椭圆离心率问题

一、椭恻离心率的
1.运川几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图• 0为椭圆的中心，F为焦点• A为顶点，准线L交0A于B. P、Q在椭恻上• PD丄L于D.
QFIAD于F,设椭圆的离心率为e.则（!）*晋卞②^罟禺算④*+|吕厂、I F0 I
⑤ *1757
评：AQP为椭圆上的点•根据椭圆的第一定义得，
V I A0 I =a, I OF I =c,・••有⑤：Tl AO I =aU BO I =辛.••有③。

题目1：椭圆务+^l（a>b>0）的两焦点为F, . F2 •以F1F2为边作正三角形.若椭圆恰好平分正三角形的两边.则椭圆的离心率e
思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B.连接8F_把已知条件放在椭圆内•构造△RBF2分析三角形的^^^边长及关系。

解：V I F1F2 I =2c I BF1 I =c I BFz I =©C c-K/3c=2a Ae= yjs-l
*2 u2
变形椭圆农+h=lSb>0）的两儘点为F1、F2 •点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形•求椭恻离心
解：连接 PF2测 I OF2 I = I OFJ = I OP I ,ZF I PF2 =90^ 图形如上图，
y2
变形2:椭圆农+^i(a>b>0)的两焦点为F 八Fz . AB 为椭恻的顶点.P 是椭圆上一点•且PF 】丄X 轴.
tP
•■TP Fl I = — I Fa Fl I =2c I OB I =b I OA I =a "AB •■- I F X' I ■夕 又"b=毎疋
•'•a2=5c2 e=¥ 点评：以上题目，构造焦点三角形・通过#边的几何总义及关系，推寻有关a 与C 的方程式，推导离心率。

一、运用正余弦定理解决图形中的三角形
y2 \i2
题目2：椭圆+^l(a>b>0), A 是左顶点.F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点.ZA8F=90" ■求e
PF2 〃 AB,求椭圆离心率
解: PF2
根据和比性质:
I FiP I + I PF2 I sinFiFzP+sin PF1F2
2c ZPFiFa =75 * Z PF2Fi=15「 5in9(r V e
* sin75“ +5inl5' " 3
点评：在焦点三角形中・使用第一定义和正弦定理可知
X2 v2
变形 h 椭圆+^l(a>b>O)rrj 两焦点为 Fl (-C. 0)、F2 (c,0), P 是椭圆上一点，且ZFiPF ； =60 .求 e 的取值范ra
解 S I AO I =3 I OF I =C I BF I =a I AB I 而 a^b^+a^ =(a+c)2 =$2+2合c+c2 aJ ：2・ac=0 两边同除以 aP
e^+e-l=0 e=—e - '-护(舍去)
变形:
椭+^l{a>b>0). e=2号E A 是左顶点，F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点，求ZABF 点评: 此题是上一题的条件与结论的互换•解题中分析各边.由余弦定理解决角的问題。

答案：90°
此类e=^的椭圆为优茨椭鬪。

性质：1、ZABF=90^ 2、假设下端点为8_则ABFBi 四点共圆.3.焦点与相应准线之间的距离等于 长半轴长。

焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何恿义， 总结： 关e 的方程
找伶边的表示.结合解斜三角形公式•列出有 X2 v2
题目3：椭恻活+^=l(a>b>0).过左焦点Fl 且倾斜角为60° 的直线交椭圆与AB 两点，若I F1A I =2 I Bfi L
求e
解：设 I BF) I =m 则 I AF2 I =2a-am I BF21 =2a-m
a2 -c2=m{2a-c) fa2 _c^=m(2a-cl “ …“ ：2a-c 1 亠 2
在△AF 」F2及△BF*2中，由氽弦定理御：X 2(a2・c2)=m(28+c) 两式相除五孑
题目4：椭圆令+器1阿>0)的两焦点为F1 (-C. 0)、”©0)・P 是以I 时2 I 为直径的圆与椭圆的一个 交点.且
ZPFiFa =5 ZPF2F1 ，求
分析：此题有角的值，可以考堪正弦定理的应用。

