习题八 根及其应用 - 烟台大学计算机与控制工程学院
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习题八: 根树及其应用
1.从简单有向图的邻接矩阵怎样去决定它是否为根树。如果是根树,怎样定出它的树根和树叶。
2.求出对应于图7-8.9所给出的树的二叉树。
3.证明在完全二叉树中,边的总数等于)1(2-t n ,式中t n 是树叶数。 4.在一棵t 叉树中,其外部通路长度与内部通路长度之间有什么关系。 5.给定权1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
a )构造一棵最优二叉树。
b )构造一棵最优三叉树。
c )说明如何构造一棵最优t 叉树。
6.构造一个与英文字母e y o g d b ,,,,,对应的前缀码,并画出该前缀码对应的二叉树,再用此六个字母构成一个英文短语,写出此短语的编码信息。
7.设A 是二进制序列的集合。我们将A 划分为两个子集0A 和1A ,这里0A 是A 中第一个数字是0的序列的集合,1A 是A 中第一个数字是1的序列的集合,然后我们根据序列中的第二个数字将0A 划分成两个子集,对1A 也用同样方法加以划分。运用不断的将序列的集合划分成子集的方法来证明:如果A 是前缀码,则存在一棵二叉树,其中从每个分枝点射出的两条边分别标号0和1,使得赋于树叶的0和1的序列是A 中的序列。 8.给出公式())(())(R Q P Q P P ⌝∧∨⌝∧∧⌝∨的根树表示。
9.(1)求带权为1,1,2,3,3,4,5,6,7的最优三元树。 (2)求带权为1,1,2,3,3,4,5,6,7,8的最优三元树。
10.在通信中要传输八进制数字0,1,2,…,7。这些数字出现的频率为0:30%;1:20%;
2:15%;3:10%;4:10%;5:6%;6:5%;7:4%。
编一个最佳前缀码,使通信中出现的二进制数字尽可能地少。具体要求如下: (1) 画出相应的二元树。
(2) 写出每个数字对应的前缀码。
图7-8.9
(3) 传输按上述比例出现的数字10000个时,至少要用多少个二进制数字?
11.如何由有向图G 的邻接矩阵()G A 判定G 是否为根树,若为根树,如何定出它的树根和树叶。
12.非平凡的无向连通图G 是树当且仅当G 的每条边都是割边。 13.根数中最长路径的端点都是树叶吗?为什么?
14.证明:若T 是有n 个结点的完全二元树,则T 有()21+n 片树叶。 15.设T 为高为h 的r 元正则树,证明T 的树叶数t 满足: ()()h
r t h r r ≤≤--+11。
16.(1)求带权为2,3,5,7,8的最优二元树T 。 (2)求T 对应的二元前缀码。
17.将图7-9所示的有序树表示成二叉树并求出相应的前缀码。
18.根据图7-10
中所示的两棵二元树,产生两个前缀码。
19. 在下面给出的3个符号串集合中,哪些是前缀码?哪些不是前缀码?若是前缀码,构造二叉树,其树叶代表二进制编码。若不是前缀码,则说明理由。 (1)B 1={0,10,110,1111}; (2)B 2={1,01,001,000};
(3)B 3={1,11,101,001,0011}。
5
6 7 9 10
图7-9
图
7-10
20.连通图G 的树图是一个图,它的结点t T T T ,,,21 为G 的生成树,i T 与j T 相邻的充要条件是它们恰好有v-2条公共边(其中v 为G 的结点数)。 证明:连通图的树图是连通图。 21.在图7-11中,(1),(2)所示的连通图G 1,G 2中各有几棵非同构的生成树?
22.画出具有7个结点的所有非同构的树。
23.结点已标定的4K ,5K 和3,2K 各有多少棵生成树?
24.(1)证明完全二元树的树叶数比内部结点数大1。
(2)找出完全n 元树的树叶数的表达式,该表达式用树的内部结点数的项表示。 25.证明一棵完全二元树必有奇数个结点。 26.在图7-12(1)、(2)所示的两图中各求一棵最小生成树,将生成树用粗边给出并计算它们的权。
27.在图7-13所示的带权图G 中共有多少棵生成树,它们的权各为多少?其中哪些是图中
的最小生成树?
(1)
(2)
图7-11
7-12
b (1)
(2)
28.分别用先根、中根、和后根的次序通过如图7-14所示的二叉树。
29.设G 是一无向加权图且各边的权不相等,V ,E 分别是G 的结点集合和边的集合,
()21,V V 是V 的划分,即V V V =21 ,Φ=21V V ,且Φ≠1V ,Φ≠2V ,则V 1与V 2间的最短边一定在G 的最小生成树上。
30.给定权1,2,4,6,9,12,15,18,24,46,构造一棵最优二元树。
v 3
9
图7-13
图7-14
2