第10章组合计数基本方法

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组合公式的计算方法

组合公式的计算方法组合公式是数学中的一个重要概念，它在概率论、组合数学等领域有着广泛的应用。

组合公式的计算方法可以帮助我们解决很多实际问题，因此掌握组合公式的计算方法对于我们的数学学习和实际应用都是非常重要的。

在本文中，我们将介绍组合公式的基本概念和计算方法，希望能够帮助大家更好地理解和运用组合公式。

首先，我们来了解一下组合公式的基本概念。

在数学中，组合公式C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的所有可能组合数。

其中，n为总元素个数，m为要取出的元素个数。

组合数C(n,m)的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! (n-m)!)。

其中，n!表示n的阶乘，即n! = n (n-1) (n-2) … 2 1。

m!和(n-m)!分别表示m和(n-m)的阶乘。

接下来，我们来看一些实际的计算例子。

假设我们有一个集合{A, B, C, D, E}，我们需要从中选出3个元素的所有可能组合数。

根据组合公式的计算方法，我们可以得到：C(5,3) = 5! / (3! (5-3)!)。

= 543 / (321)。

= 10。

因此，集合{A, B, C, D, E}中选出3个元素的所有可能组合数为10。

除了使用组合公式的计算方法外，我们还可以通过递推关系来计算组合数。

根据组合数的递推关系，我们有以下公式：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)。

这个公式的意义是，要想从n个元素中选出m个元素的所有可能组合数，可以分为两种情况，一种是包含第n个元素的所有组合数，即C(n-1,m-1)；另一种是不包含第n个元素的所有组合数，即C(n-1,m)。

通过这个递推关系，我们可以利用动态规划的方法来高效地计算组合数。

在实际应用中，组合公式的计算方法可以帮助我们解决很多问题，比如排列组合、概率统计、密码学等。

在概率统计中，我们经常需要计算事件发生的所有可能情况，这时就可以利用组合公式来计算。

在密码学中，组合公式可以帮助我们分析密码的安全性，评估密码的破解难度。

组合计数的几个典型方法

组合计数的几个典型方法组合计数是数学中的一个分支，主要研究将多个事物进行组合的方法和技巧。

在现实生活和学术研究中，组合计数是非常重要的。

在此，我们将介绍几个典型的组合计数方法。

1. 直接计数法这个方法最简单和直接，也是最常见的方法。

直接计数法指的是通过简单的数学运算，如加减乘除等，来计算所需要的组合方案数。

举个例子，如果我们需要从1,2,3,4,5这五个数中选取3个数组成排列，那么我们可以用直接计数法得到：$5*4*3=60$。

2. 阶乘计数法阶乘计数法是指通过对组合元素进行阶乘计算来得到组合情况的方法。

因为阶乘的数值是很大的，所以这种方法一般用于较小规模的组合计数。

比如说，有10个人排队来参加比赛，如果要按照顺序进行比赛，那么第一名有10种选择，第二名有9种选择，第三名有8种选择，依次类推，那么总的组合情况就是$10!=3.628.800$种。

3. 组合计数法组合计数法是指通过对组合元素的选择进行计算得到组合情况数的方法。

组合计数法可以分为有放回组合和无放回组合。

有放回组合通常使用二项式定理进行计算，无放回组合通常使用错排公式进行计算。

比如说，如果我们要从5个人中选取3个人，得到的组合数可以根据二项式定理进行计算：$comb(5,3)=C_5^3=\frac{5!}{3!*(5-3)!}=10$。

4. 排列计数法排列计数法是指通过对元素的排列来计算组合情况数的方法。

排列计数法可以分为有放回排列和无放回排列。

比如说，如果我们将4个人任意排列，那么排列情况可以通过乘法原理进行计算：$4*3*2*1=24$。

总之，组合计数方法的选择要根据实际问题来判断，我们可以根据问题的特点合理选择计数方法，进而解决问题。

【人教版】数学(理)一轮复习：第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》(第2节)课件公开课一等奖课

(3)当 x＝1，y＝3 时，有 C13·C34·C15＝60 种不同选法； (4)当 x＝2，y＝1 时，有 C23·C14·C25＝120 种不同选法； (5)当 x＝2，y＝2 时，有 C23·C24·C15＝90 种不同选法；
第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）
(6)当 x＝3，y＝1 时，有 C33·C14·C15＝20 种不同选法．所以不同的选法共有 120＋180＋60＋120＋90＋20＝590 种．答案 590
第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）
5．(2014·本溪模拟)5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员．现从中选出 3 名队员排成 1，2，3 号参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员，且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有________种．(以数字作答) 解析 ①只有 1 名老队员的排法有 C12·C23·A33＝36(种)； ②有 2 名老队员的排法有 C22·C13·C12·A22＝12(种)，所以共 48 种．答案 48
()
第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）
[听课记录] 先将 4 名水暖工选出 2 人分成一组，然后将三组水暖工分配到 3 户不同的居民家，故有 C24A33种．答案 C
第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）
(2)(2013·重庆高考)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是________(用数字作答)． [听课记录] 解法一：从 12 名医生中任选 5 名，不同选法有 C512＝ 792 种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有 C57＝21 种，只去骨科和内科两科医生的选法有 C58－C55＝55 种，只去脑外科和内科两科医生的选法有 C59－C55＝125 种，只去内科一科医生的选法有 C55＝1 种，故符合条件的选法有：792－21－55 －125－1＝590 种．

初中奥数讲义组合计数技巧

枚举法：设第 i 天取得 ai 1 块金牌，则 ai 0, a1 a2 a11 5 ，若 ai 中有一个 5，则有 11 种情况；若 ai 中有 4 和 1,或 2 和 3，则有 A11 2 220
2
种；若 ai 中有 3、1、1 或 2、2、1，则有
例 1.5（2004 联赛试题）设三位数 n abc ，若以 a，b，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数 n 有（ A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个）
D. 216 个
【解析】本题是标准的枚举问题，情况繁多. a，b，c 要能构成三角形的边长，显然均不为 0。即 a, b, c {1, 2,...,9} （1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为 n1 ，由于三位数中三个数码都相同，所以， n1 C9 9 。
组合计数技巧
计数是组合数学的主要课题，一般来说，组合计数方法是运用排列、组合的基本公式为基础，依据加法原理、乘法原理，容斥原理，或建立一一对应关系，递推关系等，以求出精确的计数式 . 组合计数问题是组合数学的基础和重要板块，所谓“得组合者得天下” ，掌握组合计数技巧的重要性不言而喻. 因此，学习组合数学，掌握组合计数技巧对于竞赛获奖以及数学能力的培养都有着十分重要的意义. 组合计数技巧多种多样，包括组合原理、枚举法、一一对应方法、生成函数法、递归法等等，本讲重点讲解加法、乘法原理,枚举方法以及一一对应方法.
(1，3，3)，(1，4，4)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(2，4，4)，(3，3，3)，(3，3， 4)共 10 种. （2） B
2 限邻排列问题前排中间的 3 个座位不能坐，有排法 A20 ，其中相邻的分三类，

