(完整版)中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案.doc

第三章 中值定理与导数的应用

(A)

1．在下列四个函数中 ,在 1,1 上满足罗尔定理条件的函数是 ()

A ． y

8 x 1 B ． y 4x 2 1 C ． y

1

D ． y sin x

1 x 2

2．函数 f x

满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( )

x A ． 2,2

B ．

2,0

C ． 1,2

D ． 0,1

3．方程 x 5 5x 1 0 在

1,1 内根的个数是 (

)

A ．没有实根

B ．有且仅有一个实根

C ．有两个相异的实根

D ．有五个实根

4．若对任意 x a, b ，有 f x g x ，则 ( )

A ．对任意 x a,b ，有 f x g x

B ．存在 x 0 a,b ，使 f x 0 g x 0

C ．对任意 x a,b ，有 f x g x C 0 ( C 0 是某个常数 )

D ．对任意 x a,b ，有 f x

g x

C (C 是任意常数 )

5．函数 f x

3x 5 5x 3 在 R 上有 (

)

A ．四个极值点；

B ．三个极值点

C ．二个极值点

D ． 一个极值点

6．函数 f x 2x 3 6x 2 18x 7 的极大值是 (

)

A ．17

B ．11

C ．10

D ． 9

7．设 f x 在闭区间

1,1 上连续，在开区间

1,1 上可导，且 f x

M ，

f 0 0 ，则必有 (

)

A ． f x

M

． f x

M

C ． f x M

D ． f x M

B

8．若函数 f x 在 a, b 上连续，在 a,b 可导，则 (

)

A ．存在 0,1 ，有 f b f a f b a b a

B ．存在

0,1 ，有 f a

f b

f a

b a b a

C ．存在 a, b ，有 f a f b f a b

D ．存在

a, b ，有 f

b

f a

f

a b

9．若 a 2 3b 0 ，则方程 f x x 3 ax 2 bx c

0 ( )

A ．无实根

B ．有唯一的实根

C ．有三个实根

D ．有重实根 ．求极限 x 2 sin 1

(

)

lim

x

时，下列各种解法正确的是

10 sin x

x 0

A ．用洛必塔法则后，求得极限为 0

B ．因为 lim 1

不存在，所以上述极限不存在

x 0 x

x xsin 1

C ．原式 lim 0

x 0

sin x x

D ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在

11．设函数 y

1 2x

2 ，在 (

)

x

A ． ,

单调增加

B ．

,

单调减少

C ． 1,1 单调增加，其余区间单调减少

D ．

1,1 单调减少，其余区间单调增加

e x (

)

12．曲线 y

1 x

A ．有一个拐点

B ．有二个拐点

C ．有三个拐点

D ． 无拐点 13．指出曲线 y

x

的渐近线 (

)

3 x 2 A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线

B ． x

3 为其垂直渐近线，但无水平渐近线

C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线

D ． 只有水平渐近线

2

x 2 1

14．函数 f x

x 3 1 3 在区间 0,2 上最小值为 ()

A ． 729

B ． 0

C ．1

D ．无最小值

4

x ln 1 x 15．求 lim

x 2

x 0

1 1

16．求 lim

x

x 0

ln 1 x

17．求 lim

1 2 sin x

x

cos3x

6

1

18．求 lim 1 x 2 x

x 0

1

ln x

19．求 lim

arctgx

x

2

20．求函数 y x 3 3x 2

9x 14 的单调区间。

21．求函数 y

2e x e x 的极值。

22．若 x 0 ，证明 e x 1 x /

23．设 x 0，证明 x

x 2 ln 1 x

x 。

2

24．求函数 y

ln

2

x 的单调区间与极值。

x

25．当 a 为何值时， y asin x

1

sin 3x 在 x

处有极值？求此极值，并说

3

3

明是极大值还是极小值。

26．求内接于椭圆 x

2

y 2 1，而面积最大的矩形的边长。

a 2

b 2

27．函数 y ax 3 bx 2

cx d a 0 的系数满足什么关系时，这个函数没

有极值。

28．试证 y

xsin x 的拐点在曲线 y 2

4x 2 2 上。

4 x

29．试证明曲线 y

x 1

有三个拐点位于同一直线上。

x 2

1

30．试决定 y

k x 2 3 2

中的 k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。

(B)

1．函数 f x

3

8x x 2 ，则 ( )