I FiFz I I F1P I
I PF2 I 解：由正弦定理：sin 护2 ■ sin 吋2» " sin PF1F2 I F1F2 I
sin
变形得:
I F1F2 1 I PF2 I + I sin F1PF2
"sin F1F2P +sin PF1F2 " sin F1PF2
®=sin F1F2P +sin PF1F2
分析：上题公式直接应用.
解：设ZFiF2p=a -则ZF2F I P=12O" -a
sin60"
"sin F1F2P +sin PF1F2 "sin a +sin(120^ -a)
)(2 y2
变形2：已知椭恻牙+十总=1 {t>0) F1F2为椭恻两焦点• M 为椭恻上任总一点{M 不与长轴两端点重合)设 ZPFiF2 = a ,ZPF2卩讦P 若扌<tan 手tan 事寺，求e 的取{ft 范FR 分析：运用三角函数的公式•把正弦化正切。

a p
1- tan 丁"tan 亍 a F" 1- tan -ylan 〒 1 1-e 1
1
1
以直线与椭圆的位g 关系为背景•用设而不求的方法找e 所符合的关系式.
题目5：椭恻宗+^=l{a>b>0),斜率为1.且过椭圆右焦点F 的直线交椭恻于A 、8两点.6i+5kj1；=(34
b^x^+a^y^=a^b^ 尸x ・c
{a^+b^)x^-2a^cx+a^c^-a^b^=0 2a^c 2a^c . -2b^c
Xi+X2=歹丽 yi+y#而Jc 亏而
OA+OB=(xi+X2,yi+y2)(3, -1)共线•则
sin FiPfz MF
e<l
sin FiPFa 解;根据上题结论 e=£jn F2F2P +sin PF1F2 "sin a +sin P
a + P Q +B
a P a p
2sin —2—cos —2— cos —cos 亍 sin p-sin
丁 a+P a -P a 卩 a p
2sin —2—cos —— cos —cos -y+sin 亍sinp-
共线.
-（X1+X2）=3（¥1+丫2）既 a2=3b2 e=¥ 法二2设AB 的中点N ・则20N=0A+0B 例2力2 評于1① X22泞
①阀得:
Vl-yi b2 X"X2 …b2—…、 册•农耐 ••g0・3）既 a2=3b2 e=f- 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范ffl 。

题目6：椭圆右■ +材=l （a>b>0）的两焦点为F1（Y. 0）、F2（C,O ）・满足的点M 总在椭圆内部.
解：Ac<b
a^=b^+c^ >2c2
0<@<¥
y2 护
题目7：椭圆歹■+詁1@比>0）的两焦点为F1 （-C. 0）、”©0）・P 为右准线L 上一点.FiP 的垂直平分线 恰过F2点，求e 的取值范困
四、
分析:VMfi-MF2=0A 以F I F2为直径作圆.M 在恻0上・与椭圆没有交点。

分析：思路b 如图F 」P 与FzM 垂直，根据向a 垂直•找a. b 、c 的不等关系。

思路2：根据图形中的边长之间的不等关系.求e
既（羌》
则帚・（¥+"） =-（余七曇） PF] • MF2 =0
（阴•（务）+驴=0
化半Wed
解法 2： I F1F2 I = I Ph I =2c
则2C M|-・C 3心I"
3c2Ma2 则半 Wxl 总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法.而法二是运用了垂直平分线的几何性质.巧 妙的运用三角形边的大小求解的妙法。

侨以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现•对于它的应用方 法，值御大家注意。

离心率为商考的一个重点題目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对 它有一些认识和掌握。

椭圆中与焦点三角形有关的问题
X ■ V ~
题1：椭圆—+ — = 1的焦点为Fl 、F2•点P 为其上动点，沟 ZF'PF ］为钝角时•点P
横坐标的取
az —-C
解法一2 F1 （-c> 0） Fa {c,0J
值范碉是 ______ .
设计意图：从习题入手，不陌生，并且让学生明白本节课内容有很强的实用价值. （二）问题的分析与引导 问题分解：
2 2
问题】.椭圆& +冷=］的焦点为斤、F"P 为其上-点，.凸眛为M 时，点P 的横坐 标是 ______ n
问题2.而此题为钝角・处竞钝角和直角有何联系
解題的关键在于点动，发现Z F'PF Q 的大小与点P 的位a 有关，尤竞有何联系，成r 大家探索的焦点。

设计意图：把一个看似未知的问題转化为几个“己经具备的经验"可以解决的问题，是数学常规解题 策略，这个任务不可能一a 而但可以水滴石穿-
性质一：严I 点P 从右至左运动时.Zf ；PF2由说角变成直角，又变成钝角•过j'Y 轴之后.对称地由 钝角变成直角再变成说角，并且发现为点P 与短釉端点重合时.纠PF?达到最大。