组合与排列的计算方法(知识点总结)

组合与排列的计算方法（知识点总结）组合和排列是离散数学中的两个重要概念，用于描述从一组元素中选择出一部分元素的方式。

在实际生活和数学问题中，我们经常需要计算不同元素的排列或组合情况。

下面将介绍组合和排列的定义、计算方法及应用。

1. 组合的计算方法组合指的是从一个元素集合中选出若干个元素，不考虑元素的顺序。

假设有n个元素，要从中选出k个元素的组合数可以用C(n, k)表示。

计算组合数的公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

例如，从5个元素中选出3个元素的组合数为：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 102. 排列的计算方法排列指的是从一个元素集合中选出若干个元素，考虑元素的顺序。

同样假设有n个元素，要从中选出k个元素的排列数可以用P(n, k)表示。

计算排列数的公式为：P(n, k) = n! / (n-k)!例如，从5个元素中选出3个元素的排列数为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 603. 组合与排列的应用组合和排列的计算方法在实际生活和数学问题中有广泛的应用。

在数学问题中，组合和排列的计算方法可以用于计算概率。

例如，在一个抽奖活动中，有10个人参与，每人只能抽出一张奖券，那么获奖的组合数为C(10, 1) = 10。

如果要计算中奖概率，则需要将获奖的组合数除以总的可能组合数。

在计算机科学中，组合和排列的计算方法可以用于算法设计。

例如，在某个问题中，需要对一组数据进行全排列的处理，即将这组数据的所有可能的排列情况都生成出来。

通过排列的计算方法，可以快速计算出所有排列的结果。

在实际生活中，组合和排列的计算方法常用于安排座位、制定菜单、组织比赛等场景下。

例如，某个宴会上有8个座位，要从10个人中选出来安排座位，那么可能的座位组合数为C(10, 8) = 45。

组合数的计算与应用

组合数的计算与应用组合数是高中数学中一个重要的概念，在概率论、组合数学、数论等领域都有广泛应用。

本文将围绕组合数的定义、计算、性质及应用展开相关论述，以便读者更加深入的了解和掌握这一概念。

一、组合数的定义组合数是指从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个的方案数，用$C_n^m$ 或 $\binom{n}{m}$ 表示，其中 $n,m$ 均为非负整数，且满足$0\le m\le n$。

二、组合数的计算1. 排列组合的关系在讨论组合数的计算方法之前，首先需要了解排列和组合的关系。

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个，有几种不同的方法呢？若只考虑选出来的元素的顺序，即从 $n$ 个元素中排列出 $m$ 个元素，则一共有 $P_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}$ 种方案。

而若只考虑选出来的元素的种类，不考虑其顺序，则一共有$C_n^m=\dfrac{P_n^m}{m!}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$ 种方案。

2. 推导组合数公式推导组合数公式的方法有多种，这里介绍一种基于递推关系的方法。

当 $m=0$ 时，显然 $C_n^0=1$。

当 $m=1$ 时，有 $C_n^1=n$。

当$m>1$ 时，可以推导出递推公式：$$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$$这个递推公式的意义是，取出 $n$ 个元素中 $m$ 个元素，可以分为两种情况：第一种是必选 $n$ 元素中的一个，然后再从 $n-1$ 个元素中选出 $m-1$ 个元素；第二种是不选 $n$ 元素，然后从 $n-1$ 个元素中选出 $m$ 个元素。

两种方案加起来就是总方案数。

基于递推关系，可以快速计算出任意组合数，而无需枚举所有可能的选法。

下面是一个用 Python 实现的组合数计算函数：```pythondef C(n, m):if m == 0:return 1else:return C(n-1, m-1) + C(n-1, m)```三、组合数的性质组合数有一些重要的性质，这些性质不仅有助于更好的理解组合数的含义，也为组合数在各个领域的应用提供了理论基础。

