圆周角和圆心角的关系公开课_1ppt课件
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北师大版九下《圆周角和圆心角的关系》课件
北师大版九下《圆周角和 圆心角的关系》ppt课件
这个课件将带你深入了解圆周角和圆心角的关系，以及它们在几何学中的应 用。准备好跟上了吗？让我们开始吧！
引言和背景
在几何学中，我们经常遇到与圆形相关的问题。掌握圆周角和圆心角的关系， 能够帮助我们解决这些问题，进一步理解和应用几何学的知识。
圆周角的定义
圆周角是指其两边都与圆的圆周相交，通常用度数或弧度来表示。圆周角是 一个重要的几何概念，它有着独特的性质和特点。
圆心角的定义
圆心角是指其两边都与圆的圆周相交，并且顶点位于圆的中心。圆心角是圆形的一个特殊角度，对于我们理解 圆形的性质非常重要。
圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角之间存在着紧密的关联。它们的度数或弧度有一定的规律和 对应关系，我们可以通过推导和证明来进一步揭示它们之间的联系。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结和应用
通过对圆周角和圆心角的学习，我们掌握了它们的定义、关系和应用。这些 知识将帮助我们更好地解决与圆形相关的几何问题，并且在实际生活中应用 几何学的原理和方法。
推导和证明
通过一些基本的几何性质，我们可以推导出圆周角和圆心角的具体关系。这个过程需要一些数学推理和运算， 但是它将帮助我们更深入地理解这两个角度之间的联系。
用例和示例
通过一些实际的案例和具体的示例，我们可以更好地理解圆周角和圆心角的 关系，并且看到它们在几何学中的应用。让我们一起来看几个有趣的例子吧！
这个课件将带你深入了解圆周角和圆心角的关系，以及它们在几何学中的应 用。准备好跟上了吗？让我们开始吧！
引言和背景
在几何学中，我们经常遇到与圆形相关的问题。掌握圆周角和圆心角的关系， 能够帮助我们解决这些问题，进一步理解和应用几何学的知识。
圆周角的定义
圆周角是指其两边都与圆的圆周相交，通常用度数或弧度来表示。圆周角是 一个重要的几何概念，它有着独特的性质和特点。
圆心角的定义
圆心角是指其两边都与圆的圆周相交，并且顶点位于圆的中心。圆心角是圆形的一个特殊角度，对于我们理解 圆形的性质非常重要。
圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角之间存在着紧密的关联。它们的度数或弧度有一定的规律和 对应关系，我们可以通过推导和证明来进一步揭示它们之间的联系。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结和应用
通过对圆周角和圆心角的学习，我们掌握了它们的定义、关系和应用。这些 知识将帮助我们更好地解决与圆形相关的几何问题，并且在实际生活中应用 几何学的原理和方法。
推导和证明
通过一些基本的几何性质，我们可以推导出圆周角和圆心角的具体关系。这个过程需要一些数学推理和运算， 但是它将帮助我们更深入地理解这两个角度之间的联系。
用例和示例
通过一些实际的案例和具体的示例，我们可以更好地理解圆周角和圆心角的 关系，并且看到它们在几何学中的应用。让我们一起来看几个有趣的例子吧！
圆周角和圆心角的关系第一课时-ppt (1)
1、圆周角定义
顶点在圆上
D 这样的角叫圆周角。
两边都与圆相交
F
C
.O
E
想一想:
A
B
1.劣弧AB所对的圆心角有几个？
劣弧AB所对的圆周角有几个？
2.圆心O与圆周角的位置关系有哪几种？
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
找出劣弧BC所对的圆周角
D A
B
C
2、圆心与圆周角的位置关 系:
则⊙O的半径是 2 。
C
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
O
A B
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
O
C
D
A B
变式：
5.若OA//BC, ∠C= 25°, 则 ∠ADB=_______
6.若 ∠C= 25°,点P在AB间滑动 则∠AOP的取值范围______
A O
A O
B
C
B
C
点O在∠BAC的一边上 点O在∠BAC内部
A O
C B
点O在∠BAC外部
1.三种情况进行证明：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周 角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC = 12∠AOC.
