利用同位角相等判断两直线平行
第八章8.4平行线的判定定理

年 级七年级 学 科 数学版 本山东教育版(五四制)课程标题 第八章8.4平行线的判定定理 编稿老师 仓猛一校黄楠二校林卉审核郭莹平行线的判定及应用【考点精讲】知识脉络图两直线平行内错角相等 同位角相等 同旁内角互补两直线平行的条件① 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;简称:同位角相等,两直线平行;如图,若∠1=∠2,则AB ∥CD ;② 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行;简称:内错角相等,两直线平行;如图,若∠2=∠3,则AB ∥CD ;③ 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;简称:同旁内角互补,两直线平行。
如图,若∠2+∠4=180°,则AB ∥CD 。
判断两直线是否平行,我们可从数量关系来探究。
即同位角、内错角是否相等、同旁内角是否互补,来判断两直线是否平行。
先要找准同类型的角,再研究它们的数量关系,最终得出两直线是否平行的结论,并能有条理地写出证明的步骤。
【典例精析】例题1 (永州)如图,下列条件中能判断直线1l ∥2l 的是( ) A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠5C. ∠1+∠3=180°D. ∠3=∠5答案:当AF 与AB 的夹角为55°时,AB ′∥BD ,即∠BAF =55°时,有AB ′∥BD 。
理由是:在长方形ABCD中,∠BAD=90°∵∠ABD=70°,∴ADB=20°(三角形内角和定理)由折叠知∠BAF=∠B′AF,且∠BAF=55°∴∠B′AF=55°∴∠B′AD=110°-90°=20°∴∠B′AD=∠ADB(等量代换)∴AB′∥BD(内错角相等,两直线平行)点评:一是要理解折叠的性质:折叠前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等。
二是能从构成的角的类型中,反过来推导要使两直线平行的条件。
平行线的判定条件

平行线的判定条件平行线是在同一个平面上且永不相交的两条直线。
在几何学中,判定两条直线是否平行的条件有以下三种:1. 同位角相等定理:如果一条直线与两条平行直线相交,那么这两条平行直线上的同位角(同位角是指两条直线被截取的相对位置相同的两个角)相等。
为了更好地理解同位角相等定理,我们可以通过以下例子进行解释。
假设有两条平行线l和m,直线n与l和m相交,如图所示: n|l———————————————m根据同位角相等定理,角A等于角B,角C等于角D。
这意味着同一边两个对应的角度是相等的,如角A和角B,角C和角D。
2. 三角形内角定理:如果两条直线被一条第三条直线截取,并且该直线上的两个内角相等,那么这两条直线是平行的。
以一个三角形作为示例,如图所示:///a //// b----------/----------//// c如果线段a与线段b平行,那么线段c与线段b也平行。
3. 平行线的传递性:如果直线a与直线b平行,直线b与直线c平行,则直线a与直线c 平行。
此定理在平行线的判定中起到重要作用。
它表示如果两条直线均与同一直线平行,那么这两条直线本身也是平行的。
总结:以上所述的三种判定条件可以帮助我们确定两条直线是否平行。
在几何学中,平行线的判定非常重要,并且可应用于解决各种相关问题,例如角度相等和直线的相对位置等。
需要注意的是,在判断平行线时,我们必须确保所讨论的直线都在同一个平面上。
如果两条直线不在同一个平面上,那么它们无法被判定为平行。
通过了解和应用这些判定条件,我们可以有效地判断两条直线是否平行,并在几何学问题中应用这些知识。
平行线的概念和判定条件在数学和物理学中均有广泛的应用,对于进一步理解和解决相关问题具有重要意义。
人教版七年级下册数学平行线及其判定第2课时平行线的判定——利用同位角、第三直线 同步练习

