一元一次方程知识点及经典例题

一元一次方程单元复习与巩固

一、知识网络

二、目标认知

重点：

一元一次方程的解法，列方程解应用题

难点：

列方程解应用题

三、知识要点梳理

知识点一：一元一次方程及解的概念

1、一元一次方程：

一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。

要点诠释：

一元一次方程须满足下列三个条件：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的次数是1次；

（3）整式方程．

2、方程的解：

判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．

知识点二：一元一次方程的解法

1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果，那么；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果，那么；如果，那么

要点诠释：

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：（其中m≠0）

特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是

分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：

解一元一次方程的一般步骤

常用步骤具体做法依据注意事项

去分母在方程两边都乘以

各分母的最小公倍

数等式基本性质2 防止漏乘（尤其整数项），

注意添括号；

去括号一般先去小括号，再

去中括号，最后去大

括号去括号法则、分配

律

注意变号，防止漏乘；

移项把含有未知数的项

都移到方程的一边，

其他项都移到方程

的另一边(记住移项

要变号) 等式基本性质1 移项要变号，不移不变

号；

合并同类项把方程化成ax＝b(a

≠0)的形式

合并同类项法则计算要仔细，不要出差

错；

系数化成1 在方程两边都除以等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿

未知数的系数a，得

到方程

的解x＝

颠倒

要点诠释：

理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:

①a≠0时，方程有唯一解；

②a=0，b=0时，方程有无数个解；

③a=0，b≠0时，方程无解。

知识点三：列一元一次方程解应用题

1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．

（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．

（4）解方程．

（5）检验，看方程的解是否符合题意．

（6）写出答案．

2、解应用题的书写格式：

设→根据题意→解这个方程→答。

3、常见的一些等量关系

常见列方程解应用题的几种类型：

类型基本数量关系等量关系

(1)和、差、倍、分问题①较大量＝较小量＋多

余量

②总量＝倍数×倍量

抓住关键性词语

(2)等积变形问题变形前后体积相等

(3)行程问题相遇问题路程＝速度×时间甲走的路程＋乙走的路

程＝两地距离

追及问题同地不同时出发：前者

走的路程＝追者走的路程

同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程

顺逆流问题顺流速度＝静水速度＋

水流速度

逆流速度＝静水速度－

水流速度顺流的距离＝逆流的距离

(4)劳力调配问题从调配后的数量关系中

找相等关系，要抓住“相

等”“几倍”“几分之几”

“多”“少”等关键词语(5)工程问题工作总量＝工作效率×

工作时间

各部分工作量之和＝1

(6)利润率问题商品利润＝商品售价－

商品进价

商品利润率＝

×100％

售价＝进价×(1＋利润

率) 抓住价格升降对利润率的影响来考虑

(7)数字问题设一个两位数的十位上

的数字、个位上的数字

分别为a，b，则这个两

位数可表示为10a＋b 抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系

(8)储蓄问题利息＝本金×利率×期

数本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率)

(9)按比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c 全部数量＝各种成分的

数量之和(设一份为x)

(10)日历中的问题日历中每一行上相邻两

数，右边的数比左边的

数大1；日历中每一列上

相邻的两数，下边的数日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数

比上边的数大7

知识点四：方程与整式、等式的区别

（1）从概念来看：

整式：单项式和多项式统称整式。

等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如，m＝n＝n＋m

等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。

方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11，等都是方程。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。

（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。

（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。

四、规律方法指导

1、判断一个式子是否是一元一次方程：

（1）首先看是否是方程，

（2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看；

2、解一元一次方程常用的技巧有：

(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。

(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。

(3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。

(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。

四、经典例题透析

类型一：一元一次方程的相关概念

1、已知下列各式：

①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y ＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是( )