2021年安徽省中考沪科版中考复习-圆练习

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2021年安徽省中考沪科版中考复习-圆练习

2021安徽中考沪科版中考复习-圆一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是( )A.35°B.42°C.43°D.44°2.已知☉O的半径是5 cm,则☉O中最长的弦长是( )A.5 cmB.10 cmC.15 cmD.20 cm3.如图,☉O的半径为2,A为☉O上一点,OD⊥弦BC于点D.如果∠BAC=60°,那么OD的长是( )A.2B.√3C.1D.√324.如图,四边形ABCD内接于☉O,∠D=100°,CE⊥AB交☉O于点E,连接OB,OE,则∠BOE的度数为( )A.18°B.20°C.25°D.40°5.如图,☉O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E,且CE=OB.已知∠DOB=72°,则∠E 等于( )A.36°B.30°C.26°D.24°6.如图,将边长为3的正方形铁丝框ABCD(面积记为S1)变形为以点A为圆心,AB为半径的扇形(面积记为S2),则S1与S2的关系为( )A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.无法确定7.已知☉O的半径为3,△ABC内接于☉O,且BC=3√3.则∠A的度数为( )A.60°B.120°C.60°或120°D.不能确定8.如图,在半径为5的☉O中,弦AB=6,C是优弧AB上一点(不与点A,B重合),则cos C的值为( )A.35 B.45C.√33D.√329.小颖同学在制作手工时,把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为( )A.8√3 cmB.6√3 cmC.4√3 cmD.2√3 cm10.如图,☉O的半径是5,A是圆周上一定点,点B在☉O上运动,且∠ABM=30°,AC⊥BM,垂足为C,连接OC,则OC的最小值是( )A.3−√32 B.√32C.√33D.5√3−52二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.如图是一个扇形纸扇,扇长AB为36 cm,它完全打开后BC的长为26π cm,则纸扇的最大张角(∠BAC)是°.12.如图,△ABC内接于☉O,BD是☉O的直径,∠CBD=21°,则∠A的度数为.13.如图,AB为☉O的直径,C,D是☉O上的两点,连接AC,CD,DB,BC,过点C作CE⊥AB于点E,CD∥AB,CD=BD.若☉O的直径为2,则CE的长为.14.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D是半径为4的☉A上一个动点,M是CD的中点,则BM的最大值是.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.如图,四边形ABCD的顶点都在☉O上,∠ABC=135°,AC=4,求☉O的半径长.16.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,CD=6,求BE的长.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,在△ACE中,AC=CE,☉O经过点A,C,且与边AE,CE分别交于点D,F,B是劣弧AC上的一点,且BC=DF,连接AB,BC,CD.求证:△CDE≌△ABC.18.如图,☉O是△ABC的外接圆,CA=CB,连接BO并延长交AC于点D.(1)求证:∠C=2∠CBD;,则☉O的半径为.(2)若AB=6,sin C=35五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,☉O是△ABC的外接圆,AO平分∠BAC.(1)求证:△ABC是等腰三角形;(2)当OA=4,AB=6,求边BC的长.20.如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.(1)求圆弧所在圆的半径r的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否要采取紧急措施?21.如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中E是AD的中点.(1)求证:∠CAD=∠CBA.(2)求OE的长.七、(本题满分12分)22.如图,已知AB,CD为☉O的直径,过点A作弦AE垂直直径CD于点F,B恰好为DE的中点,连接BC,BE.(1)求证:AE=BC;(2)若AE=2√3,求☉O的半径;(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.23.如图,AB是☉O的直径,过☉O上一点C作☉O的切线,交AB的延长线于点E.过点A作CE 的垂线,垂足为D,AD交☉O于点F,设∠ABC=α(0°<α<90°).(1)用含α的代数式表示∠DAC;,求AD的长;(2)若AB=10,sin α=45(3)若α=60°,AB=10,求图中阴影部分的面积.答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.如图是一个扇形纸扇,扇长AB为36 cm,它完全打开后BC的长为26π cm,则纸扇的最大张角(∠BAC)是130°.【解析】设∠BAC=α°.根据弧长公式得36π·α=26π,解得α=130.18012.如图,△ABC内接于☉O,BD是☉O的直径,∠CBD=21°,则∠A的度数为69°.【解析】∵△ABC内接于☉O,BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°.∵∠CBD=21°,∴∠A=∠D=90°-21°=69°.13.如图,AB为☉O的直径,C,D是☉O上的两点,连接AC,CD,DB,BC,过点C作CE⊥AB于点E,CD∥AB,CD=BD.若☉O的直径为2,则CE的长为√3.2【解析】连接OC.∵CD∥AB,∴∠DCB=∠CBA,∴BD=AC.∵CD=BD,∴CD=BD,∴AC=CD=DB,∴∠AOC=60°.∵OA=OC,∴∠CAB=60°.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴AC=1AB=1.在△ACE2.中,∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°,∴CE=AC·sin ∠CAB=√3214.如图,在Rt△ABC 中,∠ABC =90°,AB =8,BC =6,D 是半径为4的☉A 上一个动点,M 是CD 的中点,则BM 的最大值是 7 .【解析】如图,取AC 的中点N ,连接MN ,BN ,AD.∵∠ABC =90°,AB =8,BC =6,∴AC =10.∵N 为AC 中点,∴BN =12AC =5.∵M 是CD 的中点,∴MN =12AD =2,∴BM ≤BN +NM =7,即BM 的最大值是7.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.如图,四边形ABCD 的顶点都在☉O 上,∠ABC =135°,AC =4,求☉O 的半径长.解:∵四边形ABCD 的顶点都在☉O 上,∠ABC =135°, ∴∠D =180°-∠ABC =45°,∴∠AOC =2∠D =90°. ∵OA =OC ,AC =4,∴OA =OC =√22AC =2√2,即☉O 的半径长为2√2.16.如图,AB 是☉O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E.若AB =8,CD =6,求BE 的长.解:连接OC.∵弦CD ⊥AB 于点E ,CD =6,∴CE =ED =12CD =3,∠OEC =90°. 在Rt△OEC 中,OC =OB =12AB =4,∴OE =√42−32=√7,∴BE =OB -OE =4-√7. 四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,在△ACE 中,AC =CE ,☉O 经过点A ,C ,且与边AE ,CE 分别交于点D ,F ,B 是劣弧AC 上的一点,且BC=DF ,连接AB ,BC ,CD.求证:△CDE ≌△ABC.证明:∵BC=DF ,∴∠DCE =∠BAC. ∵四边形ABCD 内接于☉O ,∴∠ABC +∠ADC =180°. ∵∠CDE +∠ADC =180°,∴∠CDE =∠ABC. 又∵CE =AC ,∴△CDE ≌△ABC.18.如图,☉O 是△ABC 的外接圆,CA =CB ,连接BO 并延长交AC 于点D. (1)求证:∠C =2∠CBD ;(2)若AB =6,sin C =35,则☉O 的半径为 5 .解:(1)连接CO ,AO. ∵CA =CB ,OA =OB ,OC =OC ,∴△COA ≌△COB ,∴∠ACO =∠BCO. ∵OC =OB ,∴∠BCO =∠CBD ,∴∠C =2∠CBD.(2)提示:如图,作☉O 的直径AK ,连接BK ,∴∠ABK =90°,∠ACB =∠K.∵AB =6,sin C =35,∴sinK =35=6AK ,∴AK =10,∴☉O 的半径为5.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,☉O是△ABC的外接圆,AO平分∠BAC.(1)求证:△ABC是等腰三角形;(2)当OA=4,AB=6,求边BC的长.解:(1)连接OB,OC.∵OA=OB=OC,OA平分∠BAC, ∴∠OBA=∠OCA=∠OAB=∠OAC.在△OAB和△OAC中,{∠OBA=∠OCA,∠OAB=∠OAC, AO=AO,∴△OAB≌△OAC(AAS),∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.(2)延长AO交BC于点H.∵AH平分∠BAC,AB=AC,∴AH⊥BC,BH=CH.设BH=CH=a,OH=b.∵BH2+OH2=OB2,BH2+AH2=AB2,OA=4,AB=6,∴{a2+b2=16,a2+(b+4)2=36,解得{a=3√72,b=12,∴BC=2a=3√7.20.如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.(1)求圆弧所在圆的半径r的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否要采取紧急措施?解:(1)连接OA.由题意得AD=12AB=30,OD=r-18.在Rt△ADO中,由勾股定理得r2=302+(r-18)2,解得r=34,即圆弧所在圆的半径长为34米.(2)连接OA'.由(1)知OP=34,∴OE=OP-PE=30.在Rt△A'EO中,由勾股定理得A'E2=A'O2-OE2=342-302,解得A'E=16,∴A'B'=32.∵A'B'=32>30,∴不需要采取紧急措施.六、(本题满分12分)21.如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中E是AD的中点.(1)求证:∠CAD=∠CBA.(2)求OE的长.解:(1)∵E是AD的中点,OC是半径,∴AC=CD,∴∠CAD=∠CBA.(2)∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∵AE=DE,∴OC⊥AD,∴∠AEC=90°,∴∠AEC=∠ACB.由(1)知∠CAD=∠CBA,∴△AEC∽△BCA,∴CEAC =ACAB,即CE6=610,解得CE=3.6.∵OC=12AB=5,∴OE=OC-CE=5-3.6=1.4.七、(本题满分12分)22.如图,已知AB ,CD 为☉O 的直径,过点A 作弦AE 垂直直径CD 于点F ,B 恰好为DE的中点,连接BC ,BE.(1)求证:AE =BC ;(2)若AE =2√3,求☉O 的半径;(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.解:(1)连接BD.∵AB ,CD 为☉O 的直径,∴∠CBD =∠AEB =90°.∵B 恰好为DE的中点,∴BD =EB ,∴∠A =∠C , ∴∠ABE =∠CDB ,∴AE=BC ,∴AE =BC. (2)由题意知AC=EC . ∵AE=BC ,且B 为DE 的中点, ∴AC =BE =12AE ,∴∠A =12∠ABE ,∴∠A =30°, 在Rt△ABE 中,AB =AE cos30°=4,∴☉O 的半径为2.(3)连接OE.由(2)知∠A =30°,∴∠BOE =60°.∵OB =OE =2,∴△BOE 是等边三角形,∴S △BOE =12×2×2×√32=√3,∴S 阴影=S 扇形BOE -S △BOE =60π×22360-√3=2π3-√3.八、(本题满分14分)23.如图,AB 是☉O 的直径,过☉O 上一点C 作☉O 的切线,交AB 的延长线于点E.过点A 作CE 的垂线,垂足为D ,AD 交☉O 于点F ,设∠ABC =α(0°<α<90°).(1)用含α的代数式表示∠DAC ;(2)若AB =10,sin α=45,求AD 的长;(3)若α=60°,AB =10,求图中阴影部分的面积. 解:(1)连接OC.∵AB 为☉O 的直径,∴∠ACB =90°. ∵OB =OC ,∴∠OCB =∠ABC =α,∴∠ACO =90°-α. ∵DE 切☉O 于点C ,∴OC ⊥DE.∵AD ⊥CE ,∴AD ∥OC ,∴∠DAC =∠ACO =90°-α.(2)在Rt△ABC 中,∵sin α=AC AB =45,AB =10,∴AC =8. 易得∠ACD =α,∴sin ∠ACD =sin α=45,即AD AC =45,∴AD =325.(3)连接OF ,交AC 于点G.∵∠DAC =90°-α=90°-60°=30°,∴∠FOC =2∠DAC =60°.∵OB =OC ,∠ABC =60°,∴△OBC 是等边三角形, ∴∠BOC =60°,∴∠AOF =60°.∵OA =OF ,∴△OAF 是等边三角形,∴AF =OF =OC ,∠AFO =60°.在△AFG 和△COG 中,{∠AFG =∠COG,∠AGF =∠CGO,AF =OC,∴△AFG ≌△COG ,∴S △AFG =S △COG .∵AB =10,∴☉O 的半径r =5,∴S 阴影=S 扇形OFC =60π·52360=25π6.。

沪科版九年级下册数学第24章圆单元复习训练

第24章圆一、选择题1.平面内一个点到一个半径为3cm的圆的圆心的距离为4cm，那么此点在圆的（）.A. 圆上B. 圆外C. 圆内 D. 不确定2.若扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π3.如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC=55°，则∠A=（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 70°4.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=40°，则∠B的度数为（）A. 20°B. 40°C. 50°D. 60°5.已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（）A. B. C.D.6. 如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（）A. 150°B. 130°C. 155°D. 135°7.若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（）A. 1.5B. 2C. 3D. 68.如图，AB为⊙O的直径，∠DCB＝30°, ∠DAC＝70°,则∠D的度数为A. 70°B. 50°C. 40°D. 30°9. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（）A. 25°B. 35°C. 55°D. 70°10.如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A. 32B. 34C. 36D. 3811.绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A. 4mB. 5mC. 6mD. 8m12.如图，已知点O为圆心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（）A. 40°B. 80°C. 160°D. 120°二、填空题13.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是________14.一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为________ cm．15.如图的组合图案可以看作是由一个正方形和正方形内通过一个“基本图案”半圆进行图形的“运动”变换而组成的，这个半圆的变换方式是________ ．16. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是________ 。

2020-2021沪科版九年级数学24.2圆的基本性质-知识点+习题同步练习提升 (2)

圆的基本性质记忆导图 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆。

（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

（3）固定的端点O 叫做圆心。

（4）线段OA 的长为r 叫做半径。

2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。

（3）小于半圆的弧叫做劣弧。

（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）经过圆心的弦叫做直径。

4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。

考点2 点与圆的位置关系平面上一点P 与⊙O （半径为r ）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP=r；（2）点P在⊙O内⇔OP<r；（3）点P在⊙O外⇔OP>r。

考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

2、推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。

③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。

④平行弦夹的弧相等。

安徽专版九年级数学下册第24章圆24、1旋转24、2、1圆的认识习题新版沪科版

4．在平面直角坐标系中，⊙P，⊙Q 的位置如图所示．下列四个
点中，在⊙P 外部且在⊙Q 内部的是( C )
A．(1，2)
B．(2，1)
C．(2，－1)
D．(3，1)
5．[滁州单元测试]如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12， BC＝5，以点 A 为圆心作⊙A，要使 B，C 两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A 的半径 r 的取值范围为 __1_2_＜__r＜__1_3___．
证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B， OA＝OB，
在△OAC 和△OBD 中，∠A＝∠B， AC＝BD，
∴△OAC≌△OBD.
11．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，且 AB⊥CD，点 P，Q 为C︵B 上的任意两点，作 PE⊥CD，PF⊥AB，QM⊥CD，QN⊥AB，则线段 EF，MN 的大小关系为 EF________MN.(填“＜”“＞” 或“＝”)
第24章圆
24.2 圆的基本性质第1课时圆的认识
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核心必知 1 一周；距离；组成的图形 2 ＞;＝;＜ 3 见习题
1 D 2 D 3 1；(0，－1) 4 C 5 12＜r＜13
62
7D
8A
9C
10 见习题
11 ＝
12 见习பைடு நூலகம் 13 见习题 14 见习题
1．在平面内，线段 OP 绕着它固定的一个端点 O 旋转___一__周___，则另一个端点 P 所形成的封闭曲线叫做圆；或平面内到定点的__距__离__等于定长的所有点_组__成__的__图__形___叫做圆．
解：如图，过点 A 作 AC⊥ON，垂足为 C.以点 A 为圆心，50 m 长为半径作圆，交 ON 于点 B，D.连接 AB，AD. 由题可知，∠MON＝30°，OA＝80 m， ∴AC＝40 m. 当第一台拖拉机到点 B 时对小学产生噪音影响，此时 AB＝50 m，由勾股定理得 BC＝30 m.

