E AB D --的大小为π2，即平面'ABE ⊥平面ABCD .…………………………12分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点，所以，又因为222,1c b a c =-=所以3,422==b a .所以椭圆的方程可以化简为.…………………………3分（Ⅱ）由已知可设AC 所在直线的方程为)1(-=x k y ，代入椭圆的方程，得()0)3(48432222=-+-+k x k xk ，易证0>∆，设))1(,(),,(),,(2211-t k t C y x B y x A则，. …………………………6分记直线DC DB DA ,,的斜率分别为321,,k k k 因为B F A ,,三点共线，所以k k k BF AF ==即则又及3212k k k =+可得()3)1(2)1(12--=--t k t k ，化简得4=t ，即点C 恒在一条定直线4=x 上.…………………………9分因为当过,,D C F 的圆与直线4=x 相切时，DCF ∠最大，所以当C 点的纵坐标等于DF 的中点的纵坐标时，DCF ∠最大.即，时，tan DCF ∠取得最大值.…………………………12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当2e a =时，22e()e ln 2ex f x x =-.所以22e e 2'()e exf x x =-.…………………………2分所以'(e)e f =-. 因为2(e)e ln 2f =，所以曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程是2e e ln 2e 0x y +-=.…………………………4分（Ⅱ）2e 2'()e (0)exa f x x x =->.（1）当0a =时，2e()e x f x =-，因为2e()e0x f x =-<，所以函数()f x 的零点的个数为0；…………………………6分（2）当0a <时，2e 2'()e 0exa f x x =-<，所以函数()f x 在(0,)+∞内是减函数.所以函数()f x 至多有一个零点.取2e 010min{e,e }2ax <<，则022e 000()ln 2e ln 2e 0x f x a x a x =->->.因为11e e 1()ln1e e 02f a =-=-<，所以函数()f x 的零点个数为1.…………………………8分（3）当0e a <≤时，令2t x =，e()ln e t g t a t =-，显然，()g t 与()f x 的零点个数相等.令e 1()'()e e t a h t g t t ==-，则e221'()e 0eta h t t =--<.所以()h t 在(0,)+∞内是减函数.取00min{e,}t a <<，则0e 0001()e 10e ta ah t t t =->->；取1e t a >，则1e 111111()e e (1e )0e e e eta a a h t t =-<-=-<.所以()h t 在(0,)+∞内有且只有一个实根，设为a t ，且(0,)a t t ∈，()0h t >；(,)a t t ∈+∞，()0h t <.所以()g t 在(0,)a t 内是增函数，在(,)a t +∞内是减函数，在a t t =时，取得最大值()a g t .①当e a =时，由e eeee 1(e)e 0e e (e)eln e e 0h g ⎧=-=⎪⎨⎪=-=⎩,可知：e a t =，()0a g t =.所以()g t 的有且只有一个零点.所以当e a =时，函数()f x 的零点个数为1.②由e 1e 0eat a a t -=可得：e e e a ta t a =.因为(e )'e e xxxx x =+，所以当0x >时，(e )'0xx >，即e x x 是一个增函数. 所以当0e a <<时，e a t <.因为111(ln 1)'ln ln e e e e exx x x -=+=，所以当1e x >时，(ln 1)'0e x x ->，即ln 1exx -是增函数. 所以当1e a t <<时，eln 1ln e 10e e a a t t -<-=. 又因为当01a t <≤时，ln 10eaa t t -<，所以e ee ()e ln e e (ln 1)0e ea a at t t a a a a a t t g t t t =-=-<.所以函数()g t 的只有一个零点，即函数()f x 的零点个数为0.综上所述：当0e a ≤<时，函数()f x 的零点个数为0；当0a <或e a =时，函数()f x 的零点个数为1.…………………………12分【选做题】（22）（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 的方程为22(1)9x y -+=.所以点C 的极坐标是(10),，圆C 的极坐标方程为22cos 80ρρθ--=.…………………………5分（2）在ABC V 中，22π923cos3AB BC BC =+-⨯⨯⨯ 2327()24BC =-+.因为点C 到直线l 的距离为π1cos4⨯=，所以)BC ∈+∞.所以当32BC =时，线段AB .…………………………10分（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当3,4a b ==时，666347a b ==++，12125346a b +=+=. 因为6576>，所以612a b a b>++，即不等式（*）不成立.…………………………5分（2）不等式（*）对任意的正实数a b ,恒成立，即是对任意的正实数a b ,(12)()a b a bλ++≤恒成立.因为当00a b >>,时，(122)()33b aa b a b a b++=+++≥b =时，等号成立，所以λ的最大值为3+…………………………10分。

高考数学一轮总复习 2不等式证明的基本方法课件(选修4-5)

放缩法等．
A
9
对点自测
知识点一
基本不等式
1.若 0<a<b<1，则 a＋b,2 ab，a2＋b2,2ab 中最大的一个是 ________．
A
10
解析 ∵a＋b>2 ab，a2＋b2>2ab. 又(a2＋b2)－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)． ∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)＋b(b－1)<0. ∴a2＋b2<a＋b.
由平均不等式可得a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13，即a13＋b13＋c13≥a3bc. 所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3.
所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
A
16
R 热点命题·深度剖析
研考点知规律通法悟道
答案 a＋b
A
11
2．已知 x，y∈R，且 xy＝1，则1＋1x1＋1y的最小值为 ________．
解析 1＋1x1＋1y≥1＋ 1xy2＝4. 答案 4
A
12
知识点二
柯西不等式
3.已知 x，y，z 为正数，且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2 的最小
值是__________．
解析 x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)×13≥(1·x＋1·y＋ 1·z)2×13＝13.
A
19
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相违背等等，但推导出的矛盾必须是明显的．

