六年级奥数蝴蝶模型精编WORD版
小学奥数几何篇 五大模型——蝴蝶定理(附答案)
五大模型——蝴蝶模型例1. 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如果三角形ABD1，且AO=2，DO=3，那么CO的长的面积等于三角形BCD的面积3度是DO的长度的倍例2. 如图,平行四边形ABCD的对角线交与点O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6 求：（1）△OCF 的面积；（2）求△GCE的面积例3.如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=3EC，CF=FD，求三角形AEG的面积。
例4. 如图，边长为1的正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD 中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积例5. 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB于BOC的面积分别为25平方厘米于35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米例6.梯形ABCD的对角线AC与BD交与点O，已知梯形上底为2，2，求三角形AOD与且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的3三角形BOC的面积之比。
例7. 如下图，一个长方形一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH 的面积。
例8. 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米例9. 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知期中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米例10. 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？蝴蝶模型习题1、如图，长方形ABCD中，BE：EC=2：3，DF：FC=1:2，三角形DFC面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积.2、梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？3、如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4：5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为4、如图，长方形ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9，那么四边形OECD的面积是多少？5、如图，△ABC是等腰三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相较于K点，已知正方形DEFG的面积48，AK：KB=1:3，则△BKD的面积是多少？答案【例1】因为AO : OC =S∆ABD : S∆BDC= 1: 3 ，所以OC = 2⨯3 = 6 ，所以OC : OD = 6: 3 = 2:1．解法二：作AH ⊥BD于H ，CG ⊥BD 于G ．因为S所以S ∆ABD=1S3=1S∆BCD，所以AH =1 CG ，3，∆AOD 3 ∆DOCAO =1CO ，3OC = 2⨯3 = 6 ，OC : OD = 6: 3 = 2:1．C【例2】⑴⑴BCD 的面积为2 + 4 + 4 + 6 =16 ，⑴BCO 和∆CDO 的面积都是16 ÷ 2 = 8 ，所以⑴OCF 的面积为8 - 4 = 4 ；⑴由于⑴BCO 的面积为8，⑴BOE 的面积为6，所以⑴OCE 的面积为8 - 6 = 2 ，根据蝴蝶定理，EG : FG =S∆COE : S∆COF= 2 : 4 = 1: 2所以S∆GCE : S∆GCF=EG : FG = 1: 2 ，S∆GCE =11+ 2S∆CEF=1⨯ 2 =2 ．33【例3】A DFB EC 连接EF ．因为BE = 2EC ，CF =FD ，所以S∆DEF = (1⨯1⨯1)S2 3 2ABCD=1S12ABCD．因为S∆AED =1S2ABCD，由蝴蝶定理，AG : GF =1 : 12 12= 6 :1 ，所以S∆AGD = 6S∆GDF=6S7∆ADF=6⨯1S74ABCD=3S14ABCD．所以S∆AGE =S∆AED-S∆AGD=1S2ABCD-3 S14ABCD=2S7ABCD=2，7【例4】A E DB C设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理EO : OC =S BED : S BCD ，而SBED =1S4ABCD，SBCD=1S2ABCD，所以EO : OC =SBED : SBCD= 1: 2 ，故EO =1EC ．3F 为CE 中点，所以EF =1 EC ，2故EO: EF = 2: 3，FO : EO =1: 2 ．由蝴蝶定理SBFD : SBED=FO : EO = 1: 2 ，所以SBFD =1S2BED=1S8ABCD，SBGD =1S2BFD=1S16ABCD=1⨯10⨯10 = 6.2516AOB BOC AOB DOC 梯形蝴蝶定理B① S 1 : S 3 C= a 2 : b 2② S : S : S : S = a 2 : b 2 : ab : ab ； 1 3 2 4 ③ S 的对应份数为(a + b )2【例 5】由梯形蝴蝶定理， S : S = a 2 : ab = 25 : 35 ， 可得 a : b = 5: 7 ，再根据梯形蝴蝶定理， S : S = a 2 :b 2 = 52 : 72 = 25 : 49 ， 所以S DOC = 49梯形 ABCD 的面积为25 + 35 + 35 + 49 =144【例 6】由蝴蝶定理， S AOB : S BOC = ab : b 2 = 2 : 3得a : b = 2: 3，S AOD : S BOC = a 2 : b 2 = 22 : 32 = 4 : 9O∆OCD ∆OCD【例 7】AF BDE C如图，连结 EF ，显然 ADEF 和 BCEF 都是梯形， 于是 EFG 的面积等于三角形 ADG 的面积三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积所以四边形 EGFH 的面积是11+ 23 = 34．