5.2 平行线及其判定第2课时平行线的判定——利用“同位角、第三直线”基础训练知识点1 由“同位角相等”判定两直线平行1.如图,用直尺和三角尺作直线AB,CD,从图中可知,直线AB与直线CD的位置关系为_______________,理由是______________.2.如图,直线a,b被直线c所截,下列条件能使a∥b的是( )A.∠1=∠6B.∠2=∠6C.∠1=∠3D.∠5=∠73.如图,能判定EB∥AC的条件是( )A.∠C=∠ABEB.∠A=∠EBDC.∠C=∠ABCD.∠C=∠EBD4.如图,已知∠1=∠2,则下列结论正确的是( )A.AD∥BCB.AB∥CDC.AD∥EFD.EF∥BC5.如图,CD平分∠ACE,且∠B=∠ACD,可以得出的结论是( )A.AD∥BCB.AB∥CDC.CA平分∠BCDD.AC平分∠BAD知识点2 由“第三直线”判定两直线平行6.如图,木工师傅利用直角尺在木板上画出两条线段,则线段AB______CD.7.在每一步推理后面的括号内填上理由.(1)如图①,因为AB∥CD,EF∥CD,所以AB∥EF(____________).(2)如图②,因为AB∥CD,过点F作EF∥AB(____________),所以EF∥CD(____________).8.在同一个平面内,不重合的两个直角,如果它们有一条边共线,那么另一条边( )A.互相平行B.互相垂直C.共线D.互相平行或共线9.三条直线a,b,c,若a∥c,b∥c,则a与b的位置关系是( )A.a⊥bB.a∥bC.a⊥b或a∥bD.无法确定易错点填错理由而致错10.如图,已知AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,∠1=∠2,试问CD与EF平行吗?为什么?解:CD∥EF.理由:因为∠1=∠2( ),所以AB∥EF( ).因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以AB∥CD( ).所以CD∥EF( ).提升训练考查角度1 利用“同位角相等”说明两直线平行11.如图,点B在DC上,BE平分∠ABD,∠ABE=∠C,试说明:BE∥AC. 解:因为BE平分∠ABD,所以∠ABE=∠DBE( ).因为∠ABE=∠C,所以∠DBE=∠C,所以BE∥AC( ).12.如图,已知∠1=68°,∠2=68°,∠3=112°.(1)因为∠1=68°,∠2=68°(已知),所以∠1=∠2.所以∥(同位角相等,两直线平行).(2)因为∠3+∠4=180°(邻补角的定义),∠3=112°,所以∠4=68°.又因为∠2=68°,所以∠2=∠4,所以∥(同位角相等,两直线平行).考查角度2 利用“同位角”“第三直线”(平行或垂直)判定平行13.如图,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3=∠4,则a与c平行吗?为什么?解:a与c平行.理由:因为∠1=∠2( ),所以a∥b( ).因为∠3=∠4( ),所以b∥c( ).所以a∥c( ).14.如图,已知∠1=90°,∠2=90°,试说明:CD∥EF.(1)方法一:用“同位角相等”说明.(2)方法二:用“第三直线”说明.探究培优拔尖角度1 利用平行线、垂线的基本事实说明三点共线15.在同一平面内,已知A,B,C是直线l同旁的三个点.(1)若AB∥l,BC∥l,则A,B,C三点在同一条直线上吗?为什么?(2)若AB⊥l,BC⊥l,则A,B,C三点在同一条直线上吗?为什么?拔尖角度2 利用同位角探究两线段的位置关系16.如图所示,∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F, 问:CE与DF的位置关系怎样?试说明理由.参考答案1.【答案】AB∥CD;同位角相等,两直线平行2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】C解:找出∠1和∠2是直线AD,EF被直线CD所截而形成的同位角,因此由∠1=∠2可得出AD∥EF.5.【答案】B6.【答案】∥7.【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线平行(2)过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行8.【答案】D9.【答案】B解:由平行于同一条直线的两条直线互相平行知选B.10.已知;同位角相等,两直线平行;在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;平行于同一条直线的两条直线互相平行分析:本题学生容易混淆判定两直线平行的几种方法,从而导致错误.11.【答案】角平分线的定义;同位角相等,两直线平行12.【答案】(1)a;b (2)b;c13.【答案】已知;同位角相等,两直线平行;已知;同位角相等,两直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行14.解:(1)方法一:因为∠1=90°,∠2=90°,所以∠1=∠2.所以CD∥EF.(2)方法二:因为∠1=90°,∠2=90°,所以CD⊥AB,EF⊥AB.所以CD∥EF.15.解:(1)在同一条直线上.理由:因为直线AB,BC都经过点B,且都与直线l平行,而过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,所以AB,BC为同一条直线,所以A,B,C三点在同一条直线上.(2)在同一条直线上.理由:因为直线AB,BC都经过点B,且都与直线l垂直,而在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以AB,BC为同一条直线,所以A,B,C三点在同一条直线上.16.解:CE∥DF.理由如下:因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,所以∠DBC=错误!未找到引用源。
平行线四大模型

平行线四大模型1、平行线的判定根据平行线的定义,如果平面内的两条直线不相交,就可以判断这两条直线平行,但是,由于直线无限延伸,检验它们是否相交有困难,所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行,这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行.判定方法1:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简称:同位角相等,两直线平行.判定方法2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简称:内错角相等,两直线平行,判定方法3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简称:同旁内角互补,两直线平行,如上图:若已知∠1=∠2,则AB∥CD(同位角相等,两直线平行);若已知∠1=∠3,则AB∥CD(内错角相等,两直线平行);若已知∠1+∠4=180°,则AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).另有平行公理推论也能证明两直线平行:平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.2、平行线的性质利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以判定两条直线平行.反过来,如果已知两条直线平行,当它们被第三条直线所截,得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系,这就是平行线的性质.性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简称:两直线平行,同位角相等性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简称:两直线平行,内错角相等性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简称:两直线平行,同旁内角互补平移3.平移是指在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫做图形的平移(translation),简称平移。
4.平移的性质经过平移,对应线段平行(或共线)且相等,对应角相等,对应点所连接的线段平行且相等;平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
(1)图形平移前后的形状和大小没有变化,只是位置发生变化;(2)图形平移后,对应点连成的线段平行且相等(或在同一直线上)(3)多次平移相当于一次平移。
3.4平行线的判定定理

定理:同旁内角互补,两直线平行.
已知:如图,∠1和∠2是直 线a,b被直线c截出的同旁内 角,且∠1与∠2互补. 求证:a∥b. c
a
b
2 3
1
证明:∵ ∠1与∠2互补 (已知), ∴∠1+∠2=1800(互补的定义). 又∵∠3+∠2=1800 (平角的定义), ∴∠1=∠3(等角的补角相等).
1 2
c
2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
随堂练习
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昆虫与 数学
蜂房的底部由三个全等的四边形围成,每个四边形的形状 如图所示,其中∠α=109°28′,∠β=70°32′. 试确定这三个四边形的形状,并说明你的理由. 这三个四边形是平行四边形.这是 因为“同旁内角互补,两直线平 行”. 实际上,每个四边形都是菱形.
这个定理可以简单说成:内错角相等,两直线平行.
定理:内错角相等,两直线平行.
已知:如图,∠1和∠2是直 线a,b被直线c截出的内错角, 且∠1=∠2. 求证:a∥b. 证明:∵ ∠1=∠2 (已知), ∠1+∠3=1800(平角的定义). ∴∠2+∠3 = 1800 (等量代换). ∴∠2与∠3互补(互补的定义). ∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行). c a b
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
已给的公理,定义和已经证明的定理以 后都可以作为依据,用来证明新的定理.
议一议
小明用如图所示的方法作出了平行线, 你认为他的作法对吗?为什么?
通过这个操作活动,得到了什么结论?
定理 两条直线被第三条直线所截,如果内错角 相等,那么这两条直线平行.
你能运用所学知识来证实它是一个真命题吗?
同位角相等两直线平行的条件-概述说明以及解释