第10讲组合计数

第10讲组合计数一、知识解读组合计数就是计算集合的元素个数．它是组合数学的重要组成部分．在具体问题中给出的集合各式各样，都具有实际意义，而且集体中的元素是由某些条件所确定的，要判定一个元素是否属于某集合A ，已非易事，要确定A 的元素个数就更难了．这正是研究计算问题的原因．解决组合计算问题虽然不需要高深理论知识，却需要重要的计算原理与思想方法．排列组合题的求解策略：（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略．（2）分类与分步：有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（3）优先法：对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素．（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．（6）定序法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数．（7）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为311C ，这也就是方程12a b c d +++=的正整数解的个数．几种特殊的排列、组合 1．重复排列定义2：从n 个不同元素中允许重复的任取r 个元素排成一列，称为n 个不同元素的r ——可重复排列．定理2：n 个不同元素的r ——可重排列数为r n ．证明：在按顺序选取的r 个元素中，每个元素都有n 种不同的选法，故由乘法原理有，其排列数为r n ．2．圆排列定义1：从n 个不同元素中任取r 个元素仅按元素之间的相对位置而不分首尾排成一个圆圈，这种排列称为n 个不同元素的r ——圆排列．r ——圆排列数记为r n K ．定理1：.r r nnA K r=证明：对n 个不同元素取r 个的任一圆排列，均有r 种不同的方式展开成r 个不同的直线排列，且不同的圆排列展开的直线排列也彼此不同，故有r rn nr K A ⋅=． 3．不全相异元素的全排列定义3：设n 个元素可分为k 组，每一组中的元素是相同的，不同组间的元素是不同的，其中第i 组的元素个数为(1, 2,, )i n i k =⋯, 12k n n n n ++⋯+=，则这n 个元素的全排列称为不全相异元素的全排列．定理3：n 个元素的不全相异元素的全排列个数为12!..!!!k n n n n证明：先把每组中的元素看做是不相同的，则n 个不同元素的全排列数为n !，然后分别将每个组的元素还其本来面目看成是相同的，则在这n!个全排列中，每个排列都重复出现了12!!!k n n n 次，所以不全相异元素的全排列数12!..!!!k n n n n4．多组组合定义4：将n 个不同的元素分成k 组的组合称为n 个不同元素的k ——组合．定理4：对于一个n 个不同元素的k ——组合，若第i 组有n i 个元素（i =1, 2, …，k ），则不同的分组方法数为12!..!!!k n n n n证明：我们把分组的过程安排成相继的k 个步骤．第一步，从n 个不同元素中选n 1个，有1n n C 种方法；第二步，从n －n 1个元素中选n 2个有21n n n C -种方法；…；第k 步，从121k n n n n --++⋯+（）个元素中选n k 个元素，有121kk n n n n n C --++⋯+（）种方法，再由乘法原理得证．5．重复组合定义5：从n 个不同元素中任取r 个允许元素重复出现的组合称为n 个不同元素的r ——可重组合．定理5：n 个不同元素的r ——可重组合的个数为1n r r C +-．证明：设（a 1 , a 2 ,…，a r ）是取自{1，2，…，n }中的任一r 可重复组合，并设a 1≤a 2≤…≤a r ．令 b i =a i +i －1(1≤i ≤r )，从而b 1=a 1 , b 2=a 2+1 , b 3=a 3+2,…, b r =a r +r －1．显然下面两组数是一对一的：a 1≤a 2≤…≤a r ，1≤a 1<a 2+1<a 3+2<…<a r +r －1≤n+r －1．设 1212{,,,|{12,,},}r i r A a a a a n a a a =⋯∈⋯≤≤⋯≤（）,， 1212 {,,,|{12,1}}r i r B b b b b n r b b b =⋯∈⋯+<<⋯<（），，－,．则由A 、B 之间存在一一对应，故r ——可重组合的个数为1n r r C +- ．二、解题指导例1．（1）被3整除而又含有数字6的五位数有．解答：12504（2）用8个数字1,1，7,7，8,8，9,9可以组成不同的四位数有个．解答：4212224443426+204A C C C A C +⋅⋅⋅=（3）将1n +个不同的小球放入n 个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有种放法．解答：21!C n n +（4）用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位的奖号，共有种可能的号码．解答:4329521260C C C =（5）方程1231023x x x x +++⋯+=有个非负整数解．解答：设（x 1, x 2,…,x 10）是原方程组的一个非负整数解，由于x i ≥0（i=1, 2, 10），因此， 2x 1≤2x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=3，即2x 1≤3，所以x 1=0，1.下面分两种情形：（1）x 1=0，则x 2+x 3+…+x 10=3, 所以x i =0 , 1, 2 , 3 （i=2, 3 , …，10）. 如果有某个x i =3，则其他x i =0，这样解有C 19=9（个）.如果某个x i ≠3，若某个x i =2，则必有一个x j =1，i ≠j ，2≤i, j ≤9，这样解有C 19·C 18=72 如果对每个x i ≠2，3，则x 2, x 3，…，x 10中必有三个x i （2≤i ≤10）为1，这样解有C 93=84 （2）x 1=1，则x 2+x 3+…+x 10=1, 因此x 1，x 2，x 3…x 10中仅有一个是1，这样解有C 19=9 于是原方程组有1741939181919=++⋅+C C C C C 个非负整数解.例2．数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？解答：【解】符合条件的四位数必含有一个1或者两个1.（1）含有两个1的情形从除1之外的其余9个数字中任取两个，有C 29种取法，再与其中的一个1组成任意排列的三位数，有P 33种，这样构成的首位为1的四位数共有N 1= C 29 P 33（个）. （2）只含有一个1的情形从其余的9个数字中任取两个，有C 29 种取法，其中一个数字被重复选出，有C 12种，这样的三个数字组成的三位数共有233P ，这样构成的首位为1的四位数共有23312292P C C N ⋅⋅=（个）.因此，符合题意的四位数共有N=N 1+N 2=432（个）.例3．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少个？解答：27个点成3*3*3排列。