3. “性质一坊是为什么呢你能证明吗
提示：“这节课我们研处的是焦点三角形.在三角形中.求角的最值往往可转化为求什么的最值”学生 思考后回答：求某个三角函数的最值。

问《3:解三角形巾我们常用的理论依据是什么
问题4：究竞转化为求哪种三角函数的最值・经大家演算、试验，悟出火欲求ZF'PF Q 的最大值，只 需求cosZFiPF,的最小值“
（面对cosZFfFg JP 斥+ I r 巧耳I 如何求嚴小值.有的同学尝试后发现箱用
两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。

能否少用一次均值不等式求出报值呢学生们发现 分子变化的部分是I PF, I- +1 PF,卩・分译变化的部分是2IPFJ JPF, L -者的关系是
+IPFJ'=(I PF, 1 + IP F, I)'+2 IP 杠 I • I 卩耳匸 一 2 IP 片1・1 PF? '
•于
是目标式可分成两部分閒两八最后对阳 W I 利用均值不等式，即可大功告成。

设计意图：在课堂教学和作业中渗透两个7： 3是我们一直致力在研宪的课题，本例很好地体现了三 角及基本不等式的应用-
从而求得'1IPF, l=IPFJ .即点P 与短轴端点重合时，cosZF.PF,有报小值为算一
21戶斥l-IP 传I
2b'
3^Js
ZF；PF2有最大值c此題结果为一亠，亠
5 5
\ /
问题5,由上面的分析，你能得出cosZfjPf；与离心率e的关系吗
X~ y"
性质二已知椭圆方程为—+ ^ = 1（«>/?>0）,两焦点分别为设焦点三角形PF]f；a- h- '
"巾ZF|P耳=&,则cos&>l-2，・（卅且仅!动点为短轴端点时取等号）
设计意图^进一步的挖掘，可以ih问题简单化.应用价值就更奇，“看似一小步，其实一大步"
x~ V"
题2：已知斤、化是椭圆— + 2— = \（a>h> 0）的两个焦点，椭圆上一点P使
ZF'PF,®。

.求椭恻离心率0的取值范乩
思路：由焦点三角形性质厶COS90" >1-202.
x~ y~
变式1：已知椭圆— + 2— = \（a>b>0）的两焦点分别为F\F,若椭圆上存在一点R使得 a- /?■ '
，坊PC =120°,求椭圆的离心率f的取值范昧
简解：由椭圆焦点三角形性质可知心12。

4|-廿.即-尸
于是得到《的取值范隔是
追问：何时取等号
r" V"
变式2：若椭圆―+ ^ =1的两个焦点人、F"试问：椭圆上是否存在点/\使ZF'PF?=90°存
在.求出点P的纵坐标：否则说明理由。

简解：两种做法：
方法一：设PF' =m, PFy
m + fi =4
=n -可以得到＜3，，故inn = 6,所以p的
nr +n~ = 4
纵坐标的绝对m vp =3.故p的纵坐标为3或乞
jLp \jro F* r
1
方法二沖90»1-"= 丁但椭恻离心率为厂不在范碉内，故不存在. 两种解法.答案不一SG 原因
设计意图：两个练习®,层层递进，练习2宜接为“问题引入2”埋下伏笔，有承上启下的作用. （三）问题引入2 （—道很普通的错《〉
" V ■
题3* P 是椭恻一+ —= 1上的点.Fh F2是椭圆的焦点.若ZF\PF2=— •则APF1F2的而
^5 积等于
多数同学：利用椭恻定义和余弦定理列出方程组•消元，求出I PFj MPF, L 代入面枳公式。

问大家：“既然面积可求，那么I PF, L I PF. I 也一定可求.请大家il •算一下I PF1 I J PF. I 的 值”。

同学们利川根与系数的关系构造一个以I PFj I J PF, I 为根的一元二次方程，发现此方程判别式 小于0.无实根，完竟怎么回爭•同学们陷入思考中。

两种解法・两种结果.谁对准错，难以定夺•同学 们自发地探索起分歧的闌札 经讨论.交流、思考.发现題目出错，利用刚才一探索出的规律，沟点P 与 短轴端点重合时，ZF'PF?有昴大值，査表求得是57°,因此，给定椭鬪上不存在点P,使AF^PF,=-
牙・ V"
问题已知椭圆a —+ 4j- = l （a>b>ob Fl. fl 是两个焦点.对于给定的/ft <z （0 < <z < ;r ）.探 a- b- 求在C 上存在点P.使ZFf F2 = a 的条件。