【例 8】A DB C连接 AE ．由于 AD 与 BC 平行，所以 AECD 也是梯形，那么S ∆OCD = S ∆OAE ．据蝴蝶定理， S ∆OCD ⨯ S ∆OAE = S ∆OCE ⨯ S ∆OAD = 2 ⨯ 8 = 16 故 S 2 = 16 ，所以S = 4另解：在平行四边形 ABED 中， S ∆ADE =1 S2 ABED = 1 ⨯(16 + 8) = 12 2 所以S ∆AOE = S ∆ADE - S ∆AOD = 12 - 8 = 4根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8⨯ 2 ÷ 4 = 4【例 9】A EBD连接 DE 、CF ． EDCF 为梯形，所以S ∆EOD = S FOC ， 又根据蝴蝶定理， S ∆EOD ⋅ S ∆FOC = S ∆EOF ⋅ S ∆COD 所以S ∆EOD = 4 ， S ∆ECD = 4 + 8 = 12ABCD 面积为12⨯2 = 24S ∆EOD ⋅ S ∆FOC = S ∆EOF ⋅ S ∆COD = 2 ⨯ 8 = 16 ，四边形OFBC 的面积为24 - 5 - 2 -8 = 9 (平方厘米)．【例 10】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为 18 份 阴影部分占了其中 8 份，所以阴影部分的面积 8 ⨯ 6 = 8 ．183∆ AOD ∆ AOD ∆BOC123作业题答案1.AD FBEC连接 AE ， FE ．因为 BE : EC = 2: 3 ， DF : FC =1: 2 ，所以S = (3 ⨯ 1 ⨯ 1)S = 1S． DEF 5 3 2长方形ABCD10 长方形ABCD 因为S= 1 S ， A G : GF = 1 : 1= 5 :1，所以S = 5S = 10 平方厘米，所AED2 长方形ABCD 2 10AGD GDF 以 S = 12 平方厘米．因为S = 1S ，所以长方形 ABCD 的面积是72 平方 AFD厘米．2.AFDA D6 长方形ABCDBC根据梯形蝴蝶定理， a : b =1:1.5 = 2: 3 ， S : S = a 2:b 2 = 22 : 32 = 4 : 9 ， 所以S = 4(cm 2 ) ．3.O 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等于三角形 1 和三角形 3，所以 1 的面积就是36 ⨯44 + 5= 16 ，3 的面积就是 36 ⨯54 + 5= 20 ．4.ADBEC因为连接 ED 知道⑴ABO 和⑴EDO 的面积相等即为54 ，又因为OD ⑴OB =16⑴9 ,所以 ⑴AOD 的面积为54 ÷ 9⨯16 = 96 ，根据四边形的对角线性质知道：⑴BEO 的面积为：54⨯54 ÷ 96 = 30.375 ，所以四边形OECD 的面积为： 54 + 96 - 30.375 =119.625 (平方厘米).5.BM C由于 DEFG 是正方形，所以 DA 与 BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，∆BDK 和∆ACK 的面积是相等的．而 AK : KB =1: 3 ，所以∆ACK 的面积是∆ABC 面积的 1 = 1 ，那么∆BDK 的面积也是∆ABC 面积的 1．1+ 3 4 4由于∆ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作 BC 的垂线，M 为垂足，那么 M 是BC 的中点，而且 AM = DE ，可见∆ABM 和∆ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半，所以∆ABC 的面积与正方形 DEFG 的面积相等，为 48． 那么∆BDK 的面积为48⨯ 1= 12 ．4。
【六年级】六年级奥数专题第一讲直线型面积知识
【关键字】六年级知识提要模型一：任意四边形中的比率关系 (“蝴蝶定理”)①S1：S2=S4：S3或者S1×S3＝S2×S4② A0：OC=(S1+S2)：(S4+S3)蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比率关系．模型二：梯形中比率关系(“梯形蝴蝶定理”)①Sl：S3=a2：b2②S1：S3：S2：S4=a2：b2：ab：ab；③S的对应份数为(a+b)2．梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道，构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．模型三：燕尾定理：S△ABG：S△AGC=S△BGE：S△EGC =BE：ECS△BGA：S△BGC=S△AGF：S△FGC =AF：FCS△AGC：S△BCG=S△ADG：S△DGB =AD：DB燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径．通过一道例题证明一下燕尾定理：模型四：相似三角形性质①===② S△ADE：S△ABC =AF2：AG2所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似)，与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：(1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比率，并且这个比率等于它们的相似比；(2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方；(3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。