同位角相等两直线平行的条件-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在几何学中,我们经常遇到两条直线之间的关系。
其中一种重要的关系是两条直线平行的情况。
而当两条直线平行时,它们之间的同位角具有一个特殊的性质,即同位角相等。
因此,研究同位角相等和直线平行之间的条件对于解决与直线相关的几何问题至关重要。
本文将探讨同位角的定义和性质,以及平行线的定义和性质。
进一步,我们将研究同位角相等的条件和直线平行的条件。
通过分析这些条件,我们可以更深入地理解直线之间的关系,并且能够在解题过程中运用这些条件。
首先,我们将介绍同位角的定义和性质。
同位角是指位于同一侧相交直线上两条直线所夹的角。
我们将讨论同位角的定义,并探究同位角的一些重要性质,例如同位角的和角、互补角和对顶角等。
这些性质有助于我们理解同位角的特点,并为后续讨论奠定基础。
接下来,我们将详细探讨平行线的定义和性质。
平行线是指在同一个平面上不相交的直线,它们在任意位置上的距离始终相等。
我们将探讨平行线的定义,并讨论平行线的一些重要性质,例如平行线的性质、平行线与转角的关系等。
这些性质将帮助我们更好地理解平行线的特点,并为进一步讨论提供所需的背景知识。
最后,我们将研究同位角相等的条件和直线平行的条件。
通过分析同位角相等的条件,我们可以确定两个直线平行的判定条件之一。
同时,我们还将讨论直线平行的条件,即确定直线是否平行所需满足的条件。
这些条件的理解和应用将有助于我们解决与直线平行和同位角相关的几何问题,以及在实际生活中应用几何知识时能够更准确地判断直线之间的关系。
通过本文的探讨,我们将能够更深入地理解同位角相等和直线平行的条件。
同时,我们还将学会如何应用这些条件解决与直线相关的几何问题。
这些知识将为我们在学习和应用几何学时提供有力的支持。
下一节将详细介绍同位角的定义和性质。
让我们一起深入研究吧!1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕同位角相等和两条直线平行的条件展开讨论。
同位角相等两直线平行概念

同位角相等两直线平行概念同位角相等和两直线平行是几何学中基本的概念,它们在我们日常生活和工作中扮演着重要的角色。
在此文章中,我将深入探讨这两个概念,以帮助您更全面和深刻地理解它们的含义和应用。
我会分享我的个人观点和理解,以便您可以从多个角度来思考这些概念。
1. 同位角相等的概念1.1 同位角的定义和性质在平面几何中,同位角是指两条平行线直线与一条横截线相交时,所产生的相邻内角和相邻外角。
同位角可以分为内同位角和外同位角。
内同位角是指两条平行线直线与横截线所产生的相邻内角,它们的度数相等。
外同位角是指两条平行线直线与横截线所产生的相邻外角,它们的度数相等。
1.2 同位角的应用同位角相等是几何证明中经常用到的重要性质。
通过利用同位角相等的性质,我们可以证明两条直线是平行的。
在证明两条直线平行的过程中,我们可以利用同位角的性质来推导出两条直线的内同位角或外同位角相等,从而得出结论。
这种证明方法在解决几何问题和证明定理时非常有用。
2. 两直线平行的概念2.1 平行线的定义和性质在几何学中,两条直线平行是指它们在同一平面上无交点的直线。
平行线具有一些重要的性质,例如它们的斜率相等或互为倒数,而且它们之间的距离在平面上始终保持相等。
2.2 平行线的判定在实际应用和几何证明中,判定两条直线是否平行是一个重要的问题。
我们可以使用多种方法来判定两条直线的平行性,其中之一是利用同位角相等。
通过证明两个相应的内同位角或外同位角相等,我们可以得出两条直线平行的结论。
还有其他的判定方法,如利用平行线的定义或使用平行线的性质进行推导。
3. 我的观点和理解在我个人看来,同位角相等和两直线平行是几何学中重要且有趣的概念。
同位角相等是几何证明中常用的工具之一,通过利用它的性质,我们可以简单而直观地推导出两条直线平行的结论。
这种方法不仅适用于几何问题的解决,还可以用来证明定理和思考数学问题。
另外,两个概念之间存在着内在的联系。
同位角相等是判定两条直线平行的重要条件之一,而平行线又是同位角相等的基础。
证明两条直线平行同位角相等

证明两条直线平行同位角相等证明两条直线平行同位角相等直线是几何中最基本的概念之一,而平行是几何中一个特殊的性质。
在几何学中,证明两条直线平行同位角相等是一个重要的问题。
下面,我将介绍一些证明方法。
方法一:基于同位角的定义同位角是指两条直线被一条横线切割形成的四个角,其中相邻的两个角是同位角。
如果两条直线平行,那么同位角大小相等。
证明过程:设有两条直线AB和CD,以EF为横线,且AB和CD平行。
则:∠AED = 180 - ∠DEF (补角定理)∠DEC = 180 - ∠DEF (补角定理)又因为AB平行CD,所以∠AED = ∠BFC (同位角的定义)∠DEC = ∠CFB (同位角的定义)因此,我们可以得出结论,当两条直线平行时,同位角是相等的。
方法二:基于对内角与外角之和的定理对于一条直线AB和点C在其上,如果有另一条直线DE穿过C点,那么∠DCA 与直线AB上的对内角∠ACB 之和等于180度,这是对内角与外角之和的定理。
证明过程:假设有两条平行直线AB和CD,以EF为横线。
从点G引垂线于AB和CD上,分别得到∠C GE 和∠AFG。
根据对内角与外角之和的定理可得:∠CGF + ∠AFG = 180然而,由于AB和CD平行,因此∠CGF 和∠AFG 是同位角,它们相等。
所以也可以得出结论:当两条直线平行时,同位角是相等的。
总结:通过以上两种方法,我们都得出了同样的结果:两条直线平行时,同位角相等。
这意味着,如果我们知道两条直线平行,就可以推出其同位角相等。
这是一个基本的、简单的关系,有时候它被用来解决关于平行形状的复杂问题。
用反证法证明两直线平行同位角相等

