经典幂函数及其性质.ppt
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3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
高一数学幂函数的性质3PPT课件
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x1/2
• （1）都是函数； • （2）均是以自变量为底的
幂；• （3）指数为常数；源自(4) y=x3 (5) y=x-1
• （4）自变量前的系数为1; • （5）幂前的系数也为1。
上述问题中涉及的函数，都是形如y= x 的函数。
补充练习
1
求 函 数 y(x2 4x8)2 的 值 域
提问与解答环节
Questions and answers
16
结束语
感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支持与积极 的参与。课程后会发放课程满意度评估表，如果对我们
课程或者工作有什么建议和意见，也请写在上边
17
感谢您的观看与聆听
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整体概况
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您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
概况2
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概况3
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我们先看下面几个具体问题：
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付 __P_=_W__元____ p是w的函数
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积_S_=__a_²
一般地，函数y= x叫做幂函数，其中x是自
变量，α是常数.
注意:幂函数中α的可以为任意实数.
判一判
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
(2) y 1 x2
(5) y=2x2 (6) y=x3+2
(3) y= -x2
1
(4) y x 2
第三章3.3幂函数PPT课件(人教版)
1.幂函数的概念 一般地，函数 y=xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的图象和性质
拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论： (1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单 调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从 上到下，相应的幂指数由大变小.
已知 n 取±2，±12四个值，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为(
)
A.－2，－12，12，2
B.2，12，－12，－2
C.－12，－2，2，12
D.2，12，－2，－12
解析 根据幂函数 y＝xn 的性质，在第一象限内的图象当 n>0 时，n 越大，y＝xn
递增速度越快，故 C1 的 n＝2，C2 的 n＝12；当 n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所
奇偶性 _奇___
_偶___
_奇___ __非__奇__非__偶__
__奇__
x∈[0，＋∞)， 单调性 _增___ __增__
x∈(－∞，0]， __减__
_增___
__增__
x∈(0，＋∞)，_减___ x∈(－∞，0)，_减___
公共点
都经过点（__1_，__1_）___
教材拓展补遗
[微判断] 1.函数y＝－x2是幂函数.( × )
【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________. 解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 答案 16
题型二 幂函数的图象及其应用 关键取决于α>0，α<0
高中数学课件-幂函数
奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数
非奇非 偶函数
奇函数
x∈[0，＋∞)
单调性 增
时，增 x∈(-∞，0]
增
增
时，减
x∈[0，＋∞) 时，增 x∈(-∞，0] 时，减
主页
[难点正本 疑点清源] 1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴， 在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴．
≤
n
或
b 2a
n
f (m) 0 b2 4ac 0 f (n) 0
f(x)min>0(x∈[m, n])
④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)
在
[m,
n]
上恒成立
f f
(m) 0 (n) 0
f(x)max<0(x∈[m, n])
幂函数的图像与性质
知识点梳理
1．幂函数的概念 一般地，我们把形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
变式训练 4
已知幂函数 f(x)＝ x(m2 m)1 (m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单 调性； (2)若该函数还经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并求满足条 件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围．
解 (1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*， 而 m 与 m＋1 中必有一个为偶数， ∴m(m＋1)为偶数．
∴m>－1＋ 5.
[8 分]
由②得 Δ2＝(－m)2－4<0，即－2<m<2.
[12 分]
综上可得 5－1<m<2.
[14 分]
幂函数ppt
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2.用描点法画出①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；
1
④ y x 2 ；⑤y＝x－1的图象并指出其特点.
【解析】 (1)图象如下图所示：
(2)观察上面的函数图象会发现以下特征：
①图象都过点(1,1)．
1
②在第一象限内函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y x2
的图象自左向
右看都是上升的，也就是在[0，＋∞)上都是增函数，且这几种函数的
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幂函数PPT课件
2 1 0 0 1 2
图象性质应用（奇偶性和单调性）
1.画出幂函数 y x 的图象，并指出它 的单调性 2.比较下列各组数的大小. (1) 1.5 ,1.7 ,1 (2) ( 2) ,( 3) ,( 5)
3 7 3 7 3 7
1 3
1 3
1 3
小结：
1.学习了幂函数的概念； 2.利用“还原根式”求幂函数定义 域的方法； 3.利用幂函数在第一象限内的图象 特征，并会根据奇偶性完成整个函 数的图象。 4.利用函数的单调性比较几个“同 指数不同底数”的幂的大小.
