证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)

证明数列不等式的常用放缩方法技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：

a

a >+12；

n n n >+)1(

⑵将分子或分母放大（或缩小）

⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2

5lg 3lg (

5lg 3lg 2

=<=+<⋅； 2)

1()1(++<

+n n n n

⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,121

0+=+≥n C C n n n ,

2

222

210++=++≥n n C C C n

n n n )2)(1(2≥->n n n n

(5)利用常用结论： Ⅰ.

的放缩

Ⅱ. 2

1k 的放缩(1) ：

2111(1)(1)

k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k

的放缩(2)：2

2

111111()1(1)(1)211

k

k k k k k <

==+-+--+（程度小）

Ⅳ. 2

1k

的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m

a m

b a

b 和)0,0(>>>++

a m

b a

b

记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然. Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：()(0)1x

f x x x

=

≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。

一．

先求和再放缩

例1.)

1(1

+⋅=n n a n ,前n 项和为S n ，求证：1

例2.n

n a )3

1(= , 前n 项和为S n ，求证：2

1

二． 先放缩再求和 （一）放缩后裂项相消

例3．数列{}n a ，1

1

(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s

，求证：22n s <

解：

211111

1...234212n s n n =-+-++-

- 令

1

2(21)n b n n =

-，{}n b 的前n 项和为n T

当2n ≥时，

1111

()

2(22)41n b n n n n ≤

=---

2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤

+++-+-++--

71104n =-<

点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从

第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。

（二）放缩后转化为等比数列。

例4.

{}

n b 满足：

2111,(2)3

n n n b b b n b +≥=--+

（1） 用数学归纳法证明：

n b n

≥

（2） 1231111...3333n n T b b b b =

++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2) 13()2(3)

n n n n b b b n b ++=-++

又 n b n

≥

132(3)

n n b b +∴+≥+ ， *

n N ∈

迭乘得：

11

132(3)2n n n b b -++≥+≥

*

111

,32n n n N b +∴

≤∈+

234111111111

...2222222n n n T ++∴≤++++=-<

点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，递推关系

放缩，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么值得体味！ 三、裂项放缩

例5.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112

<∑=n

k k

.

解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以12212111

4212

+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--=-=

-

<12112121

444

1

1122

2

n n n n n ,所以3

532112112151312111

2

=

+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k

n

k 奇巧积累： (1)⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2)

)

1(1)1(1)1()1(212

11

+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11

≥--=-<<⋅-=⋅

=+r r r r r r n r n r n n

C T

r

r r n r (4)2

5

)1(12311

2111)11(<-+

+⨯+⨯++<+n n n

n

(5)

n

n n

n

2

1

121)12(21--=- (6)

n n n -+<+22

1

(7))1(21)1(2--<<-+n n n

n n (8) n

n n n n n n 2)32(1

2)12(12

13211

221

⋅+-⋅+=

⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-