2021-2022学年最新沪科版九年级数学下册第24章圆同步练习试题(含答案及详细解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对3、下列图形中，既是中心对称图形又是抽对称图形的是（）A．B．C．D．4、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）A．70°B．50°C．20°D．40°5、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）A．直径所对圆周角为90 B．如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径C．直径是最长的弦D．垂直于弦的直径平分这条弦6、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（）cm．A．3πB．6πC．12πD．18π8、如图，四边形ABCD 内接于O ，若四边形ABCO 是菱形，则D ∠的度数为（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°9、若120︒的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．410、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，A 与x 轴交于()2,0B 、()4,0C 两点，3OA =，点P 是y 轴上的一个动点，PD 切O 于点D ，则△ABD 的面积的最大值是________；线段PD 的最小值是________．2、如图，在平面直角坐标系中，点N 是直线5y x =-+上动点，M 是C 上动点，若点C 的坐标为()2,0-，且C 与y 轴相切，则MN 长度的最小值为____________．3、如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）4、如图，一次函数1y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，作ABO 的外接圆C ，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）5、斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径．．．．为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差．．．．为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB ＝AC ，∴点C 在⊙A 上∵BC ＝BD ，∴∠_________＝∠_________∴∠BAC ＝12∠CAD∵点D ，P 在⊙A 上，∴∠CPD ＝12∠CAD （______________________）（填推理的依据）∴∠APC ＝∠BAC2、如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点，且与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点(0,2)B ，点C 在第二象限M 上，且60AOC ∠=︒，则OC =__．3、如图，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，过点B 作BC ⊥OA ，垂足为点E ，交⊙O 于点C ，连接CO 并延长CO 与AB 的延长线交于点D ，连接AC ．（1）求证：AC 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 半径为2，OD ＝4．求线段AD 的长．4、如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，AD 交O 于点E ，4=AD ，5AB =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求AC 、DE 的长．5、如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC ，请画出将△ABC 绕点C 旋转180°得到的△A 'B 'C '．（需写出△A 'B 'C '各顶点的坐标）．-参考答案-一、单选题1、C【详解】解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；选项C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180 后能与自身重合.2、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．3、B【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．5、A【分析】定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.【详解】A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为90 ，A选项符合要求；B、C选项，根据圆的定义可以得到；D选项，是垂径定理；故选：A【点睛】本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.【分析】根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．7、B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】×2π×2×3＝6π（cm2）．解：它的侧面展开图的面积＝12故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；∵四边形ABCO是菱形，∴∠ABC=∠AOCβ=；∴∠ADC=12β；四边形ABCD为圆的内接四边形，∴α+β=180°，∴18012，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，故选：B．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.9、C【分析】先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可【详解】设半径为r ，则周长为2πr ， 120°所对应的弧长为120222π3603r r ππ︒⨯==︒ 解得r =3故选C【点睛】本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．10、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．二、填空题1、12【分析】根据题中点的坐标可得2BC =圆的直径，半径为1，分析ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP ，设点()0,P y ，根据切线的性质及勾股定理可得PD【详解】解：如图所示：当点P 到如图位置时，ABD 的面积最大，∵()2,0B 、()4,0C ，∴2BC =圆的直径，半径为1，∴ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，如图所示：此时ABD 面积的最大值为：111122⨯⨯=；如图所示：连接AP ，∵PD 切A 于点D ，∴AD PD ⊥，∴90ADP ∠=︒，设点()0,P y ，在Rt AOP 中，3OA =，OP y =，∴22229AP OA OP y =+=+，在Rt APD 中，1AD =，∴22222918PD AP AD y y =-=+-=+，则PD当0y =时，PD 取得最小值，=故答案为：①12；②【点睛】题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键．2-2 【分析】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小，利用勾股定理求出CN 的长，故可求解．【详解】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小∵直线AB 的解析式为5y x =-+当x =0时，y =5，当y =0时，x =5∴B （0，5），A （5，0）∴AO =BO ，△AOB 是等腰直角三角形∴∠BAO =90°当CN ⊥AB 时，则△ACN 是等腰直角三角形∴CN =AN∵C ()2,0-∴AC =7∵AC 2=CN 2+AN 2=2CN 2∴CN 当 C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小即MN =CN -CM -2-2．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置，利用等腰直角三角形的性质求解．332π 【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒=平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯= 图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯-=32π，32π．【点睛】本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．4、3π【分析】先求出A 、B 、C 坐标，再证明三角形BOC 是等边三角形，最后根据扇形面积公式计算即可．【详解】过C 作CD ⊥OA 于D∵一次函数1y =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当0x =时，1y =，B 点坐标为（0,1）当0y =时，y =A 点坐标为∴2,1AB OB OA ===，∵作ABO 的外接圆C ，∴线段AB 中点C 的坐标为1)2,112OC BC AB OB ==== ∴三角形BOC 是等边三角形∴120ACO ∠=︒∵C 的坐标为1)2∴12CD =∴2120111360223AOC ACO S S S ππ︒=-=⨯⨯-=︒扇形故答案为：3π【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，求扇形面积．用已知点的坐标表示相应的线段是解题的关键．5【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE是直径，∠ECD=45°，CE=-⨯=，根据题意得：AB=2.5， 2.50.2522∴2222=+=，CE CD DE CD2∴CD=，尺．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∴∠CPD＝1∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）2∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．2、【分析】连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．利用勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∵A（-4，0），B（0，2），∴AB∴∵∠AMC=2∠AOC=120°，∴=AC=在Rt △COH 中，1cos 60,2OH OC a CH ︒=⋅===， 142AH a ∴=-，在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2，∴22115(4))2a =-+，∴a 或OC ＞OB ，所以，∴OC故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OB ，证明△AOB ≌△AOC （SSS ），可得∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即可证明AC 为⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，勾股定理求得BD ，根据sin D ＝OB OD ＝AC AD，代入数值即可求得答案【详解】解：（1）连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，∵BC 是弦，OA ⊥BC ，∴CE ＝BE ，∴AC ＝AB ，在△AOB 和△AOC 中，AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AOB ≌△AOC （SSS ），∴∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即AC ⊥OC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，由勾股定理得，BD∵sin D ＝OB OD ＝AC AD ，⊙O 半径为2，OD ＝4． ∴24解得AC ＝∴AD ＝BD +AB ＝【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．4、（1）90°；（2）AC =DE =1【分析】（1）如图123∠=∠=∠，349032ACD ACD ∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠，可知90ADC ∠=︒．（2）ACB ADC ∽△△，AB AC AC AD=可求出AC 的长；5CED DCA ∠=∠=∠，ADC CDE △∽△，AD CD CD DE=可求出DE 的长．【详解】解（1）证明如图所示，连接BC ，OC ，CEAB 是直径，CD 是O 的切线，AC 平分BAD ∠∴132∠=∠=∠，45∠=∠∴332490DCA ACD ∠+∠=∠+∠=︒=∠+∠∴90ADC ∠=︒．（2）解∵12∠=∠，90ADC ACB ∠=∠=︒∴ACB ADC ∽△△ ∴AB AC AC AD=，25420AC =⨯= ∴AC =在Rt ADC 中2CD ==∵5CED DCA ∠=∠=∠，90ADC CDE ∠=∠=︒∴ADC CDE △∽△ ∴AD CD CD DE=，2CD DE AD =⋅ 44DE =∴1DE =．【点睛】本题考查了角平分线、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定等知识点．解题的关键在于判定三角形相似．5、A '（-1，-3），B '（1，-1），C '（-2,0），画图见解析．【分析】先画出点A ，B 关于点C 中心对称的点A '，B '，再连接A '，B '，C 即可解题．【详解】解： A 关于点C 中心对称的点A '（-1，-3），B 关于点C 中心对称的点B '（1，-1），C 关于点C 中心对称的点C '（-2,0），如图，△A 'B 'C '即为所求作图形．【点睛】本题考查中心对称图形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．。

九年级数学下册复习自测9圆(B)习题沪科版(2021年整理)

（安徽专版）2018年秋九年级数学下册复习自测9 圆(B)习题（新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（安徽专版）2018年秋九年级数学下册复习自测9 圆(B)习题（新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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复习自测9 圆(B)（总分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1。

如图，在半径为5 cm的⊙O中,弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝(B)A。

3 cm B。

4 cmC。

5 cm D.6 cm2。

如图,AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点,下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是（D)A.∠ADC B。

∠ABD C。

∠BAC D。

∠BAD3。

如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为(D）A。

50° B.80° C。

100° D.130°4。

如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2)，点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC 为(C）A.13B。

2 2 C.24D.错误!5。

已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计）,圆锥的底面圆的直径是80 cm，则这块扇形铁皮的半径是（B）A.24 cmB.48 cm C。

96 cm D。

192 cm6.如图，PA和PB是⊙O的切线，点A，B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB 的大小是（C）A。

九年级数学下册单元自测4圆习题沪科版(2021年整理)

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单元自测圆(时间：45分钟满分：100分）一、选择题(每小题4分,共40分）1．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（C）2．用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是(C）A．假设CD∥EFB．假设AB∥EFC．假设CD和EF不平行D．假设AB和EF不平行3．下列命题：①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆；③三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等；④菱形的四个顶点在同一个圆上，其中正确的有（A）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，⊙O的直径AB＝8，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是（D) A．2 B．2错误!C．2错误!D．4第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于(C) A。

错误!B.错误!C．2 2 D．2错误!6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°,∠A ＝60°，AC ＝6,将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A ′B ′C ，此时点A′恰好在AB 边上,则点B′与点B 之间的距离为(D ）A ．12B ．6C ．6 2D ．6错误!第6题图第7题图7．如图，半径为1的⊙O 与正五边形ABCDE 相切于点A ，C ，则劣弧AC ︵的长度为（B ）A .35π B .错误!π C .错误!π D .错误!π8．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线,A ，B 是切点,点C 是劣弧错误!上的一个点．若∠P＝40°，则∠ACB 的度数是(B ）A ．80°B ．110°C ．120°D ．140°第8题图第9题图9．如图,A ，B 是⊙O 上两点，若四边形ACBO 是菱形,⊙O 的半径为错误!，则点A 与点B 之间的距离为（C ）A 。

2021-2022学年沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练练习题(无超纲)

沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、从图形运动的角度研究抛物线, 有利于我们认识新的拋物线的特征. 如果将拋物线22y x =+绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（）A ．它们的开口方向相同B ．它们的对称轴相同C ．它们的变化情況相同D ．它们的顶点坐标相同2、将等边三角形绕其中心旋转n 时与原图案完全重合，那么n 的最小值是（）A ．60B ．90C ．120D ．180 3、小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4、在半径为6cm的圆中，120︒的圆心角所对弧的弧长是（）A．12πcm B．3πcm C．4πcm D．6πcm5、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m∠=（）6、如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，若130BOC∠=︒，则ADCA．15°B．20°C．25°D．30°7、下列说法正确．．的个数有（）①方程210-+=的两个实数根的和等于1；x x②半圆是弧；③正八边形是中心对称图形；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；1,2，则这个函数图象位于第二、四象限．⑤如果反比例函数的图象经过点()A．2个B．3个C．4个D．5个8、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（）A B C．D9、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10、若120︒的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在⊙O 中，∠BOC =80°，则∠A =___________°．2、如图，将半径为10cm 的圆形纸片沿一条弦AB 折叠，折叠后弧AB 的中点C 与圆心O 重叠，则弦AB 的长度为________cm ．3、如图，一次函数(00)，=+<>y ax b a b 的图像与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图像过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数(0)y kx k k =-+>的关联二次函数是22y mx mx c =++（0m ≠），那么这个一次函数的解析式为______．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 为x 轴正半轴上一点．已知点)(0,2A ，)(0,8B ，M 为△的外接圆．ABP（1）点M的纵坐标为______；（2）当APB最大时，点P的坐标为______．5、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝AC的长为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将ADE绕点D针旋转90°，E 点落在点F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．求证：（1）当13AE =时，求tan EDB ∠的值；（2）当点E 在线段AB 上，如果AE x =，FM y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM ，直线AM 与直线BC 交于点G ，当13BG =时，求AE 的值． 2、如图，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点M ，交⊙O 于点C ．若⊙O 的半径为10，OM ：MC ＝3：2，求AB 的长．3、已知：如图，A 为O 上的一点．求作：过点A 且与O 相切的一条直线．作法：①连接OA ；②以点A 为圆心，OA 长为半径画弧，与O 的一个交点为B ，作射线OB ；③以点B 为圆心，OA 长为半径画弧，交射线OB 于点P （不与点O 重合）；④作直线PA ．直线PA 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接BA ．由作法可知BO BA BP ==．∴点A 在以OP 为直径的圆上．∴90OAP ∠=︒（）（填推理的依据）．∵OA 是O 的半径，∴直线PA 与O 相切（）（填推理的依据）．4、在等边ABC 中，D 是边AC 上一动点，连接BD ，将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，连接CE ．（1）如图1，当B 、A 、E 三点共线时，连接AE ，若2AB =，求CE 的长；（2）如图2，取CE 的中点F ，连接DF ，猜想AD 与DF 存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE 、AF 交于G 点．若GF DF =，请直接写出CD AB BE+的值． 5、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，O ，Q 给出如下定义：若OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，我们称点P 是线段OQ 的“潜力点”已知点O （0，0），Q （1，0）（1）在P 1（0，-1），P 2（12，32），P 3（-1，1）中是线段OQ 的“潜力点”是_____________；（2）若点P 在直线y ＝x 上，且为线段OQ 的“潜力点”，求点P 横坐标的取值范围；（3）直线y ＝2x ＋b 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，当线段MN 上存在线段OQ 的“潜力点”时，直接写出b 的取值范围-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据旋转的性质及抛物线的性质即可确定答案．【详解】抛物线22y x =+的开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，2)，将此抛物线绕原点旋转180°后所得新抛物线的开口向下，对称轴仍为y 轴，顶点坐标为(0，－2)，所以在四个选项中，只有B 选项符合题意．故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质等知识，掌握这两方面的知识是关键．2、C根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．【详解】解：等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是3603=120°．故选C．【点睛】本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．3、B【分析】由题意依据每次旋转相同角度α，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析即可得出答案.【详解】解：因为每次旋转相同角度α，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，所以每次旋转相同角度α360660︒=÷=.故选：B.【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．4、C【分析】直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．解：由题意得：120︒的圆心角所对弧的弧长是12064 180180n rπππ⨯==；故选C．【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．5、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．6、C【分析】根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．【详解】解：∵∠BOC=130°，∴∠BDC=12∠BOC=65°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°-65°=25°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7、B【分析】根据所学知识对五个命题进行判断即可．【详解】1、Δ=12−4×1=−3<0，故方程无实数根，故本命题错误；2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则0k ,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误综上所述，正确个数为3故选B【点睛】本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．8、A【分析】如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM 再设,PQ x 利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM四边形HGFE 为正方形，则,HG EF ∥,,QM HG QM EF设,PQ x 而AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，结合正方形的性质可得：5,NQ x而222,HM MQ HQ 115,5,5510,222HM HG EF MN EF MQ x x 222510,4HQ x 又222,AQ PQ AP 而51523,22AP 22215,2AQ x222522510,44x x 解得：5,2x 25225250510.4442AQ 故选A【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A ，G ， H 三点的圆的圆心是解本题的关键.9、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．10、C【分析】先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可【详解】设半径为r，则周长为2πr，120°所对应的弧长为120222π3603rrππ︒⨯==︒解得r=3故选C【点睛】本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．二、填空题1、40°度直接根据圆周角定理即可得出结论．【详解】解：BOC ∠与BAC ∠是同弧所对的圆心角与圆周角，80BOC ∠=︒，1402A BOC ∴∠=∠=︒．故答案为：40︒．【点睛】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2、【分析】连接OC 交AB 于点D ，再连接OA ．根据轴对称的性质确定OC AB ⊥，OD =CD ；再根据垂径定理确定AD =BD ；再根据勾股定理求出AD 的长度，进而即可求出AB 的长度．【详解】解：如下图所示，连接OC 交AB 于点D ，再连接OA ．∵折叠后弧AB 的中点C 与圆心O 重叠，∴OC AB ⊥，OD =CD ．∴AD =BD ．∵圆形纸片的半径为10cm ，∴OA =OC =10cm ．∴OD =5cm ．∴AD =．∴BD=．∴AB AD BD =+=．故答案为：【点睛】本题考查轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．3、3+3y x =-【分析】由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k ），（1，0），（-k ，0），将其代入抛物线22y mx mx c =++（0m ≠）即可得m 、k 的二元一次方程组30210m k km m +=⎧⎨-+=⎩，即可解出13m k =-⎧⎨=⎩，故这个一次函数的解析式为3+3y x =-．【详解】一次函数(0)y kx k k =-+>与y 轴的交点为（0，k ），与x 轴的交点为（1，0）绕O 点逆时针旋转90°后，与x 轴的交点为（-k ，0）即（0，k ），（1，0），（-k ，0）过抛物线22y mx mx c =++（0m ≠）即22020k c m m c k m km c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩得30210m k km m +=⎧⎨-+=⎩ 将3k m -=代入210km m -+=有 (2)103k k --⋅+= 整理得2230k k --=解得k =3或k =-1（舍）将k =3代入3k m -=得1m =- 故方程组的解为13m k =-⎧⎨=⎩则一次函数的解析式为3+3y x =-故答案为：3+3y x =-．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元一次方程组，结合旋转的性质以及图象得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键．4、5 (4，0)【分析】（1）根据点M 在线段AB 的垂直平分线上求解即可；（2）点P 在⊙M 切点处时，APB ∠最大，而四边形OPMD 是矩形，由勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵⊙M 为△ABP 的外接圆，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，∵A (0，2)，B (0，8)，∴点M 的纵坐标为：8252+=，故答案为：5；（2）过点)(0,2A ，)(0,8B ，作⊙M 与x 轴相切，则点M 在切点处时，APB ∠最大，理由：若点P '是x 轴正半轴上异于切点P 的任意一点，设AP '交⊙M 于点E ，连接AE ，则∠AEB =∠APB ，∵∠AEB 是ΔA P 'E 的外角，∴∠AEB>∠A P 'B ，∵∠APB >∠A P 'B ，即点P 在切点处时，∠APB 最大，∵⊙M 经过点A (0，2)、B (0，8)，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y =5上，∵⊙M 与x 轴相切于点P ，ＭP ⊥x 轴，从而MP =5，即⊙M 的半径为5，设AB 的中点为D ，连接MD 、AM ，如上图，则MD ⊥AB ，AD =BD =12AB =3，BM =MP =5，而∠POD =90°，∴四边形OPMD 是矩形，从而OP =MD ，由勾股定理，得MD 4=，∴OP =MD =4，∴点P 的坐标为(4，0)，故答案为：(4，0)．【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．5、4π3【分析】连接OB ，交AC 于点D ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC 为菱形，根据菱形的性质可得：OB AC ⊥，OA AB =，AD DC =，根据等边三角形的判定得出OAB 为等边三角形，由此得出120AOC ∠=︒，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．【详解】解：如图所示，连接OB ，交AC 于点D ，∵四边形OABC 为平行四边形，OA OC =，∴四边形OABC 为菱形，∴OB AC ⊥，OA AB =，12AD DC AC === ∵OA OB AB ==，∴OAB 为等边三角形，∴60AOB ∠=︒，∴120AOC ∠=︒，在Rt OAD 中，设AO r =，则12OD r =， ∴222AD OD AO +=，即22212r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：2r =或2r =-（舍去），∴AC 的长为：120241803ππ⨯⨯=，故答案为：43π．【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．三、解答题1、（1）12；（2）(112y x =+（3）AE．【分析】（1）过点E 作EH ⊥BD 与H ，根据正方形的边长为1，13AE =，求出EB =1-12133AE =-=，根据正方形性质可求∠ABD =45°，根据EH ⊥BD ，得出∠BEH =180°-∠EBH -∠EHB =180°-45°-90°=45°，求出EH =BH =BEsin45=2323=，以及 DH =DB -BH33= （2）解：根据AE =x ，求出BE =1-x ，根据旋转将△ADE 绕点D 针旋转90°，得到△DCF ，CF =AE =x ，根据勾股定理ED =FDEF=DEF 为等腰直角三角形，先证△BEM∽△FDM BM y =，再证△EMD ∽△BMF，得出=11x x -=+ （3）当点G 在BC 上，13BG =，先证△BGM ∽△DAM ，得出11313BG BM DA DM ===，由（2）知△BEM ∽△FDM ，得出BM BEMF DF =4y =(112y x =+y ，当点G 在CB 延长线上，13BG =，过M 作ML ⊥BC ，交直线BC 于L ，证明△BGM ∽△DAM ，得出12BM BD =，根据∠LBM =∠CBD =45°，ML ⊥BC ，证出△MLB 为等腰直角三角形，再证△MLB ∽△DCB ，12BM ML BD DC ==，CD =1，ML =12，ML∥BE ，结合△LMF ∽△BEF ，得出LM LF BE BF =即132211x x x+=-+解方程即可．（1）解：过点E 作EH ⊥BD 与H ，∵正方形的边长为1，13AE =， ∴EB =1-12133AE =-=，∵BD 为正方形对角线，∴BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =45°，∵EH ⊥BD ，∴∠BEH =180°-∠EBH -∠EHB =180°-45°-90°=45°，∴EH =BH ，∴EH =BH =BEsin45=2323⨯=，AB =BD cos45°，∴1BD == ∴DH =DB -BH=1tan 2EH EDB HD ∠===；（2）解：如上图，∵AE =x ，∴BE =1-x ，∵将△ADE 绕点D 针旋转90°，得到△DCF ，∴CF =AE =x ，ED =FD=∴BF =BC +CF =1+x ，在Rt△EBF 中EF ∵∠EDF =90°，ED =FD ，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴∠DFE =∠DEF =45°，∴∠EBM =∠MFD =45°，∵∠EMB =∠DMF ， ∴△BEM ∽△FDM ，∴BE BMDF FM =BM y =， ∵∠DEM =∠FBM =45°，∠EMD =∠BMF ， ∴△EMD ∽△BMF ，∴ED EM BF BM ==BM y =，∴11x x -+，∴111x x x -+++即21x =+∴(112y x =+ （3）解：当点G 在BC 上，13BG =， ∵四边形ABCD 为正方形，∴AD∥BG ，∴∠DAM =∠BGM ，∠ADM =∠GBM ，∴△BGM ∽△DAM ， ∴11313BG BM DA DM ===，∵由（2）知△BEM ∽△FDM ， ∴BM BE MF DF=， ∵DB=∴13BM DM BM DM =+=，∴BM =∴4y = ∵(112y x =+∴(4112x =+2112x -=，解1x =2x =当点G在CB延长线上，13BG=，过M作ML⊥BC，交直线BC于L，∵GB∥AD，∴∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴11313 BG BMDA DM===，∴13BM DM=，∴12BM BD=，∵∠LBM=∠CBD=45°，ML⊥BC，∴△MLB为等腰直角三角形，∵ML∥CD，∴∠LMB=∠CDB，∠L=∠DCB，∴△MLB∽△DCB，∴12BM MLBD DC==，CD=1，∴ML =12∵ML∥BE ，∴∠L =∠FBE ，∠LMF =∠BEF ，∴△LMF ∽△BEF ， ∴LM LF BE BF =， ∵BE =AE -AB =x -1，LF =LB +BC +CF =13122x x ++=+，BF =BC +CF =1+x ， ∴132211x x x+=-+，整理得：224x =，解得3x4x =∴AE的值为2【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转先证，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数定义，三角形相似判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，函数关系式，本题难度大，利用辅助线狗仔三角形相似是解题关键．2、16AB=【分析】连接OA，根据⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2可求出OM的长，由勾股定理求出AM的长，再由垂径定理求出AB的长即可．【详解】解：如图，连接OA．∵OM：MC＝3：2，OC＝10，∴OM＝331055OC=⨯=6．∵OC⊥AB，∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，∴AM=8．∴AB＝2AM =16．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．3、（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．【详解】解：（1）补全图形如图所示，直线AP 即为所求作；（2）证明：连接BA ，由作法可知BO BA BP ==，∴点A 在以OP 为直径的圆上，∴90OAP ∠=︒（直径所对的圆周角是直角），∵OA 是O 的半径，∴直线PA 与O 相切（切线的判定定理），故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．4、（1（2）2AD DF =；证明见解析；（3【分析】（1）过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等边三角形的性质与等腰的性质以及勾股定理求得CH =进而求得BD =Rt EHC 中，2HE AH AE =+=，CH =（2）延长DF 至K ，使得FK DF =，连接,EK KC ，过点D 作DP BC ∥，交AB 于点P ，根据平行四边形的性质可得，EDA KCA ∠=∠，证明APD △是等边三角形，进而证明ABD ACK ≌，即可证明AKD 是等边三角形，进而根据三线合一以及含30度角的直角三角形的性质，可得2AD DF =；（3）过点D 作DM BE ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥，连接MF ，交AC 于点H ，过点D 作DN AB ⊥，交BE 于点R ，过点R 作RQ BD ⊥于点Q ，先证明45EMF ∠=︒，结合中位线定理可得45EBC ∠=︒，进而可得45NBD ∠=︒，设1AN DF ==，分别勾股定理求得,,,AF ND BD MB ，进而根据22CD AB CD AC CD CD AD CD DF +=+=++=+求得CD AB +，即可求得CD AB BE +的值【详解】（1）过点C 作CH AB ⊥于点H ，如图将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，,120BD DE BDE ∴=∠=︒30DBE DEB ∴∠=∠=︒ABC 是等边三角形60,ABC AB AC ∴∠=︒=，112AH AB ==CH ∴=30CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒ BD AC ∴⊥，112AD DC AB ===BD ∴=60BAC ∠=︒120EAD ∴∠=︒18030ADE EAD AED ∴∠=︒-∠-∠=︒ AED ADE ∴∠=∠1AE AD ∴==在Rt EHC 中，2HE AH AE =+=，CH =EC ∴=（2）如图，延长DF 至K ，使得FK DF =，连接,EK KC ，过点D 作DP BC ∥，交AB 于点P ，点F是CE的中点∴=FE FC又FK DF=∴四边形CDFK是平行四边形∥∴=，ED KCED KC∴EDA KCA∠=∠将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，∴=∠=︒BD DE BDE,120∴=BD KCABC是等边三角形∴=AB AC∥PD BC∠=∠，60∴∠=∠=︒，CBD PDBAPD ABC∴是等边三角形APDAD AP ∴=AB AC =DC PB ∴=设CBD α∠=，则PDB α∠=,∴60ABD APD PDB α∠=∠-∠=︒-，60ADB α∠=︒+()1206060ADE BDE ADB αα∠=∠-∠=︒-+=︒-ED KC ∥60ACK ADE α∴∠=∠=︒-ABD ACK ∴∠=∠∴ABD ACK ≌AK AD ∴=,60KAC DAB ∠=∠=︒AKD ∴是等边三角形DF FK =1302FAD KAD ∴∠=∠=︒，AF DF ⊥ 12DF AD ∴= 即2AD DF =（3）如图，过点D 作DM BE ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥，连接MF ，交AC 于点H ，过点D 作DN AB ⊥，交BE 于点R ，过点R 作RQ BD ⊥于点Q ，90GMD GFD ∴∠=∠=︒,,,B D F G ∴四点共圆FGD FMD ∴∠=∠由（2）可知AF DF ⊥，30FAD ∠=︒60ADF ∴∠=︒FG FD =45FDG FGD ∴∠=∠=︒45FGD FMD ∠=∠=︒将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，,120BD DE BDE ∴=∠=︒12MB ME BE ∴== F 是EC 的中点，MF ∴是EBC 的中位线MF BC ∴∥45EBC EMF ∴∠=∠=︒60ABC ∠=︒604515ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒153045NBD ABE EBD ∠=∠+∠=︒+︒=︒NBD ∴是等腰直角三角形ND NB ∴=60BAC ∠=︒90BAF BAD DAF ∴∠=∠+∠=︒90,AFD DN AB ∠=︒⊥∴四边形ANDF 是矩形ND AF ∴=，AN DF =设1AN DF ==在Rt ADE △中，22AD DF ==AF ∴1AB AN NB AN ND AN AF ∴=+=+=+=121DC AC AD AB AD ∴=-=-==在Rt NBD 中,ND NB AF ===BD ∴==在Rt MBD 中MB ==2BE BM ∴==22CD AB CD AC CD CD AD CD DF ∴+=+=++=+)211=+=CD AB BE +=∴【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，四点共圆，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；掌握旋转的性质，等边三角形的性质与判定是解题的关键．5、（1）3P ；（2）p x ≤<（3）1b <≤或1 1.b -<<- 【分析】（1）分别计算出OQ 、PO 和PQ 的长度，比较即可得出答案；（2）先判断点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外且点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧，结合PO ≤2，点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内，可得点P 在如图所示的线段AB 上（不包含点B ），过B 作BC y ⊥轴，过A 作AD y ⊥轴，垂足分别为,,C D 再根据图形的性质求解,,BC AD 从而可得答案；（3）由（2）得：点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外且点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO ＜PQ ，点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧，再分两种情况讨论：当0b >时，当0b ≤时，分别画出两种情况下的临界直线2,y x b =+ 再根据临界直线经过的特殊点求解b 的值，再确定范围即可.【详解】解：（1） O （0，0），Q （1，0），1,OQ P 1（0，-1），P 2（12，32），P 3（-1，1） 22111,112,OP PQ 不满足OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，所以1P 不是线段OQ 的“潜力点”，同理：22222213101310,10,222222OP P Q所以不满足OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，所以2P 不是线段OQ 的“潜力点”，同理：222233112,11105,OP PQ125,22,所以满足：OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，所以3P 是线段OQ 的“潜力点”，故答案为：P 3（2）∵点P 为线段OQ 的“潜力点”，∴OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，∵OQ ＜PO ，∴点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外∵PO ＜PQ ，∴点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧，而OQ 的垂直平分线为：1,2x = ∵PO ≤2，∴点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内又∵点P 在直线y ＝x 上，∴点P 在如图所示的线段AB 上（不包含点B ）过B 作BC y ⊥轴，过A 作AD y ⊥轴，垂足分别为,,C D由题意可知△BOC 和 △AOD 是等腰三角形，1,2,OB OA ∴2sin 45,sin 452,2BC OB AD OA∴x p ＜（3）由（2）得：点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外且点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO ＜PQ ，点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧当0b >时，2y x b =+过10,1N 时，1,b ∴= 即函数解析式为：21,y x =+ 此时11,0,2M 则111tan ,2M N O当2y x b =+与半径为2的圆相切于S 时，则90,NSO由11,MN M N ∥111tan tan ,2SO SNO M N O SN 而2,SO 224,2425,SN ON125,b当0b ≤时，如图，同理可得：点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外且点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO ＜PQ ，点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧，同理：当2y x b =+过10,1,N 则1,b =- 直线为21,y x11,0,2M 1M 在直线12x =上，此时221115,2M K OK OM 当2y x b =+过115,22K 时，则151+,2b 151,2b所以此时：1 1.b -<<-综上：b 的范围为：1＜b ≤1-＜b ＜-1 【点睛】本题考查的是新定义情境下的知识运用，圆的基本性质，圆的切线的性质，一次函数的综合应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，数形结合是解本题的关键.。