这四个模型，再加上我们在秋季学习的三角形面积与底、高成比率的模型共同构成几何的五大模型，这五大模型在以后的学习中会经常用到，希望同学们能认真学习．模型一：“蝴蝶定理”主要抓住两种状态1.任意四边形对角线划分面积的性质：这里最关键的就是“任意”二字，这个定理对四边形的形状没有要求，解决一些所谓“不良四边形”时，如果知道其中三块的面积，就能知道剩下一块，从而能求出整个四边形的面积。
小学奥数几何模型 之 蝴蝶模型+沙漏模型 非常完整版讲义 例题+作业 带答案
小学几何模型之蝴蝶模型准备练习梯形中的蝴蝶模型梯形的两个翅膀相等。
左=右例题1如图：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形AOD 与三角形DOC的面积分别是16平方厘米与24平方厘米，求梯形ABCD的面积。
△AOB的面积为24cm2△BOC的面积：24×24÷16=36（cm2）梯形ABCD的面积：16＋24＋24＋36=100（cm2）练习1如图：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形DOC 与三角形BOC的面积分别是35平方厘米与49平方厘米，求三角形AOD的面积。
△AOB的面积为35平方厘米△AOD的面积：35×35÷49=25（cm2）例题2如图：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。
已知三角形ADG的面积是7平方厘米，三角形BCH的面积是9平方厘米，求四边形EGFH的面积。
连接EF四边形EGFH的面积：7＋9=16（cm2）练习2如图：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。
已知三角形ADG的面积是24平方厘米，三角形BHC的面积是17平方厘米，求四边形GEHF的面积。
连接EF四边形EGFH的面积：24＋17=41（cm2）风筝模型例题3如图：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。
已知其中三个小三角形的面积，求三角形CDG的面积。
△CDG的面积：3×8÷4=6（cm2）练习3如图：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。
已知其中三个小三角形的面积，求三角形ABG的面积。
△ABG的面积：8×6÷12=4（cm2）例题4如图：四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米，求三角形BOC的面积。
OC:OA=50:30=5:3△BOC和△AOB是等高模型面积比为5:3△BOC的面积为:48÷（5＋3）×5=30（cm2）练习4如图：一个园林形状如四边形ABCD，现测得三角形BCD的面积是25公顷，三角形ABC 的面积是24公顷，三角形ABD的面积是15公顷。
2019年数学奥数6年级终极培优详解(第4讲)图形问题之蝴蝶模型
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一 方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系； 另一方面， 也可以得到 与面积对应的对角线的比例关系。
类型 1：任意四边形中的蝴蝶模型
① S1 S3 S2 S4 （上、下两部分面积的积等于左、右两部分面积的积）；
是多少平方厘米？
1 AB, BF
3
1 BC ，四边形 BGHF 的面积
2
1、如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，则△ BGC 的
面积为
；AG:GC=
2、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O 若△ ABD
的面积等于△ BCD 的面积的 1 ，且 AO=2， DO=3，那么 CO 的 3
【例 2】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， BE=2EC， CF=FD ，求△ AEG的面积．
【例 3】梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，已知梯形上底为 2 ，且△ ABO的面积 等于△ BOC面积的 2 ，求△ AOD与△ BOC的面积之比．
3
【例 4】正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， BE
长度是 DO 的
倍。
3、梯形的下底是上底的 1.5 倍，△ OBC 的面积是 9cm2 ，
则△ AOD 的面积是
4、正方形 ABCD的面积是 57 平方厘米， E 是 AB的中点， F 是 BC
的中点，则四边形 BGHFABCD是梯形，△ ADE面积是 1.8 ，△ ABF 的面积是 9 ，△ BCF 的面积是 27 ．那么阴影△ AEC面积是多少？
② S1 : S4 S2 : S3
S1 S2 : S4 S3 AO : OC （左：右
六年级奥数蝴蝶模型(供参考)
蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h21h h =∴（两平行线之间高相等）三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ） 推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯四、蝴蝶模型与长方形（一） ①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b 、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。
解：由蝴蝶定理可知：S ∆BOC =S ∆AOD =6∴S ∆DOC =6×6÷4=9∴梯形ABCD 的面积是9+6+4+6=25答：梯形ABCD 的面积是25。