数学高考综合能力题选讲23---南海实验学校

数学高考综合能力题选讲23方案优化型综合问题100080 北京中国人民大学附中梁丽平题型预测寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法．由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现．范例选讲例1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为360030001250-=，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为：()()30003000100150505050x x f x x --⎛⎫=---⨯ ⎪⎝⎭．整理得：()()2211622100040503070505050x f x x x =-+-=--+．所以，当4050x =时，()f x 最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围．例2．某工厂生产容积为π23立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材料每平方米30元，制造侧面的材料每平方米20元，设计时材料的厚度及损耗可以忽略不计．(Ⅰ) 把制造容器的成本y （元）表示成容器底面半径x （米）的函数，并指出当底面半径为多少时，制造容器的成本最低？求出最低成本；(Ⅱ) 若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于2（米），此时最低成本为多少元？（精确到1元）讲解：（Ⅰ）设圆柱形容器的高为h ，则232x h ππ=．所以，22603020230y x xh x xππππ=⨯+⨯=+．因为0x >，所以，()226011303030390283y x x x x x πππππ⎛⎫=+=++≥⋅=≈ ⎪⎝⎭元，等号当且仅当21x x=，即1x =时取得． (Ⅱ) 当2x ≥时，由（Ⅰ）可知，不能利用均值不等式来求解y 的最小值，所以，我们可以考虑函数26030y x xππ=+的单调性．任取12,[2,)x x ∈+∞，且设12x x <，则()221212121212122223030y y x x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于122x x ≤<，所以，12121220, 0x x x x x x -<+->，所以，12y y <，所以，函数26030y x xππ=+在区间[2,)+∞上单调递增．所以，当2x =时，y 取得最小值为：150471π≈（元）．点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件．例3．小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：利息税为20%，则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大．请说明理由．讲解：小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第2次存款时，应该将第1次存款所得本息和全部存入银行．为叙述方便，用n m P +表示把a 元本金，先存一次n 年期，再存一次m 年期所得本息和．如：112P ++表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和．首先，可以考虑下面的问题：n m m n P P ++=是否成立？即把a 元本金，先存一次n 年期，再存一次m 年期与先存一次m 年期，再存一次n 年期，所得本息和是否相同？因为44155k k k P a a k r a k r ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，441155n m n m m n P a n r m r P ++⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：11111111112,,P P +++++++++1113P +++，1122P +++，15123,P P +++，222P ++，33P +．方法之一是直接计算，但运算量相对较大．为此，我们可以考虑下面的办法：（1）比较11P +与2P 的大小关系：因为221114411 1.98% 1.03255P a r a a +⎛⎫⎛⎫=+=+⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22441212 2.25% 1.03655P a r a a ⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，11P +<2P ．所以，只需考虑上述八种情况中的：15123,P P +++，222P ++，33P +．（2）比较21P +和3P 的大小．12441 1.98%12 2.25% 1.05255P a a +⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯≈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 3413 2.52% 1.0605P a a ⎛⎫=+⨯⨯≈ ⎪⎝⎭，所以，21P +<3P ．所以，只需比较15P +，222P ++，33P +．因为：15441 1.98%15 2.79% 1.12955P a a +⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯≈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3222412 2.25% 1.1125P a a ++⎛⎫=+⨯⨯≈ ⎪⎝⎭， 233413 2.52% 1.1255P a a +⎛⎫=+⨯⨯≈ ⎪⎝⎭．所以，15P +最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多．这与我们通常的认识是一致的．点评：本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解．然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算的过程．高考真题1．（2001年上海高考题）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次．．．．后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（Ⅰ）试规定()0f 的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（Ⅲ）设()211f x x=+，现有()0a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．2．（2003年上海春季高考）在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出他们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资的基础上递增5％．设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：（Ⅰ）若某人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？（Ⅱ）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择那家公司，为什么？（Ⅲ）在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元），并说明理由．[答案与提示：1．（Ⅰ）()01f =表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量将保持原样；（Ⅱ）函数()f x 应该满足的条件和具有的性质是：()()101,12f f ==且()01f x <≤，()f x 在[)0,+∞上单调递减；（Ⅲ）a >两次清洗后残留的农药量较少，a =效果相同，0a <<时，一次清洗残留的农药量较少． 2．（Ⅰ）在A 公司和B 公司第n 年的月收入分别为1211270230,200020n n -⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）应选择A 公司；（Ⅲ）826元．]。