用反证法证明两直线平行同位角相等标题:反证法:揭示两条平行直线同位角相等的奥秘导语:在几何学中,两条平行直线之间是存在着一些奇妙的关系的。
本文将运用反证法证明两条平行直线的同位角是相等的,让我们一同探索这个有趣而重要的几何原理。
1. 什么是反证法?反证法是数学证明中常用的一种方法。
它通过假设待证明的命题不成立,再推导出矛盾的结论来证明原命题的正确性。
在证明两条平行直线同位角相等时,我们可以使用反证法来得出结论。
2. 两直线平行的定义在几何学中,我们说两条直线平行,当且仅当它们在同一平面内且没有交点。
记为l||m,其中l和m为两条直线。
3. 什么是同位角?同位角是指两条平行直线与一条穿越它们的直线所形成的角。
如下图所示:```———(l)———/ \/ \/_____\————(m)————```在上图中,直线l和m是平行的,直线n穿过它们,形成的4对角分别为∠1、∠2、∠3和∠4。
我们要证明的是∠1 = ∠3以及∠2 = ∠4。
4. 证明过程假设∠1 ≠ ∠3,即∠1和∠3不相等。
那么我们可以得出结论,两条直线l和n上的两个锐角之和不等于两条直线m和n上的两个锐角之和。
当一条直线与另一条直线相交时,形成的两对同位角之和为180度。
故有:∠1 + ∠2 ≠ 180° (1)∠3 + ∠4 ≠ 180° (2)由于直线n与直线l、m相交,所以∠1 + ∠2 = 180°以及∠3 + ∠4 = 180°。
由(1)和(2)的假设可知,直线n与直线m和直线l相交后的两个锐角之和与180度不相等,这与事实不符。
我们得出结论,在两条平行直线中,同位角是相等的。
即:∠1 = ∠3,∠2 = ∠45. 理解与总结通过反证法,我们证明了两条平行直线之间的同位角是相等的。
这个结论在几何学中具有广泛的应用,尤其是在解决角度相等问题时。
我们可以理解同位角相等的原理是由直线的平行性所决定的。
用反证法证明两直线平行同位角相等

用反证法证明两直线平行同位角相等一、引言在几何学中,同位角是指在两条平行线被一条横截线切割所形成的相对角。
而当两条直线平行时,它们对应的同位角是相等的,这是一个基本的几何性质。
本文将以反证法的方式来证明两直线平行时同位角相等这一性质。
二、反证法的基本思路反证法是一种证明方法,通过假设某命题的否定,来推导出矛盾的结论,从而证明该命题的正确性。
在证明两直线平行时同位角相等的性质时,我们可以利用反证法来假设同位角不相等,然后推导出矛盾的结论,从而证明同位角相等的命题成立。
三、假设同位角不相等假设存在两条直线L1和L2,它们被一条横截线l所切割,形成同位角A、B、C和D。
现在我们假设同位角A和B不相等,即A≠B。
根据几何知识,我们知道如果L1和L2是平行的,那么它们对应的同位角是相等的,即A=B。
四、推导矛盾的结论现在我们根据假设进行推导,由于A≠B,那么根据对立角性质即A+B=180°,同时根据平行线性质,同位角相等即A=B=(180°-C)。
由此得到矛盾:A=B=(180°-C)。
五、结论根据上述推导过程,我们可以得出矛盾的结论,即假设同位角不相等的情况下,推导出了矛盾结论,从而证明了同位角相等的命题成立。
六、个人观点和理解通过本文的反证法证明过程,我们可以清晰地理解两直线平行时同位角相等的性质。
这一性质是几何学中的基本定理之一,也是其他定理的基础。
在解决几何问题时,能够灵活运用同位角相等的性质,对于推导结论和解题思路非常有帮助。
在学习几何学时,我们应该深入理解同位角相等的性质,并能够灵活应用到解题中。
七、总结与回顾在本文中,我们使用了反证法来证明了两直线平行时同位角相等的基本性质。
通过假设同位角不相等,然后推导出矛盾的结论,从而证明了同位角相等的命题成立。
在几何学中,反证法是一种常用的证明方法,能够帮助我们更深入地理解和应用基本几何性质。
希望本文的内容能够对您有所帮助,也能够增进对同位角相等性质的理解。
两直线平行同位角相等的题设和结论