C
O
A
B
P
已知⊙O中弦AB等于半径，弦AB所 对的圆心角的度数为 6,0°圆周角 的度数为 30 °或 150。°
O
A
BLeabharlann 7.如图,OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC，
3.3圆周角和圆心角的关系(1)优秀课件PPT免费下载
A C
∠ABC = 1∠AOC.
2
A
C
A C
●O
●O
●O
B
B B
1.如图，在⊙O中， ∠BAC=32º，则
∠BOC=__6_4_º____。
2、如图，⊙O中， ∠ACB = 130º，则
∠AOB=_1_0_0_º__。
A OB
C
O AC
练习:如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是 CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?
A
解：BD=CD. 理由是：
连接AD.
●O
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
即AD⊥BD
C D B 又∵AC＝AB ∴BD＝CD
拓展 化心动为行动
7.在⊙O中,∠A=50°,求∠C的大小.
A
定理：
B
●O D 圆内接四边形的对角互补。
C
例题精解
8. 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直
∴∠ABE＝90°
∵AD是△ABC的高 ∴∠ADC＝∠ABE＝90°
B
O DC
∵∠C＝∠E
E
∴△ADC∽ △ABE 1、证明题的思路寻找方法；
∴ AC AD AE AB
∴ AB ·AC = AE ·AD
2、等积式的证明方法； 3、辅助线的思考方法。
拓展 化心动为行动
9.如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是 CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周 角和圆心角之间有的关系.
∠ABC = 1∠AOC.
2
A
C
A C
●O
●O
●O
B
B B
1.如图，在⊙O中， ∠BAC=32º，则
∠BOC=__6_4_º____。
2、如图，⊙O中， ∠ACB = 130º，则
∠AOB=_1_0_0_º__。
A OB
C
O AC
练习:如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是 CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?
A
解：BD=CD. 理由是：
连接AD.
●O
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
即AD⊥BD
C D B 又∵AC＝AB ∴BD＝CD
拓展 化心动为行动
7.在⊙O中,∠A=50°,求∠C的大小.
A
定理：
B
●O D 圆内接四边形的对角互补。
C
例题精解
8. 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直
∴∠ABE＝90°
∵AD是△ABC的高 ∴∠ADC＝∠ABE＝90°
B
O DC
∵∠C＝∠E
E
∴△ADC∽ △ABE 1、证明题的思路寻找方法；
∴ AC AD AE AB
∴ AB ·AC = AE ·AD
2、等积式的证明方法； 3、辅助线的思考方法。
拓展 化心动为行动
9.如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是 CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周 角和圆心角之间有的关系.
圆周角和圆心角的关系ppt课件
50°，则∠EBC+∠ADC 的度数为 _______.
-18-
3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上 ，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°． 答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
-10-
3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
-11-
3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
-7-
3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10， 则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径 ，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
-8-
3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE． （第 5 题图）
-18-
3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上 ，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°． 答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
-10-
3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
-11-
3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
-7-
3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10， 则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径 ，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
-8-
3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE． （第 5 题图）
《圆周角和圆心角的关系》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (3)
提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
AD C
∠ABD
= 1∠AOD,∠CBD
2
=1 ∠COD,
2
●O∴ ∠ABC = 1∠AFra bibliotekC.2
B
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角
自学检测
1 、判别以下各图形中的角是不是圆周角 ,并说明理由 .
不是
不是
是
图１
图２
不是
图４
图３
不是
图５
2、指出图
中的圆周
角.
A
O
C B
∠ACO ∠ACB ∠ BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
合作探究
猜测A⌒C所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小 有什么关系?说说你的理由 .
颗粒归仓
谈谈本节课的收获 ……
特殊到一般 分类讨论
圆周角和圆心角的关系
• 1.首||先考虑一种特殊情况： • 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
解:∵∠AOC是△ABO的外角 ,
∴∠AOC =∠B +∠A. 理解并掌
∵OA =OB ,
握这个模
A C
●O
∴∠A =∠B.
型.