高考数学二轮专题复习综合能力训练二新人教A版

综合能力训练二(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题.每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={x|-2<x<3},N={x|2x+1≤1},则M∩(∁R N)=()A.(3,+∞)B.(-2,-1]C.(-1,3)D.[-1,3)2.设f(x)=x|x|,则下列结论不正确的是()A.|f(a)|=a2B.f(|sin x|)=sin2xC.f(a x)=a2x(0<a<1)D.f(x2n+1)=x4n+2(n∈N)3.已知向量a与向量b的夹角为120°,若(a+b)⊥(a-2b),且|a|=2,则向量b在向量a上的投影为()A. B.-C. D.-4.已知等比数列{a n}中,a4=2,a7=5,则数列{lg a n}的前10项和等于()A.2B.lg 50C.10D.55.已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为()A.4B.3C.2D.-6.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆C所作的切线长的最小值是()A.2B.4C.3D.67.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交该双曲线的两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=λ+μ(λ,μ∈R),λ·μ=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.8.已知函数f(x)=x(e x-e-x)-(2x-1)(e2x-1-e1-2x),则满足f(x)>0的实数x的取值范围为()A.(-∞,-1]B.(-3,-1]C. D.二、填空题(本大题共7小题,其中9~12,每小题两空,每空3分,13~15每小题一空,每题4分,共36分)9.已知函数f(x)=则f(-2)=;函数f(x)的零点为.10.已知函数f(x)=2sin,若f(x)=-2,则满足条件的x的集合为;函数f(x)的其中一个对称中心为.11.已知函数f(x)=+ax3-1的图象是中心对称图形,则中心对称点的坐标为;若f(1)=2,则f(-1)=.12.已知x,y为正实数,且x+2y=3,则的最小值为;的最大值为.13.已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形,其尺寸如图所示,则该棱锥的体积为;侧视图的周长为.14.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足=2,则=.15.已知椭圆C:+y2=1(a>0)及椭圆C内一点A(2,0),B为椭圆C的右顶点,P为椭圆C上任意一点,若|PA|≥|BA|恒成立,则椭圆C的长轴长的取值范围是.三、解答题(本大题有5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分14分)设函数f(x)=m·n,其中向量m=(2cos x,1),n=(cos x,sin 2x),x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知f(A)=2,b=1,△ABC的面积为,求的值. 17.(本小题满分15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,且满足AB∥CD,AD=DC=AB,PA⊥平面ABCD.(1)求证:平面PBD⊥平面PAD;(2)若PA=AB,求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.18.(本小题满分15分)在数列{a n}中,已知a1=,b n+2=3lo a n(n∈N*).(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}满足c n=a n·b n,求数列{c n}的前n项和S n.19.(本小题满分15分)已知一抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,且过点(2,1),(1)求该抛物线的标准方程及焦点坐标;(2)与圆x2+(y+1)2=1相切的直线l:y=kx+t交该抛物线于不同的两点M,N,若抛物线上一点C满足=λ()(λ>0),求λ的取值范围.20.(本小题满分15分)已知f(x)=2x2-tx,且|f(x)|=2有且仅有两个不同的实根α和β(α<β).(1)求实数t的取值范围;(2)若x1,x2∈[α,β],且x1≠x2,求证:4x1x2-t(x1+x2)-4<0;(3)设g(x)=,对于任意x1,x2∈[α,β]恒有|g(x1)-g(x2)|≤λ(β-α)成立,求λ的取值范围.答案综合能力训练二1.C解析:由2x+1≤1=20,得x+1≤0,因此N={x|x≤-1},∁R N={x|x>-1}.故M∩(∁R N)={x|-2<x<3}∩{x|x>-1}={x|-1<x<3},应选C.2.D解析:由f(x)=可知f(x2n+1)=故选D.3.B解析:因为(a+b)⊥(a-2b),且|a|=2,所以(a+b)(a-2b)=0.所以a2-a·b-2b2=0,2|b|2-|b|-4=0,解得|b|=.因为向量a与向量b的夹角为120°,所以b在a上的投影为|b|cos 120°=-|b|=-.故选B.4.D解析:lg a1+lg a2+…+lg a10=lg(a1·a2·…·a10)=lg(a4·a7)5=5·lg 10=5.故选D.5.C解析:题中不等式组表示的平面区域如下图中的△ABC(包括边界),由图知当目标函数z=2x+y在点B处时取得最小值,在点C处时取得最大值,联立方程组可得出B点的坐标为(m-1,m),所以z min=2(m-1)+m=3m-2;联立方程组可得出C点的坐标为(4-m,m),所以z max=2(4-m)+m=8-m.所以8-m-(3m-2)=2,解得m=2.故选C.6.B解析:由题意知圆C的圆心为(-1,2),半径为,因为圆C关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心C在直线2ax+by+6=0上.所以-2a+2b+6=0,即a=b+3.所以由点(a,b)向圆所作的切线长为,当b=-1时,切线长最小,最小值为4.故选B.7.A解析:由题意知,直线l的方程为x=c,与双曲线渐近线y=x,y=-x的交点分别为A,B,与双曲线在第一象限的交点为P,所以.由=λ+μ(λ,μ∈R),得解得c=2b,所以a=b,e=.故选A.8.D解析:构造函数g(x)=x(e x-e-x),因为g(-x)=(-x)·(e-x-e x)=x(e x-e-x),所以函数g(x)是偶函数.当x>0时,g(x)单调递增,由f(x)>0得x(e x-e-x)>(2x-1)(e2x-1-e1-2x),即g(x)>g(2x-1),由于g(x)是偶函数,不等式等价于g(|x|)>g(|2x-1|),由g(x)单调递增得|x|>|2x-1|,所以x2>(2x-1)2,解得<x<1.故实数x的取值范围为.9.- 0解析:因为f(x)=所以f(-2)=3-2-1=-;当x≤1时,由3x-1=0得x=0;当x>1时,由1+log2x=0得x=(舍去).综上,函数f(x)的零点只有一个且为0.10.(k∈Z)解析:因为f(x)=-2,所以sin=-1,2x+=2kπ-(k∈Z).故x=kπ-,k∈Z,由2x+=kπ⇒x=π-,所以函数f(x)的其中一个对称中心为(k∈Z).11.(0,1)0解析:因为f(x)=+ax3-1=+ax3-1=+ax3+1,而y=+ax3是奇函数,图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(0,1)对称;由函数f(x)的图象关于点(0,1)对称,可得f(x)+f(-x)=2,因为f(1)=2,所以f(-1)=0.12. 解析:(7+2),当且仅当时取得等号;因2y=3-x>0,故0<x<3,,所以的最大值为.13.95解析:由题中正三棱锥的正视图的数据,可知正三棱锥的底面边长为6,高为3,所以三棱锥的体积V=×62×3=9.又三棱锥的底面上的高为=3,斜高为=2,侧棱长为,所以侧视图的周长为3+2=5.14.-1解析:以BC,BA为邻边作矩形ABCE,则,故P是BE的中点,从而可知PD=AB=1,CP=AC=,CD=,cos∠CPD==-=||·||cos∠CPD=1×=-1.15.(4,2+2]解析:由点A在椭圆C内,可得a>2,|PA|2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1-x2-4x+5,由题意知x=a时上式取得最小值,结合-a≤x≤a可得≥a,解得2<a≤1+.所以椭圆C的长轴长2a∈(4,2+2].16.解:(1)f(x)=m·n=2cos2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1,所以函数f(x)的最小正周期T==π,令+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间是,k∈Z.(2)由f(A)=2,得2sin+1=2,即sin,在△ABC中,因为0<A<π,所以2A+,得A=,又因为S△ABC=bc sin A=×1×c×,所以c=2.所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=3,所以a=.由,得b=2sin B,c=2sin C,所以=2.17.(1)证明:取AB中点E,连接CE,则由题意知,△BCE为正三角形,所以∠ABC=60°,由等腰梯形知∠BCD=120°,设AD=DC=BC=2,则AB=4,BD=2,故AD2+BD2=AB2,即得∠ADB=90°,所以AD⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAD,且BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAD.(2)解:在平面ABCD中,过点C作CH∥BD交AD延长线于点H.由(1)知BD⊥平面PAD,所以CH⊥平面PAD,连接PH,则∠CPH即为所求的角.在Rt△CHD中,CD=2,∠CDH=60°,所以CH=.在Rt△PAC中,PC==2.所以在Rt△PHC中,sin∠CPH=.故PC与平面PAD所成角的正弦值为.18.解:(1)因为a1=,所以数列{a n}是首项为,公比为的等比数列.所以a n=(n∈N*).因为b n=3lo a n-2,所以b n=3lo-2=3n-2.(2)由(1)知,a n=,b n=3n-2(n∈N*),所以c n=(3n-2)×(n∈N*).所以S n=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,①于是S n=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,②①-②,得S n=+3+…+-(3n-2)×-(3n+2)×.所以S n=(n∈N*).19.解:(1)设抛物线的方程为x2=2py,由已知得22=2p,所以p=2.所以抛物线的标准方程为x2=4y.(2)因为直线l:y=kx+t与圆相切,所以=1⇒k2=t2+2t.把直线方程代入抛物线方程并整理,得x2-4kx-4t=0.由Δ=16k2+16t=16(t2+2t)+16t>0, 得t>0或t<-3.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=4k,y1+y2=(kx1+t)+(kx2+t)=k(x1+x2)+2t=4k2+2t.由=λ()=λ(x1+x2,y1+y2)=(4kλ,(4k2+2t)λ),得点C的坐标为(4kλ,(4k2+2t)λ).因为点C在抛物线x2=4y上,所以16k2λ2=4(4k2+2t)λ⇒λ=1+=1+=1+.因为t>0或t<-3,所以2t+4>4或2t+4<-2.所以λ的取值范围为.20.(1)解:根据f(x)=2x2-tx的图象,翻折后顶点值<2,得-4<t<4.(2)证明:由韦达定理知α+β=,αβ=-1,不妨设α<x1<x2<β,由于x1,x2∈[α,β],所以(x1-α)(x2-β)≤0,即x1x2-(αx2+βx1)+αβ≤0,也即4x1x2-4(αx2+βx1)-4≤0.故4x1x2-t(x1+x2)-4≤4(αx2+βx1)-t(x1+x2)=4(αx2+βx1)-2(α+β)(x1+x2)=2(αx2+βx1)-2(αx1 +βx2)=2(x2-x1)(α-β)<0.(3)解:任取x1,x2∈[α,β],x1<x2,则g(x1)-g(x2)=-(x2-x1)>0,所以g(x)在区间[α,β]上是增函数.所以|g(x1)-g(x2)|≤λ(β-α)等价于λ≥.因=-=2,故λ≥2.。