尽*让学生得到：存在点P 的条件可相应得到：ZF'BF 》> a • （B 为椭圆短轴的一个端点）
设计意图：要学生养成仔细审题的习惯，就必须从课堂开始训练・ 何题2：怎样改动，使上面不是一个错题
I:的点• Fp F2是椭圆的焦点.若ZF'P Zs =- •则APFjF,
6
的ihi 积等于
上的点，6- F2是椭恻的焦点•若ZF'PF?=—-则APFiF?
的面枳等干
问题3：改动的依据是什么（ZF|PFj <ZF ；BF2，B 为短轴的一个端点） 设计意图：自己编题.体会題目如何来.契考什么・
2 2
改动一：P 是椭圆 —+ —
5 4
改动一：P 是椭圆—+ y- = 1 4
V- *2
题4：若F］、几是椭1^ —+ Ar = l(</>/?>0)的两个焦点• P是椭圆上一点.且ZF.PF, =6>, b- "求椭圆的面枳。

解：设户人=m /»" +ir —2mncos& =• P% 佔2=&2①
=n .由余弦定
由椭圆定义得m + n = 2it②
〜2（/-，）2h-
由①得S inn = ----------- = -----------
1 +COS& 1 +COS&
G 1 ・ C 门sin& ,2 &
S \F nr = — fiiH s in 0 = Z? = b tnn —
jLp W o KI
X~ y"
性质三，若F*是椭圆— + ^ = \(a>h> 0)的两个焦点• P是椭圆上一点，且ZF/E =0.
* <r h~ "
, 0
则S、F PF/ = b tnn
— a
X y
继续看题2：已知片、化是椭［^ — + ^=\{a>b> 0)的两个焦点•椭圆上一点P使ZF'PF?=90°，" er h-
求椭圆离心率f的取{ft范隔。

思路一：利用焦点三允形性质⑴，从面积角度考虑
不奶设短轴一端点为5
=b~ tan 45° = b~^ S沖人=—x 2i x Z? = be
Jhp 1/1 o KI
* ""十V二辽
当然，若用公式去解同学们編制的题目，将是易如反掌的・
如果把图形特殊化，使PFilFiFz,我们可以得到，
21r
性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短•通径为一a
y Y
题5：已知椭恻C「2_ + _ = 1(«>/^>0)的右顶点为A(h0).过G的焦点且垂直长轴的弦a~ Ir 长为L求椭圆C|的方程：
这就是09年浙江省高考理科试题.展示评分标准.
设计意图：从高考角度出现，进一步体现实用价值.
问题：考察两个定点的位R还有哪些可能.
定点可以是长轴顶。

恒、中心、短轴顶点.甚至可能是坐标轴上任一点或椭岡内的一点。

【课宜测试］
X- v'
1•已知斤、F F 是椭圆C:p + —= 1（4>b>0）的两个焦点，〃为椭圆C 上的一点.且 " «■ /?■
2•已知片.耳是椭圆的两个焦点，满足诙•雨E=O 的点M 总在椭圆内部.则椭圆离心率的取值范
（09江西）
3•已知椭I^^+y- = l （«>l）的两个焦点分别为F\, F — P 为椭圆上一点■且Zf ；P 氏=60，则
<r " "
IPf ；l ・IP 巧I 的值等于 ___ ・
1
T
心做）设椭吟+ ps 心。

）的左、右焦点分别为巧，耳A 是椭鬪上的-点, A 巧丄济场.原点0到直线的距离为证明a = J 刃:
椭圆中焦点三角形的性质及应用
宦义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

