山西省运城市康杰中学2018届高考模拟(一)数学(理)试题+Word版含答案

康杰中学2017—2018高考数学（理）模拟题（一）命题人：冯伟杰 李清娟2018.4【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B I 中元素的个数是 A.2B.3C.4D.52．i 是虚数单位，复数()z a i a R =+∈满足i z z 312-=+，则z = A.2或5 B.2或5 C.5 D.53．设向量a 与b 的夹角为θ，且)1,2(-=a ，)3,2(2=+b a ，则θcos ＝ A. 35- B.35 C.5 D.25- 4．已知1tan 2θ=，则tan 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.7B.7-C.17D.17-5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 A. 4B. 642+C. 442+D. 26．已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件7．执行如图所示的程序框图，则输出的a =A.1B.1-C. 4-D.52-8．在()102x -展开式中，二项式系数的最大值为a ，含7x 项的系数为b ，则b a= A.8021B.2180 C .2180- D.8021-9．设实数,x y 满足约束条件250403100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为B.10C.8D.510．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为A.3πB.6πC.8πD.4π11．已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左焦点，B A ,分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且x PF ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则Γ的离心率为A.3B.2C.32D.4312．已知函数 ()()2ln x x f x e e x -=++，则使得()()23f x f x >+ 成立的x 的取值范围是A.()1,3-B.()(),33,-∞-+∞UC.()3,3-D.()(),13,-∞-+∞U二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线3y x =与y =所围成的封闭图形的面积为 .14．已知{}n a 是等比数列，5371,422a a a =+=，则7a = . 15．设21,F F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，经过1F 的直线交椭圆C 于B A ,两点，若AB F 2∆是面积为34的等边三角形，则椭圆C 的方程为 .16．已知12,x x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，则()12sin x x += .三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 已知B b A c A b B A a cos 2cos sin cos cos 2=--.（I ）求B ；（II ）若a b 7=，ABC ∆的面积为32，求a .18.（12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[]40,100，分数在80以上（含80）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.（I ）在答题卡上填写下面的22⨯列联表，能否有超过0095的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？文科生理科生合计 获奖 5不获奖合计200（II ）将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附表及公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=()2P K k >0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k2.072 2.7063.841 5.0246.6357.87919.（12分）在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PB PC PD ==.（I ）证明：⊥PA 平面ABCD ；（II ）若2=PA ，求二面角A PD B --的余弦值.20.（12分）已知抛物线()2:20C x py p =>，圆22:1O x y +=.（I ）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为C 和圆O 的一个交点，求AF ； （II ）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点N M ,，求MN 的最小值及相应p 的值.21.（12分）已知函数x x x f ln )(=，)12(ln )(--=axx x x g . （I ）求函数)(x f 的最大值；（II ）当10,a e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数)],0(()(e x x g y ∈=有最小值，记()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1:4C x y +=，曲线21cos :(sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）， 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I ）求曲线12,C C 的极坐标方程；（II ）若射线)0(≥=ραθ与曲线12,C C 的公共点分别为,A B ，求OBOA的最大值．