两直线平行同位角相等的题设和结论
在我们的学习中,相信大家都学习过平行线和同位角的相关概念。
如果一道题目给定两条平行线和一些角度信息,我们可以利用同位角的性质来求解其他角度的大小。
下面我们将介绍两直线平行同位角相等的题设和结论。
首先,题设如下:给定两条平行线l1和l2以及一条交于l1和l2上的第三条线l3,我们称l1和l2为平行基线,l3为割线。
在这样的基础下,我们可以得到以下结论:
1. 相邻内角对应角相等:也就是指在两条平行线中,交于同一割线的相邻内角的度数相等。
这个结论的证明比较简单,可以通过画图和剖析几何的方法进行证明。
2. 对顶角相等:也就是指在两条平行线中,交于同一割线的对顶角的度数相等。
这个结论的证明也是比较简单的,只需要利用同位角和内角和为180度的性质即可。
那么,这个结论有什么实际的应用呢?在我们的实际生活中,这个结论可以应用到建筑、制图、测量等领域。
例如,在建筑设计中,我们需要保证墙壁之间的角度一致,才能保证整个建筑的外观美观。
在制图中,我们需要保证平行线的平行性,才能画出正确的图形。
在测量中,我们也需要利用同位角的性质进行测量,以便得到正确的结果。
总之,两直线平行同位角相等的题设和结论在几何学中具有重要的意义,在实际应用中也有着广泛的应用。
我们需要充分掌握这个结论,以便更好地应用到我们的日常生活和学习中。
同位角相等,两直线平行课件

课后巩固纲要 1, 完成下列填空
2,同一平面内,如果两条直线都和第三条 直线垂直,那么这两条直线平行。
已知: 求证:
┐1 ┐ 2
c
ab
3,蜂房的底部由三个全等的四边形围成, 每个四边形的形状如图所示,其中 ∠α=109°28′,∠ β=70 °32′,试确定这三个 四边形对边的位置关系,并证明你的结论。
A
D
B
C
4,完成下列推理,并在括号中写出相应的根据.
(1)如图甲所示 ∵ ∠ADE= ∠DEF(已知)
∴ AD ∥ EF ( 内错角相等,两直线平行 ) 又∵ ∠EFC+ ∠C= 180 °
∴ EF ∥ BC ( 同旁内角互补,两直线平行 )
∴AD ∥ BC
.
( 平行于同一条直线的两条直线互相平行)
∠1+∠A=180°
A
求证:AB//CD
C
B
2 13
D
E
温故知新
以前我们探索过直线平行的条件.请 你想一想:两条直线在什么情况下互相平 行呢?
同位角相等,两直线平行. ——— 公理
内错角相等,两直线平行. 同旁内角互补,两直线平行. 两条直线都和第三条直线平行,则这
两条直线互相平行. •垂直于同一条直线的两条直线平行.
导新课:
• 第几条是公理?其它的结论都是通过 实验、观察、归纳得出的结论,它们 的正确性有待于我们证明,所以,本 节课共同学习“平行线的判定”
(2)如图乙所示
∵ AC ⊥ AB,BF ⊥ AB (已知 ) ∴ ∠ CAB = ∠ ABF=90 ° (垂直的性质 )
∵ ∠ CAD= ∠ EBF=30 ° (已知 )
∴
同位角相等,两直线平行是公理

同位角相等,两直线平行是公理1.引言1.1 概述同位角相等和两直线平行是几何学中的基本概念和公理,它们在我们研究平行直线和角度关系时起到了重要的作用。
同位角相等指的是具有相同顶点和公共边的两个角度,而两直线平行则表示两条直线在平面上永远不会相交。
在几何学中,我们经常需要研究线段、角度和直线的关系。
同位角相等和两直线平行的概念为我们提供了描述和解释这些关系的基础工具。
通过这些概念,我们可以更好地理解和推导几何学中的定理和推论。
同位角相等的概念告诉我们,如果两个角度具有相同的顶点和公共边,那么它们的度数也是相等的。
这个概念对于证明几何定理和推断几何关系非常重要。
例如,在证明两条直线平行时,我们经常需要利用同位角相等的性质。
而两直线平行的概念是几何学中最基础的公理之一。
它表明,如果两条直线在平面上永远不相交,那么它们是平行的。
这个概念对于研究角度和线段之间的关系至关重要。
在实际生活中,我们经常会用到平行直线的概念,比如在道路交通标志中,两条平行的线表示车道的分隔。
通过对同位角相等和两直线平行这两个基本概念的研究,我们可以推导出许多重要的几何定理和推论。
这些定理和推论在实际应用中具有广泛的意义,例如在建筑设计、地图制作和机械制造等领域中都有重要的应用价值。
总之,同位角相等和两直线平行的概念是几何学中的基本工具,它们对于研究和理解几何关系起到了重要的作用。
通过深入理解和应用这些概念,我们可以更好地掌握几何学知识,发展出更多的几何定理和推论,为实际生活和科学研究提供有力的支持。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍同位角相等的概念,包括定义和性质。
接着,我们将引入两直线平行的概念,并探讨其定义和相应的性质。
在正文部分,我们将详细讨论同位角相等与两直线平行的关系,尤其是它们之间的等价性。
最后,我们将强调公理在几何学中的重要性,并展示同位角相等和两直线平行作为公理的应用场景。
通过这样的结构,我们将全面而系统地阐述同位角相等和两直线平行的相关性,并加深对它们的理解。
判定两线平行的6种方法

判定两线平行的6种方法
嘿,朋友!今天咱就来唠唠判定两线平行的 6 种方法,这可太有意思啦!
第一种方法,同位角相等两直线平行。
就好比你和你的好朋友,脾气相投那关系肯定不一般呀!比如说在这个图里,同位角就像是两个志同道合的伙伴,它们相等了,那两条线自然就平行喽!
第二种方法是内错角相等两直线平行。
这就好像你走路,左脚和右脚配合好了,才能走得稳呀!像这样,内错角相等了,线也就平行啦!
第三种呢,同旁内角互补两直线平行。
这就像是一场比赛里的队友,互相弥补不足,共同前进。
比如这两个同旁内角加起来 180 度,嘿,两线平行啦!
还有第四种,平行于同一条直线的两条直线互相平行。
这就如同在一个团队里,大家都以优秀的人为榜样,一起努力向前呀!
第五种是垂直于同一条直线的两条直线平行。
哎呀呀,就像是两根柱子都稳稳地立在那儿,它们当然是平行的啦!
第六种,平行线的传递性。
这就像接力赛呀,第一棒传给第二棒,第二棒再传给第三棒,那第一棒和第三棒自然也是在一条道上啦!
咋样,是不是很有趣呀!这些方法就像是我们探索几何世界的钥匙,每一种都有着独特的魅力和用处呢!通过这些方法,我们能更清楚地了解直线之间的关系,就好像读懂了它们的心思一样!所以呀,一定要好好掌握这些方法,让我们在几何的世界里畅游无阻吧!。
证明同位角相等,两直线平行