组合计数公式

组合计数公式组合计数公式，这可是数学里一个挺有意思的玩意儿！咱先来说说啥是组合计数公式。

简单来讲，它就是帮咱们数数，算算在一堆东西里挑出几个来，能有多少种不同的挑法。

比如说，从 5个苹果里选 2 个，有几种选法？这就得靠组合计数公式来帮忙啦。

组合计数公式里有个很重要的概念叫“组合数”，通常用 C(n, k) 来表示，意思是从 n 个不同元素中选取 k 个元素的组合数。

它的计算公式是：C(n, k) = n! / [k!(n - k)!] 。

这里面的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。

我记得有一次，学校组织活动，要从班上的 20 个同学里选出 5 个参加比赛。

同学们都在那七嘴八舌地讨论到底有多少种选法。

这时候，我就跟他们说，咱们可以用组合计数公式来算算。

然后我就在黑板上写出了 C(20, 5) = 20! / [5!(20 - 5)!] ，算出来一共有 15504 种选法。

同学们都瞪大了眼睛，觉得太神奇了，原来数学能这么厉害，轻轻松松就算出了这么多种可能。

组合计数公式在生活中的应用可多啦。

比如说抽奖，从一堆号码里抽出几个中奖号码，这就是组合问题。

还有安排座位，一排有 10 个座位，选 3 个坐人，有多少种坐法，这也能用组合计数公式来解决。

再比如说，你去买水果，有 8 种水果，你只想买 3 种，那到底有多少种不同的买法？用组合计数公式一算就知道。

还有分东西，把 12 个玩具分给 4 个小朋友，每个小朋友至少一个，这也能通过组合计数公式来思考。

组合计数公式还能帮助咱们理解概率问题。

比如说扔骰子，扔两次，两次点数之和为 7 的概率是多少？这也得先通过组合计数公式算出总的可能性，再算出点数之和为 7 的可能性，最后就能算出概率啦。

在学习组合计数公式的时候，可别死记硬背，得理解它背后的道理。

多做几道题，多想想实际生活中的例子，这样才能真正掌握它。

新高考数学一轮复习教师用书：第10章 2 第2讲排列与组合

第2讲排列与组合1．排列、组合的定义排列的定义从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数公式A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！C m n＝A mnA m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！性质A n n ＝n ！,0！＝1C mn ＝C n －mn ,C mn ＋C m －1n ＝C mn ＋1[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (4)若组合式C xn ＝C mn ,则x ＝m 成立．( ) (5)A mn ＝n(n －1)(n －2)…(n－m)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修23P27A 组T7改编)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24解析：选D.“插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A 34＝4×3×2＝24.2．(选修23P19例4改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为( ) A ．8 B ．24 C ．48D ．120解析：选C.末位数字排法有A 12种,其他位置排法有A 34种,共有A 12A 34＝48(种)排法,所以偶数的个数为48.3．(选修23P28A组T17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( )A．18 B．24C．30 D．36解析：选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种,选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种,故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种．故选C.[易错纠偏](1)分类不清导致出错；(2)相邻元素看成一个整体,不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法．1．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装计算机和组装计算机各2台,则不同的取法有________种．解析：分两类：第一类,取2台原装计算机与3台组装计算机,有C26C35种方法；第二类,取3台原装计算机与2台组装计算机,有C36C25种方法．所以满足条件的不同取法有C26C35＋C36C25＝350(种)．答案：3502．把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种．解析：设这5件不同的产品分别为A,B,C,D,E,先把产品A与产品B捆绑有A22种摆法,再与产品D,E全排列有A33种摆法,最后把产品C插空有C13种摆法,所以共有A22A33C13＝36(种)不同的摆法．答案：36排列应用题3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排,前排3人,后排4人；(3)全体站成一排,男、女各站在一起；(4)全体站成一排,男生不能站在一起．【解】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列,有A57＝2 520种排法．(2)前排3人,后排4人,相当于排成一排,共有A77＝5 040 种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起,是男生的全排列,有A33种排法；女生必须站在一起,是女生的全排列,有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素,有A22种排法,由分步乘法计数原理知,共有N＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法,男生在4个女生隔成的五个空隙中安排共有A35种排法,故N＝A44·A35＝1 440(种)．(变问法)在本例条件下,求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端．解：(1)先排甲有4种,其余有A66种,故共有4·A66＝2 880种排法．(2)先排甲、乙,再排其余5人,共有A22·A55＝240种排法．求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空隙中间接法对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化的方法[提醒] (1)插空时要数清插空的个数,捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．(2)用间接法求解时,事件的反面数情况要准确．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数,则含有2,3但它们不相邻的五位数有________个．解析：不考虑0在首位,0,1,4,5先排三个位置,则有A34个,2,3去排四个空当,有A24个,即有A34A24个；而0在首位时,有A23A23个,即含有2,3,但它们不相邻的五位数有A34A24－A23A23＝252个．答案：252组合应用题要从5名女生,7名男生中选出5名代表,按下列要求,分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．【解】(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”,可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法,其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选,即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可,共有C22C310＝120种选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”,即从其余10人中任选5人有C510种选法,所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．(变问法)在本例条件下,求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男,1女4男,2女3男,由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法求解．甲、乙两人从4门课程中各选修2门,求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24,又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种,因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．排列、组合的综合应用(高频考点)排列与组合是高考命题的一个热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题多为中档题．主要命题角度有：(1)相邻、相间问题；(2)分组、分配问题；(3)特殊元素(位置)问题．角度一相邻、相间问题(2020·杭州八校联考)有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A．34种B．48种C．96种D．144种【解析】特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,有C12种选法,乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,与其余三个元素全排列,最后乙、丙可以换位,故共有C12A44A22＝96(种),故选C.【答案】 C角度二分组、分配问题从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法．(用数字作答)【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．【答案】660角度三特殊元素(位置)问题(2020·台州市书生中学高三期中)在某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生．如果2位男生不能连着出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为________．【解析】①若第一个出场的是男生,则第二个出场的是女生,以后的顺序任意排,方法有C12C13A33＝36种．②若第一个出场的是女生(不是女生甲),则将剩余的2个女生排列好,2个男生插空,方法有C12A22A23＝24种．故所有的出场顺序的排法种数为36＋24＝60.【答案】60解排列、组合综合应用问题的思路1．安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：选D.因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组,即2,1,1,有C 24C 12C 11A 22＝6种,再分配给3个人,有A 33＝6种,所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．2．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析：把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C 23种分法,再分给4人有C 23A 24种分法,所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.答案：603．(2020·浙江东阳中学高三期中检测)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,则组成的偶数的个数是________；恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数是________．解析：由五个数组成五位偶数,可分类个位数放0,2,4；当个位是0时,有A 44＝24种,当个位是2时,有3A 33＝18种,当个位是4时与个位是2时相同,则共有24＋36＝60种．当1和3两个奇数夹着0时,把这三个元素看做一个整体,和另外两个偶数全排列,其中1和3之间还有一个排列,共有2A 33＝12种,1和3两个奇数夹着2时,同前面类似,只是注意0不能放在首位,共有2C 12A 22＝8种,当1和3两个奇数夹着4时,也有同样多的结果．根据分类加法计数原理得到共有12＋16＝28种结果．答案：60 28核心素养系列21 逻辑推理、数学运算——分组分配问题中的易错点分组问题是同学们学习中的难点问题,在考试中不容易得分,在解题过程中容易掉入陷阱．解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后分配．关于分组问题,有整体均分、部分均分和不等分组三种,无论分成几组,应注意的是只要有一些组中元素的个数相等,就存在均分现象．下面结合一些典型问题谈谈如何避免掉进分组问题中的陷阱．一、整体均分问题国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教．现有6名免费培养的教育专业师范毕业生,将其平均分到3所学校去任教,有________种不同的分配方法．【解析】先把6个毕业生平均分成3组,有C 26C 24C 22A 33种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A 33＝6种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有C 26C 24C 22A 33A 33＝90种分配方法．【答案】 90对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数),避免重复计数．二、部分均分问题将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任一房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．【解析】先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式),再将这三组人安排到3个房间,然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可,故安排方式共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 15C 14C 33A 22＋C 25C 23C 11A 22·A 33·C 24＝900种．【答案】 900本题属于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m 组元素个数相等,则分组时应除以m ！,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．三、不等分组问题将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生,其中一人得1本,一人得2本,一人得3本,则有________种不同的分法．