习题八 根及其应用 - 烟台大学计算机与控制工程学院

习题八: 根树及其应用
1．从简单有向图的邻接矩阵怎样去决定它是否为根树。

如果是根树，怎样定出它的树根和树叶。

2．求出对应于图7-8.9所给出的树的二叉树。

3．证明在完全二叉树中，边的总数等于)1(2-t n ，式中t n 是树叶数。

4．在一棵t 叉树中，其外部通路长度与内部通路长度之间有什么关系。

5．给定权1，4，9，16，25，36，49，64，81，100
a ）构造一棵最优二叉树。

b ）构造一棵最优三叉树。

c ）说明如何构造一棵最优t 叉树。

6．构造一个与英文字母e y o g d b ,,,,,对应的前缀码，并画出该前缀码对应的二叉树，再用此六个字母构成一个英文短语，写出此短语的编码信息。

7．设A 是二进制序列的集合。

我们将A 划分为两个子集0A 和1A ，这里0A 是A 中第一个数字是0的序列的集合，1A 是A 中第一个数字是1的序列的集合，然后我们根据序列中的第二个数字将0A 划分成两个子集，对1A 也用同样方法加以划分。

运用不断的将序列的集合划分成子集的方法来证明：如果A 是前缀码，则存在一棵二叉树，其中从每个分枝点射出的两条边分别标号0和1，使得赋于树叶的0和1的序列是A 中的序列。

8．给出公式（))(())(R Q P Q P P ⌝∧∨⌝∧∧⌝∨的根树表示。

9．（1）求带权为1，1，2，3，3，4，5，6，7的最优三元树。

（2）求带权为1，1，2，3，3，4，5，6，7，8的最优三元树。

10．在通信中要传输八进制数字0，1，2，…，7。

这些数字出现的频率为0：30%；1：20%；
2：15%；3：10%；4：10%；5：6%；6：5%；7：4%。

编一个最佳前缀码，使通信中出现的二进制数字尽可能地少。

具体要求如下： （1） 画出相应的二元树。

（2） 写出每个数字对应的前缀码。

图7-8.9
（3） 传输按上述比例出现的数字10000个时，至少要用多少个二进制数字？
11．如何由有向图G 的邻接矩阵()G A 判定G 是否为根树，若为根树，如何定出它的树根和树叶。

12．非平凡的无向连通图G 是树当且仅当G 的每条边都是割边。

13．根数中最长路径的端点都是树叶吗？为什么？
14．证明：若T 是有n 个结点的完全二元树，则T 有()21+n 片树叶。

15．设T 为高为h 的r 元正则树，证明T 的树叶数t 满足： ()()h
r t h r r ≤≤--+11。

16．（1）求带权为2，3，5，7，8的最优二元树T 。

（2）求T 对应的二元前缀码。

17．将图7-9所示的有序树表示成二叉树并求出相应的前缀码。

18．根据图7-10
中所示的两棵二元树，产生两个前缀码。

19. 在下面给出的3个符号串集合中，哪些是前缀码？哪些不是前缀码？若是前缀码，构造二叉树，其树叶代表二进制编码。

若不是前缀码，则说明理由。

（1）B 1={0，10，110，1111}； （2）B 2={1，01，001，000}；
（3）B 3={1，11，101，001，0011}。

5
6 7 9 10
图7-9
图
7-10
20．连通图G 的树图是一个图，它的结点t T T T ,,,21 为G 的生成树，i T 与j T 相邻的充要条件是它们恰好有v-2条公共边（其中v 为G 的结点数）。

证明：连通图的树图是连通图。

21．在图7-11中，（1），（2）所示的连通图G 1，G 2中各有几棵非同构的生成树？
22．画出具有7个结点的所有非同构的树。

23．结点已标定的4K ，5K 和3,2K 各有多少棵生成树？
24．（1）证明完全二元树的树叶数比内部结点数大1。

（2）找出完全n 元树的树叶数的表达式，该表达式用树的内部结点数的项表示。

25．证明一棵完全二元树必有奇数个结点。

26．在图7-12（1）、（2）所示的两图中各求一棵最小生成树，将生成树用粗边给出并计算它们的权。

27．在图7-13所示的带权图G 中共有多少棵生成树，它们的权各为多少？其中哪些是图中
的最小生成树？
（1）
（2）
图7-11
7-12
b （1）
（2）
28．分别用先根、中根、和后根的次序通过如图7-14所示的二叉树。

29．设G 是一无向加权图且各边的权不相等，V ，E 分别是G 的结点集合和边的集合，
()21,V V 是V 的划分，即V V V =21 ，Φ=21V V ，且Φ≠1V ，Φ≠2V ，则V 1与V 2间的最短边一定在G 的最小生成树上。

30．给定权1，2，4，6，9，12，15，18，24，46，构造一棵最优二元树。

v 3
9
图7-13
图7-14
2。