最新离散数学第2章关系
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离散数学
例4 . 设Ｉ是整数集合。 R= { (a,b) : aIbI(kI)(a-b =km)} II 则R就是整数集合上的(模m)同余关系。
例5 . 设A是某一大型FORTRAN程序中诸程序块 的集合。
R= { (a,b) : aAbAa调用(call)b }AA
则R就是程序块集合上的调用关系。
•空关系和全关系都是平凡关系；
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离散数学
3°幺关系或单位关系(identical relation)： 关系R= {(a, a): aA} AA称为A上的幺关
系；
例7 . 设A={1,2,3,4}，则 R1 = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) }是幺关系； R2 = {(1,1) , (2,3) , (3,4) , (4,4) }不是； R3 = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) ,(1,2) }也不是；
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆Hale Waihona Puke Baidu 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
A2= A×A
A3 = A2 ×A
An = An-1 ×A
(7)我们规定空集与任何集合A的叉积是空集 。 即 A× = = ×A
由于若偶对的第一分量或第二分量不存在就
没有偶对存在，故规定它们的叉积集合为空集
是合理的。
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离散数学
定理1. 设A,B,C,D是四个非空的集合。那么 A×B = C×D A = C B = D 。
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离散数学
例3 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A
于是， R1是父母与儿女之间的关系，即父母子女关系； R2是兄弟姐妹之间的关系，即兄弟姊妹关系； R3是夫妻之间的关系，即夫妻关系。
长 的 时 间 隧 道，袅
离散数学第2章关系
离散数学
第二章 关系 (relation)
§1 . 集合的叉积 n元组 §2 .关系 §3 .关系的表示 关系的性质 §4 .关系的运算 §5. 等价关系 §6. 半序关系
2
离散数学
(6) 利用(5)所给的定义，我们可以递归的定义 集合的叉积幂如下：
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离散数学
定理2 . 设A,B,C是三个非空集合。则 (1)左分配律：A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) (2)左分配律：A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) (3)右分配律：(A∪B)×C = (A×C)∪(B×C) (4)右分配律：(A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)
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[证]. )：（采用逻辑法）对任何的元素a,b (a,b)A×B (a,b)C×D (条件： A = C B = D ）
所以 A×B = C×D 。
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离散数学
)：（采用逻辑法）对任何的元素a,b aAbB
(a,b)A×B (a,b)C×D (条件：A×B = C×D ） aCbD 所以 A = C B = D 。
或a Rb ； 当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二
元关系。
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离散数学
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A
于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。 例2 . 设N是自然数集合。
R= { (a,b) : aNbNa|b } N×N 则R就是自然数集合上的整除关系。
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a Rb
离散数学
§2 .关系 一. 关系的基本概念 定义1 . 二元关系(binary relation)
设A, B是两个非空的集合。 二重叉集A×B 的任何一个子集R都称为是从集
合A到集合B的一种二元关系。即 RA×B ； 当 (a,b)R 时，称a与b有关系R ，记为 aRb ； 当 (a,b)R 时，称a与b没有关系R ，记为 a R b
离散数学
[证]. 只证(1)（采用逻辑法） 对任何的元素a,b (a,b)A×(B∪C) aAb B∪C aA(bBbC) (aAbB)(aAbC) (分配律：p(qr)(pq)(pr)) (a,b)A×B(a,b)A×C (a,b)(A×B)∪(A×C) 所以 A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) 。
例6 . 设A = {风，马，牛}，
R = { (风,马)，(马,牛) }AA
则R是A上的一个二元关系。
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离散数学
关于关系概念，我们还有如下的几个定义和 说明：
1°全关系(full relation)： 关系R=AB称为全关系；
2°空关系(empty relation)： 关系R= 称为空关系；
离散数学
例4 . 设Ｉ是整数集合。 R= { (a,b) : aIbI(kI)(a-b =km)} II 则R就是整数集合上的(模m)同余关系。
例5 . 设A是某一大型FORTRAN程序中诸程序块 的集合。
R= { (a,b) : aAbAa调用(call)b }AA
则R就是程序块集合上的调用关系。
•空关系和全关系都是平凡关系；
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离散数学
3°幺关系或单位关系(identical relation)： 关系R= {(a, a): aA} AA称为A上的幺关
系；
例7 . 设A={1,2,3,4}，则 R1 = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) }是幺关系； R2 = {(1,1) , (2,3) , (3,4) , (4,4) }不是； R3 = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) ,(1,2) }也不是；
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆Hale Waihona Puke Baidu 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
A2= A×A
A3 = A2 ×A
An = An-1 ×A
(7)我们规定空集与任何集合A的叉积是空集 。 即 A× = = ×A
由于若偶对的第一分量或第二分量不存在就
没有偶对存在，故规定它们的叉积集合为空集
是合理的。
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定理1. 设A,B,C,D是四个非空的集合。那么 A×B = C×D A = C B = D 。
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离散数学
例3 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A
于是， R1是父母与儿女之间的关系，即父母子女关系； R2是兄弟姐妹之间的关系，即兄弟姊妹关系； R3是夫妻之间的关系，即夫妻关系。
长 的 时 间 隧 道，袅
离散数学第2章关系
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第二章 关系 (relation)
§1 . 集合的叉积 n元组 §2 .关系 §3 .关系的表示 关系的性质 §4 .关系的运算 §5. 等价关系 §6. 半序关系
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离散数学
(6) 利用(5)所给的定义，我们可以递归的定义 集合的叉积幂如下：
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定理2 . 设A,B,C是三个非空集合。则 (1)左分配律：A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) (2)左分配律：A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) (3)右分配律：(A∪B)×C = (A×C)∪(B×C) (4)右分配律：(A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)
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[证]. )：（采用逻辑法）对任何的元素a,b (a,b)A×B (a,b)C×D (条件： A = C B = D ）
所以 A×B = C×D 。
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)：（采用逻辑法）对任何的元素a,b aAbB
(a,b)A×B (a,b)C×D (条件：A×B = C×D ） aCbD 所以 A = C B = D 。
或a Rb ； 当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二
元关系。
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离散数学
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A
于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。 例2 . 设N是自然数集合。
R= { (a,b) : aNbNa|b } N×N 则R就是自然数集合上的整除关系。
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a Rb
离散数学
§2 .关系 一. 关系的基本概念 定义1 . 二元关系(binary relation)
设A, B是两个非空的集合。 二重叉集A×B 的任何一个子集R都称为是从集
合A到集合B的一种二元关系。即 RA×B ； 当 (a,b)R 时，称a与b有关系R ，记为 aRb ； 当 (a,b)R 时，称a与b没有关系R ，记为 a R b
离散数学
[证]. 只证(1)（采用逻辑法） 对任何的元素a,b (a,b)A×(B∪C) aAb B∪C aA(bBbC) (aAbB)(aAbC) (分配律：p(qr)(pq)(pr)) (a,b)A×B(a,b)A×C (a,b)(A×B)∪(A×C) 所以 A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) 。
例6 . 设A = {风，马，牛}，
R = { (风,马)，(马,牛) }AA
则R是A上的一个二元关系。
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离散数学
关于关系概念，我们还有如下的几个定义和 说明：
1°全关系(full relation)： 关系R=AB称为全关系；
2°空关系(empty relation)： 关系R= 称为空关系；