2021沪科版初中数学中考复习综合检测试卷共三套(附部分答案)

与 DE 交于点 G，则劣弧GE的长为________．
14．抛物线 y＝－x2－2x＋3 与 x 轴交于 A，B 两点，若一个半径为 5的圆也经过点 A，B，则该圆的圆心坐标为______________．
三、(每题 8 分，共 16 分) 15．如图是由 5 个大小相同的小正方体搭成的几何体，其中每个小正方体的棱长为 1 cm.
A．135° B．120° C．110° D．100°
5．从－1、2、3、－6 这四个数中任取两数，分别记为 m、n，那么点(m，n)在函数 y＝
6的图象上的概率是( ) x
A．1 2
B．1 3
C．1 4
D．1 8
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：今有勾八
步，股十五步，问勾中容圆，径几何？其意思：今有直角三角形，勾(短直角边)长
(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论．(不要求证明)
四、(每题 8 分，共 16 分) 17．如图，在 8×8 的小正方形网格中，△ABC 三顶点的坐标分别为 A(2，3)，B(2，1)，
C(5，1)，把△ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90°得到△AEF，点 B 的对应点为 E，点 C 的对应点为 F. (1)在图中画出△AEF； (2)点 C 的运动路径长为____________； (3)直接写出线段 BC 扫过的面积：________．
2021 沪科版初中数学中考复习综合检测试卷（一）附答案
一、选择题(每题 4 分，共 40 分) 1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
2．如图所示的四个几何体中，左视图是矩形的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列所给的事件中，是必然事件的是( )

2021-2022学年最新沪科版九年级数学下册第24章圆综合训练试题(含详解)

沪科版九年级数学下册第24章圆综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（）A．10 B．C．D．122、下列叙述正确的有( )个.（1）y y=随着x的增大而增大；（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；（3）斜边为BC的直角三角形顶点A的轨迹是以BC中点为圆心，BC长为直径的圆；（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；（5）以2211(1)22m mm m-+>、、为三边长度的三角形，不是直角三角形．A．0 B．1 C．2 D．33、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．AC=．将ABC绕点A按逆时针方向旋转90︒后4、如图，在ABC中，90∠=，8ABC︒∠=，30BAC︒△，则图中阴影部分面积为（）得到AB C''A．4πB．8π-C．4π-D．5、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（）A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°7、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，PA ＝4，则PB 的长度为（）A ．3B ．4C ．5D ．68、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，CD =（）A ．4πB ．2πC ．πD ．23π 9、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．2、如图，ODC△是由OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且AOC 的度数为100°，则B的度数是______．3、如图，在⊙O 中，弦AB ⊥OC 于E 点，C 在圆上，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径AO ＝___________．4、如图，PA ，PB 是O 的切线，切点分别为A ，B ．若30OAB ∠=︒，3PA =，则AB 的长为______．5、在平面直角坐标系中，将点(2,7)P -绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q ，则点Q 的坐标是___________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、问题：如图，AB 是O 的直径，点C 在O 内，请仅用无刻度的直尺，作出ABC 中AB 边上的高.小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC 交O 于点D ，延长BC 交O 于点E ；②分别连接AE ，BD 并延长相交于点F ；③连接FC 并延长交AB 于点H ．所以线段CH 即为ABC 中AB 边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB 是O 的直径，点D ，E 在O 上，∴ADB AEB ∠=∠=________°．（______）（填推理的依据）∴AE BE ⊥，BD AD ⊥．∴AE ，________是ABC 的两条高线．∵AE ，BD 所在直线交于点F ，∴直线FC 也是ABC 的高所在直线．∴CH 是ABC 中AB 边上的高．2、在平面直角坐标系xOy 中，旋转角α满足0180α︒≤≤︒，对图形M 与图形N 给出如下定义：将图形M 绕原点逆时针旋转α得到图形M '．P 为图形M '上任意一点，Q 为图形N 上的任意一点，称PQ 长度的最小值为图形M 与图形N 的“转后距”．已知点(A ，点()4,0B ，点()2,0C ．（1）当90α=︒时，记线段OA 为图形M ．①画出图形M '；②若点C 为图形N ，则“转后距”为______；③若线段AC 为图形N ，求“转后距”；（2）已知点(),0P t ，点1,2Q t ⎛- ⎝⎭，记线段AB 为图形M ，线段PQ 为图形N ，对任意旋转角α，“转后距”大于1，直接写出t 的取值范围．3、如图，ABC 内接于O ，BC 是O 的直径，D 是AC 延长线上一点．（1）请用尺规完成基本作图：作出DCB ∠的角平分线交O 于点P ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，过点P 作PE AC ⊥，垂足为E ．则PE 与O 有怎样的位置关系？请说明理由．4、如图，在Rt ABC △中，90BCA ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕着点A 顺时针旋转得到ADE ，连接BD ，连接CE 并延长交BD 于点F ．（1）求BFE ∠的度数；=，求DF的长．（2）若5==，且CE EFAC BC5、将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．-参考答案-一、单选题1、D【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再由OB =OC 判断出△OBC 是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，∵∠BAC =30°，∴∠BOC =60°．∵OB =OC ，BC =6，∴△OBC 是等边三角形，∴OB =BC =6．∴⊙O 的直径等于12．故选：D ．【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．2、D【分析】根据反比例函数的性质，得当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．【详解】y =当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大，故（1）不正确；如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；，故（2）正确；∵圆的直径所对的圆周角为直角∴斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆，故（3）正确；三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确； ∵224212124m m m ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭∴242422221211442m m m m m m ⎛⎫-+++++== ⎪⎝⎭∴以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；故选：D ．【点睛】本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．3、C【详解】解：选项A 是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 不符合题意；选项B 不是轴对称图形，是中心对称图形，故B 不符合题意；选项C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C 符合题意；选项D 是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180︒后能与自身重合.4、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．5、C【分析】根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．【详解】A 、不是中心对称图形，不符合题意；B 、不是中心对称图形，不符合题意；C 、是中心对称图形，符合题意；D 、不是中心对称图形，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．6、A【分析】根据旋转的性质求解80,BOD AOC 110,C A 再利用三角形的内角和定理求解1801104030,COD 再利用角的和差关系可得答案.【详解】解：将△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，80,BOD AOC∠A 的度数为110°，∠D 的度数为40°，110,1801104030,C A COD 803050,AOD 故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.7、B【分析】由切线的性质可推出OA AP ⊥，OB BP ⊥．再根据直角三角形全等的判定条件“HL ”，即可证明OAP OBP ≅，即得出4PB PA ==．【详解】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴在Rt OAP △和Rt OBP 中，OA OB OP OP=⎧⎨=⎩， ∴()OAP OBP HL ≅，∴4PB PA ==．故选：B【点睛】本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．8、D【分析】根据垂径定理求得CE =ED COE =60°．然后通过解直角三角形求得线段OC ，然后证明△OCE ≌△BDE ，得到=DEB CEO S S △△求出扇形COB 面积，即可得出答案．【详解】解：设AB 与CD 交于点E ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD∴CE =12CD CEO =∠DEB =90°，∵∠CDB =30°，∴∠COB =2∠CDB =60°，∴∠OCE =30°， ∴12OE OC =， ∴1122BE OE OB OC ===，又∵222OC CE OE =+，即22134OC OC =+ ∴2OC =，在△OCE 和△BDE 中，OCE BDE CEO DEB OE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OCE ≌△BDE （AAS ），∴=DEB CEO S S △△∴阴影部分的面积S =S 扇形COB =260223603ππ⨯=，故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB 的面积是解此题的关键．9、C【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．10、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．二、填空题11##【分析】延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．【详解】解：延长AG交CD于M，如图1，∵ABCD是正方形，∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC，∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG，∴△ADG≌△DGC，∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，∴△ADM≌△CDF，∴FD=DM且AE=DF，∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，∴△ABE≌△DAM，∴∠DAM=∠ABE，∵∠DAM+∠BAM=90°，∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，∴点H是以AB为直径的圆上一点．如图2，取AB中点O，连接OD，OH，∵AB=AD=2，O是AB中点，∴AO=1=OH，在Rt△AOD中，OD∵DH≥OD-OH，∴DH，∴DH，．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．2、35°【分析】根据旋转的性质可得∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，再求出∠BOD，∠ADO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，∴∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，∵∠AOC＝100°，∴∠BOD＝100°−30°×2＝40°，∠ADO＝∠A＝12（180°−∠AOD）＝12（180°−30°）＝75°，由三角形的外角性质得，∠B＝∠ADO−∠BOD＝75°−40°＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．3、5【分析】设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=r-2，先由垂径定理得到AD=BD=12AB=4，再由勾股定理得到42+（r-2）2=r2，然后解方程即可．【详解】解：设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=OC-CE=r-2，∵OC⊥AB，AB=8，∴AE=BE=12AB=4，在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r-2）2=r2，解得：r=5，即⊙O的半径长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．4、3【分析】由切线长定理和30OAB ∠=︒，可得PAB ∆为等边三角形，则AB PA =．【详解】解：连接,OA OP ，如下图：PA ，PB 分别为O 的切线，PA PB ∴=，PAB ∴为等腰三角形，30OAB ∠=︒，60PAB ∴∠=︒，PAB ∴∆为等边三角形，AB PA ∴=，3PA =，3AB ∴=．故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线． 5、()2,7-【分析】绕坐标原点顺时针旋转180︒即关于原点O 中心对称，找到P 关于原点中心对称的点的坐标即可，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：将点(2,7)P -绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q ，则点Q 的坐标是()2,7-故答案为：()2,7-【点睛】本题考查了求一个点关于原点中心对称的点的坐标，掌握关于原点中心对称的点的坐标特征是解题的关键．关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数．三、解答题1、（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可；（2）根据题意填空，即可求解．【详解】解：（1）如图，CH 为△ABC 中AB 边上的高；（2）证明：∵AB是O的直径，点D，E在O上，∴ADB AEB∠=∠=___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据）∴AE BE⊥，BD AD⊥．∴AE，_BD__是ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是ABC的高所在直线．∴CH是ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．【点睛】本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．2、（1）①OA（2）t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或t＞【分析】α=︒时，记线段OA为图形M．图形M绕原点逆时针旋转90°得到图形M'即OA′．（1）①当90②∵点C 为图形N ，求出OC =2最短距离；③过点O 作OF ⊥AC 于F ，先证△OAC 为等边三角形，OF ⊥AC ，根据勾股定理求出OF===（2）点(),0P t，点1,2Q t ⎛- ⎝⎭，可求tan∠OPQ=212t t =⎛⎫-- ⎪⎝⎭P 在x 轴负半轴时，∠OPQ =120°，当点P 在x 轴正半轴时，∠OPQ =60°，得出∠CAB =∠ABC =30°，分三种情况，当0α=°，当点P 在点B 右边，PB =t -4，BD ＞1，列不等式()41t -，解得t ＞P 在点B 左边B ′右边时，∠EPB =∠OPQ =60°，PB =2PE ＞2×1即4-t ＞2解得t ＜2，当t =0时，OA ′=2，A′Q =2-1=1，t ＞0，当点P 在B′左边，PB ′＞1，OB ′=OB =4，t ＜-5即可．【详解】解：（1）①当90α=︒时，记线段OA 为图形M ．图形M 绕原点逆时针旋转90°得到图形M '即OA ′； ②∵点C 为图形N ，OC=2为图形M 与图形N 的“转后距”，∴“转后距”为2，故答案为2；③线段AC 为图形N ，过点O 作OF ⊥AC 于F ，根据勾股定理OA2=，AC2=，∴OA =AC =OC =2，∴△OAC 为等边三角形，∵OF ⊥AC ，∴AF =CF =1，∴OF（2）∵点(),0P t，点1,2Q t ⎛- ⎝⎭， ∴tan∠OPQ=212t t =⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴当点P 在x 轴负半轴时，∠OPQ =120°，当点P 在x 轴正半轴时，∠OPQ =60°，∵CB =4-2=2=AC ，∠ACO =60°，∴∠CAB =∠ABC =30°，分三种情况，当0α=°，当点P 在点B 右边，PB =t -4，BD ＞1，∴BP sin60＞1，∴()41t -，解得t ＞当点P在点B左边B′右边时，∠EPB=∠OPQ=60°，∴∠OEB=180°-∠EPB-∠ABC=180°-60°-30°=90°，∵PB=4-t，∴PB=2PE＞2×1即4-t＞2，解得t＜2，当t=0时，点P与原点O重合，OA′=2，A′Q=2-1=1，∴t＞0，∴0＜t＜2；当点P在B′左边，PB′＞1，OB′=OB=4，∴t＜-5；综合t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或t＞【点睛】本题考查图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理，掌握图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理是解题关键．3、（1）作图见解析（2）PE 是O 的切线，理由见解析【分析】（1）如图1所示，以点C 为圆心，大于OC 为半径画弧，交BC 于点N ，交CD 于点M ；分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长度为半径画弧，交点为G ，连接CG 即为DCB ∠角平分线，与O 的交点即为点P ．（2）如图2所示，连接、OP BP ，由题意可知90=CPB OPC OPB ∠=︒∠+∠，90PEC ∠=︒，12OPB OBP POC ∠=∠=∠，OPC OCP ∠=∠，12DCP PCO ECO ∠=∠=∠；在四边形CEPO 中，=3603609022OPE PEC ECO POC PCO PBO ∠︒-∠-∠-∠=︒-︒-∠-∠，90PCO PBO ∠+∠=︒，求出90OPE ∠=︒，得出OP PE ⊥，由于OP 是半径，故有PE 是O 的切线．（1）解：如图1所示（2）解：PE 是O 的切线．如图2所示，连接、OP BP由题意可知90=CPB OPC OPB ∠=︒∠+∠，90PEC ∠=︒，12OPB OBP POC ∠=∠=∠，OPC OCP ∠=∠， 12DCP PCO ECO ∠=∠=∠ 在四边形CEPO 中=360OPE PEC ECO POC ∠︒-∠-∠-∠3609022PCO PBO =︒-︒-∠-∠∵90PCO PBO ∠+∠=︒∴3609029090OPE ∠=︒-︒-⨯︒=︒∴OP PE ⊥又∵OP 是半径∴PE 是O 的切线【点睛】本题考查了角平分线的画法与性质，切线的判定，圆周角等知识点．解题的关键在于将知识综合灵活运用．4、（1）45°；（2）DF =【分析】（1）根据旋转的性质得AC AE =，AB AD =，90ACB AED ∠=∠=︒，45BAC DAE ∠=∠=︒，通过等量代换及三角形内角和得AEC ADB ∠=∠，根据四点共圆即可求得；（2）连接EB ，先证明出()SAS BCE DEF ≌△△，根据全等三角形的性质得45BEF BFE ∠=∠=︒，在BDE 中利用勾股定理，即可求得．【详解】解：（1）由旋转可知：AC AE =，AB AD =，90ACB AED ∠=∠=︒，45BAC DAE ∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠，ACE AEC ∠=∠，ABD ADB ∠=∠．由三角形内角和定理得AEC ADB ∠=∠，∴点A ，D ，F ，E 共圆．∴45BFE DAE ∠=∠=︒．（2）连接EB ，∵AC AE =，∴ACE AEC ∠=∠．∵90ACB AED ∠=∠=︒，∴BCE DEF ∠=∠．又∵CE EF =，CB ED =，∴()SAS BCE DEF ≌△△． ∴BEC DFE ∠=∠，BE DF =．∴45BEF BFE ∠=∠=︒．在BDE 中，90DBE ∠=︒，BF BE DF ==，5DE =，∵222BE BD DE +=，∴DF =【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等判定及性质、勾股定理、三角形内角和等，解题的关键是掌握旋转的性质．5、（1）EF =DF +BE ；（2）EF =DF -BE ；（3）线段EF 的长为103或203．【分析】（1）延长FD 至G ，使DG =BE ，连接AG ，先证△ABE ≌△ADG ，再证△GAF ≌△EAF 即可；（2）在DC 上截取DH =BE ，连接AH ，先证△ADH ≌△ABE ，再证△HAF ≌EAF 即可；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）结论：EF =BE +DF ．理由：延长FD 至G ，使DG =BE ，连接AG ，如图①，∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（AAS），∴EF=GF，∴GF=DF+DG=DF+BE，即：EF=DF+BE；（2）结论：EF=DF-BE．理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，∴∠DAH+∠BAF=45°，∴∠HAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF=EF，∵DF=DH+HF，∴EF=DF-BE；（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，∴x=43，∴EF=x+2=103．②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，∵K为BC边的中点，∴CK=12BC=2，同理可证△ABK≌FCK（SAS），∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x，在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2，∴x=43，∴EF=8-43=203．综上，线段EF的长为103或203．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．。