2018年高考数学江苏专版专题复习训练：6个解答题综合仿真练(二) 含解析

6个解答题综合仿真练(二)1．已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解：(1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t)，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925. 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75. 所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925.(2)因为t ＝1，且a ·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815.从而tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237. 2.如图，四棱锥P -ABCD 中，PD ＝PC ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点．求证：(1)AM ∥平面PBC ； (2)CD ⊥PA.证明：(1)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点，故AB ∥CM ，且AB ＝CM ，所以四边形ABCM 是平行四边形，所以AM ∥BC.又BC ⊂平面PBC ，AM ⊄平面PBC ，所以AM ∥平面PBC.(2)连结PM ，因为PD ＝PC ，点M 是CD 的中点，所以CD ⊥PM ，又AB ⊥BC ，所以平行四边形ABCM 是矩形，所以CD ⊥AM ，又PM ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ， PM ∩MA ＝M ，所以CD ⊥平面PAM. 又PA ⊂平面PAM ，所以CD ⊥PA.3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A.(1)求椭圆的标准方程； (2)过点D(2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．解：(1)由已知得c ＝1，又e ＝ca ＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设直线PQ 的方程为y ＝k(x －2)－2，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)－2，x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得(2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k)x ＋4k 2＋8k ＋2＝0，所以x 1＋x 2＝42k 2＋42k2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1，所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k2k 2＋1，又A(2，0)，所以k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2。

【高考推荐】2020-2021高考数学二轮复习专题七系列4选讲第二讲不等式选讲能力训练理

第二讲不等式选讲1．已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )＜|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y－1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )＜1. 解析：(1)∵f (x )＜|x |＋1，∴|2x －1|＜|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1＜x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜12，1－2x ＜x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，1－2x ＜－x ＋1，得12≤x ＜2或0＜x ＜12或无解．故不等式f (x )＜|x |＋1的解集为{x |0＜x ＜2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56＜1. 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数ƒ(x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝ƒ(x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，ƒ(x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解析：(1)ƒ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝ƒ(x )的图象如图所示． (2)由(1)知，y ＝ƒ(x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，ƒ(x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.3．(2018·福州四校联考)(1)求不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集；(2)设a ，b 均为正数，h ＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a ，a 2＋b 2ab ，2b ，证明：h ≥2. 解析：(1)记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1，由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则不等式的解集为(－12，12)． (2)证明：h ≥2a ，h ≥a 2＋b 2ab ，h ≥2b ， h 3≥4a 2＋b 2ab ≥4×2ab ab＝8，当且仅当a ＝b 时取等号，∴h ≥2. 4．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x .(1)当a ＝3时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x ＞0，即|3x －1|＞x ，∴3x －1＜－x 或3x －1＞x ，解得x ＞12或x ＜14，故f (x )＞0的解集为{x |x ＜14或x ＞12}． (2)当a ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≥1a ，21－a x ＋1，x ＜1a，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2a－1＞0，21－a ≤0，得1≤a ＜2；当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点；当a ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≤1a ，21－a x ＋1，x ＞1a，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2a－1＜0，21－a ≤0，此时无解．综上可知，当1≤a＜2时，函数f(x)的图象与x轴无交点．。

专题6-2 数列大题综合18种题型(讲+练)-2023年高考数学二轮复习讲练测(全国通用)(原卷版)

