卡尔曼滤波器介绍外文翻译

毕业设计(论文)外文资料翻译

系 ： 电气工程学院

专 业： 电子信息科学与技术 姓 名： 周景龙 学 号： 0601030115 外文出处： Department of Computer Science University of North Carolina at Chapel Hill

Chapel Hill,NC27599-3175 附 件：1.外文资料翻译译文；2.外文原文。

(用外文写)

卡尔曼滤波器介绍

摘要

在1960年，卡尔曼出版了他最著名的论文，描述了一个对离散数据线性滤波问题的递归解决方法。从那以后，由于数字计算的进步，卡尔曼滤波器已经成为广泛研究和应用的主题，特别在自动化或协助导航领域。

卡尔曼滤波器是一系列方程式，提供了有效的计算（递归）方法去估计过程的状态，是一种以平方误差的均值达到最小的方式。滤波器在很多方面都很强大：它支持过去，现在，甚至将来状态的估计，而且当系统的确切性质未知时也可以做。

这篇论文的目的是对离散卡尔曼滤波器提供一个实际介绍。这次介绍包括对基本离散卡尔曼滤波器推导的描述和一些讨论，扩展卡尔曼滤波器的描述和一些讨论和一个相对简单的（切实的）实际例子。

离散卡尔曼滤波器

在1960年，卡尔曼出版了他最著名的论文，描述了一个对离散数据线性滤波问题的递归解决方法[Kalman60]。从那以后，由于数字计算的进步，卡尔曼滤波器已经成为广泛研究和应用的主题，特别在自动化或协助导航领域。第一章讲述了对卡尔曼滤波器非常“友好的”介绍[Maybeck79]，而一个完整的介绍可以在[Sorenson70]找到，也包含了一些有趣的历史叙事。更加广泛的参考包括Gelb74；Grewal93；Maybeck79；Lewis86；Brown92；Jacobs93].

被估计的过程

卡尔曼滤波器卡用于估计离散时间控制过程的状态变量

n x ∈ℜ。这个离散

时间过程由以下离散随机差分方程描述： 111k k k k x Ax bu w ---=++ （1.1）

测量值m z ∈ℜ，k k k z Hx v =+ （1.2） 随机变量k w 和k v 分别表示过程和测量噪声。他们之间假设是独立的，正态分布的高斯白噪: ()~(0)p w N Q

， （1.3） ()~(0)p v N R ， （1.4）

在实际系统中，过程噪声协方差矩阵Q 和观测噪声协方差矩阵R 可能会随每次迭代计算而变化。但在这儿我们假设它们是常数。

当控制函数1k u - 或过程噪声1k w -为零时，差分方程1.1中的n n ⨯ 阶增益矩阵A 将过去k-1 时刻状态和现在的k 时刻状态联系起来。实际中A 可能随时间变化，但

在这儿假设为常数。n l ⨯ 阶矩阵B 代表可选的控制输入l

u ∈ℜ 的增益。测量方程1.2中的m n ⨯ 阶矩阵H 表示状态变量k x 对测量变量k z 的增益。实际中H 可能随

时间变化，但在这儿假设为常数。 滤波器的计算原型

我们定义_n k x ∧∈ℜ（ -代表先验，^代表估计）为在已知第k 步以前的状态情况

下，第k 步的先验状态估计。定义n k x ∧

∈ℜ为已知测量变量k z 时第k 步的后验状态

估计。由此定义先验估计误差和后验估计误差： _k k k e x x ∧-

≡-

k k k e x x ∧

≡-

先验估计误差的协方差为：[]T k k k P E e e ---= (1.5) 后验估计误差的协方差为：[]T k k k P E e e = (1.6) 式1.7构造了卡尔曼滤波器的表达式：先验估计_

k x ∧ 和加权的测量变量k z 及其预

测_k H x ∧之差的线性组合构成了后验状态估计k x ∧。式1.7的理论解释请参看“滤波器的概率原型”一节。

__()k k k k x x K z H x ∧∧∧=+- (1.7)

式1.7中测量变量及其预测之差_()k k z H x ∧-被称为测量过程的革新或残余。残余反映了预测值和实际值之间的不一致程度。残余为零则表明二者完全吻合。

式1.7中 n m ⨯阶矩阵K 叫做残余的增益或混合因数，作用是使1.6式中的后验估计误差协方差最小。可以通过以下步骤计算K ：首先将1.7式代入k e 的定义式，

再将k e 代入1.6式中，求得期望后，将1.6式中的k P 对K 求导。并使一阶导数为零从而解得K 值。详细推导清参照[Maybeck79, Brown92, Jacobs93] 。K 的一种表示形式为：

1()/T T T T k k k k k k K P H HP H R P P H HP H R ------=+=+（） （1.8） 由1.8式可知，观测噪声协方差R 越小，残余的增益越大K 越大。特别地， R 趋向于零时，有：10

lim k k R K H -→= 。