2021学年九年级数学专题1.5 圆(一)章末重难点题型(举一反三)(沪科版)(原卷版)

专题1.5 圆（一）章末重难点题型【沪科版】【考点1 旋转的概念】【方法点拨】旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．【例1】下面是4个能完全重合的正六边形，请仔细观察A、B、C、D四个图案，其中与所给图形不相同的是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2020春•唐河县期末）如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（）A．144°B．90°C．72°D．60°【变式2-2】（2020春•南海区期末）如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【变式2-3】（2020•黔西南州）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是；A．矩形B．正五边形C．菱形D．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有个；A．0B．1C．2D．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．【考点2 利用旋转求角度】【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．【例2】（2020•大连）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A ．50°B ．70°C ．110°D ．120°【变式2-1】（2020春•织金县期末）如图，将△OAB 绕点O 逆时针旋转70°，得到△OCD ，若∠A ＝2∠D ＝100°，则∠a 的度数是（）A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°【变式2-2】（2020•菏泽）如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到△ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则∠BED 等于（）A ．α2B ．23αC ．αD ．180°﹣α【变式2-3】（2020•雨花区模拟）Rt △ABC ，已知∠C ＝90，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD （如图）．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝（）A ．80B ．80或120C ．60或120D ．80或100【考点3 旋转作图（坐标系）】【例3】（2020春•盐湖区期末）在如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题：（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1顺时针旋转90°后的△A2B2C1；（3）连接A1A2，则△C1A1A2是三角形，并直接写出△C1A1A2的面积．【变式3-1】（2020秋•锦江区校级月考）在平面直角坐标系中，△ABC的点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3），如图：（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；（2）在（1）中，若△ABC上有一点P（m，n），直接写出对应点P1的坐标．（3）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．【变式3-2】（2020春•锦江区期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．【变式3-3】（2020春•成都期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为；（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值．【考点4 与旋转有关的点的坐标】【例4】（2020春•翠屏区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣2，4），AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是（）A．（4，3）B．（4，4）C．（5，3）D．（5，4）【变式4-1】（2020春•林州市期中）如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（）A．（﹣1，√3）B．（√3，﹣1）C．（−√3，1）D．（﹣2，1）【变式4-2】（2020•天桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣2−√32，√3）B．（﹣2−√32，2−√32）C．（﹣3，2−√32）D．（﹣3，√3）【变式4-3】（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、x轴的负半轴上，其中A（0，﹣4），C（﹣2，0），将矩形ABCD绕点D 逆时针旋转得到矩形A'B'C'D，点B'恰好落在x轴上，线段B'A'与CD交于点E的坐标为（）A ．（﹣2，−32）B ．（﹣2，−34）C ．（﹣2，﹣2）D ．（﹣2，−54）【考点5 与旋转有关的点的坐标（周期规律）】【例5】（2020春•郑州期中）如图，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝4，将△AOB 沿x 轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（）A ．（28，4）B ．（36，0）C ．（39，0）D ．（912，32√3）【变式5-1】（2019秋•南海区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2020次得到正方形OA 2020B 2020C 2020，如果点A 的坐标为（1，0），那么点B 2020的坐标为（）A ．（﹣1，1）B ．(−√2，0)C ．（﹣1，﹣1）D ．(0，−√2)【变式5-2】（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是．【变式5-3】（2020•惠民县一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一个等腰直角三角形AOB ，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O ＝2A1O，…，依此规律，得到等腰直角三角形A2020OB2020，则点B2020的坐标为．【考点6 与旋转有关的最值问题】【例6】（2020•河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC中点，P为AB 上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P1，连CP1的最小值为（）A．1.6B．2.4C．2D．2√2【变式6-1】（2019秋•龙岗区期末）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC 上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（）A．2B．2√3C．√3D．√3+1【变式6-2】（2019•雁塔区校级模拟）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是．【变式6-3】（2020•开福区校级一模）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB 中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值为．【考点7 旋转变换综合】【例7】（2020•北碚区模拟）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAB绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．（1）当∠MAN旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【变式7-1】（2020秋•老河口市期中）在△ABC和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC．（1）如图1，点D在BC上，求证：AD＝BE，AD⊥BE．（2）将图1中的△DCE绕点C按逆时针方向旋转到图2所示的位置，旋转角为α（α为锐角），线段DE，AE，BD的中点分别为P，M，N，连接PM，PN．①请直接写出线段PM，PN之间的关系，不需证明；②若AE＝2PM，求α．【变式7-2】（2020•建湖县一模）【操作发现】如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE＝30°，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF、EF，请直接写出下列结果：①∠EAF的度数为；②DE与EF之间的数量关系为；【类比探究】如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D为AB边上的一点，∠DCE＝45°，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF、EF．①则∠EAF的度数为；②线段AE，ED，DB之间有什么数量关系？请说明理由；【实际应用】如图3，△ABC是一个三角形的余料，小张同学量得∠ACB＝120°，AC＝BC，他在边BC 上取了D、E两点，并量得∠BCD＝15°、∠DCE＝60°，这样CD、CE将△ABC分成三个小三角形，请求△BCD、△DCE、△ACE这三个三角形的面积之比．【变式7-3】（2020•延庆县一模）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB＝2，AC＝4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．（1）请你回答：AP的最大值是．（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB＝4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路．提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A′BP′．①请画出旋转后的图形②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．【考点8 中心对称图形】【方法点拨】中心对称图形是把这个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.【例8】（2020•襄城区校级模拟）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【变式8-1】（2020春•鹿城区校级期中）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【变式8-2】（2020春•西城区期末）下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A．唐代对凤纹B．良渚神人兽面纹C．敦煌元素宝相花纹D．《营造法式》海石榴花纹【变式8-3】（2020秋•柯桥区期末）下列扑克牌中，中心对称图形有（）A．1张B．2张C．3张D．4张【考点9 关于原点对称的点的坐标】【方法点拨】解答此类题需熟悉：两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数．【例9】（2020•德城区模拟）在平面直角坐标系中，若点M（m，n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点P（m﹣n，n）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式9-1】（2019秋•中山市期末）已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是（）A．a＜−12或a＞1B．a＜−12C．−12＜a＜1D．a＞1【变式9-2】（2019秋•霍林郭勒市期末）在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为．【变式9-3】（2020春•柯桥区期中）直角坐标系中，已知A（3，2），作点A关于y轴对称点A1，点A1关于原点对称点A2，点A2关于x轴对称点A3，A3关于y轴对称点A4，……，按此规律，则点A2019的坐标为．【考点10 中心对称的性质】【例10】（2020春•新昌县期末）如图，在矩形ABCD 中，把∠A 沿DF 折叠，点A 恰好落在矩形的对称中心E 处，则∠ADF 的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【变式10-1】（2020春•海勃湾区期末）如图，点O 是▱ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E 、F 是AB 边上的点，且EF =12AB ；G 、H 是BC 边上的点，且GH =13BC ，若S 1，S 2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则S 1与S 2之间的等量关系是（）A ．S 1S 2=23 B ．S 1S 2=32 C ．S 1S 2=21 D ．S 1S 2=12 【变式10-2】（2020•碑林区校级三模）如图，点O 是矩形ABCD 的对称中心，点E 在AB 边上，连接CE ．若点B 与点O 关于CE 对称，则CB ：AB 为（）A ．12B ．√5−12C ．√33D ．√32【变式10-3】（2020春•栖霞区期中）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，以CE 为边向正方形ABCD 外部作正方形CEFG ，O 、O ′分别是两个正方形的对称中心，连接OO ′．若AB ＝3，CE ＝1，则OO ′＝．。

2021学年九年级数学专题1.6 圆(二)章末重难点题型(举一反三)(沪科版)(原卷版)

专题1.6 圆（二）章末重难点题型【沪科版】【考点1 巧用圆的半径相等】【方法点拨】解决此类问题的关键是连接半径，抓住圆的半径相等是关键.【例1】（2020秋•朝阳区校级月考）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB 的长为（）A．8B．6C．4D．2【变式1-1】（2020•南召县模拟）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC ＝84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°【变式1-2】（2019秋•句容市校级月考）如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是（）A．a＞b＞c B．a＝b＝c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【变式1-3】（2020秋•天宁区期中）如图，两个正方形都在⊙O的直径MN的同侧，顶点B、C、G都在MN 上，正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在⊙O上，点E在CD上．若AB＝5，FG＝3，则OC的长为．【考点2 点与圆的位置关系（求范围）】【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．【例2】（2019•嘉定区二模）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3√3，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是．【变式2-1】（2019•长宁区一模）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5B．4C．3D．2【变式2-2】（2019秋•大兴区期末）矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4√2，点P在边AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（）A．点B、C均在⊙P外B．点B在⊙P外，点C在⊙P内C．点B在⊙P内，点C在⊙P外D．点B、C均在⊙P内【变式2-3】（2019秋•绿园区期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（）A．3＜r＜√10B．√2＜r＜√5C．√10＜r＜√13D．√5＜r≤3【考点3 点与圆的位置关系（求最值）】【例3】（2020•长兴县三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A 上的一个动点，点E为CD的中点，连结BE，则线段BE长度的最小值为．【变式3-1】（2020•武昌区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．【变式3-2】（2020•连云港模拟）如图，在平面直角坐标系中，C （0，4），A （3，0），⊙A 半径为2，P 为⊙A 上任意一点，E 是PC 的中点，则OE 的最小值是（）A ．1B ．32C ．2D ．√2【变式3-3】（2020•泰安）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ＝1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（）A ．√2+1B ．√2+12C ．2√2+1D ．2√2−12 【考点4 弧、弦、角、之间的关系】【方法点拨】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，其中圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【例4】（2020•建湖县校级模拟）如图，⊙O 的弦AB 、CD 的延长线相交于点P ，且P A ＝PC ．求证：AB̂=CD ̂．【变式4-1】（2020秋•兴化市校级月考）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．（1）求证：CD＝CE．̂=BN̂．（2）求证：AM【变式4-2】（2019•浙江模拟）如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为．̂的中点，连接AF、BF、AC，【变式4-3】（2019•武汉模拟）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为CBDAF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①CF̂=DF̂；②HC＝BF：③MF＝FC：④DF̂+AĤ= BF̂+AF̂，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点5 圆的对称性（最短路线）】【例5】（2019秋•玄武区校级月考）如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为．【变式5-1】（2020秋•高邑县期末）如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，点C 在⊙O 上，∠CAB ＝30°，D 为弧BC 的中点，P 是直径AB 上一动点，则PC +PD 的最小值为（）A ．2√2B ．√2C ．1D ．2【变式5-2】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是MB̂的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM +PN 的最小值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式5-3】（2019秋•和平区期中）如图，MN 是⊙O 的直径，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠ACM ＝60°，B 点是AN̂的中点，P 点是MN 上一动点，若⊙O 的半径为1，则P A +PB 的最小值为（）A ．1B ．√22C ．√2D ．√3−1【考点6 垂径定理】【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

(word完整版)沪科版九年级“圆”基础题(2021年整理)