专题6-2数列大题综合18种题型目录讲高考................................................................................................................................................................................1题型全归纳......................................................................................................................................................................2【题型一】恒成立求参...............................................................................................................................................2【题型二】数列“存在型”求参.............................................................................................................................2【题型三】“存在型”证明题.................................................................................................................................3【题型四】数列“存在型不定方程型...................................................................................................................3【题型五】双数列相同项“存在型”...................................................................................................................4【题型六】新数列与“子数列”型........................................................................................................................4【题型七】“下标”数列型......................................................................................................................................5【题型八】指数型常规裂项求和.............................................................................................................................5【题型九】“指数等差型”裂项求和...................................................................................................................5【题型十】“指数分子拆分型”裂项求和..........................................................................................................6【题型十一】“正负裂和”型裂项求和...............................................................................................................7【题型十二】“分离常数型”裂项求和...............................................................................................................7【题型十三】先放缩再裂项求和.............................................................................................................................7【题型十四】前n 项积型...........................................................................................................................................8【题型十五】解数列不等式......................................................................................................................................8【题型十六】证明数列不等式.................................................................................................................................9【题型十七】求和：范围最值型.............................................................................................................................9【题型十八】“隐和型”...........................................................................................................................................9专题训练. (10)讲高考1．（·湖南·高考真题）数列{}n a 22122π0,2,1cos 4sin ,1,2,3,22n nn n a a a a n π+⎛⎫===++=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭．(1)求34,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设()13212422,,2kk k k k k kS S a a a T a a a W k T *-=+++=+++=∈+N ，求使1k W >的所有k 的值，并说明理由．2．（2022·天津·统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．3．（2022·全国·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．4．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．5．（2021·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n n S b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．题型全归纳【题型一】恒成立求参【讲题型】例题1.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且1n a +=.(1)求{}n a 的通项公式;(2)数列14n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，且()112nn n n n T a S λ++≤对任意的*N n ∈恒成立，求实数λ的取值范围.（参考数据:132 1.26≈）已知数列{}n a 中，111,31n n a a a +==+.(1)求证：12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足()1312nn n nn b a +=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()(8)42252n T n n λλ+-≤-+成立的自然数n 恰有4个，求正整数λ的值.【题型二】数列“存在型”求参【讲题型】例题1.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，已知对任意整数,m n ，当n m >时，m n m n m S S q S --=⋅（q 为正常数）恒成立．(1)求证：数列{}n a 是等比数列；(2)证明：数列1{}n n SS +是递增数列；(3)是否存在正常数c ，使得{lg()}n c S -为等差数列？若存在，求出常数c 的值；若不存在，说明理由．【练题型】已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，数列n n S a ⎧⎫⎨⎩⎭是公差为12的等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记数列{}2nn a 的前n 项和为n T ，是否存在实数t 使得数列2n n T t +⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，若存在，求出实数t 的值;若不存在，说明理由．【题型三】“存在型”证明题【讲题型】例题1.已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S ，满足()12N n n nS a n a *=+∈.(1)求证：数列{}2n S 是等差数列，并求出n a 的表达式；(2)数列{}n a 中是否存在连续三项12,,k k k a a a ++，使得()12111,,N k k k k a a a *++∈构成等差数列？请说明理由.在数列{}n a 中，已知10a =，26a =，且对于任意正整数n 都有2156n n n a a a ++=-.(1)令12n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；(2)设m 是一个正数，无论m 为何值，是否都有一个正整数n 使13n na m a +-<成立.【题型四】数列“存在型不定方程型【讲题型】例题1.设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知38a =，248S =，数列{}n b 满足24log n n b a =.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*N m ∈，使得12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.已知数列{}n a 满足()121232n n n a a a a -⋅⋅⋅= .(1)证明：{}n a 是等比数列.(2)判断()223*8mm -∈N 是否可能是数列{}na 中的项.若是，求出m 的最大值；若不是，请说明理由.【题型五】双数列相同项“存在型”【讲题型】例题1.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比不为1的等比数列，1122532,,a b a b a b ====.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)若集合*,,N M b b a m k ==∈∣，且1100k ≤≤，求M 中所有元素之和.已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，等比数列{}n b 满足211b a =-，321b a =-．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求满足n m T S =（410n <≤）的所有数对(),n m ．【题型六】新数列与“子数列”型【讲题型】例题1.已知数列{}n a ，{}n b 其前n 项和分别为n S ，n T 且分别满足23122n S n n =-，()31N 22n n T b n +=-∈.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.(2)将数列{}n a ，{}n b 的各项按1a ，1b ，2a ，2b …n a ，n b 顺序排列组成数列{}n c ，求数列{}n c 的前n 项和n M .【练题型】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足3121,8,log n n a b a b ===，*n ∈N ．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n a 中不在数列{}n b 中的项按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求50S ．【题型七】“下标”数列型【讲题型】例题1.已知数列{}n a ，{}n b ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意*N n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且25b +，41b +，63b -成等比数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．(2)记2,,n n n a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【练题型】定义集合{}1*2N k M k -=∈，数列{}n a 满足12,0,n n a n M a n M-+∉⎧=⎨∈⎩(1)定义数列122n n n b a -+=，证明：{}n b 为等比数列(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求满足2310n S =的正整数n【题型八】指数型常规裂项求和【讲题型】例题1.设数列{}n a 的前n 项和为()*,226n n n S S a n n =+-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和127258m T ，求m 的值.已知数列{}n a 满足1123333n n nn a a a n -+++=⋅ .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令()()111nn n n a b a a +=++，设{}n b 的前n 项和为n S ，若n m S >对*N n ∈恒成立，求实数m的取值范围.【题型九】“指数等差型”裂项求和【讲题型】例题1..等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ；(3)令()121nn n n n b d a a +-⋅=-⋅，设数列{}n d 的前n 项和为n K ，求证：13n K <.天津市宝坻区第四中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题已知{}n a 为等差数列，{}n b 为公比大于0的等比数列，且11a =，12b =，2312b b +=，4642a a b +=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设22,381,.n nn n n n n a n b c a n a a b ++⎧⎪⎪=⎨+⎪⋅⎪⎩为偶数；为奇数求数列{}n c 的前2n 项和2n T .【题型十】“指数分子拆分型”裂项求和【讲题型】例题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，152a =，124n n S a +=-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()()121111n n n n n a b a a +--=++，求数列{}n b 的前n 项和为nT ．已知数列{}n a 是公比1q >的等比数列，前三项和为13，且1a ，22a +，3a 恰好分别是等差数列{}n b 的第一项，第三项，第五项．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)已知*k ∈N ，数列{}n c 满足21,21,2n n n n nn k b b c a b n k +⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ；(3)设()()2(810)12121n n n n n a d a a +--=++，求数列{}n d 的前n 项和n T ．【题型十一】“正负裂和”型裂项求和【讲题型】例题1.记正项数列{}n a 的前n 项积为n T ，且121n na T =-．(1)证明：数列{}n T 是等差数列；(2)记()1441n n n n n b T T ++=-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．已知数列{}n a 的满足11a =，m n m n a a a +=+()*,m n ∈N .(1)求{}n a 的通项公式；(2)记121(1)n n n n n b a a ++=-⋅，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，证明：2213n T -<≤-.【题型十二】“分离常数型”裂项求和【讲题型】例题1.数列{}n a12a =且324,3,a a a 成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2122log ,n nn n n b b b ac b b +-==+，求数列{}n c 的前n 项和n S .已知等差数列{}n a 的通项公式为()22n a n c c =-<，记数列{}n a 的前n 项和为()*N n S n ∈，且数列为等差数列．(1)求数列}n a 的通项公式；(2)设数列14n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()*N n T n ∈，求{}n T 的通项公式．【题型十三】先放缩再裂项求和【讲题型】例题1.已知数列{}n a 的前n 项和()2n S n n λλ=+∈R ，且36a =，正项等比数列{}n b 满足：11b a =，2324.b b a a +=+(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若2022n nc b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)证明：()2131nii i b b =<-∑.【练题型】已知函数()e 1xf x a x =--，a ∈R(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)若()0f x ≥恒成立，①求a 的取值范围；②设*n ∈N ，证明：()()1121ln 1.32121ini i i +=⎡⎤+<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∑【题型十四】前n 项积型【讲题型】例题1.在等比数列{}n a 中，18a =，前n 项和为2,1n S S -是1S 和3S 的等差中项．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设12n n T a a a =⋅ ，求n T 的最大值．已知数列{}n a 满足()*123N ,2n n a a n n n -+=+∈≥,且24a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)数列{}n b 满足()12,1log ,2n nn n b a n +=⎧⎪=⎨≥⎪⎩,*N n ∈,若()*1238N k b b b b k ⋅⋅=∈ ,求k 的值.【题型十五】解数列不等式【讲题型】例题1.已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．(1)已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，求公比q ；(2)若11100ni ia =<∑，求满足条件的最大整数n ．【练题型】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且412716,28a a S +==.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足43n nn a a b =，且{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式31n n a T ⋅->的n 的值.【题型十六】证明数列不等式【讲题型】例题1.已知等差数列{}n a 满足312a =，5748a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．(1)求n a 及n S 的通项公式；(2)记12111n n T S S S =++⋅⋅⋅+，求证：1142n T ≤<．【练题型】已知数列{}n a ，11a =，11nn na a a +=+.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)若数列{}n b 满足：2111n n i i i i b a -===∑∑.（i ）证明：1n b ≤；（ii ）证明：11112321nn ++++≤- .【题型十七】求和：范围最值型【讲题型】例题1.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且11111n n n n S a S a +++-=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13n n n a ab -=，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.【练题型】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足 2 3n n S a n =+-，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)21n n n b a =-，数列{}n b 是否存在最大项，若存在，求出最大项.【题型十八】“隐和型”【讲题型】例题1.已知等差数列{an }的首项a 1=1，公差d ＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn }的第二、三、四项.(1)求数列{an }与{bn }的通项公式；(2)设数列{cn }对任意自然数n 均有1231123nn nc c c c a b b b b +++++= 成立，求1232023c c c c ++++ 的值.【练题型】已知等比数列{}n a 的前n 项和为3614126n S S S ==，，．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)当*n ∈N 时，112141nn n n a b a b a b -++⋯+=-，求数列{}n b的通项公式．1．已知n T 为数列{}n a 的前n 项积，且131n na T =-.(1)证明：数列{}n T 是等差数列；(2)记()1651nn n n n b T T ++=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .2．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()12121n n na n a a S +-++=- .(1)求n S ；(2)设()121n n n b n n S ++=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <.3．已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设14(1)2n a n n n b λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>成立.4．（河北省邯郸市2023届高三上学期期末数学试题）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2364n n n a a S +=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若11n n n c a a +=，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：112812n T ≤<.5（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已的数列{}n a 的首项123a =，112n n n n a a a a ++=-，+n ∈N ．(1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭等比数列；(2)记12111n n T a a a =++⋅⋅⋅+，若7n T <，求n 的最大值．。