证明同位角相等,两直线平行证明同位角相等,两直线平行是几何中一类重要的问题,也是数学分析中常用的方法。
在几何学中,同位角是指两条不同的直线所垂直的两个平行四边形中,对应的内角所组成的一组角,而两条直线平行,即意味着它们在同一平面上,且永远不会相交。
1、证明同位角相等:证明同位角相等可以从两个方面入手:(1)根据定理:如果两条直线相交,则其交点处的角的和等于180°,而两个内角的和加上外角等于180°。
由此可知,当两个直线平行时,它们的外角就是0°,也就是说,当两条直线平行时,它们所形成的平行四边形中的两个内角的和就是180°。
这就说明,当两条直线平行时,它们的同位角就是相等的。
(2)此外,还可以通过对称性的讨论来证明同位角的相等性。
如果将平行四边形在一条轴上翻转,那么左右两边的四边形就完全相同了,而它们的同位角就是相等的。
因此,可以证明两条直线平行时,它们的同位角就是相等的。
2、证明两直线平行:证明两直线平行可以从三个方面入手:(1)根据定理:如果两条直线相交,则它们之间至少有一个角,即外角不等于0°,而如果两条直线不相交,则它们之间的外角必然为0°。
因此,可以得出结论,两条直线平行,则它们所形成的外角为0°。
(2)另外,可以使用例证法证明两直线平行。
例如,如果两条直线 l1 和 l2 是平行的,那么它们的垂直平分线 m1 和 m2 也是平行的,因为它们都是垂直于 l1 和 l2 的。
因此,可以证明两条直线平行。
(3)此外,还可以使用反证法证明两直线平行。
假设两条直线 l1 和 l2 不是平行的,那么它们必然有一个外角不等于0°,但是由于它们是平行四边形的对角线,所以它们所形成的平行四边形中的两个内角的和加上它们的外角必然等于180°,而这与前面的定理矛盾,因此可以推断出,两条直线必然是平行的。
综上所述,可以看出,当两条直线平行时,它们的同位角就是相等的,而两直线平行,则它们之间的外角必然为0°。
同位角相等两直线平行的符号语言

同位角相等两直线平行的符号语言符号语言中的同位角相等规则在几何学中,同位角是指两条直线被一条第三直线(称为横断线)所截得的位于同侧且对应的位置的角。
根据同位角相等规则,如果两条直线被一条横断线所截,并且它们在同侧形成一对同位角,那么这两个同位角相等。
这个规则可以用符号语言来表示,具体如下:假设两条直线 l 和 m 被一条横断线 t 所截。
假设直线 l 和 t 形成同位角∠1 和∠3。
假设直线 m 和 t 形成同位角∠2 和∠4。
那么,根据同位角相等规则,我们可以得到:∠1 = ∠3∠2 = ∠4同位角相等规则的应用同位角相等规则在几何学中有着广泛的应用,例如:平行线判定定理:如果两条直线被一条横断线所截,并且它们对应的两对同位角相等,那么这两条直线平行。
垂直线判定定理:如果两条直线被一条横断线所截,并且它们对应的两个相邻角的和为 180 度,那么这两条直线垂直。
三角形内角和定理:三角形三个内角的和为 180 度。
这个定理可以通过同位角相等规则来证明。
同位角相等规则的证明同位角相等规则的证明需要用到平行线公理,该公理指出:过一条直线外一点,可以作且仅能作一条与该直线平行的直线。
假设两条直线 l 和 m 被一条横断线 t 所截,并且它们在同侧形成一对同位角∠1 和∠3。
通过 t 过点 A 作一条平行于直线 l的直线 n。
由于 n 平行于 l,根据平行线公理,∠1 = ∠5(对应角相等)。
同样地,由于 n 平行于 l,根据平行线公理,∠3 = ∠6(对应角相等)。
因此,∠1 = ∠3。
结论同位角相等规则是一个重要的几何学定理,它提供了判断两条直线是否平行的依据。
这个规则广泛应用于几何学中,包括平行线判定定理、垂直线判定定理和三角形内角和定理的证明。
两直线平行,同位角相等

两直线平行,同位角相等
直线是一种最为基本的几何图形,这也是数学中最重要的研究对象之一。
平行直线就是指如果两条直线之间没有交点,这两条直线可以平行地运动。
同位角相等指的是,在平面内任意两直线之间有着形状等同的一个夹角,即两个线段可以完全匹配,不发生移位或反转,而且两个线段分别占据斜角相同的位置。
乍一看,两条直线平行、同位角相等似乎没有什么让人惊叹的,但实际上,这对数学研究来说还是有很大意义的,想要实现这一目标,不仅需要运用一些数学工具,还要考虑多种可能性,研究者们还需要深入研究几何变换原理,运用所学的相关定理,从而推导获得具体的结果。
让我们进一步来看一些更为具体的实例。
假设我们有两条平面直线AB和CD,并且想要将其变换成平行且同位角相等的形式。
如果它们的斜率是相同的,那么就比较容易去实现,只需要改变它们的位移即可。
但是,这种变换很容易破坏掉一条直线的定义:一条直线并不会随着位移而变化不同。
在这种情况下,我们将需要对其中一条进行旋转,以便达到“两条直线平行,同位角相等” 的要求。
当然,这只是一个简单的例子,现实中可能会出现更复杂的情况。
可能会有多重性的位置关系,需要更加复杂的几何变换,就需要更广泛的实验和理论研究。
无论如何,从这一样例中就可以看出,想要寻求“两条直线平行,同位角相等”这一要求,难就难在它需要复杂的几何变换,进而需要考虑更多的可能性,也很考验研究者的聪明才智。
两直线平行同位角相等反证法

