运用刚体定轴转动定律解题 (2)

运用刚体定轴转动定律解题

转动定律描述刚体定轴转动中的瞬时关系，常常用来求解角加速度，一般步骤为：

1) 隔离物体：即明确研究对象。

2) 具体分析：分析所选定的定轴刚体的受力情况和运动情况，画出

受力图。

3) 选定坐标：在惯性系中建立一维坐标，即在转轴上选择正方向。

4) 建立方程：用转动定律列出定轴刚体的运动微分方程

。

5) 要特别注意方程中的力矩、转动惯量必须对同一轴而言。还要注

意此方程是标量式，式中各量均为代数量，与所选正方向同向的力矩和角速度为

正，反之为负。

6) 求解讨论：求解方程，理解和讨论结果的物理意义。

请注意常常与转动定律相联系的综合性问题：

与刚体定轴转动或质点圆周运动的运动学问题相联系。

刚体定轴转动与质点平动相联系（例如滑轮两边悬挂物体）。

处理方法仍然是隔离法，对定轴刚体用转动定律列方程，对平动质点用牛顿第二

定律列方程，二者之间用角量与线量的关系联系起来，求解方程组。

运用角动量定理或角动量守恒定律解题

因为对定轴转动的刚体，其总动量往往并无实际意义（例如定轴转动滑轮的总动量为零），所以只能用角动量对其整体机械运动量进行量度。在力矩持续作用一段时间的问题中，则用角动量定理取代平动问题中的动量定理。对于平动质点和定轴刚体组成的系统，既可以对于系统整体运用角动量定理，也可以分别对平动质点运用动量定理，对定轴刚体运用角动量定理，再用力矩表达式将二者联系起来。运用角动量定理或角动量守恒定律解题的一般步骤与运用动量定理或动量守恒定律求解平动问题类似，只不过用角量取代相应的线量：

1. 选系统：即确定研究对象。

2. 建坐标:选取惯性系，确定参考点或转轴。

3. 选过程：即选取一定的时间间隔，确定系统的初、末态。对于综合

性问题，可以划分为几个互相衔接的阶段处理。

4. 算力矩：画出对所选定的参考点或转轴力矩不为零的外力，无须分析

系统内力和对参考点或转轴力矩为零的外力。

5. 列方程：如果不满足角动量守恒条件，运用角动量定理列方程：

对固定点：

对定轴：

如果满足角动量守恒条件，运用角动量守恒定律列方程：

对固定点：

对定轴：

6. 求解并讨论：求解方程，理解和讨论结果的物理意义。

请特别注意：

请注意在某一过程中角动量守恒，不仅指该过程始、末状态的

角动量相等，而且要求整个过程中任意两个瞬间系统角动量的大小、方向都不变。

所以，角动量守恒条件是系统所受的合外力矩为零，而不是合外力矩的角冲量为零。

请注意方程中的力矩、角动量均应该对同一参考点或转轴而言。

在对固定点的方程中要注意其矢量性，在对定轴的方程中要注意其正、负号。

请特别注意区分系统动量守恒和角动量守恒的条件。例如，区

分图5.4中的两种不同的冲击摆：在

图5.4（a）中，m、M系统的动量及对

O的角动量均守恒。而在图5.4（b）

中，轴O对系统的约束力不能忽略，

但该约束力对O轴的力矩为零，所以，

系统所受合外力不为零，系统总动量

不守恒；系统所受对O轴的合外力矩

为零，对O轴的角动量守恒。

角动量守恒定律

[典型例题]

例7-1. 如图所示，质点P 的质量为2kg ，位置矢量为r

,速度为v ，它受到力F 的作用这三个矢量均在OXY 面内，且r=3.0m,

v=4.0m/s, F=2N , 则该质点对原点O 的角动量L = __________。作

用在质点上的力对原点的力矩M =____________。

解：

v m L ⨯=γ⇒s m kg mv L /1230sin 20⋅==γ F M ⨯=γ⇒ m N F M ⋅==0.330sin 0γ

例7-2．一人坐在转椅上，双手各持一哑铃，哑铃与转轴的距离各为0.6m 。先让人体同

5rad/s 的角速度随转椅旋转. 此后，人将哑铃拉回使与转轴距离为0.2m ，人体和转椅对轴

的转动惯量为5kg ·m 2，并视为不变. 每一哑铃的质量为5kg 可视为质点

人体的角速度ω=_______.

解：角动量守恒 ωω)()(20010J J J J +=+

这里， 205m kg J ⋅=，218.1m kg J ⋅=，222.0m kg J ⋅= s rad /82.558.6=⨯=∴ω

例7-3．长为l 、质量为M 的匀质杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固

定轴转动，转动惯量为 M l 2

/3，开始时杆竖直下垂，如图所示。有一质量为m 的子弹以水平速度0v 射入杆上A 点，并嵌在杆中，OA=2l /3，则子

弹射入后瞬间杆的角速度ω=____.

解：角动量守恒 ωω)(2101J J J +=

这里， 232

1)(l m J =，2

312Ml J =， ∴ l v m M M 0436⋅+=ω

例7-4．如图所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为ML 2/3．一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v /2，则此时棒的角速度应

为 ［ ］ (A) ML m v ． (B) ML m 23v ． (C) ML m 35v

． (D) ML m 47v ．

v

俯视图