高考复习数学综合能力测试(含答案解析)

高考复习数学综合能力测试（含答案解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α＝－3，则α是第( )象限角．( )A ．一B ．二C ．三D ．四[答案] C[解析] ∵－π<－3<－π2，∴－3为第三象限角．2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )A ．4 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2[答案] A[解析]由题意得⎩⎨⎧2r ＋l ＝8，l ＝2r.解得⎩⎨⎧r ＝2，l ＝4.所以S ＝12lr ＝4(cm 2)．3．有三个命题：①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③单位向量都相等，其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] A4．已知sin θ<0，tan θ>0，则1－sin 2θ化简的结果为( ) A ．cos θ B ．－cos θ C ．±cos θ D ．以上都不对 [答案] B[解析] ∵sin θ<0，tan θ>0，故θ为第三象限角，∴cos θ<0. ∴1－sin 2θ＝cos 2θ＝|cos θ|＝－cos θ.5．tan(－1560°)的值为( ) A ．－3B ．－33C.33D. 3[答案] D[解析] tan(－1560°)＝－tan1560°＝－tan(4×360°＋120°)＝－tan120°＝－tan(180°－60°)＝tan60°＝ 3.6．已知α是锐角，a ＝(34，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则α为( )A ．15°B ．45°C ．75°D ．15°或75°[答案] D[解析] ∵a ∥b ，∴sin α·cos α＝34×13，即sin2α＝12又∵α为锐角，∴0°<2α<180°. ∴2α＝30°或2α＝150° 即α＝15°或α＝75°.7．已知sin α>sin β，那么下列命题中成立的是( ) A ．若α，β是第一象限角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β [答案] D[解析] 可以结合单位圆进行判断． 8．函数y ＝sin x (π6≤x ≤2π3)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[12，1]C ．[12，32]D ．[32，1][答案] B[解析] 可以借助单位圆或函数的图象求解．9．要得到函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象，只需将函数y ＝3sin2x的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位[答案] C10．已知a ＝(1，－1)，b ＝(x ＋1，x )，且a 与b 的夹角为45°，则x 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或－1D ．－1或1[答案] C[解析] 由夹角公式：cos45°＝x ＋1－x2·x ＋12＋x2＝22，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.11．(2012·全国高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34B.34 C ．－43D.43[答案] B[解析] 主要考查三角函数的运算，分子分母同时除以cos α可得tan α＝－3，带入所求式可得结果．12．设a ＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[解析] a ＝sin62°，b ＝cos26°＝sin64°，c ＝32＝sin60°，∴b >a >c .第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若tan α＝3，则sin αcos α的值等于________． [答案]310[解析] sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝31＋9＝310. 14．已知：|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为π4，要λb －a 与a垂直，则λ为________．[答案] 2[解析] 由题意a ·(λb －a )＝0，即λa ·b －|a |2＝0，∴λ·2×2×22－4＝0，即λ＝2.15．函数y ＝sin(π3－2x )＋sin2x 的最小正周期是________．[解析] y ＝sin π3cos2x －cos π3sin2x ＋sin2x ＝32cos2x ＋12sin2x ＝cos(2x －π6)，故T ＝2π2＝π.16．已知三个向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝________.[答案] －2或11[解析] 由A 、B 、C 三点共线，可得AB →＝λBC →，即(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)，于是有方程组⎩⎨⎧k ＋6λ＝4，k λ－5λ＝－7，解得⎩⎨⎧k ＝－2λ＝1，或⎩⎨⎧k ＝11λ＝－76.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知tan α＝12，求1＋2sinπ－αcos －2π－αsin 2α－sin 25π2－α的值．[解析] 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α＋cos α2sin α－cos αsin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由－π6≤x ≤π2，知－π3≤2x ≤π∴－32≤sin2x ≤1∴f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.19．(本题满分12分)已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，求：(1)a ·b ；|a ＋b |；(2)a 与b 的夹角的余弦值．[解析] (1)a ＝3(1,0)－2(0,1)＝(3，－2)，b ＝4(1,0)＋(0,1)＝(4,1)， a ·b ＝3×4＋(－2)×1＝10.∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋20＋|b |2 ＝13＋20＋17＝50， ∴|a ＋b |＝52.(2)cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝1013·17＝10221221. 20．(本题满分12分)(2011～2012浙江调研)设向量α＝(3sin 2x ，sin x ＋cos x )，β＝(1，sin x －cos x )，其中x ∈R ，函数f (x )＝α·β.(1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (θ)＝3，其中0<θ<π2，求cos(θ＋π6)的值．[解析] (1)由题意得f (x )＝3sin2x ＋(sin x ＋cos x )·(sin x －cos x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)，故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(5分)(2)由(1)知，f (θ)＝2sin(2θ－π6)，若f (θ)＝3，则sin(2θ－π6)＝32.又因为0<θ<π2，所以－π6<2θ－π6<5π6，则2θ－π6＝π3或2θ－π6＝2π3，故θ＝π4或θ＝5π12.(9分) 当θ＝π4时，cos(θ＋π6)＝cos(π4＋π6)＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝6－24.(12分) 当θ＝5π12时，cos(θ＋π6)＝cos(5π12＋π6)＝cos(π－5π12)＝－cos5π12＝－cos(π4＋π6)＝－6－24.(15分)21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<2)的最大值为22，最小值为－2，周期为π，且图象过(0，－24)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间．[解析] (1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最大值为22，最小值为－ 2.∴A ＝322，B ＝22.又∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的周期为π，∴φ＝2πω＝π，即ω＝2. ∴f (x )＝322sin(2x ＋φ)＋22 又∵函数f (x )过(0，－24)，∴－24＝322sin φ＋22，即sin φ＝－12. 又∵|φ|<π2，∴φ＝－6， ∴f (x )＝322sin(2x －π6)＋22. (2)令t ＝2x －π6，则y ＝322sin t ＋22，其增区间为： [2k π－π2，2k π＋π2]，k ∈Z . 即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z . 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3.(k ∈Z ) 所以f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z . 22．(本题满分12分)(2012·全国高考山东卷)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)将函数y ＝f (x )的图象像左平移π12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域。