例2：如图，求阴影部分的面积。
（单位cm 2）分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。
解：S 阴影=28×6÷12=14（cm 2）答：阴影部分的面积为14平方厘米。
六年级奥数蝴蝶模型
型蝶模蝴一、蝴蝶模型与任意四边形两组相对三角形面积之积相等。
在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，由等积变形模型可知：推导：二、蝴蝶模型与梯形SS??S?S①4123SS?②21同上推导：①h DABC的高作，过点②过点A作三角形1h的高△BCD2hh??相等）（两平行线之间高21三、蝴蝶模型与平行四边形S?S?S?S（一）①4321S?SS??S②4213：①同上推导SS? S?S②（同底等高）ACD?BCDBCD?ABC??SS?S?S?即：对角平行四边形面积乘积相等（二）4231）内作两条分别平行于两组相对边的线段GH、EF（在平行四边形ABCD M垂直于GH于点HF、FG，过点E作EMGE推导：连接、EH、111SS???S?SSS同理可得：4EOH?OGF?OFH?32222S??S?SS由蝴蝶定理可知：SS??SS?①（一）4213 EOH?OFHOGE??OGF?四、蝴蝶模型与长方形S?S?SS?②4132?S?S?SS即：对角长方形面积（二）4123乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？分析：梯形ABCD是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD的面积。
解：由蝴蝶定理可知：6BA O 4CD的面积是梯形答：梯形ABCD的面积是25。
2cm）2：如图，求阴影部分的面积。
（单位例，可直接求出阴影部分的分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”面积。
12 28cm（2）解：阴影6答：阴影部分的面积为14平方厘米。
求图中阴影部分的面积。
六年级奥数蝴蝶模型
蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：OC AOS S BOC AOB =∆∆ OC AOS S COD AOD =∆∆ COD AODBOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h BC AD //21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆221h BC S BDC ⨯⨯=∆BDC ABC S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB = OC OA = 31S S =∴ 42S S =即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21EM OG S S ⨯==∴1平行四边形 121S S OGE =∴∆同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形（一）①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
小学奥数-几何五大模型蝴蝶模型
任意四边形、梯形与相似模型模塑三期礫模型（任意模型）任sriasi形中的比例关系（“期燥定理”）：(3)5, :52 =S4 :S3 (者Sj xS3 =S2 x S4②AO:OC=(S|+S2):(S J+SJ妁噪定理为我＜］提供了解决不的面稅何题的一个^go通it构殖模型，一方面可以使不規覓四也形的面秋关系与0J1®的三角形相联系；另一方面.也可以得對与面釈对应的对角箜的比傍关系。
【例1】（小数报竞赛活动贰题）如图，某公园的外乾縻是四迪形ABCD.被对角»AC.加分成四个部分，△ 力防面稅为1平方千米，面稅为2平方千米，的面稅为3平方千米，公园由隋地面枳是6. 92平方干米和人工湖组成，求人工湖的面枳是多少平方干米？【分析】根据掛蝶定理求得S“o°=3xl*2 = l・5平方千米，公同呱边形ABCD的面枳是1 + 2 + 3 + 1.5 = 7.5平方千米,所以人工湖的面枳是7.5-6.92 = 0.58平方千米【贝固】如图，四边形被两条对角城分廉4个三角形.其中三个三角形的面稅巳知. 求：（1）三角形BGC的面枳；（2）AG:GC=?A D【解析】(1)根据州喋定理，S BCC xl = 2x3,那么5^c=6;(2)根据捌礫定理,AG:GC = (l + 2):(3 + 6) = l:3. (? ? ?)【例2】四边形A3CD的对角SAC与3Q交于点0（如图所示）。
如果三角HABD的面稅等于三角形3CD的面积的且AO = 29 DO = 3t那么CO的长度是DOff｝长度的________________________ 倍。
【解析】在本题中，WH^ABCD为任恿呱边形，对干迪FT不良呱边形”，无外乎两种业理方法：（1）利用已知条件，向已有模型靠拢，）！而快速解决；（2）通过画来孜造不良四边形。
看到题目中给岀条件S“0B C D=\：3,逹可以向模里一脚蝶定理靠拢，干是得岀一种解法。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)48563
模型三 蝴蝶模型(任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 （小数报竞赛活动试题）如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分,△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求:⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？A BCDG321【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (?？？）任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O （如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种"不良四边形”，无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
