2018年高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题课后强

专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题

A 组

1．已知方程x 2

2－k ＋y 2

2k －1

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ( C )

A ．(1

2，2)

B ．(1，＋∞)

C ．(1,2)

D ．(1

2

，1)

[解析] 由题意可得，2k －1>2－k >0，

即⎩

⎪⎨

⎪⎧

2k －1>2－k ，2－k >0，解得1

2．抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为 ( B )

A ．y 2

＝6x 2

＝8x C ．y 2＝16x

＝152

x

[解析] 依题意，设M (x ，y )×3p ＝43，

x ．

和椭圆x 2m ＋y 2

n

＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两

条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝ ( D )

A ．m 2

－a 2

B ．m －a

C ．1

2

(m －a ) D ． (m －a )

[解析] 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 在双曲线的右支上，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，故|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．

4．(文)若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为

( D )

A ．

73

B ．54

C ．43

D ．53

[解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a ，b 的关系式，然后求

出双曲线的离心率即可．因为双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，

∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2

，∴e ＝c a ＝53

，故选D ．

(理)(2016·天津卷，6)已知双曲线x 24－y 2

b

2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长

为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为 ( D )

A ．x 24－3y 24＝1

B ．x 24－

C ．x 24－y 2

4

＝1 2

－12

＝[解析] 为矩形．双曲线的渐近线方程为

y ＝±b x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4y ＝b

2

x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝

4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2

＝12， D ．

C 于A ，B 两点，交C 的准线于

D ，

E 两点．已 ( B )

B ．4 D ．8

[解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y 2

＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p

2

4

＋5，

得p ＝4.故选B ．

(理)(2016·浙江卷，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n

2－y 2

＝1(n >0)的焦

点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则 ( A )

A ．m >n 且e 1e 2>1

B ．m >n 且e 1e 2<1

C ．m 1

D ．m

[解析] 由于m 2

－1＝c 2

，n 2

＋1＝c 2

，则m 2

－n 2

＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2

＝m 2－1m 2·n 2＋1

n 2＝

n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1

n 4

＋2n 2

>1，所以e 1e 2>1.故选A ． 6．(2016·全国卷Ⅱ，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2

b

2＝1的左、右焦点，点M 在E

上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝1

3

，则E 的离心率为 ( A )

A ． 2

B ．32

C ． 3

D ．2

[解析] 设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2

a 2，

所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2

a 2c ＝

b 22a

c ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e

2

－

12e ＝24，所以e 2

－22

e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A ． 7．(2017·甘肃一诊)如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、

右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B 、A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为 ( A )

A ．7

B ．4

C ．233

D ． 3

[解析] 本题主要考查双曲线的离心率．

依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，根据等边三角形，可知∠F 1BF 2＝120°，应用余弦定理，可得4a 2＋16a 2

＋2·2a ·4a ·

12＝4c 2

，整理得c a

＝7，故选A ．

8．(2017·河北邯郸一模)已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 2

2－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的

焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为点N ，若MF →·MN →

<0，则x 0的取值范围是 ( A )

A ．(－1,0)∪(0,1)

B ．(－1,0)

C ．

(0,1)

D ．(－1,1)