两直线平行同位角相等反证法
假设有两条直线AB和CD,它们不平行,且同位角(指两条直线被一条截线分割后,同侧的对应角)相等。
我们用反证法证明这个假设是错误的。
首先,根据同位角相等的定义,我们可以得到∠A和∠D是同位角,∠B和∠C是同位角,且它们都相等。
接下来,我们假设这两条直线AB和CD不平行,即它们会相交。
我们假设它们相交于点E。
根据相交两直线定理,我们可以得到∠AED和∠CEB是相邻补角,且它们加起来为180度。
同时,我们也可以得到∠BED和∠AEC是相邻补角,且它们加起来也为180度。
现在,我们来比较∠A和∠D的大小。
根据同位角相等的条件,我们已知∠A和∠D是相等的,即∠A=∠D。
因为它们都是顶角,所以它们加起来等于360度。
因此,我们可以得到∠BED+∠AED+∠A+∠
D=360度。
我们将上述等式转化为∠BED+∠AEC+∠B+∠C=360度。
因为∠B 和∠C是同位角,且它们相等,所以我们可以得到∠BED+∠AEC+2∠B=360度。
将上述两个等式相减,我们可以得到∠AED-2∠B+∠D=0。
因为我们已经知道∠AED和∠D是同位角,且它们相等,所以我们可以得到2∠D-2∠B=0,即∠D=∠B。
然而,这与我们一开始的假设相矛盾,因为我们假设AB和CD不
平行,但根据同位角相等的条件,我们得到了∠D=∠B,即它们平行。
因此,我们的假设是错误的,即两条直线AB和CD必须平行才能满足同位角相等的条件。
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探索直线平行的条件(第1课时)教学设计
一、学生起点分析:
学生的知识技能基础:学生在本章第一节中,已经结合丰富的现实情景,直观认识了两条直线的相交关系,以及两直线垂直的特殊位置关系。
学生已初步感知了两直线的平行特点。
学生的活动经验基础:在七年级上册《基本平面图形》一章中,教材为学生提供了大量生动有趣的现实情境,通过观察、测量、画图、模型操作、拼摆、图案设计等活动,使学生在活动中自觉体会平面图形的性质,获得了初步的数学活动经验和体验。
同时在活动中也培养了学生良好的情感态度,顺利实现中学、小学过渡,以积极的态度投入初中数学的学习,具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力。
二、教学任务分析:
探索直线平行的条件1是北师大版七年级下册第二章第二节课第一课时。
通过实验、观察、思考归纳得出“同位角相等两直线平行”的结论。
它是继学习了相交线和了解了平行线的概念后的又一个重要知识,也是教材体系中的判断两直线平行第一个结论(判断直线平行的公理)。
它也是学习平行线的其它判定的推理依据。
更是今后学习与平行线有关的几何知识的基础。
因此这节内容在七~九年级这一学段的数学知识中具有很重要的地位。
本节课的教学目标是:
1.经历探索直线平行条件的过程,掌握利用同位角相等判别直线平行的结论,并能解决一些问题。
2.会识别由“三线八角”构成的同位角,会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
3.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动,体会利用操作、归纳获得数学结
图(1)b a 图(2)b
a
论的过程,进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。
4. 使学生在积极参与探索、交流的数学活动中,体验数学与实际生活的密切联系, 激发学生的求知欲,感受与他人合作的重要性。
三、教学重难点分析:
本节课的重点是:探索直线平行的条件——“同位角相等,两直线平行”
本节课的难点:引导学生以“同位角相等,两直线平行”为依据,通过平移三角尺来画出平行线。
四、教学过程分析:
本节课共设计了六个环节:操作与思考——导入新知;观察与思考——展开新课;应用与思考——巩固新知;课堂练习——学以致用;课堂小结;布置作业。
第一环节:操作与思考——导入新知
活动内容:教师通过设置问题串,层层设疑,在引导学生思考、层层释疑的基础上,既复习旧知,做好新知学习的铺垫,同时也不断激活学生思维、生成新问题,引起认知冲突,从而自然引入新课。
问题1:在同一平面内两条直线的位置关系有几种?分别是什么?
学生很容易回答出“在同一平面内两条直线的位置关系有两种,分别是相交和平行”,再进一步针对相交和平行分别提出问题2、3。
问题2:如图,两条直线相交所构成的四个角中分别有何关系? 借助两条直线相交的基本图形复习“两线四角”的关系,为探索“三线八角” 的关系奠定基础。
问题3:什么叫两条直线平行?
复习平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
问题4:观察下面每幅图中的直线a,b ,它们分别平行吗?你能验证吗?
A
B D C
O
对于图(1),学生很容易判断直线a,b 不平行,可以通过延长直线a,b 相交得到。
对于图(2)学生可能会说平行。
追问:若平行,你是怎样判断的呢?(因学生的回答灵活处理)
学生可能想到的方法是:如图,作c ⊥a ,
再用三角尺的直角来判断直线c 是否与直线b 垂直,
如果垂直,则直线a 与直线b 平行。
所以按照平行线的定义仅凭观察来判断直线的平行关系是不够的,这就需要进一步寻求判断直线平行的依据,本节课老师将和同学们一起来——探索直线平行的条件,由此引入新课。