六年级奥数蝴蝶模型
蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：OC AOS S BOC AOB =∆∆ OC AOS S COD AOD =∆∆ COD AODBOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h BC AD //Θ21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆Θ221h BC S BDC ⨯⨯=∆BDC ABC S S ∆∆=∴3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆=Θ ACD BCD S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB =Θ OC OA = 31S S =∴ 42S S =即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21EM OG S S ⨯==∴1平行四边形121S S OGE =∴∆同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形（一） ①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
六年级的奥数蝴蝶模型精编版.doc
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新 料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形S 1 S 2 S 3 S 4在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：S AOBAO S BOC OC S AODAO SCOD OCS AOBS AODSBOC SCOD即S 1 S 4S 3 S 2S 1 S 2 S 3S 4二、蝴蝶模型与梯形① S 1 S 2 S 3 S 4 ②S 1 S 2推导： ① 同上② 过点 A 作三角形 ABC 的高 h 1 ，过点 D作△ BCD 的高h 2 AD // BCh 1 h 2 （两平行线之间高相等）SABC1BC h 12SBDC1 BC h 22S ABC S BDCS 1 S 3 S 2 S 312S S三、蝴蝶模型与平行四边形（一）①S1 S2 S3 S4②S1 S2 S3 S4推导：①同上②SABCSBCD S BCD S ACD（同底等高）S1 S4 S2 S4 S4 S2 S3 S2S1S2S3S4OB OD OA OCS1S3S2S4（二） S1S2S3S4即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形 ABCD内作两条分别平行于两组相对边的线段GH、EF）推导：连接 GE、 EH、HF、FG，过点 E 作 EM 垂直于 GH 于点 M1S OGE OG EM2S平行四边形S1OG EM1S OGE S121 1 1同理可得：SOGF 2 S3SOFH 2S2SEOH2 S4由蝴蝶定理可知： S OGE SOFHSOGFSEOH1 S1 1S21S31S42 2 2 2S1 S2 S3 S4 四、蝴蝶模型与长方形（一）① S1S2S3S4②S1S2S3S4（二） S1S2S3S4即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b 、 c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
六年级奥数蝴蝶模型
S ABCBDCS ABC1 BC h 2BC h 22S BDCS i S 3S 2 S 3S S 2S AOBAOS BOCOC S AOD AO S CODOCS AOBS AOD S BOCS COD、蝴蝶模型与梯形②过点A 作三角形ABC 的高h i ，过点D、蝴蝶模型与任意四边形S| S 2 S 3 S 4在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面 积之积相等。
推导：由等积变形模型可知:S1S2S3S4AD // BCh i（两平行线之间高相等）蝴蝶模型S i S 4 S 3S 2三、蝴蝶模型与平行四边形S BCDS ACD（同底等高）S 1 S 4 S 2 S 4S 4S 2 S 3 S 2()Si S 2 S 3 S 4即：对角平行四边形面积乘积相等3 S 2S 3S 4OB OD OA OCS-i S 3 S 2 S 4（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段 GH EF ）②S ABC S BCD推导：连接GE EH HF FG 过点E作EM垂直于GH于点M1S OGE OG EM2S平行四边形S i OG EMS OGE — S21 1 1同理可得：S OGF S3 S OFH S2 S EOH S42 2 2由蝴蝶定理可知：S O GE S O FH S OGF S EOH1 c 1 c 1 c 1 cS1 S2 S3 S42 2 2 2四、蝴蝶模型与长方形I（二）S1 S2 S3 S4 即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”一一两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
答：阴影部分的面积为14平方厘米。
例1:如下图所示，在梯形 ABCD 中，对角线BD AC 相交于点0, △ A0D 勺面积 是6,A A0B 的面积是4,那么梯形ABCD 勺面积是多少？分析：梯形ABCD1四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积， 由蝴蝶定理容易求出三角形B0C 和三角形D0C 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。
