相关分析方法

相关分析方法

地理要素之间相互关系密切程度的测定，主要是通过对相关系数的计算与检验来完成的。

1. 两要素之间相关程度的测定

1) 相关系数的计算与检验

(1) 相关系数的计算

相关系数——表示两要素之间的相关程度的统计指标。

对于两个要素x与y，如果它们的样本值分别为xi与yi（i=1，2，...，n），它们之间的相关系数：

，

r xy>0，表示正相关，即同向相关；rxy<0，表示负相关，即异向相关。的绝对值越接近于1，两要素关系越密切；越接近于0，两要素关系越不密切。

■ 若记：

则：

■ 若问题涉及到x1,x2,…,xn等n个要素，多要素的相关系数矩阵：

[相关系数矩阵的性质]

[举例说明]

例1：中国1952～1999年期间的国内总产值（GDP）及其各次产业构成数据如表3.1.1（单击显示该表）所示。试计算GDP与各次产业之间的相关系数及相关系数矩阵。

解：

(1) 将表3.1.1中的数据代入相关系数计算公式计算，得到国内生产总值（GDP）与第一、二、三产业之间的相关系数分别为0.9954，0.9994，0.9989。

(2) 根据表3.1.1中的数据，进一步计算，得到国内生产总值及

一、二、三产业之间的相关系数矩阵：

(2) 相关系数的检验

一般情况下，相关系数的检验，是在给定的置信水平下，通过查相关系数检验的临界值表来完成。表3.1.2（点击显示该表）给出了相关系数真值（即两要素不相关）时样本相关系数的临界值

[临界值表说明]

2) 秩相关系数的计算与检验

(1) 秩相关系数的计算

秩相关系数——是描述两要素之间相关程度的一种统计指标，是将两要素的样本值按数据的大小顺序排列位次，以各要素样本值的位次代替实际数据而求得的一种统计量。实际上，它是位次分析方法的数量化。

设两个要素x和y有n对样本值，令R1代表要素x的序号（或

位次），R2代表要素y的序号（或位次），代表要素x和y的同一组样本位次差的平方，则要素x和y之间的秩相关系数被定义为

(2) 秩相关系数的检验

与相关系数一样，秩相关系数是否显著，也需要检验。表3.1.4（点击显示该表及表的说明）给出了秩相关系数检验的临界值。

[举例说明]

例2：全国1999年各省（市、区）的总人口（x）和社会总产值（y）及其位次列于表3.1.3（因为缺数据，香港、澳门、台湾三个地区未列入）（点击显示该表）。试计算总人口（x）与社会总产值（y）之间的秩相关系数并对其进行检验。

解：

(1) 计算秩相关系数。

n=31，n(n2-1)=29760，将表3.1.3中最后一列数据代入上面的秩相关系数公式计算得：

即：总人口（x）与国内生产总值（y）之间的等级相关系数为0.806。

(2) 秩相关系数的检验。

n=31，表中没有给出相应的样本数下的临界值，但同一显著水平下，随着样本数的增大，临界值r a减少。在n=30时，查表得：

r0.05=0.306，r0.01=0.432，由于r`xy=0.806>r0.01=0.432，故r`xy在α=0.01的置信水平上是显著的。

2. 多要素间相关程度的测定

1) 偏相关系数的计算与检验

(1) 偏相关系数的计算

偏相关系数矩阵：

①一级偏相关系数的计算：

②二级偏相关系数的计算：

(2) 偏相关系数的性质

(3) 偏相关系数的显著性检验

偏相关系数的显著性检验，一般采用t检验法。

计算公式为

[举例说明]

例3：对于某四个地理要素x1，x2，x3，x4的23个样本数据，经过计算得到了如下的单相关系数矩阵：

试计算各个一级和二级偏相关系数并对其进行显著性检验。

解：

(1) 求一级偏相关系数；

把数值代入一级偏相关系数公式计算得：

同理，依次可以计算出其它各一级偏相关系数，见表3.1.5。

(2) 求二级偏相关系数；

求出一级偏相关系数后，可代入公式计算二级偏相关系数：

同理，依次可计算出其它各二级偏相关系数，见表3.1.6。

(3) 显著性检验。

对于r24·13=0.821,

在自由度为23-3-1=19时，查表得t0.001=3.883，t>t a，这表明在置信度水平=0.001上，偏相关系数r24·13是显著的。

2) 复相关系数的计算与检验

复相关分析法能够反映各要素的综合影响。几个要素与某一个要素之间的复相关程度，用复相关系数来测定。

(1) 复相关系数的计算

复相关系数，可以利用单相关系数和偏相关系数求得。

设y为因变量，x1，x2，…，x k为自变量，则将y与x1，x2，…，x k之间的复相关系数记为R y·12…k。则其计算公式如下。

当有k个自变量时，

(2) 复相关系数的性质

(3) 复相关系数的显著性检验

一般采用F检验法。

计算公式：

n为样本数，k为自变量个数。查F检验的临界值表，可以得到不同显著性水平上的临界值Fα，若F>F0.01，则表示复相关在置信度水平a=0.01上显著，称为极显著；若，则表示复相关在

置信度水平a=0.05上显著；若，则表示复相关在置信度水平a=0.10上显著；若F

[举例说明]

例4：对于某四个地理要素x1，x2，x3，x4的23个样本数据，经过计算得到了如下的单相关系数矩阵：

若以x4为因变量，x1，x2，x3为自变量，试计算x4与x1，x2，x3之间的复相关系数并对其进行显著性检验。

解：

(1) 计算复相关系数

按照公式计算：