一 幂函数的定义：
我们把形 是实常数。
x 是自变量，
对定义的了解
1 例1：下列函数 : 1 y 3 ；2 y 3 x 2; x (3) y x 4 x 2 ;(4) y 个数为（）
3
x 2 ; 其中幂函数的
A．1 C．3
答案：B
B．2 D．4
对定义的了解
例2．若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函 数，则实数k的值是( ) A．3 B．－2 C．3或－2 D．k≠3且k≠－2
解：由题意可知： k2－k－5=1 所以k=3或k=-2
小组讨论，归纳 幂函数.gsp
——通过对图象位置变化的观 察，我们可以发现哪些规律性 的结论？
课后作业
（1）若(a+1)-2>(3-2a)-2，求实数a 的取值范围。 m2-2m-3（m∈N) （2）已知幂函数y=x 的图像与x轴、y轴都没有公共点， 且关于y轴对称，求m的值。
问题探究：
整数m, n的奇偶性与幂函数 y x (m, n Z , 且m, n互质)的定 义域以及奇偶性有什么 关系？
图象性质应用（奇偶性和单调性）
1.画出幂函数 y x 的图象，并指出它 的单调性 2.比较下列各组数的大小. (1) 1.5 ,1.7 ,1 (2) ( 2) ,( 3) ,( 5)
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小结：
1.学习了幂函数的概念； 2.利用“还原根式”求幂函数定义 域的方法； 3.利用幂函数在第一象限内的图象 特征，并会根据奇偶性完成整个函 数的图象。 4.利用函数的单调性比较几个“同 指数不同底数”的幂的大小.
一 幂函数的定义：
我们把形 是实常数。
x 是自变量，
对定义的了解
1 例1：下列函数 : 1 y 3 ；2 y 3 x 2; x (3) y x 4 x 2 ;(4) y 个数为（）
3
x 2 ; 其中幂函数的
A．1 C．3
答案：B
B．2 D．4
对定义的了解
例2．若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函 数，则实数k的值是( ) A．3 B．－2 C．3或－2 D．k≠3且k≠－2
解：由题意可知： k2－k－5=1 所以k=3或k=-2
小组讨论，归纳 幂函数.gsp
——通过对图象位置变化的观 察，我们可以发现哪些规律性 的结论？
课后作业
（1）若(a+1)-2>(3-2a)-2，求实数a 的取值范围。 m2-2m-3（m∈N) （2）已知幂函数y=x 的图像与x轴、y轴都没有公共点， 且关于y轴对称，求m的值。
问题探究：
整数m, n的奇偶性与幂函数 y x (m, n Z , 且m, n互质)的定 义域以及奇偶性有什么 关系？
幂函数-课件ppt
5．已知点 33，3 3在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的定义域
为___(_－__∞_，__0_)_∪__(_0_，__＋__∞_)___,奇偶性为_____奇__函__数________， 单调减区间为__(_－__∞_，__0_)_和__(_0_，__＋__∞_)_____．
二次函数的解析式 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和－2，且它有最 小值－1. (1)求 f(x)解析式； (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式． [课堂笔记]
(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有参数 α，因此只 需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数 y＝xα(α∈R)是偶函数，则 α 必为偶数．当 α 是 分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0，若在(0， ＋∞)上单调递减，则 α＜0.
分类讨论思想在求二次函数最值中的应用
(2014·山东青岛模拟)已知 f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，
求 f(x)的最小值． [解] (1)当 a＝0 时，f(x)＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)当 a>0 时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称 轴为 x＝1a.
在(－∞，－2ba)上是 ___增_____函数；在(－
2ba，＋∞)上是增函数 2ba，＋∞)上是减函数
最值
a＞0
当 x＝－2ba时，
ymin＝
4ac－b2 4a
a＜0
当 x＝－2ba时， ymax＝4ac4－a b2
1．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取
为___(_－__∞_，__0_)_∪__(_0_，__＋__∞_)___,奇偶性为_____奇__函__数________， 单调减区间为__(_－__∞_，__0_)_和__(_0_，__＋__∞_)_____．
二次函数的解析式 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和－2，且它有最 小值－1. (1)求 f(x)解析式； (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式． [课堂笔记]
(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有参数 α，因此只 需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数 y＝xα(α∈R)是偶函数，则 α 必为偶数．当 α 是 分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0，若在(0， ＋∞)上单调递减，则 α＜0.
分类讨论思想在求二次函数最值中的应用
(2014·山东青岛模拟)已知 f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，
求 f(x)的最小值． [解] (1)当 a＝0 时，f(x)＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)当 a>0 时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称 轴为 x＝1a.