【解析】先把书分成三组,把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本,有C 16种选法；再从余下的5本中选2本,有C 25种选法；最后余下3本全选,有C 33种选法．故共有C 16·C 25·C 33＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人,还应考虑再分配,故共有60A 33＝360种分配方法．【答案】 360对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时,任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数．总之,在解答分组问题时,一定要注意均匀分组与不均匀分组的区别,均匀分组不要重复计数．对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏,抓住了以上关键点,就能避免掉进陷阱．[基础题组练]1．不等式A x8＜6×A x－28的解集为( )A．[2,8] B．[2,6]C．(7,12) D．{8}解析：选D.由题意得8！（8－x）！＜6×8！（10－x）！,所以x2－19x＋84＜0,解得7＜x＜12.又x≤8,x－2≥0,所以7＜x≤8,x∈N*,即x＝8.2．(2020·金华等三市部分学校高三期中)如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )A．96 B．84C．60 D．48解析：选B.法一：分三类：种两种花有A24种种法；种三种花有2A34种种法；种四种花有A44种种法．共有A24＋2A34＋A44＝84.法二：按A－B－C－D顺序种花,可分A,C同色与不同色有4×3×(1×3＋2×2)＝84.3．(2020·温州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数,②所有数位上的数字和为偶数,则这样的三位数的个数是( )A．540 B．480C．360 D．200解析：选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶,有C15C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数,则百位数字是奇数,有C14＝4种满足题意的选法,故满足题意的三位数共有C14×C15C15A22＝200(个)．4．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层,则同类书不相邻的放法种数为( ) A．36 B．72C．108 D．144解析：选B.3本数学书的放法有A33种,将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A33种,故同类书不相邻的放法有2A33A33＝2×6×6＝72(种),故选B.5．(2020·金华十校期末调研)A、B、C、D、E五个人参加抽奖活动,现有5个红包,每人各摸一个,5个红包中有2个8元,1个18元,1个28元,1个0元,(红包中金额相同视为相同红包),则A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有( )A．18种B．24种C．36种D．48种解析：选C.A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类：即获奖的四人为：ABCD,ABCE,ABDE,在每类情况中,获奖的情况有C24·A22＝12种,所以由分步乘法原理得：A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有3×12＝36种．6．某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现从中任选3人,要求这三人不能全是同一个班的学生,且在三班至多选1人,则不同选法的种数为( ) A．484 B．472C．252 D．232解析：选B.若三班有1人入选,则另两人从三班以外的12人中选取,共有C14C212＝264种选法．若三班没有人入选,则要从三班以外的12人中选3人,又这3人不能全来自同一个班,故有C312－3C34＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．7．如图,∠MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4,ON上有三点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3中三点为顶点的三角形的个数为( )A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点,有C38种取法,再减去三点共线的情形即可,即C38－C35－C34＝42.8．(2019·宁波高考模拟)从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数,则奇数位上必须是奇数的三位数的个数为( )A．12 B．18C．24 D．30解析：选B.根据题意,要求奇数位上必须是奇数的三位数,则这个三位数的百位、个位为奇数,分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个,安排在三位数的个位和百位,有C23A22＝6种情况,②在剩余的3个数字中任选1个,将其安排在三位数的十位,有C13＝3种情况,则奇数位上必须是奇数的三位数有6×3＝18个．9．(2020·温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形,则甲丁不相邻的不同的排法共有( )A．12 B．14C．16 D．18解析：选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1,2,3,4,5.要求1,4不相邻．分四类：①先排4,5时,则1只有1种排法,2,3在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；②先排3,5时,则4只有1种排法,2,1在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；③先排1,2时,则4只有1种排法,3,5在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；④先排1,3时,则这样的数只有两个,即21534,43512,只有两种排法．综上共有4＋4＋4＋2＝14种排法,故选B.10．设集合A＝{(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{－1,0,1},i＝1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素的个数为( )A．60 B．90C．120 D．130解析：选D.设t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|,t＝1说明x1,x2,x3,x4,x5中有一个为－1或1,其他为0,所以有2×C15＝10个元素满足t＝1；t＝2说明x1,x2,x3,x4,x5中有两个为－1或1,其他为0,所以有C25×2×2＝40个元素满足t＝2；t＝3说明x1,x2,x3,x4,x5中有三个为－1或1,其他为0,所以有C35×2×2×2＝80个元素满足t＝3,从而,共有10＋40＋80＝130个元素满足1≤t≤3.11．(2020·温州十五校联合体期末联考)用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数,要求数字1,3不相邻,数字2,5相邻,则这样的五位数的个数是________(用数字作答)．解析：先把2,5捆挷有2种方法,再把它与4排列有2种排法,此时共有3个空隙供数字1、3插入有A23＝6种方法,故这样的五位数的个数是2×2×6＝24个．答案：2412．(2020·嘉兴市一中高考适应性考试)电影院一排10个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排,那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种．解析：先排7个空座位,由于空座位是相同的,则只有1种情况,其中有6个空位符合条件,考虑三人的顺序,将3人插入6个空位中,则共有1×A36＝120种情况,由于甲必须坐在三人中间,则有符合要求的坐法有1×120＝40(种)．3答案：4013．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有________对．解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对,两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对,所以共有(C26－3)×2×2＝48(对)．答案：4814．如图A,B,C,D为海上4个小岛,要建立3座大桥,将4个小岛连接起来,则不同的建桥方案有________种．解析：法一：任2个岛之间建立1座桥,则共需C24＝6座桥,现只建其中3座,有C36种建法,但如图(1)这样的建桥方式是不合题意的,类似这样的情况有C34种,则共有C36－C34＝16种建桥方案．法二：依题意,满足条件的建桥方案分两类．第一类,如图(2),此时有C 14种方法．第二类,如图(3),此时有12A 44＝12种方法．由分类加法计数原理得,共有4＋12＝16种建桥方案．答案：1615．现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么有男生________人、女生________人．解析：设男、女同学的人数分别为m 和n,则有,⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝8，C 2m ·C 1n ·A 33＝90，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝8，C 2m ·C 1n ＝15. 由于m,n ∈N ＋,则m ＝3,n ＝5.答案：3 516．在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A 只能出现在第一或最后一步,程序B 和C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有________种．解析：程序A 有A 12＝2种结果,将程序B 和C 看作元素集团与除A 外的元素排列有A 22A 44＝48(种),所以由分步乘法计数原理得,实验顺序的编排共有2×48＝96种方法．答案：9617．规定C m x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！,其中x∈R ,m 是正整数,且C 0x ＝1,这是组合数C m n (n,m 是正整数,且m≤n)的一种推广,则C3－15＝________；若x>0,则x ＝________时,C 3x （C 1x ）2取到最小值,该最小值为________．解析：由规定：C 3－15＝（－15）×（－16）×（－17）3×2×1＝－680,由C 3x （C 1x ）2＝x （x －1）（x －2）6x 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －3. 因为x>0,x ＋2x≥22,当且仅当x ＝2时,等号成立, 所以当x ＝2时,得最小值22－36. 答案：－680 2 22－36[综合题组练]1．已知10件不同的产品中有4件是次品,现对它们进行测试,直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试,只能取正品,有A 46种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试,有C 24·A 22＝A 24种测试方法,再排余下4件的测试位置,有A 44种测试方法．所以共有A 46·A 24·A 44＝103 680种不同的测试方法．(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有C 14·C 16·A 44＝576种不同的测试方法．2．现有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名,女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长,又要有女运动员．解：(1)任选3名男运动员,方法数为C 36,再选2名女运动员,方法数为C 24,共有C 36·C 24＝120种方法．(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,由分类加法计数原理可得总选法数为C 14C 46＋C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 16＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”,因此用间接法求解,不同选法有C 510－C 56＝246(种)．(3)当有女队长时,其他人任意选,共有C 49种选法,不选女队长时,必选男队长,其他人任意选,共有C 48种选法,其中不含女运动员的选法有C 45种,所以不选女队长时共有(C 48－C 45)种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C 49＋C 48－C 45＝191(种)．3．证明下列各题：(1)A k n ＋kA k －1n ＝A k n ＋1(k≤n ,n ≥0)；(2)C k n C m －k n －k ＝C m n C k m (k≤m≤n ,n ≥0)．证明：(1)左边＝n ！（n －k ）！＋k·n ！（n －k ＋1）！＝n ！[（n －k ＋1）＋k]（n －k ＋1）！＝（n ＋1）！（n ＋1－k ）！＝A k n ＋1＝右边．(2)左边＝n ！k ！（n －k ）！·（n －k ）！（m －k ）！（n －m ）！＝n ！k ！（m －k ）！（n －m ）！, 右边＝n ！m ！（n －m ）！·m ！k ！（m －k ）！＝n ！（n －m ）！k ！（m －k ）！, 所以左边＝右边．4．集合A ＝{x∈Z|x≥10},集合B 是集合A 的子集,且B 中的元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.(1)集合B 中两位数和三位数各有多少个？(2)集合B 中是否有五位数？是否有六位数？(3)将集合B 中的元素从小到大排列,求第1 081个元素．解：将0,1,…,9这10个数字按照和为9进行配对,(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成．(1)两位数有C 25×22×A 22－C 14×2＝72(个)；三位数有C 35×23×A 33－C 24×22×A 22＝432(个)．(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数；不存在六位数,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾,因此不存在六位数．(3)四位数共有C 45×24×A 44－C 34×23×A 33＝1 728(个),因此第1 081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有3×C 34×23×A 33＝576(个),因此第1 081个元素是4 012.。