沪科版九年级下册数学“圆”基础题及其答案题号一二三总分得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P=50∘，那么∠ACB等于( )A. 40∘B. 50∘C. 65∘D. 130∘2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB//CD，若AB=8，∠ABC=30∘，则弦AD的长为( )A. √3B. 4√3C. 2√3D. 8二、填空题（本大题共11小题，共33.0分）3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为A^C的中点，若∠B=50∘，则∠A的度数为______度.4.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD=62∘，则∠BCD=______．5.如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接AC、CD、BD，若CA=CD，∠ACD=80∘，则∠CAB=______ ∘.6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130∘，则∠BOD=______∘.7.如图，AB为⊙O的直径，弦AC=4cm，BC=3cm，CD⊥AB，垂足为D，那么CD的长为______cm．8.圆的半径为1，AB是圆中的一条弦，AB=√3，则弦AB所对的圆周角的度数为______ ．9.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P=60∘，OA=3，那么AB的长为______．10.如图，⊙O的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60∘，则△PAB的周长为______．11.如图，直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD，若BD=4，则阴影部分的面积为______ ．12.一顶简易的圆锥形帐蓬，帐篷收起来时伞面的长度有4米，撑开后帐篷高2米，则帐篷撑好后的底面直径是______米.13.若圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则母线长为______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位．(1)把△ABC绕着点C逆时针旋转90∘，画出旋转后对应的△A1B1C；(2)求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积．15.已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF//BC交AB于点F(1)如图①，求证：AE=AF；(2)如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α(0∘<α<144∘)得到△AE′F′.连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36∘，在图②的旋转过程中，当CE′//AB时，直接写出旋转角α的大小．16.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)如果∠BAC=60∘，AD=4，求AC长．17.如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为(0，2)，D为⊙C上在第一象限内的一点且∠ODB=60∘．(1)求线段AB的长及⊙C的半径；(2)求B点坐标．18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反(x>0)图象上任意一点，以P为圆心，比例函数y=12xPO为半径的圆与x轴交于点A、与y轴交于点B，连接AB．(1)求证：P为线段AB的中点；(2)求△AOB的面积．答案和解析【答案】1. C2. B3. 654. 28∘5. 406. 1007. 2.48. 60∘或120∘9. 3√310. 3√311. 2π−412. 4√313. 514. 解：(1)如图所示，△A1B1C即为所求；(2)∵CA=√22+22=2√2，∴S=90⋅π⋅(2√2)2360=2π．15. (1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵EF//BC，∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．(2)解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，在△CAE′和△BAF′中，{AE′=AF′∠E′AC=∠F′AB AB=AC，∴△CAE′≌△BAF′(SAS)，∴CE′=BF′=6；②由(1)可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，所以，∠BAM=∠ABC=72∘，又∵∠BAC=36∘，∴α=∠CAM=36∘；②当点E的像E′与点N重合时，∵CE′//AB，∴∠AMN=∠BAM=72∘，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72∘，∴∠MAN=180∘−72∘×2=36∘，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36∘+36∘=72∘，综上所述，当旋转角α为36∘或72∘．16. (1)证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，∴∠1=∠2，∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD//AE，∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；(2)解：作OH⊥AC于H，如图，则AH=CH，∵∠BAC=60∘，∴∠2=30∘，在Rt△ADE中，DE=12AD=2，易得四边形ODEH为矩形，∴OH=DE=2，在Rt△OAH中，∵∠OAH=60∘，∴AH=OH√3=2√33，∴AC=2AH=4√33．17. 解：(1)连接AB；∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60∘，∴∠OAB=60∘，∵∠AOB是直角，∴AB是⊙C的直径，∠OBA=30∘；∴AB=2OA=4，∴⊙C的半径r=2；(2)在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB2+OA2=AB2，∴OB=2√3，∴B的坐标为：(2√3，0)．18. (1)证明：∵点A、O、B在⊙P上，且∠AOB=90∘，∴AB为⊙P直径，即P为AB中点；(x>0)上的点，(2)解：∵P为y=12x设点P的坐标为(m，n)，则mn=12，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，∴M的坐标为(m，0)，N的坐标为(0，n)，且OM=m，ON=n，∵点A、O、B在⊙P上，∴M为OA中点，OA=2m；N为OB中点，OB=2n，∴S△AOB=1OA⋅O B=2mn=24．2【解析】1. 解：连接OA，OB．根据切线的性质，得∠OBP=∠OAP=90∘，根据四边形的内角和定理得∠AOB=130∘，∠AOB=65∘．再根据圆周角定理得∠C=12故选：C．连接OA，OB，先由切线的性质得出∠OBP=∠OAP=90∘，进而得出∠AOB=130∘，再根据圆周角定理即可求解．综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理以及圆周角定理．2. 解：连接BD，∵AB//CD，∴∠BAD=∠ADC，∵∠ADC=∠ABC，∠ABC=30∘，∴∠ADC=30∘，∴∠BAD=30∘，∵AB是⊙O的直径，AB=8，∴∠ADB=90∘，=4√3，∴AD=AB⋅cos30∘=8×√32故选B．根据平行线的性质、圆周角定理和特殊角的三角函数值可以求得AD的长，本题得以解决．本题考查圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用圆周角定理和数形结合的思想解答．3. 解：连接OD、OC，∵点D为A^C的中点，∴∠AOD=∠COD，∵∠B=50∘，∴∠AOC=100∘，∴∠AOD=∠COD=50∘，∴∠A=∠ODA=65∘，故答案为：65．连接OD、OC，根据圆周角定理求出∠AOC=100∘，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．4. 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘，∵∠ABD=62∘，∴∠A=90∘−∠ABD=28∘，∴∠BCD=∠A=28∘．故答案为28∘．根据圆周角定理的推论由AB是⊙O的直径得∠ADB=90∘，再利用互余计算出∠A=90∘−∠ABD=28∘，然后再根据圆周角定理求∠BCD的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90∘的圆周角所对的弦是直径．5. 解：∵∠ACD=80∘，CA=CD，(180∘−80∘)=50∘，∴∠CAD=∠CDA=12∴∠ABC=∠ADC=50∘，∵AB是直径，∴∠ACB=90∘，∴∠CAB=90∘−∠B=40∘．故答案为：40．根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB= 90∘，由此即可解决问题．本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．6. 解：∵四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130∘，∴∠A=50∘，∴∠BOD=100∘．故答案为100∘．结合已知条件可以推出∠A=50∘，根据圆周角定理即可推出∠BOD=100∘．本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，关键在于求出∠A的度数．7. 解：∵AB为⊙o的直径∴∠ACB=90∘∵AC=4cm，BC=3cm∴AB=5cm∵CD⊥AB=2.4cm∴CD的长为AC⋅BCAB答案：CD的长为2.4cm．故填空答案：2.4．由AB为⊙o的直径可以得到∠ACB=90∘，由AC=4cm，BC=3cm利用勾股定理求出AB，而CD⊥AB，利用面积公式可以求出CD．此题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的高等于两直角边的积除以斜边的长；此题还考查了圆的性质；直径所对的圆周角等于直角．8. 解：如图，作OH⊥AB于H，连接OA、OB，∠C和∠C′为AB所对的圆周角，∵OH⊥AB，∴AH=BH=12AB=√32，在Rt△OAH中，∵cos∠OAH=AHOA =√32，∴∠OAH=30∘，∴∠AOB=180∘−60∘=120∘，∴∠C=12∠AOB=60∘，∴∠C′=180∘−∠C=120∘，即弦AB所对的圆周角为60∘或120∘．故答案为60∘或120∘．如图，作OH⊥AB于H，连接OA、OB，∠C和∠C′为AB所对的圆周角，根据垂径定理得到AH=BH=12AB=√32，则利用余弦的定义可得到∠OAH=30∘，接着根据三角形内角和可计算出∠AOB=120∘，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出∠C和∠C′的度数即可．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90∘的圆周角所对的弦是直径．9. 解：过点O作OC⊥AB于点C，∴AC=12AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，OA⊥PA，∵∠P=60∘，∴△PAB是等边三角形，∴∠PAB=60∘，∴∠OAC=90∘−∠PAB=30∘，在Rt△AOC中，OA=3，∴AC=OA⋅cos30∘=3×√32=3√32，∴AB=2AC=3√3．故答案为：3√3．首先过点O作OC⊥AB于点C，由垂径定理可得：AC=12AB，又由PA、PB是⊙O的切线，由切线长定理可得PA=PB，由∠P=60∘，即可得△PAB是等边三角形，继而可求得∠OAC=30∘，则可求得AC的长，继而求得答案．此题考查了切线长定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的定义.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10. 解：∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60∘，∴∠APO=30∘，△PAB是等边三角形，∴PA=√3AO=√3，∴△PAB的周长=3√3．故答案为：3√3．根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质得到PA=√3AO=√3，于是得到结论．本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．11. 解：连接OB、OD，∵直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，AB⊥CD，∴∠OBP=∠P=∠ODP=90∘，∵OB=OD，∴四边形BODP是正方形，∴∠BOD=90∘，∵BD=4，∴OB=√2=2√2，∴阴影部分的面积S=S扇形BOD −S△BOD=90π×(2√2)2360−12×2√2×2√2=2π−4，故答案为：2π−4．连接OB、OD，根据切线的性质和垂直得出∠OBP=∠P=∠ODP=90∘，求出四边形BODP是正方形，根据正方形的性质得出∠BOD=90∘，求出扇形BOD和△BOD的面积，即可得出答案．本题考查了切线的性质、扇形的面积计算等知识点，能分别求出扇形BOD和△BOD的面积是解此题的关键．12. 解：r=√16−4=√12=2√3，直径为4√3米.根据题意可知圆锥的母线长为4米，高2米和地面半径构成直角三角形，利用勾股定理求出底面半径．主要考查了圆锥的特点.解此题的关键是要知道圆锥的母线，高和地面半径构成直角三角形，利用勾股定理求出底面半径是一个常用的方法．13. 解：底面半径为3，则底面周长=6π，设圆锥的母线长为x，圆锥的侧面积=12×6πx=15π．解得：x=5，故答案为：5．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．14. (1)找出点A、B、C绕着点C逆时针旋转90∘所得的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；(2)根据扇形的面积公式计算可得．本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及扇形的面积公式．15. (1)根据等腰三角形两底角相等∠B=∠C，再根据平行线的性质得出，∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，得出∠AFE=∠AEF，进一步得出结论；(2)求出AE=AF，再根据旋转的性质可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；(3)把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．16. (1)连接OD，如图，先证明OD//AE，再利用DE⊥AE得到DE⊥OD，然后根据切线的判定定理得到结论；(2)作OH⊥AC于H，如图，利用垂径定理得到AH=CH，再在Rt△ADE中利用含30度AD=2，易得四边形ODEH为矩形，所以OH=的直角三角形三边的关系计算出DE=12DE=2，然后在Rt△OAH中计算出AH，从而计算2AH即可得到AC的长．本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．17. (1)连接AB；由圆周角定理可知，AB必为⊙C的直径；Rt△ABO中，易知OA的长，而∠OAB=∠ODB=60∘，通过解直角三角形，即可求得斜边AB的长，也就求得了⊙C 的半径；(2)在Rt△ABO中，由勾股定理即可求得OB的长，进而可得到B点的坐标．此题主要考查了圆周角定理、点的坐标意义、勾股定理等知识的综合应用能力，综合性较强，难度适中．18. (1)利用圆周角定理的推论得出AB是⊙P的直径即可；(2)首先假设点P坐标为(m，n)(m>0，n>0)，得出OA=2OM=2m，OB=2ON= 2n，进而利用三角形面积公式求出即可．此题主要考查了反比例函数综合以及三角形面积求法和圆周角定理推论等知识，熟练利用反比例函数的性质得出OA，OB的长是解题关键．。

2021-2022学年度沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习试卷(含答案详解)

沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）BC=，将ABC绕点A顺时针旋转60°得到ADE，此时点B的对1、如图，在ABC中，2AB=，4应点D恰好落在BC边上，则CD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．42、如图，P为正六边形ABCDEF边上一动点，点P从点D出发，沿六边形的边以1cm/s的速度按逆x，以点P、C、D为顶点的三角形的面积时针方向运动，运动到点C停止．设点P的运动时间为()sy，则下列图像能大致反映y与x的函数关系的是（）是()2cmA．B．C．D．3、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A ．22.5°B ．45°C ．90°D ．67.5°5、如图，在AOB 中，4OA =，6OB =，AB =AOB 绕原点O 逆时针旋转90°，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（）A ．()4,2-B ．()-C ．()-D ．(- 6、如图，点A 、B 、C 在O 上，50∠=°ACB ，则OAB ∠的度数是（）A ．100°B ．50°C ．40°D ．25°7、如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为2，则圆形螺帽的半径是（）A ．1cmB ．2cmC ．D ．4cm8、如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，3AP =，7BP =，30APC ∠=︒，则CD 的长为（）A ．B ．CD ．89、如图，边长为5的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（）A ．54 B ．1 C ．2 D ．5210、平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是（）A ．()9,7-B ．()7,9-C ．()7,9D ．()7,9--第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系中，点N 是直线5y x =-+上动点，M 是C 上动点，若点C 的坐标为()2,0-，且C 与y 轴相切，则MN 长度的最小值为____________．2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 为x 轴正半轴上一点．已知点)(0,2A ，)(0,8B ，M 为ABP △的外接圆．（1）点M 的纵坐标为______；（2）当APB ∠最大时，点P 的坐标为______．3、如图，点D 为边长是ABC 边AB 左侧一动点，不与点A ，B 重合的动点D 在运动过程中始终保持∠ADB ＝120°不变，则四边形ADBC 的面积S 的最大值是 ____．4、如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为______．5、斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径．．．．为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差．．．．为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，点A、C在O上，过点A作⊥的延长线于点E，已知DA平分BDEAE CD∠．（1）求证：AE是O切线；（2）若4AE=，6CD=，求O的半径和AD的长．2、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标：；（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．3、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：如下图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的45∠=，AE、AF与BC、CD边分别交EAF︒于E、F两点．易证得EF BE FD=+．大致证明思路：如图2，将ADF绕点A顺时针旋转90︒，得到ABH，由180∠=可HBE︒得H、B、E三点共线，45≌，故∠=∠=，进而可证明AEH AEFHAE EAF︒=+．EF BE DF任务：如图3，在四边形ABCD中，AB AD=，90EAF︒∠=，∠=，以A为顶点的60B D︒∠=∠=，120BAD︒AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BE DF=+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．4、如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，求正方形ABCD的边长和边心距．5、如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．（1）阴影部分的周长；（2）阴影部分的面积．（结果保留π）-参考答案-一、单选题1、B【分析】△为等边三角形，则BD=2，故CD=BC-BD=2．由题意以及旋转的性质可得ABD【详解】由题意以及旋转的性质知AD=AB，∠BAD=60°∴∠ADB=∠ABD∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°∴∠ADB =∠ABD =60°故ABD △为等边三角形，即AB = AD =BD =2则CD =BC -BD =4-2=2故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于60︒，等边三角形判定的方法有：三边相等的三角形是等边三角形（定义）；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形；两个内角为60度的三角形是等边三角形．2、A【分析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，当P 在DE 上时，过P 作PH CD ⊥于,H 而120,,CDP PD x 求解此时的函数解析式，当P 在EF 上时，延长,CD FE 交于点,M 过P 作PQ CD ⊥于,Q 并求解此时的函数解析式，当P 在AF 上时，连接,,AC CF 并求解此时的函数解析式，由正六边形的对称性可得：P 在AB 上的图象与P 在EF 上的图象是对称的，P 在BC 上的图象与P 在DE 上的图象是对称的，从而可得答案.【详解】解：设正六边形ABCDEF 的边长为1，当P 在DE 上时，过P 作PH CD ⊥于,H 而120,,CDP PD x60,PDH 3sin 60,2PH PD x11331,2224y CD PH x x 当P 在EF 上时，延长,CD FE 交于点,M 过P 作PQ CD 于,Q同理：120,CDEFED 60,EDM DEM 则DEM △为等边三角形，60,1,,EMD EMED PM PE EM PE ED x 3sin 60,2PQ PM x 11331,2224yCD PQ x x 当P 在AF 上时，连接,,AC CF由正六边形的性质可得：120,,ABC BAF AFE BA BC118012030,1203090,2BAC CAF由正六边形的对称性可得：160,2AFC AFE而1,AFtan603,AC AF11313,222y CD AC由正六边形的对称性可得：P在AB上的图象与P在EF上的图象是对称的，P在BC上的图象与P在DE上的图象是对称的，所以符合题意的是A，故选A【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，锐角三角函数的应用，正多边形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.3、C【分析】根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．4、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．5、C【分析】过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，设OC a = ，则6BC a =- ，根据勾股定理，可得2222AB BC OA OC -=-，从而得到2OC = ，进而得到∴AC =，可得到点(2,A ，再根据旋转的性质，即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，设OC a = ，则6BC a =- ，∵222AC OA OC =- ，222AC AB BC =-，∴2222AB BC OA OC -=-，∵4OA =， AB =∴(()222264a a --=- ，解得：2a = ，∴2OC = ，∴AC ，∴点(2,A ，∴将AOB 绕原点O 顺时针旋转90°，则旋转后点A 的对应点A ''的坐标是()2-，∴将AOB 绕原点O 逆时针旋转90°，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是()-．故选：C【点睛】本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A 的坐标，属于中考常考题型．6、C【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB 的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =100°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA = 40°，故选：C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7、D【分析】根据圆内接正六边形的性质可得△AOB 是正三角形，由面积公式可求出半径．【详解】解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB 是正三角形，过O 作OM AB 于,M设半径为r ，即OA =OB =AB =r ，OM =OA •sin∠OAB ，∵圆O 的内接正六边形的面积为cm 2），∴△AOB 的面积为13=436（cm 2），即1432AB OM， 134322r r ，解得r =4，故选：D ．【点睛】本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键．8、A【分析】过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，根据已知条件即可求得,OD OP ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得OE ，根据勾股定理即可求得DE ，根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，过点O 作OE CD ⊥于点E ，连接OD ，AB 是O 的直径，3AP =，7BP =，115,53222OD AB OP AB AP ∴===-=-= OE CD ⊥，30APC ∠=︒112OE OP ∴==在Rt ODE △中，DE =OE CD ⊥2CD DE ∴==故选A【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．9、A【分析】取CB 的中点G ，连接MG ，根据等边三角形的性质可得BH =BG ，再求出∠HBN =∠MBG ，根据旋转的性质可得MB =NB ，然后利用“边角边”证明△MBG ≌△NBH ，再根据全等三角形对应边相等可得HN =MG ，然后根据垂线段最短可得MG ⊥CH 时最短，再根据∠BCH =30°求解即可．【详解】解：如图，取BC 的中点G ，连接MG ，∵旋转角为60°，∴∠MBH +∠HBN =60°，又∵∠MBH +∠MBC =∠ABC =60°，∴∠HBN =∠GBM ，∵CH 是等边△ABC 的对称轴，∴HB =12AB ，∴HB =BG ，又∵MB 旋转到BN ，∴BM =BN ，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ），∴MG =NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH =12×60°=30°，CG =12AB =12×5=2.5，∴MG =12CG =54，∴HN =54，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是()7,9-故选B【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．二、填空题1-2 【分析】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小，利用勾股定理求出CN 的长，故可求解．【详解】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小∵直线AB 的解析式为5y x =-+当x =0时，y =5，当y =0时，x =5∴B （0，5），A （5，0）∴AO =BO ，△AOB 是等腰直角三角形∴∠BAO =90°当CN ⊥AB 时，则△ACN 是等腰直角三角形∵C ()2,0-∴AC =7∵AC 2=CN 2+AN 2=2CN 2∴CN 当 C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小即MN =CN -CM -2-2．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置，利用等腰直角三角形的性质求解．2、5 (4，0)【分析】（1）根据点M 在线段AB 的垂直平分线上求解即可；（2）点P 在⊙M 切点处时，APB ∠最大，而四边形OPMD 是矩形，由勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵⊙M 为△ABP 的外接圆，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，∵A (0，2)，B (0，8)，∴点M 的纵坐标为：8252+=，故答案为：5；（2）过点)(0,2A ，)(0,8B ，作⊙M 与x 轴相切，则点M 在切点处时，APB ∠最大，理由：若点P '是x 轴正半轴上异于切点P 的任意一点，设AP '交⊙M 于点E ，连接AE ，则∠AEB =∠APB ，∵∠AEB 是ΔA P 'E 的外角，∴∠AEB>∠A P 'B ，∵∠APB >∠A P 'B ，即点P 在切点处时，∠APB 最大，∵⊙M 经过点A (0，2)、B (0，8)，∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y =5上，∵⊙M 与x 轴相切于点P ，ＭP ⊥x 轴，从而MP =5，即⊙M 的半径为5，设AB 的中点为D ，连接MD 、AM ，如上图，则MD ⊥AB ，AD =BD =12AB =3，BM =MP =5，而∠POD =90°，∴四边形OPMD 是矩形，从而OP =MD ，由勾股定理，得MD 4=，∴OP =MD =4，∴点P的坐标为(4，0)，故答案为：(4，0)．【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．3、【分析】根据题意作等边三角形ABC的外接圆，当点D运动到AB的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．【详解】解：根据题意作等边三角形ABC的外接圆，D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，D ∴在圆上运动，当点D 运动到AB 的中点时，四边形ADBC 的面积S 的最大值，过点D 作AB 的垂线交于点E ，如图：4120AB ADB =∠=︒，30,DBE BE ∴∠=︒=12DE BD ∴=，在Rt BDE 中，222BD DE BE =+，解得：2DE =，12ABDS AB DE ∴=⋅= 过点A 作BC 的垂线交于F ，12BF BC ∴==6AF ∴=，162ABC S ∴=⨯⨯==4ABC ABD ADBC S S S ∴+=四边形故答案是：【点睛】本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．4、22.5︒【分析】先由切线的性质得到∠OBC =90°，再由平行四边形的性质得到BO =BC ，则∠BOC =∠BCO =45°，由OD =OB ，得到∠ODB =∠OBD ，由∠ODB +∠OBD =∠BOC ，即可得到∠ODB =∠OBD =22.5°，即∠BDC =22.5°．【详解】解：∵BC 是圆O 的切线，∴∠OBC =90°，∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AO =BC ，又∵AO =BO ，∴BO =BC ，∴∠BOC =∠BCO =45°，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD ，∵∠ODB+∠OBD=∠BOC，∴∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知切线的性质是解题的关键．5【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE是直径，∠ECD=45°，CE=-⨯=，根据题意得：AB=2.5， 2.50.2522∴2222=+=，2CE CD DE CD∴CD ，尺．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．三、解答题1、（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE=90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ADO，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠DAE+∠OAD=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt△OFD中，OF=AE=4，∴5OD=，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴AD=∴AD的长是【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．2、（1）（4，﹣1）；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．【详解】（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），故答案为：（4，﹣1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．【点睛】本题主要考查作图—平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．3、成立，证明见解析【分析】根据阅读材料将△ADF旋转120°再证全等即可求得EF= BE+DF ．【详解】解：成立．证明：将ADF ∆绕点A 顺时针旋转120︒，得到ABM ∆，ABM ADF ∴∆∆≌，90ABM D ︒=∠=∠，MAB FAD ∠=∠，AM AF =，MB DF =，180MBE ABM ABE ︒∠=∠+∠=∴，M 、B 、E 三点共线，60MAE MAB BAE FAD BAE BAD EAF ︒∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=．AM AF =，MAE FAE ∠=∠，AE AE =，()MAE FAE SAS ∴∆∆≌，EF ME MB BE DF BE ∴==+=+．【点睛】本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键．4、边长为【分析】过点O 作OE ⊥BC ，垂足为E ，利用圆内接四边形的性质求出∠BOC =90°，∠OBC =45°，然后在Rt △OBE 中，根据勾股定理求出OE 、BE 即可．【详解】解：过点O 作OE ⊥BC ，垂足为E ，∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，∴∠BOC=3604=90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，∴BE=OE．在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得∵OE2+BE2=OB2,∴OE2+BE2=36,∴OE= BE=∴BC=2BE=即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于360n．5、（1）16π（2）24π【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC的长，利用弧长公式可求解；（2）由面积的和差关系可求解．（1）解：阴影部分的周长＝2×12×2π×6+6012180π⨯＝16π；（2）解：∵阴影部分的面积＝S 半圆+S 扇形BAC ﹣S 半圆＝S 扇形BAC ， ∴阴影部分的面积＝60144360π⨯⨯＝24π．答：阴影部分的周长为16π，阴影部分的面积为24π．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是n °，扇形的半径为r ，则扇形的弧长l 的计算公式为：180n r l π=，扇形的面积公式：2360n r S π=扇．。