在(－∞，－2ba)上是 ___增_____函数；在(－
2ba，＋∞)上是增函数 2ba，＋∞)上是减函数
最值
a＞0
当 x＝－2ba时，
ymin＝
4ac－b2 4a
a＜0
当 x＝－2ba时， ymax＝4ac4－a b2
1．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取
高一数学幂函数ppt课件.ppt
（4）只有1项； （5）这些例子中涉及的函数都是形 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
幂函数的定义
一 般 地 ,函 数 y x 叫 做 幂 函 数 ,其 中 x 是 自 变 量 ,
下面我们一起来尝试幂函数性质的简单应用：
（基础练习）例4：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶
性和单调性．
(1)y x4
1
(2) y x 4
(3)y x3
解：（1）函数 y x4的定义域为R，它是偶函数，在 [0,)上是增函数，
在(,0)上是减函数．
1
（2）函数 y x 4 的定义域为[0,)，它是非奇非偶函数，在[0,)上是增函数．
（3）yx2 x（×）（4）yx2 （1 ×）
（5）y x2
（×） （6）y
1 x3
（√）
［总结］要判断一个函数是幂函数，判断的标准是它的定
义．根据定义，可以把幂函数的形式特征概括为：两个系
数为１，只有一项．
4
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
（巩固提升）例3：已知函数f(x)(m 22m )xm 2m 1,m为何值
时，是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次
函数；（4）幂函数．
解 ：
（感受理解）例5：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由．
1
高一数学《幂函数》PPT课件
函数的性质不同
指数函数的底数是一个大于0且 不等于1的常数，而幂函数的底 数可以是任意实数。此外，指 数函数的值域为正实数集，而 幂函数的值域为非负实数集。
图像的形状不同
指数函数的图像是一条经过点 (0,1)的曲线，而幂函数的图像 是一条经过原点的曲线。
02
常见幂函数类型及其特点
一次幂函数
表达式
幂的乘方法则
幂的乘方
底数不变，指数相乘。公式： (a^m)^n = a^(m×n)
举例
(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12； (x^2)^5 = x^(2×5) = x^10
积的乘方法则
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。公式： (ab)^n = a^n × b^n
举例
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
幂函数性质
幂函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。例如，当a>0时，幂函数在定义域内 单调递增；当a<0时，幂函数在定义域内单调递减。
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
易错难点剖y = x^n（n为实数）
图像
02
一条直线（n=1时）或射线（n≠1时）
性质
03
当n>0时，函数在(0, +∞)上单调递增；当n<0时，函数在(0,
《幂函数》函数的概念与性质PPT教学课件
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因 为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
栏目导航
【例3】 比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.
[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解． [解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233. (2)0.9－12＝19012， 1.1＝1.112. ∵1.2>190>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>19012>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.
x∈(－∞，0)
时，减函数
时，减函数
栏目导航
6
C [只有y＝3x不符合幂函数y 1．下列函数中不是幂函数的是 ＝xα的形式，故选C.] () A．y＝ x B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1
栏目导航
7
2．已知 f(x)＝(m＋1)xm2＋2 是幂函
D [由题意可知m＋1＝1，即m
数，则 m＝( )
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
2
学习目标
核心素养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、 1.结合幂函数的图
易混点)
象，培养直观想象
2．结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
的数学素养． 2．借助幂函数的性
象，掌握它们的性质．(重点、难点)
质，培养逻辑推理
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 的数学素养.
栏目导航
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【例3】 比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.
[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解． [解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233. (2)0.9－12＝19012， 1.1＝1.112. ∵1.2>190>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>19012>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.
x∈(－∞，0)
时，减函数
时，减函数
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6
C [只有y＝3x不符合幂函数y 1．下列函数中不是幂函数的是 ＝xα的形式，故选C.] () A．y＝ x B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1
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7
2．已知 f(x)＝(m＋1)xm2＋2 是幂函
D [由题意可知m＋1＝1，即m
数，则 m＝( )
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
2
学习目标
核心素养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、 1.结合幂函数的图
易混点)
象，培养直观想象
2．结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
的数学素养． 2．借助幂函数的性
象，掌握它们的性质．(重点、难点)
质，培养逻辑推理
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 的数学素养.