23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()()10f x a x x a a =-+->. （I ）当2a =时，求不等式4)(≤x f 的解集；（II ）如果对于任意实数x ，1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围．康杰中学2018年数学（理）模拟试题（一）答案1. B 【解析】当2x =±时，3y =；当1x =-时，0y =；当0x =时，1y =-；当3x =时，8y =，所以{1,0,3,8}B =-，所以{1,0,3}A B =-I ，故选B.2. C 【解析】因为222()1(21)13z z a i a i a a a i i +=+++=-+++=-，所以211213a a a ⎧-+=⎨+=-⎩，解得2a =-，所以|||2|z i =-+==，故选C. 3. A 【解析】因为(2)2(4,2)a b a b +-==r r r r ，所以(2,1)b =r，所以3cos 5||||a b a b θ⋅===-r r r r ，故选A.4．D 【解析】因为22122tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯===--，所以tan tan 24tan(2)41tan tan 24θθθπ-π-=π+＝41134713-=-+，故选D. 5. B 【解析】由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，所以该几何体的表面积为1222262⨯++⨯=+ B. 6. A 【解析】若数列}{n a 是等差数列，设其公差为1d ，则1212112)()(d a a a a a a b b n n n n n n n n =-=+-+=-+++++，所以数列}{n b 是等差数列.若数列}{n b 是等差数列，设其公差为2d ，则221211)()(d a a a a a a b b n n n n n n n n =-=+-+=-+++++，不能推出数列}{n a 是等差数列.所以数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的充分不必要条件，故选A.7．C 【解析】第一次循环，得1,1,2b a i =-=-=；第二次循环，得55,,322b a i =-=-=；第三次循环，得4,4,4b a i =-=-=，…，以此类推，知该程序框图的周期3，又知当40i =退出循环，此时共循环了39次，所以输出的4a =-，故选C.8.D 【解析】有题，得510Ca =，3103)2(C b -=，所以2180)2(5103103-=-=C C a b ，故选D. 9. B 【解析】作出可行域，如图所示，因为22z x y =+表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，1013|10003|222min=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⨯=z .故选B.10. A 【解析】当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值，此时设正方体的棱长为a ，则球的半径为2226()22R a a a =+=3363146()a ππ=⨯，故选A. 11. A 【解析】易证得MFA ∆∽EOA ∆，则||||||||MF EO FA OA =，即 ||||||()||||EO FA EO c a MF OA a⋅⋅-==；同理MFB ∆∽NOB ∆， ||||||()||||NO FB NO c a MF OB a ⋅⋅+==，所以||()EO c a a ⋅-||()NO c a a⋅+=，又2OE ON =，所以2()c a a c -=+，整理，得3ca=，故选A. 12. D 【解析】因为)()ln()()ln()(22x f x e e x e ex f x x x x=++=-++=---，所以)(x f 是偶函数，又)(x f 在)0,(-∞单调递减，在),0(∞+单调递增，所以)2()2(+>x f x f 等价于|3||2|+>x x ，解得1-<x ，或3>x .故选D.13. 125【解析】由题意，所围成的封闭图形的面积为125|)4132()(10423310=-=-⎰x x dx x x .14. 1【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则依题意，有4126111242a q a q a q ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得12182a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以63711218a a q ==⨯=. 15. 22196x y +=【解析】由题意，知2211||||||||||AF BF AB AF BF ===+ ①，又由椭圆的定义知，21||||AF AF +＝21||||2BF BF a += ②，联立①②，解得224||||||3AF BF AB a ===，112||||3AF BF a==，所以2F ABS ∆＝21||||sin 602AB AF ︒=，所以3a =，12||||2F F AB ==c =以2226b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22196x y +=.16.()2sin 2cos2)f x x x m x m ϕ=+-=+-，其中（cos ϕϕ==），由函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，知方程)0x m ϕ+-=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个根，即函数y m =与)y x ϕ=+的图象在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点，且12,x x 关于直线42x ϕπ=-对称，所以12x x +＝2ϕπ-，所以12sin()sin()cos 25x x ϕϕπ+=-==.17. 