2021-2022学年最新沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习练习题

沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，O 是△ABC 的外接圆，已知25ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．75° 2、如图，在Rt ABC 中，390,4,tan 4ACB AC A ∠===．以点C 为圆心，CB 长为半径的圆交AB 于点D ，则AD 的长是（）A ．1B ．75 C ．32 D ．23、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A．22.5°B．45°C．90°D．67.5°4、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（）A．80°B．70°C．60°D．50°5、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cmAB ，则水的最大深度为（）A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm6、如图，O的半径为6，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则ABC 面积的最大值是（）A ．B ．C ．D ．7、计算半径为1，圆心角为60︒的扇形面积为（）A ．3πB ．6πC ．2πD ．π8、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A ．平移B ．翻折C ．旋转D ．以上三种都不对9、如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于M ，则下列结论不一定成立的是（）A ．AM =BMB ．CM =DMC ．AC BC =D ．AD BD =10、在圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为2：4：7，则∠B 的度数为（）A ．140°B ．100°C ．80°D ．40°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知60°的圆心角所对的弧长l 是3.14厘米，则它所在圆的周长是______厘米．2、如图，将半径为10cm 的圆形纸片沿一条弦AB 折叠，折叠后弧AB 的中点C 与圆心O 重叠，则弦AB 的长度为________cm ．3、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________4、若一次函数y ＝kx +8（k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，当k 的取值变化时，点A 随之在x 轴上运动，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BQ ，连接OQ ，则OQ 长的最小值是 ___．5、圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，则全面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点，作射线AD ，满足045DAC ︒<∠<︒，在射线AD 取一点E ，且AE BC >．将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AF ，连接BE ，FE ，连接FC 并延长交BE 于点G ．（1）依题意补全图形；（2）求EGF ∠的度数；（3）连接GA ，用等式表示线段GA ，GB ，GC 之间的数量关系，并证明．2、如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，点A 、C 在O 上，过点A 作AE CD ⊥的延长线于点E ，已知DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 切线；（2）若4AE =，6CD =，求O 的半径和AD 的长．3、如图，已知在ABC 中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，将ABD △绕点A 旋转，得到ACD '△，连接D E '．（1）当120BAC ∠=︒时，60DAE ∠=︒时，求证：DE D E '=；（2）当DE D E '=时，DAE ∠与BAC ∠有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．（3）在（2）的结论下，当90BAC ∠=︒，BD 与DE 满足怎样的数量关系时，D EC '△是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）4、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，O ，Q 给出如下定义：若OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，我们称点P 是线段OQ 的“潜力点”已知点O （0，0），Q （1，0）（1）在P 1（0，-1），P 2（12，32），P 3（-1，1）中是线段OQ 的“潜力点”是_____________；（2）若点P 在直线y ＝x 上，且为线段OQ 的“潜力点”，求点P 横坐标的取值范围；（3）直线y ＝2x ＋b 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，当线段MN 上存在线段OQ 的“潜力点”时，直接写出b 的取值范围5、如图，在Rt ABC △中，90BCA ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕着点A 顺时针旋转得到ADE ，连接BD ，连接CE 并延长交BD 于点F ．（1）求BFE ∠的度数；（2）若5AC BC ==，且CE EF =，求DF 的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】由OA=OB ，25ABO ∠=︒，求出∠AOB =130°，根据圆周角定理求出ACB ∠的度数．【详解】解：∵OA=OB ，25ABO ∠=︒，∴∠BAO =25ABO ∠=︒．∴∠AOB =130°．∴ACB ∠=12∠AOB =65°．故选：C ．【点睛】此题考查了同圆中半径相等的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．2、B【分析】利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用cosBC BEBAB BC==，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．【详解】解：在Rt ABC中，390,4,tan4 ACB AC A∠===，∴BC=3，5AB=，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，∵cosBC BEBAB BC==，∴353BE =，解得95 BE=，∵CB=CD，CE⊥AB，∴1825 BD BE==，∴187555 AD AB BD=-=-=，故选：B．【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．3、B根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．4、A【分析】根据三角形旋转得出DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，根据点A ，D ，E 在同一条直线上利用邻补角关系求出18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC =50°，由此即可求解．【详解】证明：∵ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，∴DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，∴∠ADC =∠DAC ，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，∴∠DAC =50°，∴∠BAD =∠BAC -∠DAC =80°故选A ．本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．5、C【分析】连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，如图所示：则136()2BD AB cm==，O的直径为78cm，39()OB OC cm∴==，在Rt OBD△中，15()OD cm，391524()CD OC OD cm∴=-=-=，即水的最大深度为24cm，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、C【分析】如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．【详解】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，由题意可得AB垂直平分线段OK，∴AO=AK，OH=HK=3，∵OA=OK，∴OA=OK=AK，∴∠OAK=∠AOK=60°，∴AH=OA×sin∵OH⊥AB，∴AH=BH，∴AB=2AH∵OC+OH⩾CT，∴CT⩽6+3=9，∴CT 的最大值为9，∴△ABC 的面积的最大值为192⨯故选：C.【点睛】本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT 的最大值，属于中考常考题型．7、B【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【详解】2260113603606n r S πππ︒⨯⨯===︒︒扇形故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式2360n r S π=︒扇形是解题的关键． 8、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C ．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．9、B根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．【详解】解：∵弦AB ⊥CD ，CD 过圆心O ，∴AM =BM ，AC BC =，AD BD =，即选项A 、C 、D 选项说法正确，不符合题意，当根据已知条件得CM 和DM 不一定相等，故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．10、C【分析】180A C ∠+∠=︒，::2:4:7A B C ∠∠∠=，40A ∠=︒，进而求解B 的值．【详解】解：由题意知180A C ∠+∠=︒∵::2:4:7A B C ∠∠∠=∴():1802:7A A ∠-∠=∴40A ∠=︒∵:2:4A B ∠∠=∴80B ∠=︒故选C ．本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．二、填空题1、18.84【分析】先根据弧长公式求得πr ，然后再运用圆的周长公式解答即可．【详解】解：设圆弧所在圆的半径为r 厘米，则60 3.14180r π⨯=，解得9.42r π=，则它所在圆的周长为229.4218.84r π=⨯=（厘米），故答案为：18.84．【点睛】本题主要考查了弧长公式、圆的周长公式等知识点，牢记弧长公式是解答本题的关键．2、【分析】连接OC 交AB 于点D ，再连接OA ．根据轴对称的性质确定OC AB ⊥，OD =CD ；再根据垂径定理确定AD =BD ；再根据勾股定理求出AD 的长度，进而即可求出AB 的长度．【详解】解：如下图所示，连接OC 交AB 于点D ，再连接OA ．∵折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，∴OC AB⊥，OD=CD．∴AD=BD．∵圆形纸片的半径为10cm，∴OA=OC=10cm．∴OD=5cm．∴AD=．∴BD=．∴AB AD BD=+=．故答案为：【点睛】本题考查轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．3、【分析】122S l r rl=⋅=ππ即可得出圆锥侧面积为．【详解】∵ABC 是一个圆锥在某平面上的正投影∴ABC 为等腰三角形∵AD ⊥BC ∴122CD BD BC ===在Rt ADC 中有A C =即AC由圆锥侧面积公式有2S rl ==⨯=ππ．故答案为：。

2021-2022学年最新沪科版九年级数学下册第24章圆章节训练练习题(精选)

沪科版九年级数学下册第24章圆章节训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点P'的坐标是（）A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)2、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．5 B．95C．165D．1253、在半径为6cm的圆中，120︒的圆心角所对弧的弧长是（）A．12πcm B．3πcm C．4πcm D．6πcm4、如图，P 为正六边形ABCDEF 边上一动点，点P 从点D 出发，沿六边形的边以1cm/s 的速度按逆时针方向运动，运动到点C 停止．设点P 的运动时间为()s x ，以点P 、C 、D 为顶点的三角形的面积是()2cm y ，则下列图像能大致反映y 与x 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．5、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6、如图，A ，B ，C ，D 都是O 上的点，OA BC ⊥，垂足为E ，若26OBC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）A．26︒B．32︒C．52︒D．64︒7、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（）A．10 B．C．D．12∠=（）9、如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，若130BOC∠=︒，则ADCA．15°B．20°C．25°D．30°10、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为_______．3、如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2_____（填写所有正确结论的序号）．P-绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q，则点Q的坐标是4、在平面直角坐标系中，将点(2,7)___________．5、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在等边ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若2AB=，求CE的长；（2）如图2，取CE 的中点F ，连接DF ，猜想AD 与DF 存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE 、AF 交于G 点．若GF DF =，请直接写出CD AB BE+的值． 2、已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，将△ABC 绕点B 按顺时针方向旋转．（1）当C 转到AB 边上点C ′位置时，A 转到A ′，（如图1所示）直线CC ′和AA ′相交于点D ，试判断线段AD 和线段A ′D 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）将Rt △ABC 继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将Rt △ABC 旅转至A 、C ′、A ′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．3、（教材呈现）下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：推论1 90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）（推论证明）已知：△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，且∠ACB ＝90°．求证：线段AB 是⊙O 的直径．请你结合图①写出推论1的证明过程．（深入探究）如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为．（拓展应用）如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD，点E是BC的中点，连结DE．若AB＝DE的长为．4、如图，AB，AC是O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交O于点D，过点D作O的切线交AB的延长线于点E，EF AC⊥于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD=2DE=，求AC的长.．5、如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴的负半轴上，顶点CD在第二象限．将正方形ABCD绕点A 按顺时针方向旋转，B、C、D的对应点分别为B1、C1、D1，且D1、C1、O三点在一条直线上．记点D1的坐标是（m，n），C1的坐标是（p，q）．（1）设∠DAD1＝30°，n＝2，求证：OD1的长度；（2）若∠DAD1＜90°，m，n满足m+n＝﹣4，p2+q2＝25，求p+q的值．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（﹣x ，﹣y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：点P （3，﹣2）关于原点O 的对称点P '的坐标是（﹣3，2）．故选：B ．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．2、D【分析】连接OF ，OE ，OG ，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠，利用平行线的性质及角之间的关系得出90BOC ∠=︒，利用勾股定理得出5BC =，再由三角形的等面积法即可得．【详解】解：连接OF ，OE ，OG ，∵AB 、BC 、CD 分别与O 相切，∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，且OE OF OG ==，∴OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠， ∴12OBC ABC ∠=∠，12BCO BCD ∠=∠，∵AB CD ∥，∴180ABC BCD ∠+∠=︒， ∴119022OBC BCO ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴90BOC ∠=︒，5BC =，∴S SSSS =12SS ·SS =12SS ·SS ， ∴341255OF ⨯==，故选：D ．【点睛】题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．3、C【分析】直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．【详解】解：由题意得：120︒的圆心角所对弧的弧长是12064180180n r πππ⨯==；故选C ．【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．4、A【分析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，当P 在DE 上时，过P 作PH CD ⊥于,H 而120,,CDP PD x 求解此时的函数解析式，当P 在EF 上时，延长,CD FE 交于点,M 过P 作PQ CD ⊥于,Q 并求解此时的函数解析式，当P 在AF 上时，连接,,AC CF 并求解此时的函数解析式，由正六边形的对称性可得：P 在AB 上的图象与P 在EF 上的图象是对称的，P 在BC 上的图象与P 在DE 上的图象是对称的，从而可得答案.【详解】解：设正六边形ABCDEF 的边长为1，当P 在DE 上时，过P 作PH CD ⊥于,H 而120,,CDP PD x60,PDH 3sin 60,2PH PD x11331,2224y CD PH x x 当P 在EF 上时，延长,CD FE 交于点,M 过P 作PQ CD 于,Q同理：120,CDEFED 60,EDM DEM 则DEM △为等边三角形，60,1,,EMD EMED PM PE EM PE ED x 3sin 60,2PQ PM x 11331,2224yCD PQ x x 当P 在AF 上时，连接,,AC CF由正六边形的性质可得：120,,ABC BAF AFE BA BC118012030,1203090,2BAC CAF由正六边形的对称性可得：160,2AFC AFE而1,AFtan603,AC AF11313,222y CD AC由正六边形的对称性可得：P在AB上的图象与P在EF上的图象是对称的，P在BC上的图象与P在DE上的图象是对称的，所以符合题意的是A，故选A【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，锐角三角函数的应用，正多边形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.5、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．6、B【分析】连接OC ．根据OA BC ⊥确定AC AB =，90OEB ∠=︒，进而计算出AOB ∠，根据圆心角的性质求出AOC ∠，最后根据圆周角的性质即可求出ADC ∠．【详解】解：如下图所示，连接OC ．∵OA BC ⊥，∴AC AB =，90OEB ∠=︒．∴AOC AOB ∠=∠．∵26OBC ∠=︒．∴64AOB ∠=︒．∴64AOC ∠=︒∵ADC ∠和AOC ∠分别是AC 所对的圆周角和圆心角，∴3122A ADC OC ∠=︒∠=．故选：B ．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．7、C【分析】利用中心对称图形的定义：旋转180︒能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故A 错误．B 、不是中心对称图形，故B 错误．C 、是中心对称图形，故C 正确．D 、不是中心对称图形，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．8、D【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再由OB =OC 判断出△OBC 是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°．∵OB=OC，BC=6，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=6．∴⊙O的直径等于12．故选：D．【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．9、C【分析】根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．【详解】解：∵∠BOC=130°，∴∠BDC=12∠BOC=65°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°-65°=25°，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．10、A【分析】根据旋转的性质求解80,BOD AOC 110,C A 再利用三角形的内角和定理求解1801104030,COD 再利用角的和差关系可得答案.【详解】解：将△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，80,BOD AOC∠A 的度数为110°，∠D 的度数为40°，110,1801104030,C A COD 803050,AOD 故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.二、填空题1、4【分析】由周长公式可得⊙O 半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF 中心角为60 ，即可知正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF 边长．【详解】∵⊙O 的周长为8π∴⊙O 半径为4∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O∴正六边形ABCDEF 中心角为360606︒=︒ ∴正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的∴正六边形ABCDEF 边长为4.故答案为：4．【点睛】本题考查了正多边形的中心角公式，正n 边形的每个中心角都等于360n︒，由中心角为60︒得出正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．2、34y x =+##【分析】先求出点A 、B 的坐标，过点A 作AF ⊥AB ，交直线BC 于点F ，过点F 作EF ⊥x 轴，垂足为E ，然后由全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出点F 的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案．【详解】解：∵一次函数y ＝－2x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，∴令0x =，则4y =；令0y =，则2x =，∴点A 为（2，0），点B 为（0，4），∴2OA =，4OB =；过点A 作AF ⊥AB ，交直线BC 于点F ，过点F 作EF ⊥x 轴，垂足为E ，如图，∴90AEF AOB ∠=∠=︒，∴90FAE BAE ABO BAE ∠+∠=︒=∠+∠，∴FAE ABO ∠=∠，∵45ABE ∠=︒，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF =AB ，∴△ABO ≌△FAE （AAS ），∴AO =FE ，BO =AE ，∴2FE =，4AE =，∴422OE =-=，∴点F 的坐标为（2-，2-）；设直线BC 为y ax b =+，则224a b b -+=-⎧⎨=⎩，解得：34a b =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为34y x =+；故答案为：34y x =+；【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．3、②③④【分析】根据切线的性质，正方形的性质，通过三角形全等，证明HD=HM，∠HCM=∠HCD，GM=GB，∠GCB=∠GCM，可判断前两个结论；运用对角互补的四边形内接于圆，证明∠GHF+∠GEF=180°，取GH的中点P，连接PA，则PA+PC≥AC，当PC最大时，PA最小，根据直径是圆中最大的弦，故PC=1时，PA最小，计算即可．【详解】∵GH是⊙O的切线，M为切点，且CM是⊙O的直径，∴∠CMH=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CMH=∠CDH=90°，∵CM=CD，CH=CH，∴△CMH≌△CDH，∴HD=HM，∠HCM=∠HCD，同理可证，∴GM=GB，∠GCB=∠GCM，∴GB+DH=GH，无法确定HD＝2BG，故①错误；∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°，∴2∠HCM+2∠GCM=90°，∴∠HCM+∠GCM=45°，即∠GCH＝45°，故②正确；∵△CMH ≌△CDH ，BD 是正方形的对角线， ∴∠GHF =∠DHF ，∠GCH =∠HDF =45°， ∴∠GHF +∠GEF =∠DHF +∠GCH +∠EFC =∠DHF +∠HDF +∠HFD=180°，根据对角互补的四边形内接于圆， ∴H ，F ，E ，G 四点在同一个圆上，故③正确；∵正方形ABCD 的边长为1，∴BCG GCHA ABCD S S S S =--△△CDH 四边形四边形 =11()2BG DH -+=112GH -，∠GAH =90°，AC 取GH 的中点P ，连接PA ，∴GH =2PA ，∴GCHA S 四边形=1PA -，∴当PA 取最小值时，GCHA S 四边形有最大值，连接PC ，AC ，则PA +PC ≥AC ，∴PA ≥AC - PC ，∴当PC 最大时，PA 最小，∵直径是圆中最大的弦，∴PC =1时，PA 最小，∴当A ，P ，C 三点共线时，且PC 最大时，PA 最小，∴PA ，∴GCHA S 四边形最大值为：1-），∴四边形CGAH 面积的最大值为2∴④正确；故答案为: ②③④．【点睛】本题考查了切线的性质，直径是最大的弦，三角形的全等，直角三角形斜边上的中线，四点共圆，正方形的性质，熟练掌握圆的性质，灵活运用直角三角形的性质，线段最短原理是解题的关键． 4、()2,7-【分析】绕坐标原点顺时针旋转180︒即关于原点O 中心对称，找到P 关于原点中心对称的点的坐标即可，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：将点(2,7)P -绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q ，则点Q 的坐标是()2,7-故答案为：()2,7-【点睛】本题考查了求一个点关于原点中心对称的点的坐标，掌握关于原点中心对称的点的坐标特征是解题的关键．关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数．5、【分析】122S l r rl=⋅=ππ即可得出圆锥侧面积为．【详解】∵ABC是一个圆锥在某平面上的正投影∴ABC为等腰三角形∵AD⊥BC∴122CD BD BC===在Rt ADC中有A C=即AC由圆锥侧面积公式有2S rl==⨯=ππ．故答案为：。