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幂函数的基本概念与性质PPT模板
单调性：当 a < b 时，函数在区间 (a, b) 上单调递减；当 a > b 时，函数在 区间 (a, b) 上单调递增。
幂函数
定义
单调性
值域 奇偶性
常数 区间
性质
ห้องสมุดไป่ตู้
函数
03
幂函数的图像
Image of power function
基本图形：y = x^n 的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
幂函数的基本概念与性质
The Basic Concepts and Properties of Power Functions
汇报人： 2023.10.11
目录 CONTENT
幂函数的定义 幂函数的性质 幂函数的图像 幂函数的应用 幂函数的证明
01
幂函数的定义
Definition of power function
05
幂函数的证明
Proof of power function
根据幂函数的定义，可以直接得出 y = x^n 的证明。
幂函数是指数函数的推广形式。 幂函数 y = x^n 在数学中被定义为一个形式为 y = a^x 的函数，其 中 a 是一个常数且 a ≠ 0。 幂函数具有单调性。 幂函数 y = x^n 在实数域上具有单调性，当 n > 0 时，函数在第一象 限内单调递增；当 n < 0 时，函数在第一象限内单调递减。 幂函数具有奇偶性。 幂函数 y = x^n 具有奇偶性，当 n 为偶数时，函数为偶函数；当 n 为奇数时，函数为奇函数。 幂函数的值域。 幂函数 y = x^n 的值域取决于底数 a，当 a > 1 时，函数值域为 (0, +∞)；当 a < 1 时，函数值域为 (-∞， +∞)；当 a = -1 时，函数值 域为 (-∞， +∞)。
幂函数ppt课件
2
[解析] ∵是幂函数， ∴，且 =0 ∴ 或 ，n=
例1（1）幂函数 的图象过点，则 等于___．
[解析] 依题意，解得 ，则∴ .
［例3］ 已知幂函数 为偶函数．
（1） 的值为____；
16
[解析] 由，得 或 .当时， 是奇函数，不满足题意，舍去；当时， 是偶函数，满足题意.∴ ， .
方法总结解决幂函数的综合问题时的注意点掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性．
［例3］ 比较大小.
（1） ;
解：∵函数在 上单调递增，且，∴ .
（2）， .
解：∵函数在 单调递减，且∴ .
（3）， ;
解： ， ∵幂函数在 上单调递增，又∵ ，∴ .
方法总结利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法
角度2 幂函数性质的综合运用
例4 已知幂函数的图象过点 ．
（1）求 的解析式；
(4) 在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x 轴无限接近。
思考3：观察5个函数图象，哪个象限一定有幂函数的图象，哪个象限一定没有幂函数的图象.
在直线 的右侧，按“逆时针”方向，图象所对应的幂指数依次增大（ 的右侧，“指大图高”）
探究点二 幂函数的图象
例2 如图，曲线是幂函数 在第一象限内的图象，已知取，四个值，则对应曲线，，，的 依次为 ( )
A
A.，，，2 B. 2，，， C.，，2， D. 2，，，
[解析] 如图，作直线 ，分别交四条曲线于A，B，C，D四点，由于取，四个值，当 时，对应的四个函数值为，，， ，因为 ,故四个点的纵坐标依次为，，， ，由四个点的位置关系，四个函数图象对应的 的值从下而上依次为，， ，2.故选A.
[解析] ∵是幂函数， ∴，且 =0 ∴ 或 ，n=
例1（1）幂函数 的图象过点，则 等于___．
[解析] 依题意，解得 ，则∴ .
［例3］ 已知幂函数 为偶函数．
（1） 的值为____；
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[解析] 由，得 或 .当时， 是奇函数，不满足题意，舍去；当时， 是偶函数，满足题意.∴ ， .
方法总结解决幂函数的综合问题时的注意点掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性．
［例3］ 比较大小.
（1） ;
解：∵函数在 上单调递增，且，∴ .
（2）， .
解：∵函数在 单调递减，且∴ .
（3）， ;
解： ， ∵幂函数在 上单调递增，又∵ ，∴ .
方法总结利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法
角度2 幂函数性质的综合运用
例4 已知幂函数的图象过点 ．
（1）求 的解析式；
(4) 在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x 轴无限接近。
思考3：观察5个函数图象，哪个象限一定有幂函数的图象，哪个象限一定没有幂函数的图象.
在直线 的右侧，按“逆时针”方向，图象所对应的幂指数依次增大（ 的右侧，“指大图高”）
探究点二 幂函数的图象
例2 如图，曲线是幂函数 在第一象限内的图象，已知取，四个值，则对应曲线，，，的 依次为 ( )
A
A.，，，2 B. 2，，， C.，，2， D. 2，，，
[解析] 如图，作直线 ，分别交四条曲线于A，B，C，D四点，由于取，四个值，当 时，对应的四个函数值为，，， ，因为 ,故四个点的纵坐标依次为，，， ，由四个点的位置关系，四个函数图象对应的 的值从下而上依次为，， ，2.故选A.