活动目的:问题1,2,3抓住了本章学习的重点——平行和相交,从学生已有的知识入手,以问题为载体,自然复习同一平面内两条直线的位置关系以及平行、相交的基本图形和基本知识,承上启下为新课的学习做好铺垫,有利于学生形成完整的知识结构。
学生对问题3的回答进一步复习了平行线的定义,但是在利用平行线的定义解决问题4时却遇到了困难,他们仅凭观察无法判断两条直线是否平行,能够使学生深深的体会到,仅凭观察和实际操作得出的结论是不可靠的,必须学习用更科学的方式来说明,由此引发学生探索的直线平行条件的需求,自然引入新课。
这样引入,既符合学生已有的认知基础,又较好的激发了学生探索问题的欲望。
第二环节:观察与思考——展开新课
活动内容:第一:引入同位角的概念,画出“三线八角”的基本图形,并直观的辨识同位角;第二:设置了“转动纸条”的活动,让学生亲自动手操作,让学生通过观察、想象、直观认识到当∠1=∠2时,直线a 与直线b 平行的结论。
第三:归纳判断两直线平行的公理1:“同位角相等,两直线平行”。
1.由∠1与∠2的位置关系引出对“三线八角”的认识和同位角的概念。
如图,直线AB ,CD 被直线l 所截,构成了八个角,具有∠1与∠2
c b a
2121这样位置关系的角,可以看作是在被截直线的同一侧,在截线的同一旁, 相对位置是相同的,我们把这样的角称为同位角。
问题1:图中还有其他的同位角吗?
问题2:这些角相等也可以得出两直线平行吗?
判断下列图中∠1与∠2是否是同位角
2.如果图中的直线b 与直线c 不垂直,直线a 应满足什么条件才能与直线b 平行呢?利用教具动手操作。
如图,三根纸条相交成∠1,∠2,固定纸条b,c,转动纸条a, 在操作的过程中让学生观察∠2的变化以及它与∠1的关系,你发现纸条a 与纸条b 的位置关系发生了什么变化?纸条a 何时与纸条b 平行?改变图中∠1的大小再试一试,与同学交流你的发现。
引导学生发现,当图中的∠2满足与∠1相等时,纸条a 与纸条b 平行。
再利用课件展示,加深学生的认识。
3.综上探索,引导学生归纳出两直线平行的条件:同位角相等,两直线平行。
直线a 与直线b 平行记作:a ∥b
用符号表示该结论:∵∠1=∠2 ∴a ∥b
活动目的:本环节共经历了三个过程。
首先引导学生发现,要判断两条直线平行需要A C B D l 1 2 3 4 6 7 5 8
引入角度。
而这里的角度产生需要有第三条截线。
从而画出 “三线八角”的基本图形,并直观的认识同位角的概念,使概念的学习成为解决问题的需要,而没有孤立的处理这部分内容,这样处理能使知识自然纳入学生的学习需求,符合可接受性原则。
第二设置了“转动纸条”的活动,让学生亲自动手操作,让学生通过观察、想象、直观认识到当∠1=∠2时,直线a 与直线b 平行的结论。
第三,在较好的处理了前两个环节后,探索得出同位角相等,两直线平行的结论也就水到渠成了。
这样由浅入深,充分地让学生经历了解决问题的过程,较好的突出了重点。
第三环节:应用与思考——巩固新知
活动内容:
动手做一做
(1)你能借助平移三角尺,过直线外一点画已知直线的平行线吗你能说明其中的道理吗?
这个问题是本节课的难点,要充分给学生预留足够的探索、动手操作的时间。
学生可能的做法有:
方法1:如图1,,利用本节课引入部分学生想到的同位角为直角时两直线平行来画图。
方法2:如图2,
学生可能想到利用45度角来平移三角尺。
(2)通过学生作图,提问:过直线AB 外一点p 画直线AB 的平行线,能画出几条? 学生归纳:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
(3)学生完成作图,分别过点C ,D 画直线AB 的平行线EF ,GH ,那么EF ,GH 有怎样c b a
图1 a
b 图2
的位置关系?你会得到什么结论?
归纳结论:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
活动目的: 让学生能够利用“同位角相等,两直线平行”的原理来作图,通过实践,一方面加深学生对于这个判断平行线的条件的认识,另一方面,提高学生的作图能力。
并通过解释自己所画平行线的理论依据,使学生初步感知几何推理。
在应用这种方法过已知直线外一点画这条直线的平行线的基础上,很容易归纳出结论:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
这较好了培养了学生利用所学数学知识解决问题的能力。
第四环节:课堂练习——学以致用
活动目的:通过形式不同的三个练习,从不同的角度帮助学生进一步加深对利用同位角相等判定两直线平行的认识,形成初步技能。
练习1利用网格图呈现基本图形,较简单有趣;练习2难度略有加深,直接呈现三线八角的基本图形,引导学生,帮助学生进一步认识同位角,并判定直线平行;练习3让学生辨识一条直线与两条平行线中的一条平行,它必然与另一条直线也平行。
第五环节:课堂小结
引导学生进一步认识到,引入角度判断两直线的必要性和简洁性,从而体会数学上的转化思想。
利用 “同位角相等,两直线平行”的原理来作图,并尝试简单的几何推理。
第六环节:布置作业 A B P . A B P . E
F
E F
G H
1.46页习题2.3知识技能。
2.练习册第一节
及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节,由于课本提供练习较少,因此作适当的补充。
由于对学生“说理”的训练应循序渐进,考虑到学生目前书写还有困难,所以练习较多采用填空、选择的形式,逐步过渡到由学生独立完成说理的全过程。
思考题:
有兴趣的同学可以探究如何证明平行于同一条直线的两题直线也平行?。