数列求和-裂项

解题步骤：1、看通项 2、裂项 （加检验）
3、消
4、找余项
1 1 1 1 练习 1、Sn 2n -12n 1 1 3 3 5 5 7
项的特征: c
1 1 n= anan+1 = d ( an -
1
an+1) 数列{an}是等差数列
1
1 1 1 例2、sn 2 1 3 2 n 1 n
)
-
1 3n+2 )
1 1 1 1 练习 3、S n 1 3 2 4 3 5 n(n 2) 1 1 n 2 n 1 1 1 an n n 2 2 n n 2 2n n2
1 1 1 1 1 1 1 1 Sn … 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 n 2 n n 1 n 1 n n 2
1 1 1 1 3 1 1 [(1 ) ( )] 2 2 n 1 n 2 4 2n 2 2n 4 这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。
小结： 点评
（1）若数列的通项能转化为 an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项 相消法求和，关键是裂项成功，
数列求和的方法
求数列{an }的通项公式的方法：
1.若数列是等差数列或等比数列，直接用公式求：
an a1 (n 1)d
或
an a1q (q 0) nm an am (m n)d 与 an am q
与
n1
2.已知数列的前n项和 S n ，求
an Sn Sn1 (n 2)（验证n 1时得到a1是否满足）
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 2 1 3 2 4 3 5 4 6 n 2 n n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 … n 2 n n 1 n 1 n n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) 2 2 3 n 1 n 3 4 5 n 1 n 2
（ 2 ）使用裂项相消法求和时，要注 意正负项相消时消去了哪些项，保 留了哪些项.
（ 3 ）求 S n 方法的前提条件：找出通项，观察 加以分析，看看适合哪一类型的求法。
解 an 1 n n 1 n 1 n
sn 百度文库2 1 3 2 n 1 n n 1 1
3 4 n 1 练习2、sn lg 2 lg lg lg 2 3 n
1 1 1 练习2、Sn 1 1 2 1 2 3 1 2 3 n
an
3.已知数列的递推公式 ，求 an （1）累加法: an an 1 f (n)(n 2) （2）累乘法: （3）构造法:
an1 pan q( p, q 0)记得提取p
an1 an f (n)
把数列的通项拆成两项 之差求和， 正负相消，剩下首尾若 干项。
1 1 1 1 例1、sn ? 1 2 2 3 3 4 n (n 1)
1 2 1 1 an 2 n(1 n) n(1 n) n n 1 2
常见的裂项式子有：
1 1 1 1. n(n 1) n n 1
1 1 1 1 2. ( ) n( n k ) k n n k
1 1 1 1 3. ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4.用错位相减求和时，一定要注意计算要细心， 以防出错。
例2
1 1 1 1 1 ... + 求Sn= 2× + + + + (3n-4)(3n-1) (3n-1)(3n+2) 5 5×8 8×11 1 2×5 1 5×8
=
=
1 1 1 3 ( 2 - 5) 1 1 3 (5
-
1 8
)
1 1 1 1 = ( 8×11 3 8 11) ... ... 1 1 1 1 = ( (3n-4)(3n-1) 3 3n-4 3n-1 1 1 1 (3n-1)(3n+2) = 3 (3n-1
4.
an
1 n n 1
n 1 n
1 1 5. ( a b) a b a b
1.学习了求数列前n项和的四种常用方法：公式法， 分组求和法，错位相减法，裂项相消法； 2.数列求和时，先研究其通项公式，根据通项公 式的特点选择相对应的求和方法； 3.用裂项求和时，要注意两点：一是通项公式能 否恰好变为两项之差，有时还需要一个系数进 行调节；二是正负项抵消时，剩下的项不一定 是第一项和最后一项，还可能有其他情况；