2021-2022学年沪科版九年级数学下册第24章圆专题攻克练习题(含详解)

沪科版九年级数学下册第24章圆专题攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cmAB ，则水的最大深度为（）A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm2、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（）A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°3、如图，△ABC 外接于⊙O ，∠A ＝30°，BC ＝3，则⊙O 的半径长为（）A ．3BCD ．4、如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．将△ADE 绕点A 顺时针旋转60°，射线BD 与射线CE 交于点P ，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC ≌△ADB ；②CP 存在最大值为3+BP 存在最小值为3；④点P 运动的路径长为2π．其中，正确的（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④5、平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是（）A ．()9,7-B ．()7,9-C ．()7,9D ．()7,9--6、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy 中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8、如图，PA 是O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交O 于点B ，若40P ∠=︒，则B 的度数为（）．A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°9、在半径为6cm 的圆中，120︒的圆心角所对弧的弧长是（）A ．12πcmB ．3πcmC ．4πcmD ．6πcm10、下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转________度，可以与自身重合．2、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP △绕点B 顺时针方向旋转,能与1CBP 重合，若5PB =，则1PP =______．3、如图，四边形ABCD 内接于圆，E 为CD 延长线上一点，图中与∠ADE 相等的角是 _________ ．4、数学兴趣活动课上，小方将等腰ABC 的底边BC 与直线l 重合，问：（1）如图（1）已知20AB AC ==，120BAC ∠=︒，点P 在BC 边所在的直线l 上移动，小方发现AP 的最小值是______；（2）如图（2）在直角ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，10AC =，点D 是CB 边上的动点，连接AD ，将线段AD 顺时针旋转60°，得到线段AP ，连接CP ，线段CP 的最小值是______．5、在平面直角坐标系中，已知点(2,8)A a b --与点(2,3)B a b -+关于原点对称，则=a ________，b =________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于线段AB ，给出如下定义：若线段AB 沿着某条直线l 对称可以得到⊙O 的弦A ′B ′，则称线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，直线l 称为“反射轴”．（1）如图，线段CD ，EF ，GH 中是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”有；（2）已知A 点坐标为（0，2），B 点坐标为（1，1），①若线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，求反射轴l 与y 轴的交点M 的坐标． ②若将“反射线段”AB 沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S ，其反射轴l 与y 轴的交点的纵坐标y M 的取值范围为12≤y M 136≤，求S ．（3）已知点M ，N 是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN ＝1，若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，当M 点在圆上运动一周时，求反射轴l 未经过的区域的面积．（4）已知点M ，N 是在以（2，0MN =MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，当M 点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l 与y 轴交点的纵坐标的取值范围．2、如图 1，O 为直线 DE 上一点，过点 O 在直线 DE 上方作射线 OC ，∠EOC =130°．将直角三角板AOB （∠OAB ＝30°）的直角顶点放在点O 处，一条边 OA 在射线 OD 上，另一边 OB 在直线 DE 上方，将直角三角板绕点 O 按每秒 5°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t 秒．（1）如图2，当t =4 时，∠AOC = ，∠BOE = ，∠BOE ﹣∠AOC = ；（2）当三角板旋转至边 AB 与射线 OE 相交时（如图 3），试猜想∠AOC 与∠BOE 的数量关系，并说明理由；（3）在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线 OA 、OC 、OD 中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出 t 的取值，若不存在，请说明理由．3、如图，AB BC =，ABC BCE α∠=∠=，点D 是BC 上一点，AD 与BE 相交于点F ，且BFD α∠=．（1）求证：BFD ABD ∽△△；（2）求证：AD BE =；（3）若点D 是BC 中点，连接FC ，求证：FC 平分DFE ∠．4、如图，已知线段4MN =，点A 在线段MN 上，且1AM =，点B 为线段AN 上的一个动点．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，旋转角分别为α和β．若旋转后M 、N 两点重合成一点C （即构成ABC ），设AB x =．（1）ABC 的周长为_______；（2）若270αβ+=︒，求x 的值．5、如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且CD AB ⊥于点E ．（1）求证：BCO D∠=∠；（2）若CD=，1OE=，求O的半径．-参考答案-一、单选题1、C【分析】连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，如图所示：则136()2BD AB cm==，O的直径为78cm，39()OB OC cm∴==，在Rt OBD △中，15()OD cm ，391524()CD OC OD cm ∴=-=-=，即水的最大深度为24cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2、A【分析】根据旋转的性质求解80,BOD AOC 110,C A 再利用三角形的内角和定理求解1801104030,COD 再利用角的和差关系可得答案.【详解】解：将△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，80,BOD AOC∠A 的度数为110°，∠D 的度数为40°，110,1801104030,C A COD 803050,AOD 故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.3、A【分析】分析：连接OA、OB，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO是等边三角形，即可求出⊙O的半径．【详解】解：连接BO，并延长交⊙O于D，连结DC，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∵BD为直径，∴∠BCD=90°，在Rt△BCD中，BC=3，∠D=30°，∴BD=2BC=6，∴OB=3．故选A．【点睛】本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．4、B【分析】根据90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．得出∠DAE =90°，AD =AE =16=32⨯，可证∠DAB =∠EAC ，再证△DAB ≌△EAC （SAS ），可判断①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A 为圆心，AE 为半径的圆，当CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，根据△AEC ≌△ADB ，得出∠DBA=∠ECA ，可证∠P =∠BAC =90°，CP 为⊙A 的切线，证明四边形DAEP 为正方形，得出PE =AE =3，在Rt△AEC 中，CE=CP存在最大值为3+AEC ≌△ADB ，得出BD =CE=Rt△BPC 中，BP 最小3==可判断③BP 存在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，AB =AC =6，∠BAC =90°，BP =CO =AO=1122BC ==⨯，当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162AE AC ==，可求∠ACE =30°，根据圆周角定理得出∠AOP =2∠ACE =60°，当AD ⊥BP′时，BP′与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ABD =3162AD AB ==，可得∠ABD =30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD =60°，点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径，的圆上运动轨迹为PAP '，L PAP '12032180ππ⨯==可判断④点P 运动的路径长为2π正确即可．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．∴∠DAE =90°，AD =AE =16=32⨯， ∴∠DAB +∠BAE =90°，∠BAE +∠EAC =90°，∴∠DAB =∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ），故①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，∵△AEC≌△ADB，∴∠DBA=∠EC A，∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，∴∠P=∠BAC=90°，∵CP为⊙A的切线，∴AE⊥CP，∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，∴四边形DAEP为矩形，∵AD=AE，∴四边形DAEP为正方形，∴PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE===，∴CP最大=PE+EC=3+故②CP存在最大值为3+∵△AEC ≌△ADB ，∴BD =CE =在Rt△BPC 中，BP 最小3=，BP 最短=BD -PD =，故③BP 存在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，∵AB =AC =6，∠BAC=90°，∴BP =CO =AO =1122BC =⨯=，当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162AE AC ==， ∴∠ACE =30°，∴∠AOP =2∠ACE =60°，当AD ⊥BP′时，BP′与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ABD =3162AD AB ==， ∴∠ABD =30°，∴∠AOP′=2∠ABD =60°，∴点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径，的圆上运动轨迹为PAP '，∵∠POP =∠POA +∠AOP ′=60°+60°=120°，∴L PAP '12032180ππ⨯==．故④点P 运动的路径长为2π正确；正确的是①②④．故选B ．【点睛】本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．5、B【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：平面直角坐标系中点()7,9P -关于原点对称的点的坐标是()7,9-故选B【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．6、B【分析】根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．7、C【分析】利用中心对称图形的定义：旋转180 能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．【详解】解：A、不是中心对称图形，故A错误．B、不是中心对称图形，故B错误．C、是中心对称图形，故C正确．D、不是中心对称图形，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．8、B【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．【详解】解：连接OA，如图，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO=90°，∵∠P=40°，∴∠AOP=50°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∵∠AOP=∠B+∠OAB，∴∠B=12∠AOP=12×50°=25°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．9、C【分析】直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．【详解】解：由题意得：120︒的圆心角所对弧的弧长是12064 180180n rπππ⨯==；故选C．【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．10、A【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，此项符合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，此项不符题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180︒，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．二、填空题1、60【分析】正六边形连接各个顶点和中心，这些连线会将360°分成6分，每份60°因此至少旋转60°，正六边形就能与自身重合．【详解】360°÷6=60°故答案为：60【点睛】本题考查中心对称图形的性质，根据图形特征找到最少旋转度数是本题关键．2、【分析】根据旋转角相等可得1PBP ∠90ABC =∠=︒，进而勾股定理求解即可【详解】解：四边形ABCD 是正方形90ABC ∴∠=︒将ABP △绕点B 顺时针方向旋转,能与1CBP 重合，∴1PBP ∠90ABC =∠=︒，15PB PB==1PP ∴==故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，求得旋转角相等且等于90°是解题的关键．3、∠ABC【分析】根据圆内接四边形的性质可得180ADC ABC ∠+∠=︒，再由题意可得180ADC ADE ∠+∠=︒，由等式的性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于圆，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，∵E 为CD 延长线上一点，∴180ADC ADE ∠+∠=︒，∴ABC ADE ∠=∠，故答案为：ABC ∠．【点睛】题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．4、10 5【分析】（1）如图，作AH ⊥BC 于H ．根据垂线段最短，求出AH 即可解决问题．（2）如图，在AB 上取一点K ，使得AK ＝AC ，连接CK ，DK ．由△PAC ≌△DAK （SAS ），推出PC ＝DK ，易知KD ⊥BC 时，KD 的值最小，求出KD 的最小值即可解决问题．【详解】解：如图作AH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ＝20，120BAC ∠=︒， ∴180120302C ︒-︒∠==︒ ， ∵90AHC ∠=︒ ， ∴1102AH AC == ，根据垂线段最短可知，当AP 与AH 重合时，PA 的值最小，最小值为10． ∴AP 的最小值是10；（2）如图，在AB 上取一点K ，使得AK ＝AC ，连接CK ，DK ．∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAK ＝60°，∴∠PAD ＝∠CAK ，∴∠PAC ＝∠DAK ，∵PA ＝DA ，CA ＝KA ，∴△PAC ≌△DAK （SAS ），∴PC ＝DK ，∵KD ⊥BC 时，KD 的值最小，∵10,,90AK AC KD BC ACB ==⊥∠=︒ ，60,CAKACK 是等边三角形，,AK CK 30,KCB B ,KC KB ∴152KD AC == ， ∴PC 的最小值为5．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．5、2 2【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a 、b 即可求得答案．【详解】解：∵点()2,8A a b --和点()2,3B a b -+关于原点对称，∴2238a b a b -=⎧⎨+=⎩， ∴22a b =⎧⎨=⎩，故答案为：2；2．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键．三、解答题1、（1）EF 、CD ；（2）①1(0,)2M ；②02S ≤≤；（3）1916π⎛ ⎝⎭;（4）1y >或1y <- 【分析】（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2，根据两点的距离可得2,EF CD EF ===而即可求得答案；（2）①根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求得M 的坐标；②由①可得当0S =时，y M 1=2，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =，根据余弦求得11cos cos QO PO MOQ O OP OM OO ∠=∠==进而代入数值列出方程，解方程即可求得S 的最大值，进而求得S 的范围；（3）根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线，求得半径为1算即可；（4）根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，即3OO 的中点1A 在以S l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围【详解】（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2根据两点的距离可得2,EF CD EF ===2,2,2EF CD EF ∴<<>故符合题意的“反射线段”有EF 、CD ；故答案为：EF 、CD（2）①如图，过点B 作BO y '⊥轴于点O '，连接11A BA 点坐标为（0，2），B 点坐标为（1，1），∴AB ==45BAO '∠=︒，(0,1)O 'O 的半径为1，1190AOB ∠=︒11A B ∴1145B A O =︒线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，()00O ，，(0,1)O ' 1(0,)2M ∴ ②由①可得当0S =时，y M 1=2如图，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =，(0,1)O '1(,1)O S S ∴+()222211221OO S S S S ∴=++=++ 过1OO 中点Q ，作直线l 1OO ⊥交y 轴于点M ,则l 即为反射轴1(,)22S S Q +∴12≤y M 136≤， 136OM ∴= 11cos cos QO PO MOQ O OP OM OO ∠=∠== 即11112136OO S OO +=即()21113126OO S =+⨯ ∴()2113126S S S ++=+ 解得1252,6S S ==-（舍）02S ∴≤≤（3）1MN =∴1M N ''= O 的半径为1，则M N O ''是等边三角形，根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,∴反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线222OO ∴==2112OR OO ∴==∴当M 点在圆上运动一周时，求反射轴l 未经过的区域的面积为2191=16ππ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．（4）如图，根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,设(2,0)T则TM =2MN =3O MN 是等腰直角三角形3O L ML ∴,TL ∴==3TO ∴=当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，1SA ∴是3OO T 的中位线1312SA O T ∴==,13SA TO ∥即3OO 的中点1A 在以S∴若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，则l 为S 的切线设S 与y 轴交于点,C D 112OS OT ==，1SC SA =1OC ∴=同理可得1OD =∴反射轴l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围为1y >或1y <-【点睛】本题考查了中心对称与轴对称，圆的相关知识，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义，掌握轴对称与中心对称并根据题意作出图形是解题的关键．2、（1）30°，70°，40°；（2）∠AOC－∠BOE=40°，理由见解析；（3）t的取值为5或20或62【分析】（1）先根据已知求出∠DOC、∠BOC，再求出当t=4时的旋转角的度数，再利用角的和与差求解即可；（2）设旋转角为x，用x表示∠AOC和∠BOE，即可得出结论；（3）分①OA为∠DOC的平分线；②OC为∠DOA的平分线；③OD为∠COA的平分线三种情况，利用角平分线定义和旋转性质求出旋转角即可．（1）解：∵∠EOC=130°，∠AOB=∠BOE=90°，∴∠DOC=180°－130°=50°，∠BOC=130°－90°=40°，当t=4时，旋转角4×5°=20°，∴∠AOC=∠DOC－∠DOA=50°－20°=30°，∠BOE=90°－20°=70°，∠BOE－∠AOC=70°－30°=40°，故答案为：30°，70°，40°；（2）解：∠AOC－∠BOE=40°，理由为：设旋转角为x，当三角板旋转至边AB与射线OE相交时，∠AOC=x－50°，∠BOE=x－90°，∴∠AOC－∠BOE=（x－50°）－（x－90°）=40°；（3）解：存在，①当OA 为∠DOC 的平分线时，旋转角5t =12∠DOC =25，∴t =5；②当OC 为∠DOA 的平分线时，旋转角5t =2∠DOC =100，∴t =20；③当OD 为∠COA 的平分线时，360－5t =∠DOC =50，∴t =62，综上，满足条件的t 的取值为5或20或62．【点睛】本题考查角平分线的定义、旋转的性质、角的运算，熟练掌握旋转性质，利用分类讨论思想求解是解答的关键．3、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）在BDF 和ABD 中，=BFD ABD α∠=∠，BDF ADB ∠=∠，故可证明三角形相似．（2）由ABD BCE ≌得出AD BE =．（3）法一：由题意知BD CD =，由BFD ABD ∽得BD FD AD BD =，有22BD DF DA CD =⋅=，所以可得CD DF AD CD=，又因为ADC CDF ∠=∠可得CDF ADC ∽，DFC DCA ∠=∠；由于1802BAC BCA DCA DFC α︒-∠=∠==∠=∠，180180EFC 18022ααα︒-︒-∠=︒--=，进而说明DFC EFC ∠=∠，得出FC 平分DFE ∠．法二：通过BFD BCE α∠=∠=得出F 、D 、C 、E 四点共圆，由CD BD CE ==得DFC EFC ∠=∠，从而得出FC 平分DFE ∠．【详解】解：（1）证明在BDF 和ABD 中BFD ABDBDF ADBDBF DAB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴BDF ABD∽．（2）证明：在ABD和BCE中DAB EBCAB BCABD BCE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD BCE∴≌()ASAAD BE∴=．（3）证明：BFD ABD∽2BD DF DA∴=⋅又D是BC中点BD CD∴=2CD DF DA∴=⋅CDF ADC∴∠=∠CDF ADC∴∽DFC DCA∴∠=∠AB AC=，ABCα∠=1802BAC BCAα︒-∴∠=∠=1802 DFC DCA BCAα︒-∴∠=∠=∠=180180 EFC18022ααα︒-︒-∴∠=︒--=DFC EFC∴∠=∠FC∴平分DFE∠．法二：BFD BCEα∠=∠=∴F、D、C、E四点共圆又D是BC点，CD BD CE∴==DFC EFC∴∠=∠FC∴平分DFE∠．【点睛】本题考察了相似三角形的判定，全等三角形，角平分线，圆内接四边形等知识点．解题的关键与难点在于角度的转化．解题技巧：多个角度相等时可考虑将几何图形放入圆中利用同弧或等弧所对圆周角相等求解．4、（1）4（2）5 3【分析】（1）由旋转知：AM=AC=1，BN=BC，将△ABC的周长转化为MN；（2）由α+β=270°，得∠ACB=90°，利用勾股定理列方程即可．（1）解：由旋转知：AM=AC=1，BN=BC=3-x，∴△ABC的周长为：AC+AB+BC=MN=4；故答案为：4；（2）解：∵α+β=270°，∴∠CAB+∠CBA=360°-270°=90°，∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-90°=90°，∴AC2+BC2=AB2，即12+（3-x）2=x2，解得53x=．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，证明∠ACB=90°是解题的关键．5、（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据∠D=∠B，∠BCO=∠B，代换证明；（2）根据垂径定理，得CE=1OE=，利用勾股定理计算即可．【详解】（1）证明：∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B；∵AC AC=，∴∠B＝∠D；∴∠BCO＝∠D；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 于点E ，∴CE ＝12CD ，∵CD ＝∴CE ＝12⨯= 在Rt △OCE 中，222OC CE OE =+，∵OE ＝1，∴2221OC =+，∴3OC =；∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，结合图形，熟练运用三个定理是解题的关键．。

2021-2022学年度沪科版九年级数学下册第24章圆专题攻克练习题(含详解)