与焦点三角形的有关问題有意地考 査了定义.三角形中的的正（余）弦定理、内角和定理、面积公式等•
一・焦点三角形的形状判定及周长.面枳汁算
X~ y"
例1椭圆—+ jy =1上一点P 到焦点斤，尸2的距离之差为2.试判断△卩斤尸2的形状•
輸由椭恻定义：IPF,+ IPFJ=8JPFi l-IPF,l=2./JPF^ l=5,IPFJ=3.
又T I F'F 》1= 4・故满足：I PF^ I" +1斤尸2卩=1 PFi 卩.故△PF/m 为直角三角形・
牙2 丫2
性质一，已知椭圆方程为—+ ^ = l （t7 >^>0）,两焦点分别为FiF.设儘点三角形PF|F ；中 cr h-
" •
n
ZF'PF Q = &9 则 S 空\PF 、= b~ tan —。

2
X" y 2
性质二 已知椭圆方程为r +厶r = l （«>Z?>0）.左右两焦点分别为斤.斤，设焦点三角形PFf" a b~ • ■
若ZF'PF?最大・则点P 为椭恻短轴的端点。

PFi 丄PF?。

若△PF"的面积为9•则/?=
• （09上海）
A. (0,1)
I
J2
J2
「吟「吟）"［「）
D ・
性质三过椭圆焦点的所有弦中通径俺直于焦点的臨厳短，通径为丄 a
X~ y-
性质四：已知椭圆方程为—+
= !(«>/? >0),两焦点分别为 片F"设焦点三角形PF]F ；中
a- b-
' "
Z 斤 PF? = &9 则 COS& > 1 — 2e~ •
证明：设卩尸\=八严2=0则在△杠戶尸2口由氽弦定理御:
COS0 = rf+r ；-片耳2 =（耳+『2）2-2甘2-处2 = 2/-2Q 2
2r^^\ 2 斤 ZS
2 斤 2
x~ y~
(2000年高考题)已知椭圆— + ^ = \(a>h> 0)的两焦点分别为 片Fx 若椭圆上存在一点P,使
«" h~ "
得ZF.PF, =120\求椭圆的离心率€的取值范隔。

简解：由椭圈焦点三角形性质可知心12。

4|-廿.即-尹
于是得到《的取值范困是
兀2 丫2
性质五：已知椭圆方程为— + ^ = l(a>b>0l 两焦点分别为Fi ，Fx 设焦点三角形PFiF- cr h~
" "
ZPFF = a2P 匸F\=队则椭圆的离心率€ = sm （a + 0）
sin a + sin 0
证明：设P (几•儿力由焦半径公式可知：PR
= a + ex. = a-€X 。

在△F]PF，中，cos& =
PF 「+ PF 「一 F'F?
2 _ (『斤1 +『巧|)2-2『可『/引-4<・2
••• -a <X Q < a
2|P 可|P 览
2|Pfi||P 血 I
_ 4tr -4c"
= 2|P 用|P 血
4//
2（" + exj （a-exj / 一几：
二 X ； </
、2a--2c- 一 2（中
2 c 2
上討--1 = 1-2八命题得证。