《组合与组合数公式》课件

进阶练习题
题目4
在7个不同元素中取出5个元素有多少种不同的取法？
题目5
从8个人中选出3个人来组成一个小组，其中某个人必须被选中，有多少种不同的选法？
题目6
从10个不同的元素中取出 4个元素的组合数是多少？
答案解析
题目1答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的选法。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质简化计算
通过组合数的性质，可以将复杂的组合数计算转化为简单的计算，例如利用性质公式和递推公式简化计算。
解决实际问题
组合数在现实生活中有着广泛的应用，例如在概率论、统计学、计算机科学等领域中都有涉及。通过掌握组合数的性质，可以更好地解决实际问题。
03
组合数公式的推导
题目2答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的组合数。
题目3答案
$C_{4}^{2} = frac{4!}{2!2!} = 6$种不同的取法。
题目4答案
$C_{7}^{5} = frac{7!}{5!2!} = 21$种不同的取法。
题目5答案
$C_{8}^{3} - C_{7}^{2} = 56 - 21 = 35$种不同的选法。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的对称性、组合数的递推关系、组合数的性质等。
详细描述
组合数具有对称性，即C(n, m) = C(n, nm)，这意味着从n个不同元素中取出m个元素和从n个不同元素中取出n-m个元素的方式数量是相等的。此外，组合数还具有递推关系，即C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1,

组合计数问题的基本方法--重复组合

组合计数问题的基本方法--重复组合简介在数学中，组合计数是一种计算给定集合中元素的排列组合方式的方法。

其中，重复组合是一种特殊的组合计数问题。

本文将介绍重复组合问题的基本方法和策略。

重复组合问题的定义重复组合问题是指在一个给定集合中，选取一定数量的元素，允许重复选取同一元素的情况下，计算出所有可能的情况总数。

换句话说，重复组合问题考虑了元素的顺序和重复性。

解决重复组合问题的基本方法解决重复组合问题的基本方法包括以下几个步骤：1. 确定元素的可选范围：首先，需要确定组合中每个位置元素的可选范围，即每个位置可选择哪些元素，可以使用集合、列表或其他数据结构表示。

2. 确定元素的选择数量：根据问题的要求，确定每个元素可以选择的数量。

有些问题可能允许一个元素选择多次，而其他问题可能要求每个元素只能选择一次。

3. 计算总的组合数量：通过遍历所有可能的选择情况，计算出总的组合数量。

可以使用循环、递归或其他算法实现。

4. 输出结果：将计算得到的总的组合数量进行输出，如果需要，还可以输出每个具体的组合情况。

实例演示以下是一个具体的实例演示，展示了如何使用基本方法解决重复组合问题：假设有一个由元素A、B、C组成的集合，要求选择3个元素作为一组，每个元素可以选择多次。

根据基本方法，可以得到以下解决步骤：1. 确定元素的可选范围：集合中的元素为{A, B, C}。

2. 确定元素的选择数量：每个元素可以选择多次。

3. 计算总的组合数量：通过遍历所有可能的选择情况，得到总的组合数量为27。

4. 输出结果：输出总的组合数量为27，并可以将每个具体的组合情况列举出来。

结论重复组合问题是一种常见的组合计数问题，在实际应用中经常遇到。

通过理解和掌握基本方法，可以有效解决重复组合问题，并得到正确的计数结果。

在解决问题时，可以根据具体情况灵活应用基本方法，以达到求解组合计数问题的目的。

以上是组合计数问题的基本方法--重复组合的介绍，希望对您有所帮助。

2020年高考一轮复习数学(理)教学课件第十章计数原理与概率、随机变量及其分布第二节排列与组合

＝6(种)
分法，再将3组对应3个学校，有A33＝6(种)情况，则共有6×6
＝36(种)不同的保送方案.
考法(三) 不等分问题
[例3] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2
名，一所3名，则有___3_6_0___种不同的分法.
[解析] 将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；
本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与
搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近
处.那么不同的搜寻方案有
( B)
A.10种
B.40种
C.70种
D.80种
解析：若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意
挑出1位陪同，有C
1 5
种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位
搜寻远处，有C
解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40
人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝
1 560(条)毕业留言.
5.已知C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ，则m＝____2____.
解析：由已知得，m的取值范围为
m|0≤m≤5，m∈Z

，原等
式可化为
毕业生平均分到3所学校，共有C26CA2433C22·A33＝90(种)分派方法.
考法(二) 部分均分问题
[例2] 有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、
乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案
共有___3_6____种.
[解析]
先把4名学生分为2,1,1共3组，有
C24C12C11 A22
＝48(个)，故选C.
3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不

组合计数

数学奥赛辅导第八讲组合计数知识、方法、技能组合计数就是计算集合的元素个数。

它是组合数学的重要组成部分.在具体问题中给出的集合各式各样，都具有实际意义，而且集体中的元素是由某些条件所确定的，要判定一个元素是否属于某集合A ，已非易事，要确定A 的元素个数就更难了.这正是研究计算问题的原因。

解决组合计算问题虽然不需要高深理论知识，却需要重要的计算原理与思想方法. Ⅰ．几种特殊的排列、组合 1．圆排列定义1：从几个元素中任取r 个不同元素仅按元素之间的相对位置而不分首尾排成一个圆圈，这种排列称为n 个不同元素的r ——圆排列。