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（）A．140°B．100°C．80°D．40°2、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3、如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM 绕点B逆时针旋转60 得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．54B．1 C．2 D．524、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC=130°，则∠AOC的度数为（）A．25°B．80°C．130°D．100°5、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cmAB ，则水的最大深度为（）A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm6、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A ．22.5°B ．45°C ．90°D ．67.5°7、点P (－3，1)关于原点对称的点的坐标是（）A ．(－3，1)B ．(3，1)C ．(3，－1)D ．(－3，－1)8、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图，点A 、B 、C 在O 上，50∠=°ACB ，则OAB ∠的度数是（）A ．100°B ．50°C ．40°D ．25°10、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转________度，可以与自身重合．2、如图，在等腰直角ABC ∆中，已知90ABC ︒∠=，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转60°，得到∆MNC ，连接BM ，若2AB =，则BM =________．3、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP △绕点B 顺时针方向旋转,能与1CBP 重合，若5PB =，则1PP =______．4、如图，在⊙O 中，∠BOC =80°，则∠A =___________°．5、如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，Q 是优弧AB 上一点，若∠P =40°，则∠Q 的度数是________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi 详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC AB >， M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+．下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG AB =，连接,,MA MB MC 和MG ．M 是ABC 的中点，MA MC ∴=…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；（2）填空：如图3，已知等边ABC内接于O，2AB=，D为AC上一点，45⊥ABD︒∠=，AE BD 于点E，则BDC的周长是_________．2、如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．（1）阴影部分的周长；（2）阴影部分的面积．（结果保留π）3、如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作DC AE⊥交AE 的延长线于点C．（1）求证：CD 是⊙O 的切线．（2）若9AC =，求阴影部分的面积．4、如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点，且与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点(0,2)B ，点C 在第二象限M 上，且60AOC ∠=︒，则OC =__．5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线．（1）求证：AM 是⊙O 的切线；（2）连接CO 并延长交AM 于点N ，若⊙O 的半径为2，∠ANC = 30°，求CD 的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】180A C ∠+∠=︒，::2:4:7A B C ∠∠∠=，40A ∠=︒，进而求解B 的值．【详解】解：由题意知180A C ∠+∠=︒∵::2:4:7A B C ∠∠∠=∴():1802:7A A ∠-∠=∴40A ∠=︒∵:2:4A B ∠∠=∴80B ∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．2、C【分析】利用中心对称图形的定义：旋转180︒能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故A 错误．B 、不是中心对称图形，故B 错误．C 、是中心对称图形，故C 正确．D 、不是中心对称图形，故D 错误．故选：C．【点睛】本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．3、A【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，AB，∴HB=12∴HB=BG，又∵MB旋转到BN，∴BM=BN，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ），∴MG =NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH =12×60°=30°，CG =12AB =12×5=2.5，∴MG =12CG =54，∴HN =54，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．4、D【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B 的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠B +∠ADC =180°，∵∠ADC =130°，∴∠B =50°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=100°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5、C【分析】连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，如图所示：则136()2BD AB cm==，O的直径为78cm，39()OB OC cm∴==，在Rt OBD△中，15()OD cm，391524()CD OC OD cm∴=-=-=，即水的最大深度为24cm，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．7、C【分析】据平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），然后直接作答即可．【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点P （-3，1）关于原点O 中心对称的点的坐标为（3，-1）．故选：C ．【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．8、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．9、C【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵∠ACB=50°，∴∠AOB=100°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA= 40°，故选：C．【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．二、填空题1、60【分析】正六边形连接各个顶点和中心，这些连线会将360°分成6分，每份60°因此至少旋转60°，正六边形就能与自身重合．【详解】360°÷6=60°故答案为：60【点睛】本题考查中心对称图形的性质，根据图形特征找到最少旋转度数是本题关键．2【分析】如图连接BN 并延长，过点M 作MD BN ⊥交于点D ，90MDN ∠=︒，由题意可知BCN △为等边三角形，60BNC ∠=︒，30MND ∠=︒，在Rt MND △中2sin 301cos30MN DN MN ND MN ==︒==︒，，在Rt BDM 中BM【详解】解：如图连接BN 并延长，过点M 作MD BN ⊥交于点D ，90MDN ∠=︒由题意可知60BCN ∠=︒，BC CN AB MN ===，BCN △为等边三角形60BNC BN BC CN ∠=︒==，90CNM ∠=︒ 30MND ∠=︒在Rt MND △中2sin 301cos30MN DN MN ND MN ==︒==︒=，，在Rt BDM 中BM ==【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形，勾股定理，含30︒的直角三角形等知识．解题的关键在于做辅助线构造直角三角形．3、【分析】根据旋转角相等可得1PBP ∠90ABC =∠=︒，进而勾股定理求解即可【详解】解：四边形ABCD 是正方形90ABC ∴∠=︒将ABP △绕点B 顺时针方向旋转,能与1CBP 重合，∴1PBP ∠90ABC =∠=︒，15PB PB==1PP ∴==故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，求得旋转角相等且等于90°是解题的关键．4、40°度【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【详解】解：BOC ∠与BAC ∠是同弧所对的圆心角与圆周角，80BOC ∠=︒，1402A BOC ∴∠=∠=︒．故答案为：40︒．【点睛】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5、70°度【分析】连接OA 、OB ，根据切线性质可得∠OAP =∠OBP =90°，再根据四边形的内角和为360°求得∠AOB ，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：连接OA 、OB ，∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴∠OAP =∠OBP =90°，又∠P =40°，∴∠AOB =360°－90°－90°－40°=140°，∴∠Q =12∠AOB =70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．三、解答题1、（1）证明见解析；（2）2+【分析】（1）首先证明()MBA MGC SAS ≅，进而得出MB MG =，再利用等腰三角形的性质得出BD GD =，即可得出答案；（2）首先证明()ABF ACD SAS ≅，进而得出AF AD =，以及CD DE BE +=，进而求出DE 的长即可得出答案．（1）证明：如图2，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ．M 是ABC 的中点，MA MC ∴=．在MBA △和MGC 中BA GC A C MA MC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()MBA MGC SAS ∴≅，MB MG ∴=，又MD BC ⊥，BD GD ∴=，DC GC GD AB BD ∴=+=+；（2）解：如图3，截取BF CD =，连接AF ，AD ，CD ，由题意可得：AB AC=，∵AD AD=∴ABF ACD∠=∠，在ABF和ACD△中AB ACABF ACDBF DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF ACD SAS∴≅，AF AD∴=，AE BD⊥，FE DE∴=，则CD DE BE+=，45ABD∠=︒，AB∴=，∵2AB BC∴==，∴BE则22BDCl BC CD BD BC BE=++=+=+故答案为：2+【点睛】此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．2、（1）16π（2）24π【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC 的长，利用弧长公式可求解；（2）由面积的和差关系可求解．（1）解：阴影部分的周长＝2×12×2π×6+6012180π⨯＝16π；（2）解：∵阴影部分的面积＝S 半圆+S 扇形BAC ﹣S 半圆＝S 扇形BAC ， ∴阴影部分的面积＝60144360π⨯⨯＝24π．答：阴影部分的周长为16π，阴影部分的面积为24π．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是n °，扇形的半径为r ，则扇形的弧长l 的计算公式为：180n r l π=，扇形的面积公式：2360n r S π=扇．3、（1）见详解；（2）6S π阴影【分析】（1）连接OD ，由题意易得//,OE BD OE BD OD OB ===，则有△ODB 是等边三角形，然后可得△AEO 也为等边三角形，进而可得OD ∥AC ，最后问题可求证；（2）由（1）易得AE =ED ，∠CED =∠OBD =60°，然后可得圆O 的半径，进而可得扇形OED 和△OED 的面积，则有弓形ED 的面积，最后问题可求解．【详解】（1）证明：连接OD ，如图所示：∵四边形BDEO 是平行四边形，∴//,OE BD OE BD OD OB ===，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD =∠BOD =60°，∴∠AOE =∠OBD =60°，∵OE =OA ，∴△AEO 也为等边三角形，∴∠EAO =∠DOB =60°，∴AE ∥OD ，∴∠ODC +∠C =180°，∵CD ⊥AE ，∴∠C =90°，∴∠ODC =90°，∵OD 是圆O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：由（1）得∠EAO =∠AOE =∠OBD =∠BOD =60°，ED ∥AB ，∴∠EAO =∠CED =60°，∵∠AOE +∠EOD +∠BOD =180°，∴∠EOD =60°，∴△DEO 为等边三角形，∴ED =OE =AE ，∵CD ⊥AE ，∠CED =60°，∴∠CDE =30°，∴2ED CE AE ==，∵9AC =，∴3,6CE AE OE ED ====，∴CD ==设△OED 的高为h ，∴sin 60h OE =⋅︒=∴21=63602OEDED OED n r S S S ED h ππ-=-⋅=-弓形扇形∴(1=662CED ED S S S CE CD ππ-=⋅--=阴影弓形．【点睛】本题主要考查扇形面积公式、切线的判定定理及解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式、切线的判定定理及解直角三角形是解题的关键．4、【分析】连接AC ，CM ，AB ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，设OC =a ．利用勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：连接AC ，CM ，AB ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，设OC =a ．∵∠AOB =90°，∴AB 是直径，∵A （-4，0），B （0，2），∴AB ∴∵∠AMC =2∠AOC =120°，AC =∴=在Rt △COH 中，1cos 60,2OH OC a CH ︒=⋅===， 142AH a ∴=-，在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2，∴22115(4))2a =-+，∴a 或OC ＞OB ，所以，∴OC故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．5、（1）见解析（2）CD=【分析】（1）由题意易得BC=BD，∠DAM=1∠DAF，则有∠CAB=∠DAB，进而可得∠BAM=90°，然后问题可求2证；（2）由题意易得CD//AM，∠ANC=∠OCE=30°，然后可得OE=1，（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴BC=BD∴∠CAB=∠DAB∵AM是∠DAF的平分线∠DAF∴∠DAM=12∵∠CAD+∠DAF=180°∴∠DAB+∠DAM=90°即∠BAM=90°，AB⊥AM∴AM是⊙O的切线（2）解：∵AB⊥CD，AB⊥AM∴CD//AM∴∠ANC=∠OCE=30°在R t△OCE中，OC=2∴OE=1，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴CD=2CE=【点睛】本题主要考查切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键．。

2021年沪科版中考数学最后两周中考专练----圆

最后两周中考专练----圆一、解答题（本大题共15小题，共120.0分）1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．(1)求证：①BC是⊙O的切线；②CD2=CE⋅CA；(2)若点F是劣弧AD的中点，且CE=3，试求阴影部分的面积．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；(2)连接MD，求证：MD=NB．3.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O是AB上一点，经过A，E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF．(1)求证：BC是⊙O的切线．(2)若sin∠EFA=4，AF=5√2，求线段AC的长．55.如图，已知Rt△ABC，∠BAC=90°，BC=5，AC=2√5，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．(1)求BD的长；(2)连接AD，求∠DAC的正弦值．6.如图，AB与⊙O相切于点A，OB及其延长线交⊙O于C、D两点，F为劣弧AD上一点，且满足∠FDC=2∠CAB，延长DF交CA的延长线于点E．(1)求证：DE=DC；(2)若tan∠E=2，BC=1，求⊙O的半径．7.如图，点C是⊙O的直径AB延长线上一点，过⊙O上一点D作DF⊥AB于F，交⊙O于点E，点M是BE的中点，AB=4，∠E=∠C=30°．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求DM的长．8.如图，已知AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点Ｄ．(1)求证：∠BAC=∠BCD；(2)若BD=4，DC=6，求⊙O的半径．9.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．(1)求证：DO//AC；(2)求证：DE⋅DA=DC2；(3)若tan∠CAD=1，求sin∠CDA的值．210.已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：(1)DE是⊙O的切线；(2)ME2=MD⋅MN．11.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E(1)求证：BC是⊙D的切线；(2)若AB=5，BC=13，求CE的长．13.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC、BC，若∠BAC=30°，CD=6cm．(1)求∠BCD的度数；(2)求⊙O的直径．14.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．(1)求证：DE=DB;(2)若∠BAC=90∘，BD=4，求△ABC外接圆的半径．15.如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．答案和解析1.【答案】解：(1)①连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAO，∵OD=OA，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAB=∠ODA，∴DO//AB，而∠B=90°，∴∠ODB=90°，∴BC是⊙O的切线；②连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE=∠DAC，∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CDCA =CECD，∴CD2=CE⋅CA；(2)连接DF、OF，设圆的半径为R，∵点F是劣弧AD的中点，∴OF是DA中垂线，∴DF=AF，∴∠FDA=∠FAD，∵DO//AB，∴∠ODA=∠DAF，∴∠ADO=∠DAO=∠FDA=∠FAD，∴DF//OA，∴四边形AODF是平行四边形，又OA=OD，∴AF=DF=OA=OD，∴△OFD、△OFA是等边三角形，∴S△OFD=S△OFA, ∠DOC=60°，∴∠C=30°，∴OD=12OC=OE+EC，而OE=OD，∴CE=OE=R=3，S阴影=S扇形DFO=60360×π×32=3π2．【解析】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的知识，相似三角形的判断与性质，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．(1)①证明DO//AB，即可求解；②证明CDE∽△CAD，即可求解；(2)证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影=S扇形DFO，即可求解．2.【答案】证明：(1)连接ON，如图，∵CD为斜边AB上的中线，∴CD=AD=DB，∴∠1=∠B，∵OC=ON，∴∠1=∠2，∴∠2=∠B，∴ON//DB，∵NE为切线，∴ON⊥NE，∴NE⊥AB；(2)连接DN，如图，∵CD为直径，∴∠CMD=∠CND=90°，而∠MCB=90°，∴四边形CMDN为矩形，∴DM=CN，∵DN⊥BC，∠1=∠B，∴CN=BN，∴MD=NB．【解析】(1)连接ON，如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB，则∠1=∠B，再证明∠2=∠B得到ON//DB，接着根据切线的性质得到ON⊥NE，然后利用平行线的性质得到结论；(2)连接DN，如图，根据圆周角定理得到∠CMD=∠CND=90°，则可判断四边形CMDN 为矩形，所以DM=CN，然后证明CN=BN，从而得到MD=NB．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和直角三角形斜边上的中线．3.【答案】解：(1)连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵{OA=OC PA=PC OP=OP，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP=∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．(2)∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵AB=10，∴OC=5，由(1)知∠OCF=90°，∴CF=OCtan∠COB=5√3．【解析】(1)连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；(2)先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由(1)中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．4.【答案】证明：(1)连接OE，∵OE=OA，∴∠OEA=∠OAE，∵AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠CAE，∴∠CAE=∠OEA，∴OE//AC，∴∠BEO=∠C=90°，∴BC是⊙O的切线；(2)过A作AH⊥EF于H，Rt△AHF中，sin∠EFA=AHAF =45，∵AF=5√2，∴AH=4√2，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵EF平分∠AED，∴∠AEF=45°，∴△AEH是等腰直角三角形，∴AE=√2AH=8，∵sin∠EFA=sin∠ADE=45=AEAD，∴AD=10，∵∠DAE=∠EAC，∠DEA=∠ECA=90°，∴△AED∽△ACE，∴AEAC =ADAE，∴8AC =108，∴AC=6.4．【解析】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．(1)连接OE，可得：OE//AC，则∠BEO=∠C=90°，解决问题；(2)过A作AH⊥EF于H，根据三角函数先计算AH=4√2，证明△AEH是等腰直角三角形，则AE=√2AH=8，证明△AED∽△ACE，可解决问题．5.【答案】解：(1)如图连接AD，作AH⊥BD于H．∵Rt△ABC，∠BAC=90°，BC=5，AC=2√5，∴AB=√BC2−AC2=√5，∵12⋅AB⋅AC=12⋅BC⋅AH，∴AH=√5×2√55=2，∴BH=√AB2−AH2=1，∵AB=AD，AH⊥BD，∴BH=HD=1，∴BD=2；(2)作DM⊥AC于M．∵S△ACB=S△ABD+S△ACD，∴12×√5×2√5=12×2×2+12×2√5×DM，∴DM=3√55，∴sin∠DAC=DMAD =3√55√5=35．【解析】本题考查勾股定理，三角形的面积公式，解直角三角形，垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．(1)如图连接AD，作AH⊥BD于H.利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH即可解决问题；(2)作DM⊥AC于M.利用面积法求出DM即可解决问题；6.【答案】(1)证明：如图，连接OA、AD，∵CD为直径，∴∠DAC=90∘，又∵AB为⊙O切线，∴∠OAB=90∘，∴∠DAO=∠CAB，∵∠FDC=2∠CAB，∴∠FDC=2∠DAO，∵DO=AO，∴∠OAD=∠ODA，∴∠FDC=2∠ADO，∴AD平分∠EDC．∵AD⊥EC，∴DE=DC；(2)解：∵∠CAB=∠ADB，∠B=∠B，∴△ACB∽△DAB，∴ADAC =ABBC，又∵∠E=∠DCA，tan∠E=2，∴tan∠DCA=2，即ADAC=2，∴ABBC=2，∵BC=1，∴AB=2，在Rt△OAB中，设半径为r.由勾股定理得：r2+22=(r+1)2，解得r=32，即⊙O的半径为32．【解析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理．熟练掌握定理是解题的关键．(1)连接OA、AD，由圆周角定理得出∠DAC=90∘，由切线的性质得出∠OAB=90∘，可得∠DAO=∠CAB，由∠FDC=2∠CAB，可得∠FDC=2∠DAO，再由等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，即可得∠FDC=2∠ADO，AD平分∠EDC，再由AD⊥EC，即可得DE=DC；(2)先证明△ACB∽△DAB，可得ADAC =ABBC，由tan∠E=2，可得tan∠DCA=2，可得ABBC=2，在Rt△OAB中，设半径为r.由勾股定理得：r2+22=(r+1)2，解出方程即可求出⊙O 的半径．7.【答案】(1)证明：连接OD，如图1所示：∵∠E=30°，∴∠DOC=2∠E=60°，∴∠DOC+∠C=60°+30°=90°，∴∠ODC=180°−(∠DOC+∠C)=180°−90°=90°，即OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：连接OE、OM，如图2所示：∵⊙O的直径AB，AB=4，∴OB=OD=2，∵OD=OE，DF⊥AB，∴∠DOC=∠COE=60°，∵OB=OE，点M是BE的中点，∴∠BOM=12∠COE=30°，OM⊥BE，∴∠DOM=∠DOC+∠BOM=60°+30°=90°，∵在Rt△OMB中，∠OMB=90°，∴OM=OB⋅cos∠BOM=2cos30°=2×√32=√3，由勾股定理得：DM=√OM2+OD2=√(√3)2+22=√7．【解析】(1)连接OD，由圆周角定理得出∠DOC=2∠E=60°，∠ODC=180°−(∠DOC+∠C)=90°，即可得出结论；(2)连接OE、OM，证明∠DOC=∠COE=60°，由OB=OE，点M是BE的中点，得出∠COE=30°，OM⊥BE，则∠DOM=∠DOC+∠BOM=90°，OM=OB⋅∠BOM=12cos∠BOM=√3，由勾股定理得DM=√OM2+OD2=√7．本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理与等腰三角形的性质是解题的关键．8.【答案】解：(1)证明：如图，连接OC．∵DC与⊙O相切，∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠OCB+∠ACO=90°，∴∠ACO=∠BCD∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC，∴∠BAC=∠BCD；(2)设圆的半径为r则OC=OB=r∵∠OCD=90°∴OC2+CD2=OD2，∵BD=4，DC=6，∴r2+62=(r+4)2，解得：r=52【解析】本题考查了切线的性质等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．(1)根据直径所对的圆周角为直角以及圆的切线垂直于经过切点的半径，可得∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，∠ACB=∠OCB+∠ACO=90°，于是∠ACO=∠BCD，又OA=OC，所以∠ACO=∠BAC，因此∠BAC=∠BCD；(2)设圆的半径为r，在RT△OCD中，根据勾股定理列出r2+62=(r+4)2。

2021年安徽省中考沪科版 中考复习-圆练习