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数学高考复习综合能力题选讲（二）作者:日期: 2数学高考复习综合能力题选讲（二）本刊试题研究小组“立足基础，突出能力考查；从学科整体知识结构和思想体系上考虑问题，加强试题的综合性和应用性；创设新颖的情景和设问方式”构成了高考命题（数学科）的主旋律•这使得高考试卷中综合能力题的分量越来越重，如1999年试卷中几何类的综合能力题就包括客观题的第（6）、（10）、（13）、（18）题，主观题的第（24）题等•通过综合知识来完成“逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力”的考查入情入理，而解答综合能力题离不开数学的基本思想和基本方法的指导和运用.这就要求我们在平时的教学中注意和重视数学基本思想和方法的渗透和掌握，加强能力培养，教会学生善于抓住问题的实质，对所给问题提供的信息能进行分解、组合和加工，以便寻找解决问题的方法•另外，“增加思考量，控制计算量”值得我们在几何复习中深思.例1某人买了一罐容积为V升、高为a米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方（单位：米）•为了减少罐内液体油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家•试问罐内液体油最理想的估计能剩多少.讲解：首先据题目叙述画出示意图（图1）•直三棱柱为ABC - A'E' C',破损处为D、E，并且AD=b,EC=c,BB'=a.B朴A' C?其次，是理解“最理想的估计能剩多少”这句话，并将其翻译为数学3 / 10语言--“罐内所剩液油的最大值为多少？”再次，是想象什么时候才能达到该最大值•显然，过 D E两点的平面同时应过B',才可达到要求.故问题转化为求几何体ABCDB，E的体积.最后，为求该不规则几何体的体积还应对图形进行处理，办法不惟一，仅给出一种如下：因为V ABC - DB，E =V D - BCEB，+ V D - ABC,而V D - ABC = bV / 3 a,故只需求V D - BCEB-,参见图2.由V D - BCEB' V A' - BCC'B' = ( a+C )/ 2 a 及V A' - BCC'B' = ( 2 / 3 )V,可求得V D-BCEB' = (a + c)V / 3a.于是，最理想的估计是剩下(a + b + c)V / 3 a升.说明：该题的背景为学生所熟悉，考查了学生阅读理解、空间想象及处理图形的能力.例2如图3所示，在矩形ABCD中，已知AB=l,BC=a,PA丄平面ABCD，且PA=l.(1)在BC边上是否存在点Q,使得PQ丄QD，说明理由；(2)若BC边上有且仅有一个点Q,使PQ 丄QD，求AD与平面P DQ所成角的正弦值；(3)在(2)的条件下，能求出平面PQD与平面PAB所成的角的大小吗？讲解：对于(1)假设边BC上存在Q点，使得PQ丄QD，则连结A Q,必有/ AQD=9 0°,反之亦然，故问题转化为：在边BC上是否存在点Q,使得ZAQD=90°.由平面几何知识，问题又可转化为：以AD为直径作圆，是否与BC 边有公共点？易知，当AB< ( l / 2 ) AD时，即a>2时，BC边上存在点Q,使得ZAQD=90°,从而PQ丄QD;当AB> ( l / 2 )AD时，即aV2时，不存在点Q使得PQ丄QD.若通过引入线段参数，构造一元二次方程，利用判别式也可得到解答，留给读者完成.(提示：设CD=x，由勾股定理建立方程.)对于(2)，当BC边上有且仅有一个点Q,使得PQ丄QD，可知B4 / 10C=2，点Q为EC的中点，过A在平面PAQ上作AF丄PQ，垂足为F,连结FD,则ZFDA是直线AD与平面PQD所成的角.可求得sin/FDA = AF / AD= .对于(3)，留给读者思考.说明：该题考查了学生利用所学知识探索求解问题的能力•体现出转化的思想.例3若方程x + y — 6 .'—+3艮=0仅表示一条直线，则实数艮的取值范围是_____ .讲解：一个二元一次方程与一条直线对应，而所给方程为无理方程，必须对其进行求解转化为x + y=m的形式方可.显然应有x + y>0，故所给方程即(；)2—^ ' 1 +3k=0.( *)视x + y为一个整体，则其有解必先满足A=3 6 — 12k>0，得k<3.在k<3的前提条件下，若方程(*)有零根，必有k=0,此时，可由(*)解得"v" :，'z" = 0, J" "一= 6,即卩x + y = 0,x + y = 3 6.得到了两条直线的方程，表示两条直线，与题设要求不符，故匸不能为零.从而关于沪卩的二次方程(* )的根的情况包括三种可能：两正，两负，一正一负.但两负的情况与题设要求不相符.故有若从方程(* )中解出''1等于两个正数，除非其相等，才能满足题设.由A=0得k = 3，且：’■=3,即x + y= 9，满足题设；若从方程(* )中解出•' 1等于一个正数及一个负数，则必有负数被舍，仅得」等于正数，也满足题设.由两根之积小于零得kV0.综合知k<0或k = 3为所求.说明：该题以曲线和方程的概念为切入点，考查了根与系数的关系，分类讨论的思想，转化的思想，以及考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.例4已知抛物线的方程为y=—( 1 / 2 ) x 2+m，点A、E及P(2,4)均在抛物线上，且直线PA、PE的倾斜角互补.(1) 求证：直线AE的斜率为定值；(2) 当直线AE在y轴上的截距为正时，求APAE面积的最大值.5 / 10讲解：由点P在抛物线上，可求得抛物线的方程为y= —(x 2/ 2)+ 6,从而可画出该抛物线(如图4所示).由图4知PA的斜率艮存在，且艮工0,则PA 的方程为y — 4 = k(x — 2).由直线PA、PE的倾斜角互补知，PE的方程为y — 4 =—k(x — 2).(1)设A、E两点的坐标为(x i,y i),(x 2,y 2),贝U（_虫4®-〔-刍6）,.的一厂2 _ 2 2AS - —乃-^2 勺-也为得x i+x 2,我们将PA、PE的方程分别代入抛物线方程并整理得2 2x +2kx—4k—4=0,x —2kx+4k—4=0.由韦达定理有x i +2= — 2k,x 2+2 = 2k, 故k AB = —1 / 2X(—4)=2(定值).(2)设AE的方程为y = 2x + b(b>0 )，将其代入抛物线方程并整理得2x +4x + 2b — 12 = 0.由A>0及b>0,得0 Vb<8 .甘h点P到AB的距离为，又由弦长公式可得；■-，故佇胡梱-+ |XF| Li- ^2欲求S TAB的最大值，须借助三元均值不等式，还得凑系数，以达到 "一正二定三相等”的要求.