r ——圆排列数记为rn K .定理1：.rP K rn r n证：对n 个不同元素取r 个的任一圆排列，均有r 种不同的方式展开成r 个不同的直线排列，且不同的圆排列展开的直线排列也彼此不同，故有r ·rn K =P r n ，得正.2．重复排列定义2：从n 个不同元素中允许重复的任取r 个元素排成一列，称为n 个不同元素的r ——可重复排列.定理2：n 个不同元素的r ——可重排列数为n r .证：在按顺序选取的r 个元素中，每个元素都有n 种不同的选法，故由乘法原理有，其排列数为n r .3．不全相异元素的全排列定义3：设n 个元素可分为k 组，每一组中的元素是相同的，不同组间的元素是不同的，其中第i 组的元素个数为n i (i =1, 2, …, k ), n 1+n 2+…+n k =n . 则这n 个元素的全排列称为不全相异元素的全排列.定理3：n 个元素的不全相异元素的全排列个数为.!!!!.21k n n n n证：先把每组中的元素看做是不相同的，则n 个不同元素的全排列数为n!，然后分别将每个组的元素还其本来面目看成是相同的，则在这n!个全排列中，每个排列都重复出现了n 1！n 2!……n k ！次，所以不全相异元素的全排列数.!!!!.21k n n n n4．多组组合定义4：将n 个不同的元素分成k 组的组合称为n 个不同元素的k ——组合.定理4：对于一个n 个不同元素的k ——组合，若第i 组有n i 个元素（i =1, 2, …，k ），则不同的分组方法数为.!!!!.21k n n n n证：我们把分组的过程安排成相继的k 个步骤.第一步，从n 个不同元素中选n 1个，有1nn C 种方法；第二步，从n －n 1个元素中选n 2个有21nn n C 种方法；…；第k 步，从n －（n 1+n 2+…+n k －1）个元素中选n k 个元素，有k nn C －（n 1+n 2+…+n k －1）种方法，再由乘法原理得证.5．重重组合定义5：从n 个不同元素中任取r 个允许元素重复出现的组合称为n 个不同元素的r ——可重组合.定理5：n 个不同元素的r ——可重组合的个数为C r n+r －1 .证：设（a 1 , a 2 ,…，a r ）是取自{1，2，…，n}中的任一r 可重复组合，并设a 1≤a 2≤…≤a r .令 b i =a i +i －1(1≤i ≤r).从而b 1=a 1 , b 2=a 2+1 , b 3=a 3+2,…, b r =a+r －1r . 显然下面两组数是一对一的：a 1≤a 2≤a 3≤…≤a r , 1≤a 1<a 2+1<a 3+2<…<a r +r －1≤n+r －1.设 A={（a 1 , a 2 ,…，a r ）|a i ∈{1，2，…，n}，a 1≤a 2≤…≤a r }， B={（b 1, b 2,…，b r ）|b i ∈{1，2，…，n+r －1}，b 1< b 2<…<b r }. 则由A 、B 之间存在一一对应，故|A|=|B|=C r n+r －1 .Ⅱ．枚举法所谓枚举法就是把集合A 中的元素一一列举出来，从而计算出集体A 的元素个数。

高中数学培优讲义第十讲组合计数

例10（1） _ Nhomakorabea____.
（2）设则中的奇数的个数为_______.
（3）的展开式中x的系数是______.
例11将展开并合并同类项，化简后的式子有______项。
例12若的展开式为，则的值
例13证明：
（1）
（2）
提示：你能看出这个问题和前面提到方程非负整数解的模型之间的对应关系吗？当然，由于问题的规模比较小，分类讨论也是完全可行的。
例5在凸八边形中，它有几条对角线？这些对角线在凸八边形内最多有几个交点？
提示：对角线很容易数。对于它们的交点，要注意到并非任意两条对角线都能够在八边形内部相交。所以从对角线的角度出发考虑问题会遇到困难。所以我们不妨把焦点放在构成交点的基本图形上。从中寻找对应关系。一旦找到问题就迎刃而解了。
求不定方程的正整数解的组数和非负整数解的组数。
先考虑正整数解。
设想m个球排成一列，它们相互之间有m-1个间隙。在这m-1个间隙中任选出n-1个插上板子分隔开，每一段的球数就对应方程解的一个分量。这样每一组正整数解恰好对应一种插板方法，因此共有组
对于非负整数解，方程可变形为
可见相当于求方程的正整数解组数，因此结果为
例7如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？提示：讨论的时候一定要细致。
5.把握计数对象的本质结构。有些计数问题的困难在于弄清符合要求的对象的结构。（即，什么样的元素才是符合要求的？）一旦分析清楚问题就宣告解决。
例3.称{1,2,3…,9}的某非空子集为奇子集，如果其中所有数之和为奇数，则共有几个奇子集？
提示：奇子集和非奇子集之间存在一一对应关系。这道题在第一讲里出现过。这里再次出现作为一个利用对应的简单的例子。本题也可以用分类讨论的方法求解。

组合数学中的排列组合计数技巧

组合数学中的排列组合计数技巧组合数学是数学中的一个分支，主要研究集合、组合和排列等离散结构的性质和计算方法。

在组合数学中，排列组合计数是一项重要的技巧，用于确定集合中元素的各种组合方式。

本文将介绍一些在组合数学中常用的排列组合计数技巧，并探讨它们的应用。

一、排列计数技巧排列是从给定的元素集合中取出一部分元素按照一定的顺序进行排列。

在计算排列个数时，可以使用以下技巧：1. 全排列全排列是从给定的元素集合中取出所有的元素进行排列，即将所有可能的排列方式都列出。

全排列的计数公式为 n!，其中 n 表示元素的个数，"!" 表示阶乘运算。

例如，如果有 3 个元素，分别为 A、B、C，则它们的全排列个数为3! = 3 * 2 * 1 = 6。

所有可能的全排列为 ABC、ACB、BAC、BCA、CAB 和 CBA。

2. 循环排列循环排列是排列中的一种特殊情况，即对于排列中的元素，可以循环移动位置而得到相同的排列。

在计算循环排列个数时，可以使用如下计算公式：循环排列个数 = (n-1)!例如，如果有 3 个元素，分别为 A、B、C，则它们的循环排列个数为 (3-1)! = 2! = 2 * 1 = 2。

所有可能的循环排列为 ABC 和 BCA。

二、组合计数技巧组合是从给定的元素集合中取出一部分元素，但不考虑元素的顺序。

在计算组合个数时，可以使用以下技巧：1. 二项式系数公式二项式系数是在组合数学中广泛使用的一种计算方式。

二项式系数表示在排列中取出 r 个元素的组合个数，可使用以下公式计算：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，C(n, r) 表示从 n 个元素中取出 r 个元素的组合数。

例如，如果有 3 个元素，分别为 A、B、C，则从中取出 2 个元素的组合数为 C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3! / (2! * 1!) = 3。

2. 组合计数的性质在组合计数中，存在一些性质可以简化计算过程：- C(n, r) = C(n, n-r)，即从 n 个元素中取出 r 个元素的组合数等于从n 个元素中取出剩余的 n-r 个元素的组合数。

高中数学中的概率统计计算组合数与排列数的技巧

高中数学中的概率统计计算组合数与排列数的技巧概率统计是数学中一门重要的分支，它研究的是事件发生的可能性以及事件之间的关联性。

在概率统计中，组合数与排列数是非常常见且重要的计算方法，它们可以帮助我们计算事件发生的可能性以及确定事件的排列方式。

本文将介绍高中数学中的概率统计计算组合数与排列数的一些技巧。

一、组合数的计算技巧组合数是从给定的集合中选择出若干个元素而不考虑元素的顺序的方式数。

在高中数学中，常用的组合数计算方法有两种常用技巧：公式法和杨辉三角形。

1. 公式法组合数的计算可以利用组合数公式进行。

给定集合中有n个元素，要从中选择出k个元素进行组合，组合数的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