1.
ZPF 迟=以"2斤=0,
PF\ + PF?
sin(<z + 0) sin a + sin 0
sin(a + 0) sin(£Z + 0) sin a + sin 0 sin a + sin 0
■ _ c _ sin(<z + 0)
•. 0
=—= -----------------------
已知椭恻的焦点是&(-1・0).尸2⑴0). P 为椭圆上一点，且I I 是I PF\ I 和I PR I 的等差中项. ⑴求椭圆的方程：
⑵若点P 在第三欽限•且ZPfif2=120^ •求tanfiPf2. 解：⑴由题设2 I &尸2 I = I P& I + I P/=2 I A20= 4 ,又 2c=2・ Ab= 73
•••椭圆的方程为—+—=1.
4 3
⑵设ZfiPf2= 0,则ZPF2用=60° -"
•.•椭圆的离心率-㊁
整理得：5血"=J3(l + cos")
由正弦定理独Sind 财“-0)
PFi
sincr sin 0
2c
PF, + PF 》
2a
由等比定理御:
</ sin a + sin 0 sin(18(r -0}
则 2 一 sinl2(r+sin(6(r-&)
sin&
°
故誌卫
I + cos e 5
2 5 73
573
1 tanfiPf2=tan 0=
—
1
3
11
画憔曲线中(椭圆离心率)的基本范围问题
V*
求PF] + PF?的范®.
已知点P在椭圆—+/=1内，斤，巧是椭圆的两个焦点,
厶
1.
解法二:设P （D'o ）・则|P/^
= a+exQ ■ PF2
则 PFi PF] =cr-e'x^,在
故 2< PF, + PF? <2y/2 2・
X- V-
已知点P 在椭F +
上行疋是椭岡的两林点•求点P 位于何处时
ZF'PFt 最大（焦点三角形两个基本关系）
…血d "
I 蔦;黑r
因为\PF,\^\PF,\ = 2a ,所以cos
—"篇:爲卜处
在PF\ = PF2 =0时取得（COS&在（0拯）上是减函数人即点P 为橢W 短轴上的顶点.
即 cos& =
2少 -1,而|P 用•『巧卜
PF\ PF2
(\pp + PF 丫
'' -=<r ,所以cos6*的最小值是
4,
-> *) X" y ・ S 知椭圆=+厶7 "• h -
=1（«>/?>0）上，斥■耳 是椭@的两个焦点，若在椭圆上存在点P 使 令卩巧=120°,
求椭圆离心率的范團.
解法gFfF 空
Q
2/ 由上题cos& =
PF\ PF,
所以如20—斗算亠
2 «- X 2
［的
QF' + PF - PQ < QF' + QF = 2a
Afj PF?中，cos 120° = 气聽产即心讣2® -a <%(,<«，所
-> *) JV" V"
e 知椭圆— + ^ = i{a>b>Q)上，斥•人 是椭@的两个焦点，若在椭0上存在点P 使
a~ h~
P 片=4 PF2 •求椭圆离心率的范围.
则 PF^ =a+exQ. PF 》=a-€X Q .
1 *)
亠 X" y" ■
解法二J 由一7 + 7V=l cr b-
及 x'-2cv+y^+c" =0 即 rtV -2ct/-x + fry' +«-<：' =0
a
联立解得X =—
5e
牙2 y-
已知椭圆r+厶r = l(">/2>0)与X 轴正向交于点A,若这个«0上总存在点P.使
5・
> 又0<E<1 故 ee
-> *) V" yt" 已知椭圆 4 +厶r = K«>b>0)的长轴两端点为A 、
B ,如果椭圆上存在点e,使
6,
由PF ； =4 PF^得如
a
3
彳
=—•而无=—M a ・所以—,故0€ —J
5e 5e 5
5
5e
5e
及(x + c)・ + y2 = i6
+ y~
7.
AP ・OP =0 （O 为原点），求离心率f 的范围.
设P(x 」)，由 AP OP = 0,得(X,y)\x-a^y) = 0 ,即，F-ax+r=0 .
*1 *? 7 1 *) X- y- • a--h- , J c
又因为一— =1・所以 ---------- ;—-V" —ctx + b~ = 0 ・
tr h-
所以（/一〃2）尤2—4认+///=0分解因式，得
因为Xp <a •所以Ir < c- >即/ <2疋
变式匕垂直关系改为60"或120°
v V"
设双曲线芦計so 小0）的右顶点4宀轴上有-点皿®若双曲线上存在点
则双r 曲
线的离心率的取值 [•41
联立解得
cr +/?")%" -3a~x+2a^ -(rb~ =0 此方程一根为a
（对应点A 的横坐标人 由韦达定理另一根
x-a )(t/"-h~^x-ah~ =0 ,
所以% = 或x=
严=竺-
er _b ・ c-
范围是
以AQ 为宦径的圆与双曲线还有除A 外的公共点，联立
a X —— I 2)
a- h-
为兀=—5 ---- >a・所以"■ >2/r = 2(L
9 ,
已知点f是双曲线亠一与=1（">0上>0）的左焦点，点£是该双曲线的右顶点，过F且垂直
cr h-
于X轴的直线与双曲线交于A、e两点，若AABE是鋭角三角形，则该双曲线的离心率f的取值范围是（
A- (1, +~) B. (1,2), C. (I, 1 + 72) D.(2,1 + 72)
解：因为A ABE是等腰三角形，故只要Zf；E4<45°即尤J + C,得1«<2
a
另解：因为e>l ,考察结论考虑取<? = 2时△ABE 状. 再根据£的变化与双曲线的形状间的关联做出选
即可.
的形
-2*-
择.
10
,
设点pg）是双曲线厂产SOQO）与圆宀）—"在第7限的交
点，斤•巧是双曲贱的左、右焦点，且P斤=3PF^ ,则双曲线的离心率为
过双曲吟一Fso小0）的左焦点F（F OQO）,作圆宀宀a
才的切稣。