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.精品课件.
2
一、幂函数的概念的引入
阅读课本第85页的具体实例（1）－（5）， 思考下列问题：
1.它们的解析式分别是什么？若用 x 表示自
变量, y 表示 x 的函数,上述五个函数解析式
分别是什么?
.精品课件.
3
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，
那么她需要付的钱数p = w元，这里p是w的函数 。y x
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y 3x; (2) y x2; (3) y 2x2; (4) y x2 1;
(5) y 1
思考：指数函数y=ax与幂
x
函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
.精品课件.
6
2.已知幂函数y = f (x)的图象经过点
（3 ，3 ），求这个函数的解析式。
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
是S = a²， 这里S是a的函数。
y x2
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积
是V = a³， 这里V是a的函数 。
y
3
x
问题4:如果1 正方形场地的面积为S，那么正方形的边
长问题a=5：，S如2果某这人里tas是内S骑的车函行数。进了1km，那么他y 骑x车12
的平均速度v = t1 km/s
，这里v是t的函数 。
y
1
x
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用
y来表示,则它们.的精品课函件. 数关系式将是:y
a
x4
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1) y=x (2) y=x2
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的 幂；
(3) y=x1/2
（3）指数为常数；
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.精品课件.
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34 14
函数 y x3 的图像
定义域： R
值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是.精增品课件函. 数
15
x
1
1
y x2 用描点法作出函数y x2 的图象.
0
0
1
1
2
1.414
3
1.732
5
4
2
4
5
2.236
6
2.449
3
7
2.646
a1 2
1
y x2
.精品课件.
8
1
3.如果函数f (x) = (m2+2m－2) x m2 1 2n 3
是幂函数，求实数m,n的值。
解：由题意得
m2 2m 2 1 m2 1 0 2n 3 0
解得m 3, n 3 .
.精品课件.
2
9
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
分析：例题要求函数的解析式，首先由题知， 此函数是幂函数，也就符合幂函数的一般形 式 y x ，而且我们知道图像(过2点, 2 )
只要把点带入解析式中即可求出a，也就可以求 出函数的解析式。
待定系数法
.精品课件.
7
解：设所求幂函数的解析式为y x
(3, 3)因为点在函数图像上，所以代
入解析式得： 3 3a
(4)
1
y x2
(5)
y x1
.精品课件.
19
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
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2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
.精品课件.
20
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
幂函数及其性质
.精品课件.
1
学习目标
一、知识目标：
1.通过实例了解并记住幂函数的概念. 2.结合几个常见幂函数的图象观察图象特征并能
自行发现幂函数的性质. 3.记住幂函数的性质并会应用. 能力目标：
通过观察图象特征来归纳函数性质, 从而培养学生数形结合的能力. 情感目标：
通过观察图象体会数学的简洁美.
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点：
看未知数x是指数还是底数
指数函数 .精品课件.
幂函1数0
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
.精品课件.
(4) y=x3
（4）自变量前的系数为1;
(5) y=x-1
（5）幂前的系数也为1。
一般地，函数y= x叫做幂函数，其中x是自
变量，α是常数.
注意:幂函数中α的可以为任意实数.
.精品课件.
5
一、幂函数的定义： 一般地，我们把形如 y x 的函数叫做
幂函数，其中 x为自变量， 为常数。
y x 中 x前面的系数是1，后面没有其它项。
y x1
定义域 R 值域 R
R
R [0，+∞） ，0 （0，+）
[0，+∞） R [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非偶 函数
奇函数
单调性 公共点
在（－∞,0] 在R上 上是减函 是增函 数，在(0, 数 +∞）上是
单调性：在[0,)上.精品是课件.增函数
17
函数 y x1 的图像
定义域：{x x 0}
值 域：{y y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上.精是品课件减. 函数
18
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
8
2.828
9
3
1
10
3.162
0
11 12
3.317 3.464
--11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
13
3.606
14
3.742
15
3.873
16
4
.精品课件.
16
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
11
函数 y x的图像
定义域： R
值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是.精增品课件函. 数
12
函数 y x2 的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上.精是品课件减. 函数
13
用描点法作出函数y=x3的图象.
x
y=x3
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