结果为当b = 16 / 3时，S △PAB最大，最大值<54-^5 为「.说明：本题巧妙地将直线与抛物线融合在一起，既涉及到定值，又“牵连”到最值问题，既要借助韦达定理、弦长公式，又需用三元均值不等式，“动中求静”、“变中求定”，考查了解析几何的基本思想和方法，考查了综合运用知识的能力.值得提醒的是：由A>0及b>0得0Vb<8这一步，常常被考生忽视.而在有关直线与圆锥曲线的试题中又常常被设计为“存在性”问题.展室•为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置在桌上，斜靠墙壁展出.已知镜框对桌面的倾角为0(90°<0<180° )，镜框中,画的上、下边缘与镜框下缘分别相距a米、匕米(a>b) •问：学生距镜框下缘多远看画的效果最佳？讲解：从理论上来讲，视角最大时看画的效果最佳(不考虑其他因素)•我们需做这样的设想才能把其抽象为一个数学问题，眼睛看成一个点，眼睛的高度与镜框下缘所处的高度相同，视线向正前方，画可以看成由无数条与镜框下缘垂直的线条连成的.故利用二面角的所在平面建立坐标系xOy, 参见图5,将问题转化为：“已知ZxOA=a,OA=a,OB=b，在O x轴的正方向上求一点C,使ZACB取最大值.”设C点的坐标为(x,0)(x>0 )，则A、B两点的坐标分别为(acos0,asin0)>(bcos0,bsin0).于是直线A C、BC的斜率可求.由到角公式，得k AC (n - is) sin 6ab---- 4- X = (riS + &)tgZACB=r因ZACB是锐角，所以有(fl —A) win Btg/ACBW 、宀. 1 ,当且仅当ab / x = x，即x= -时，等号成立，此时ZACB取最大值，对应的点为C(止-,0).因此，学生距镜框下缘①肚米时视角最大，此时看画的效果最佳.说明：该题是实际问题，涉及到空间想象，难在将其抽象为解析几何中的问题，对分析和解决问题的能力要求极高！以下题目供复习时参考：1.正四面体与正四棱锥的侧面全等，它们放成一侧面重合后得到一个多面体，这个多面体的面数是______ .2.如图6,在透明塑料制成的长方体ABCD - A i B i C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜如图示时，EF・EE是定值.其中所有正确命题的序号是.3.过椭圆x 2/ 9 + y 2/ 5 = 1的左焦点作一条长为的弦AB,将椭圆绕其左准线在空中旋转12 0 °，则弦AB扫过的面积为_____________ .4.三棱锥S - ABC的底面是边长为a的正三角形，A在侧面SBC上的射影H是ASBC的垂心，且二面角H - AB - C的大小为30°.(1)证明三棱锥S - ABC是正三棱锥；(2)求侧棱与底面所成的角；(3)求侧面与底面所成的二面角；( 4 )求三棱锥S - ABC的体积.5.以椭圆x 2/ a 2+y 2=1(a> 1)的短轴端点B(0 ,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰AABC，问这样的三角形能作出几个？6.已知抛物线C 1：y 2=x+1,C 2：(x+1 / 4) 2=1 / 2(y —19 / 8),直线1: y = kx +b .试问是否存在自然数艮和b,使1与C1、C 2均无公共点.2 27.直线1: ax — y— 1 = 0与双曲线C: x—2y =1相交于P、Q两点.(1)当实数a为何值时，| PQ | =：丿-；(2)是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点.若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.8 .舰A在舰B的正东方向6千米处，舰C在舰B的北偏西3 0°且距舰B4千米处，三艘舰围捕某海洋动物.在某时刻舰A收到了该动物发出的某种信号，B、C两舰在4秒后同时收到了这种信号.由舰A向该动物发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1千米/秒，炮弹运行的初速度是，g千米/秒，其中g是重力加速度.若不计空气阻力与舰高，求舰A发射炮弹的方位角和仰角.9.已知E是矩形ABCD的边CD的中点，且CD=2, BC=1.现沿AE将ADAE折起至AD'AF，使得D'到B、C两点的距离相等.(1)求证：面D'AE丄面ABCE;(2)求二面角D' - BC - A的正切值；(3)求A点到面D'BC的距离.10 .如图8所示，在直角坐标系xOy中，射线OA在第一象限，且与x轴的正向成定角6 0°,动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴的正半轴上运动，APOQ的面积为定值..(1)求线段PQ的中点M的轨迹C的方程；(2)R i、R 2是曲线C上的动点，R i、R 2到y轴距离之和为1，设u为R i、R 2到x轴距离之积，是否存在最大的常数m,使恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由.参考答案等腰三角形有三个. 6 .存在，k=1,b = 2时满足. 7.(1)a= ±1;(2 )假设存在，得出a 2=-2，与a为实数矛盾，故不存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点. 8.取AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3, 0) , B (-3, 0),9 / 101.5. 2 .①、③、④. 3.6n. 4. (1)略；(2) 60°;(3)arctg -■二；(4)12 . 5 .当1 VaW 「时，当a> '时，满足题设条件的直角满足题设条件的等腰直角三角形只有一个;C（—5,2 「），据题知动物所处位置在线段EC的中垂线''x — 3y +7, =0……①上，又由|PE| — |PA|= 4知动物所处的位置点P又在双曲线x 2/ 4 —y 2/ 5 = 1……②的右支上，联立①、②解得点P的坐标为（8,5“丿「），于是|PA|=10,T^PA=_ _ / X AP=60°.「.舰A发射炮弹的方位角为北偏东30°.2昨］sin. 310 设发射炮弹的仰角为0,则据运动学原理有^ 1 '「V ,即仰角0 = 3010. (1) 、，x 2—xy + ■,、= 0(x>0,y>0);(2)m max=75 / 4 = U min .《中学数学教学参考》10 / 10。