∴∠AOC
B
即 ∠=2A∠BCB.= 1 ∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
3.4圆周角和圆心角的关系-ppt
自检互评 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E,点P在⊙O上，∠1=∠C。 （1）求证：CB∥PD （2）若BC=3，sinP=0.6，求⊙O的直径。
点O在∠BAC 外部
分别测量图中BC弧所对的圆周角BAC和圆心角∠AOC的 度数，我们能发现什么结论？
1.首先考虑特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC) 上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大 小关系.
A
∵OA=OB
C
∴∠ABC=∠BAO,
●O
又 ∵∠AOC=∠BAO+∠ABC, B
复习回顾
1、请说说我们是如何给圆心 角下定义的？ 顶点在圆心的角叫圆心角。
2、你能找出下面图形中的圆心角吗？
×
√
×
×
3.3 圆周角和圆心角的关系
3.在射门游戏中，球员射中球门的难易与 他所处的位置B对球门的张角（∠ABC） 有关，如图，当他站在B,D,E的位置射球时 ，对球门AC的大小相等吗？
B
（2）角的两边都与圆相交的角是 A
圆周角吗？
圆周角的特征： （1）角的顶点在圆上， （2）两边在圆内的部分是圆的两条弦
·
O C
1.判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
图1 图2 图3
2.如图，A,B,C,D,E,是圆上的五个点，则图 中共有____4______个圆周角，分别是
_∠__B_A_C_,∠_A_B_D_，_∠__A_C_E_，_∠_B_D. E,∠CED
A C D
O B
A
C
O
B ①
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同
样的情形） ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。
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1、圆周角的度数是圆心角的一半 （ × ） 2、相等的圆周角所对的弧也相等 （ × ）
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8
学以致用你能行
•1.如图,在⊙O中,若
∠A=25°,∠BOC= B
50°。
C
●O A
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9
2.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=46°，则∠OBC= 44°。
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10
3.如图，∠B=30°，∠C=20° ，则
(3)若OC=2cm,则BD= 4 cm。
D
C
A O1 O
B
20
已知⊙O中弦AB等于半径，弦AB所 对的圆心角的度数为 6,0°圆周角 的度数为 30 °或 150。°
O
A
B
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21
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：圆周角定理
(3)二个推论 1.圆周角的度数等于它所对的弧度 数的一半。 2.圆内接四边形对角互补。
（4）两种思想方法：1. 由特殊到一般 2. 分类讨论
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
P81
• 推论2 直径所对的圆周角是直角； • 90 °的圆周角所对的弦是直径。
P82 议一议
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15
A
O
D
B
C
如图，∠BAD=70°，则∠BCD=11_0_°_____
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16
MOAC来自B如图，∠AOC=100°，∠ABC=1_3_0_°____
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17
自学检测： D
1.求圆中角X的度数
2
圆心与圆周角的位置关系:
A O
B
C
A O B
C
点O在∠BAC的一边上 点O在∠BAC内部
A O
C B
点O在∠BAC外部
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3
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
老师提示:能否也转化为1的情况?
A C
●O B
如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得
九年级数学(下) 第三章 圆
3.3
圆周角和圆心角 的关系(课时2)
学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟， 学思疑问才会感悟生活的乐趣、数学学习的快乐！
1
一、复习 1.什么是圆周角？ 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.
2.填空： ⑴一条弧所对的_圆__周__角__ 等于它所对的 __圆__心__角___度数的一半. ⑵一条弧所对的圆心角等于它所对度的数圆的周一角半的 __2_倍____.
C 120°
O
.O
C
.O
A
B
70° x
X B
A
C
A
B
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0。°
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为 圆心，C、D为半圆上的两点， ∠COD=500，则∠CAD=__2_5_º_____
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18
自学检测：
4、判断
（1）、顶点在圆上的角叫圆周角。× （2）、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半√。
∠A= 50°
A
O
B
C
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11
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 2 。
C
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° A
B
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
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12
O
C
AD B
变式：
5.若OA//BC, ∠C= 25°, 则
∠ADB=__7_5_°___
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13
7.如图,OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC， ∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？
答：∠ACB=2∠BAC
O
C
A
B
画图：圆和其任意一条直径及其所对的圆 周角，你能得出什么结论。。。。
到与图①同样的情形）
A
C
A
C
D
O
O
B
B
①
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同 样的情形）
A
C
A
C
D
O
O
B
B
①
圆周角定理
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半. 即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
A C
A2
C
A C
●O
●O
●O
B
B B
下面的说法正确吗？说说你的看法
5、半径为R的圆中，有一弦分圆 周成1：4两部分，则弦所对的圆 周角的度数是 36º或14。4°
.