通过这个公式，我们可以直接计算出组合数的值。

需要注意的是，在使用公式计算组合数时，我们要特别关注被除数的数值是否会导致计算结果过大，从而超出计算机的计算范围。

2. 杨辉三角形杨辉三角形是中国古代著名数学家杨辉发明的一种特殊的数列形式，它可以用来计算组合数。

杨辉三角形的特点是每个数等于它上方两数之和。

下面是一个示例的杨辉三角形：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1在杨辉三角形中，每个数都是上方两个数之和。

通过观察杨辉三角形中的数值，我们可以发现第n行第k列的数值就是组合数C(n, k)的值。

利用杨辉三角形，我们可以方便地计算出组合数的值，而不需要进行阶乘的运算。

二、排列数的计算技巧排列数是指从给定的集合中选择若干个元素，考虑元素的顺序进行排列的方式数。

在高中数学中，我们常用的排列数计算方法有两种技巧：公式法和循环法。

1. 公式法排列数的计算可以利用排列数公式进行。

给定集合中有n个元素，要从中选择出k个元素进行排列，排列数的计算公式为：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

组合数学中的排列与组合计数法

组合数学中的排列与组合计数法在我们日常生活和数学研究中，经常会遇到需要计算不同元素的排列和组合方式的问题。

组合数学中的排列与组合计数法，就是帮助我们解决这类问题的有力工具。

首先，让我们来理解一下什么是排列。

排列指的是从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。

打个比方，假如我们有三个字母 A、B、C，那么它们的全排列就有 6 种：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。

从数学角度来看，如果要从 n 个不同元素中取出 m 个（m ≤ n）进行排列，那么排列数记为 A(n, m) ，其计算公式为 A(n, m) ＝ n! ／（n m)！。

这里的“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5 ×4 × 3 × 2 × 1 。

接下来，我们再看看组合。

组合则不考虑元素的顺序，只关注选取的元素本身。

还是以那三个字母 A、B、C 为例，如果我们只关心选取两个字母的组合，那么就有 3 种：AB、AC、BC 。

如果从 n 个不同元素中取出 m 个（m ≤ n）的组合，组合数记为 C(n, m) ，其计算公式为C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！。

为了更好地理解排列和组合的区别，我们可以想象一个简单的场景。

假设你要从 5 种不同颜色的球中选出 3 个排成一排放在架子上，这就是排列问题，因为球的顺序是有影响的；但如果你只是要从这 5 种颜色的球中选出 3 个放在一个盒子里，这就变成了组合问题，因为在盒子里球的顺序是无关紧要的。

在实际应用中，排列和组合计数法有着广泛的用途。

比如在密码学中，为了确保密码的安全性，需要计算可能的密码组合数量。

假如一个密码由8 个字符组成，包括数字、字母（区分大小写）和特殊符号，那么可能的密码排列数量是极其巨大的，这就增加了破解密码的难度。

在抽奖活动中，组合计数法也发挥着作用。

如果有 100 个人参加抽奖，要抽出 10 个获奖者，那么计算中奖的组合数就能帮助主办方确定抽奖的公平性和可能性。

(完整版)组合计数

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组合与排列不同的是，组合不计次序。
可重复的排列
m种不同的物品中选取n个，可重复选取，排成一排，排法的数目是mn.
证明：n个位置，每个位置有m个选择方式。
m种不同的物品总共n个，第i种物品有ni个，n个物品排成一排，排列方式的数目是
!
! !… !
, ,…,
证明：n个位置中选取n1个放置第1种，在剩下n n1位置中选取n2个放置第2种，…. ，总选取方式有
其中，pi n 是n的mi 1次多项式，系数待定。
示例
例. 求解递推 xn 6 xn 1 9 xn 2 , x0 1, x1 6. 解：特征方程为：x2 6x 9 0 ,
它有 2 重根 3 ，故通解为 xn a bn 3n
代入初值得， a 1, 3 a b 6
解得，b 1. 故原方程的解是 xn 1 n 3n
0…0 1 0…0 1 … 1 0…0 上面“0”相当于球，”1”相当于隔板。
球放入盒子
n个不同的球放入m个不同的盒子，使得第i个盒子放入ni个求，总放法有 ! ! !… !
n个不同的球放入m个相同的盒子，相当于基数为n的集合，划分成m个部分，允许部分为空。解这个问题需要用到容斥原理，结果比较麻烦。
容斥原理
|A1 ⋃ A2 ⋃ … ⋃ An| Σ|Ai| Σ|Ai ⋂ Aj| Σ|Ai ⋂ Aj ⋂ Ak| … 1 n 1| A1 ⋂ A2 ⋂ … ⋂ An|
证明：只需证明并集中的每个元素在右边恰好计数一次即可。设元素a属于诸Ai中恰好k个，那么 a在 Σ|Ai| 中计数C k, 1 次，在 Σ|Ai⋂Aj|计数C k, 2 次，在 Σ|Ai⋂Aj⋂Ak|计数C k, 3 次，故a在等式右边计数 C k, 1 C k, 2 C k, 3 … 1 k 1 C k, k 1 1 C k, 1 C k, 2 C k, 3 … 1 k C k, k 1 1 1k 1

基本的组合计数公式

02 基本的组合计数公式
定义
• 排列数公式是指从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n）进行排列的种数。计算公式阶乘表示法
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
排列数公式
$A_{n}^{m} = frac{n!}{(n-m)!}$
应用
• 排列数公式在组合数学、统计学、概率论等领域有广泛应用，用于计算排列组合问题。
组合计数的应用场景
01
02
03
04
概率计算
在概率论中，组合计数用于计算事件发生的可能性，如排列组合问题、贝叶斯定理等。
统计学
在统计学中，组合计数用于样本空间大小的计算，以及参数
估计和假设检验等。
计算机科学
在计算机科学中，组合计数用于算法复杂度分析、数据结构
和算法设计等。
金融学
在金融学中，组合计数用于资产配置和风险管理等。
基本的组合计数公式
目录
• 组合计数的定义 • 基本的组合计数公式 • 组合计数公式的推导 • 组合计数公式的证明 • 组合计数公式的应用
01 组合计数的定义
组合计数的概念
组合计数是数学中研究从n个不同元素中选取r个元素（不放回）的种数的方法。
组合计数公式通常表示为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)，其中"!"表示阶乘。
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错排公式的推导
错排公式
$D_n = n!*(1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!)$
推导过程
错排公式是用来计算在n个元素中放错位置的排列个数。首先，考虑所有元素都放错位置的情况，即第一个元素放在第二个位置，第二个元素放在第三个位置，以此类推，最后一个元素放在第一个位置。这种情况下的排列数为$n!/2!$。然后考虑只有一个元素放错位置的情况，即第一个元素放在第二个位置，第二个元素放在第一个位置，其他元素都放错位置，这种情况下的排列数为$n(n-1)!/2!$。以此类推，可以得到错排公式。