高中数学必修常考题型一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法
【知识梳理】
1．一元二次不等式 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表
题型一、一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)2x 2＋7x ＋3＞0；
(2)x 2－4x －5≤0；
(3)－4x 2＋18x －814
≥0； (4)－12
x 2＋3x －5＞0； (5)－2x 2＋3x －2＜0.
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－12
，或x ＜
－3}．
(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．
(3)原不等式可化为⎝⎛⎭⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＝94. (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .
【类题通法】
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．
【对点训练】
1．解下列不等式：
(1)x 2－5x －6>0；(2)－x 2＋7x >6.
(3)(2－x )(x ＋3)<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．
解：(1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，
x 2＝6.
结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}．
(2)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0.
解方程x 2－7x ＋6＝0得，x 1＝1，x 2＝6.
结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为
{x |1<x <6}．
(3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0.
方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.
结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}．
(4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.
∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.
解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23
. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为{x |x ≠23
}. 题型二、解含参数的一元二次不等式
【例2】 解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.
[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；
当a ＝－1时，原不等式解集为∅；
当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }．
【类题通法】
解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【对点训练】
2．解关于x 的不等式：ax 2－(a －1)x －1＜0(a ∈R )．
解：原不等式可化为：
(ax ＋1)(x －1)＜0，
当a ＝0时，x ＜1，
当a ＞0时⎝⎛⎭
⎫x ＋1a (x －1)＜0 ∴－1a
＜x ＜1.
当a ＝－1时，x ≠1，
当－1＜a ＜0时，⎝⎛⎭
⎫x ＋1a (x －1)＞0， ∴x ＞－1a
或x ＜1. 当a ＜－1时，－1a
＜1， ∴x ＞1或x ＜－1a
， 综上原不等式的解集是：
当a ＝0时，{x |x ＜1}；
当a ＞0时，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－1a ＜x ＜1； 当a ＝－1时，{x |x ≠1}；
当－1＜a ＜0时，
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1或x ＞－1a . 当a ＜－1时，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＜－1a 或x ＞1， 题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系
【例3】 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．
[解] ∵x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，
∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根．
由韦达定理有⎩
⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，
b ＝1×2， 得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－3，
b ＝2， 代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1＞0.
由2x 2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12
或x ＞1. ∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎝
⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞)． 【类题通法】
1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
【对点训练】
3．已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12
和2. (1)求a 、b 的值；
(2)解不等式ax 2＋bx －1＞0.
解：(1)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12
和2， 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ －12＋2＝－b a ，－12×2＝2a .
解得a ＝－2，b ＝3. (2)由(1)知，ax 2＋bx －1＞0可变为－2x 2＋3x －1＞0，
即2x 2－3x ＋1＜0，解得12
＜x ＜1. ∴不等式ax 2＋bx －1＞0的解集为{x |12
＜x ＜1}． 【练习反馈】
1．不等式x (2－x )＞0的解集为( )
A ．{x |x ＞0}
B ．{x |x ＜2}
C ．{x |x ＞2或x ＜0}
D ．{x |0＜x ＜2}
解析：选D 原不等式化为x (x －2)＜0，故0＜x ＜2.
2．已知集合M ＝{x |x 2－3x －28≤0}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}，
则M ∩N 为( )
A ．{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}
B ．{x |－4＜x ≤－2或3≤x ＜7}
C ．{x |x ≤－2或x ＞3}
D ．{x |x ＜－2或x ≥3}
解析：选A ∵M ＝{x |x 2－3x －28≤0}
＝{x |－4≤x ≤7}，
N ＝{x |x 2－x －6＞0}＝{x |x ＜－2或x ＞3}，
∴M ∩N ＝{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}．
3．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y ＜0时x 的取值范围是________．
解析：由y ＜0得x 2－4x ＋3＜0，
∴1＜x ＜3
答案：(1,3)
4．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－12＜x ＜2，则实数a ＝________，实数b ＝________. 解析：由题意可知－12
，2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根． 由根与系数的关系得⎩⎨⎧ －12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，
解得a ＝－2，b ＝3.
答案：－2 3
5．解下列不等式：
(1)x (7－x )≥12；
(2)x 2＞2(x －1)． 解：(1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2＞0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.。