O
D
6 、如图，已知圆心角
O
∠AOB=100°，求圆周角
B
A
∠ACB=1_3_0__º_、∠ADB=5_0__º___
。
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C
19
基础练习：
7.如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1, ⊙O的弦AD交⊙O1于C,则 (1)OC与AD的位置关系是OC垂直平分AD; (2)OC与BD的位置关系是 平行 ;
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8
学以致用你能行
•1.如图,在⊙O中,若
∠A=25°,∠BOC= B
50°。
C
●O A
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9
2.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=46°，则∠OBC= 44°。
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10
3.如图，∠B=30°，∠C=20° ，则
(3)若OC=2cm,则BD= 4 cm。
D
C
A O1 O
B
20
已知⊙O中弦AB等于半径，弦AB所 对的圆心角的度数为 6,0°圆周角 的度数为 30 °或 150。°
O
A
B
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21
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：圆周角定理
(3)二个推论 1.圆周角的度数等于它所对的弧度 数的一半。 2.圆内接四边形对角互补。
（4）两种思想方法：1. 由特殊到一般 2. 分类讨论
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P81
• 推论2 直径所对的圆周角是直角； • 90 °的圆周角所对的弦是直径。
P82 议一议
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A
O
D
B
C
如图，∠BAD=70°，则∠BCD=11_0_°_____
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MOAC来自B如图，∠AOC=100°，∠ABC=1_3_0_°____
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自学检测： D
1.求圆中角X的度数
2
圆心与圆周角的位置关系:
A O
B
C
A O B
C
点O在∠BAC的一边上 点O在∠BAC内部
A O
C B
点O在∠BAC外部
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3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
老师提示:能否也转化为1的情况?
A C
●O B
如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得
九年级数学(下) 第三章 圆
3.3
圆周角和圆心角 的关系(课时2)
学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟， 学思疑问才会感悟生活的乐趣、数学学习的快乐！
1
一、复习 1.什么是圆周角？ 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.
2.填空： ⑴一条弧所对的_圆__周__角__ 等于它所对的 __圆__心__角___度数的一半. ⑵一条弧所对的圆心角等于它所对度的数圆的周一角半的 __2_倍____.
C 120°
O
.O
C
.O
A
B
70° x
X B
A
C
A
B
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0。°
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为 圆心，C、D为半圆上的两点， ∠COD=500，则∠CAD=__2_5_º_____
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自学检测：
4、判断
（1）、顶点在圆上的角叫圆周角。× （2）、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半√。
∠A= 50°
A
O
B
C
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11
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 2 。
C
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° A
B
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
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12
O
C
AD B
变式：
5.若OA//BC, ∠C= 25°, 则
∠ADB=__7_5_°___
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7.如图,OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC， ∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？
答：∠ACB=2∠BAC
O
C
A
B
画图：圆和其任意一条直径及其所对的圆 周角，你能得出什么结论。。。。
到与图①同样的情形）
A
C
A
C
D
O
O
B
B
①
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同 样的情形）
A
C
A
C
D
O
O
B
B
①
圆周角定理
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半. 即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
A C
A2
C
A C
●O
●O
●O
B
B B
下面的说法正确吗？说说你的看法
5、半径为R的圆中，有一弦分圆 周成1：4两部分，则弦所对的圆 周角的度数是 36º或14。4°
.
O
D
6 、如图，已知圆心角
O
∠AOB=100°，求圆周角
B
A
∠ACB=1_3_0__º_、∠ADB=5_0__º___
。
精选ppt
C
19
基础练习：
7.如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1, ⊙O的弦AD交⊙O1于C,则 (1)OC与AD的位置关系是OC垂直平分AD; (2)OC与BD的位置关系是 平行 ;