小学六年级奥数 五大模型——蝴蝶模型、燕尾模型_PDF压缩
1S
12
43
或者S1
S 3
=
S 2
S 4
② AO:OC = S +S : S +S
1
2
4
3
BO:OD= S +S : S +S
2
3
【例8】 ( ★★★★) 如右图，三角形ABC中，AF : FB BD : DC CE : AE 3 : 2 且三角形ABC的面积是1 ，则三角形ABE的面积为______，三角形 AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______。
一、本讲重点知识回顾 1．蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系：
1
【例2】(★★★)
如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别 为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 ___________平方厘米。
【例3】 (★★★)
如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB的长是9。那么四边形OECD的面积是多少？
【例4】(★★★★) 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形， 保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与 小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的 面积为_________。
【例5】 (★★★)
如图，正方形的边长为1，E、F是正方形边上靠近点C和靠近点
A的三等分点，求 AG:EG和 FG:DG。
六年级奥数蝴蝶模型
六年级奥数蝴蝶模型蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形 4321S S S S ⨯=⨯在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知： OC AO S S BOC AOB =∆∆ OCAO S S COD AOD =∆∆ CODAOD BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴ 2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形① 4321S S S S ⨯=⨯ ② 21S S =推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D作△BCD 的高2hBC AD //21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆ 221h BC S BDC ⨯⨯=∆BDC ABC S S ∆∆=∴3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ① 4321S S S S ⨯=⨯② 4321S S S S ===推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+21S S =∴ 43S S =OD OB = OC OA =31S S =∴ 42S S = （二）4321S S S S ⨯=⨯ 即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21 EM OG S S ⨯==∴1平行四边形121S S OGE =∴∆ 同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S OFH =∆ 421S S EOH =∆由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯ 432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴四、蝴蝶模型与长方形例1：如下图所示，在梯形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？分析：梯形ABCD是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。
小学奥数-几何五大模型（蝴蝶模型）整理版
小学奥数-几何五大模型（蝴蝶模型）整理版任意四边形、梯形与相似模型卜亠\模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:DS1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4② AO : OC =[S S2 : S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ?【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ;⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??）【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。
如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。
3【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD 于G，面积比转化为高之比。
六年级下册小学奥数几何模块蝴蝶模型全国通用
例题讲解
练一练7：如图，梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，BC=3AD，已知阴影部分的面积是1， 求梯形ABCD的面积.
