六年级奥数蝴蝶模型精编WORD版
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六年级奥数蝴蝶模型精
编W O R D版
IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
蝴蝶模
型
一、蝴蝶模型与任意四边形
在任意四边形中,两对角线将四边形分成四个三角形,两组相对三角形面积之积相等。
推导:由等积变形模型可知:
二、蝴蝶模型与梯形
①
②
推导:① 同上
② 过点A 作三角形ABC 的高1h ,过点D 作
△BCD 的高2h
21h h =∴(两平行线之间高相等)
三、蝴蝶模型与平行四边形
(一) ①
②
推导:① 同上
② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= (同底等高)
即:对角平行四边形面积乘积相等
(在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF )
推导:连接GE 、EH 、HF 、FG ,过点E 作EM 垂直于GH 于点M
同理可得:321S S OGF =
∴∆ 221S S OFH =∆ 42
1S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知:EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯
四、蝴蝶模型与长方形
(一) ①
②
即:对角长方形面积
乘积相等
五、蝴蝶模型与正方形
“子母图”——两共线相邻的正方形
在上面两个图形中,每组正方形的对角线均互相平行,即a//b 、c//d
重要结论:两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1:如下图所示,在梯形ABCD 中,对角线BD ,AC 相交于点O ,△AOD 的面积是6,△AOB 的面积是4,那么梯形ABCD 的面积是多少?
分析:梯形ABCD是四个三角形面积的总和,现已经知道两个三角形的面积,由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积,进而可以求出梯形ABCD的面积。
解:由蝴蝶定理可知:S?BOC=S?AOD=6
∴S?DOC=6×6÷4=9
∴梯形ABCD的面积是9+6+4+6=25
答:梯形ABCD的面积是25。
例2:如图,求阴影部分的面积。(单位cm2)
分析:由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”,可直接求出阴影部分的面积。
解:S阴影=28×6÷12=14(cm2)
答:阴影部分的面积为14平方厘米。
例3:下图是两个正方形,大正方形边长是8,小正方形边长是6,求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
分析:图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出,因此要将其转化为容易算的部分。由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知,连接AC,所以AC平行于GE,由梯形的蝴蝶定理可知,三角形AOG和三角形COE面积相等,因此,阴影部分的面积就等于三角形GCE的面积,即小正方形面积的一半。
解:连接AC
D C
A D
F
∵AC ∥GE
∴由梯形的蝴蝶定理可知:S ?AOG =S ?COE
∴S 阴=S ?COE +S ?GOE =S ?GCE =1
2×6×6=18(cm 2) 答:阴影部分的面积为18平方厘米。
练习题
1. 如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线AC ,BD 分成四个部分,△
AOB 面积为1平方千米,△BOC 面积为2平方千米,△COD 的面积为3平方千米。公园由6.92平方千米的陆地和人工湖组成,则人工湖的面积是多少平方千米?
2. 如图,长方形ABCD 被CE 、DF 分成四
块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,
求余下的四边形OFBC 的面积。
3. 如图,在长方形ABCD 中,△ABP 的面
积为30 cm 2,△CDQ 的面积为80 cm 2,求阴影部分的
面积。
4. 如图,四边形ABCG 和CDEF 都是正方
形,DC 等于12厘米,CB 等于10厘米,求阴影部分的面
积。
B
C
E
O