总结归纳总结归纳Fra bibliotek找梯形
构造梯形
求解
蝴蝶模型
巩固提升
巩固提升
作业1：如图，长方形ABCD被分成4块，已知其中3块的面积，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业2：如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC的三等分点，已知正方形的边长是1厘米，求图中 阴影部分的面积.
例题讲解
例题讲解
例1：如图，四边形ABCD是平行四边形，E在BC的延长线上，已知三角形ADF和三角形CEF的面 积，求平行四边形ABCD的面积．
例题讲解
练一练1：长方形ABCD中，E、F是BC、AD上两点，已知三角形ABG和三角形CDH的面积都是10， 求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例2：如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，已知三角形BEF的面积是1平方厘米，求正方形 ABCD的面积.
例题讲解
练一练2：如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC的三等分点，已知正方形的边长是6厘米，求图 中阴影部分的面积.
例题讲解
例3：如图，长方形ABCD的长和宽分别是6厘米和2厘米，E、F分别是AD的三等分点，求图中阴 影部分的面积.
例题讲解
练一练3：将边长为2厘米的正方形放置在边长为6厘米的正方形里面，求图中阴影部分的面积.
主讲老师：癸酉0311
目 录
专题解析 例题讲解 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
蝴蝶模型 蝴蝶模型作为梯形中的基础模型，可以看做是特殊的风筝模型，可以通过等高模型和相似模型进 行推导，其主要研究的是梯形中三角形的面积之间的关系.
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六年级奥数蝴蝶模型精
编W O R D版
IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
蝴蝶模
型
一、蝴蝶模型与任意四边形
在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：
二、蝴蝶模型与梯形
①
②
推导：① 同上
② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作
△BCD 的高2h
21h h =∴（两平行线之间高相等）
三、蝴蝶模型与平行四边形
（一） ①
②
推导：① 同上
② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高）
即：对角平行四边形面积乘积相等
（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）
推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M
同理可得：321S S OGF =
∴∆ 221S S OFH =∆ 42
1S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯
四、蝴蝶模型与长方形
（一） ①
②
即：对角长方形面积
乘积相等
五、蝴蝶模型与正方形
“子母图”——两共线相邻的正方形
在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b 、c//d
重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？
分析：梯形ABCD是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD的面积。
解：由蝴蝶定理可知：S?BOC=S?AOD=6
∴S?DOC=6×6÷4=9
∴梯形ABCD的面积是9+6+4+6=25
答：梯形ABCD的面积是25。
例2：如图，求阴影部分的面积。
（单位cm2）
分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。
解：S阴影=28×6÷12=14（cm2）
答：阴影部分的面积为14平方厘米。
例3：下图是两个正方形，大正方形边长是8，小正方形边长是6，求图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）
分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为容易算的部分。
由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知，连接AC，所以AC平行于GE，由梯形的蝴蝶定理可知，三角形AOG和三角形COE面积相等，因此，阴影部分的面积就等于三角形GCE的面积，即小正方形面积的一半。
解：连接AC
D C
A D
F
∵AC ∥GE
∴由梯形的蝴蝶定理可知：S ?AOG =S ?COE
∴S 阴=S ?COE +S ?GOE =S ?GCE =1
2×6×6=18（cm 2） 答：阴影部分的面积为18平方厘米。
练习题
1. 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC ，BD 分成四个部分，△
AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米。
公园由6.92平方千米的陆地和人工湖组成，则人工湖的面积是多少平方千米？
2. 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四
块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，
求余下的四边形OFBC 的面积。
3. 如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面
积为30 cm 2，△CDQ 的面积为80 cm 2，求阴影部分的
面积。
4. 如图，四边形ABCG 和CDEF 都是正方
形，DC 等于12厘米，CB 等于10厘米，求阴影部分的面
积。
B
C
E
O。