解：（I ）由已知及正弦定理，得A C AB B A A B B cos sin sin sin cos cos sin cos sin 22--= AC A B B A A cos sin )sin sin cos (cos sin --=A CB A A cos sin )cos(sin -+=B C A A C C A sin )sin(cos sin cos sin -=+-=--=， 4分因为0sin ≠B ，所以21cos -=B ， 5分 又因为π<<B 0，所以32π=B . 6分 （II ）由余弦定理，可得B ac c a b cos 2222-+=，将21cos ,7-==B a b 代入上式，得0622=-+a ac c ，解得a c 2=， 10分ABC ∆的面积为3223sin 212===a B ac S ，解得2=a . 12分 18．解（I ）3分841.3167.46251604015050)45351155(2002>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ， 5分所以有超过0095的把握认为“获奖与学生的文理科有关”. 6分（II ）由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为51. 7分 X 的所有可能的取值为3,2,1,0，且)51,3(~B X . 8分kkk C k X P -⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==5351151)((3,2,1,0=k ). 9分所以X 的分布列如下11分53513)(=⨯=X E .12分19．解：（I ）连接AC ，则ABC ∆和ACD ∆都是正三角形，取BC 中点E ，连接AE ，PE . 因为E 为BC 的中点，所以在ABC ∆中，BC AE ⊥， 因为PC PB =，所以PE BC ⊥，又因为E AE PE =I ，所以⊥BC 平面PAE ， 又⊂PA 平面PAE ，所以PA BC ⊥. 同理PA CD ⊥，又因为C CD BC =I ，所以⊥PA 平面ABCD . 6分（II ）以A 为坐标原点，分别以向量AP AD AE ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz A -，则)0,1,3(-B ，)0,2,0(D ，)2,0,0(P ，)2,2,0(-=PD ，)0,3,3(-=BD .设平面PBD 的法向量为),,(z y x =m ，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0m m BD PD ，即⎩⎨⎧=+-=-033022y x z y ，取平面PBD 的法向量)1,1,3(=m . 9分 取平面PAD 的法向量)0,0,1(=n . 10分><n m ,cos ＝||||n m n m ⋅⋅515=. 11分所以二面角A PD B --的余弦值是515. 12分20.解：（I ）由题意，得)0,1(F ，从而y x C 4:2=.解方程组⎩⎨⎧=+=14222y x y x ，得25-=A y ，所以15||-=AF . 5分（II ）设),(00y x M ，则切线l 的方程为000)(y x x px y +-=， 整理得000=--py py x x 6分 由1||=ON 得1||2200=+p x py ，所以2022002||p py p x py +=+=， 整理，得12200-=y y p 且0120>-y ， 8分 所以1211||||200202022-+=-+=-=y py y x OM MN8)1(1424114411420202020202020=-⋅-+≥-+-+=-+-=y y y y y y y ， 当且仅当30=y 时等号成立.所以||MN 的最小值为22，此时31332=-⨯=p . 12分 21.解：（I ）)(x f 的定义域为),0(∞+，2ln 1)('xx x f -=. 当),0(e x ∈时，0)('>x f ，)(x f 单调递增；当),(∞+∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减.所以当e x =时，)(x f 取得最大值e e f 1)(=. 4分 （II ）⎪⎭⎫⎝⎛-=-=a x x x ax x x g ln ln )('，由（I ）及],0(e x ∈得： ①若e a 1=，0ln ≤-a xx ，0)('≤x g ，)(x g 单调递减， 当e x =时，)(x g 的最小值2)()(e e g a h -==. 6分 ②若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈e a 1,0，a f ≤=0)1(，a e e f >=1)(， 所以存在),1[e t ∈，0)('=t g 且at t =ln ，当),0(t x ∈时，0)('<x g ，)(x g 单调递减；当],(e t x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增，所以)(x g 的最小值)12ln ()12ln (ln )12(ln )()(-=--=--==t t t t t at t t t g a h . 9分 令t t t t -=2ln )(ϕ，),1[e t ∈. 21ln )('-=t t ϕ， 当∈x ),1(e 时，0)('<t ϕ，所以)(t ϕ在),1[e 单调递减，此时⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈1,2)(e t ϕ，即 ⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈1,2)(e a h . 11分 由①②可知，)(a h 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,2e . 12分 22．解：（I ）曲线1C 的极坐标方程为4)sin (cos =+θθρ，曲线2C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，所以曲线2C 的极坐标方程为θρcos 2=. 4分 （II ）设),(1αρA ，),(2αρB ，因为,A B 是射线αθ=与曲线12,C C 的公共点，所以不妨设24παπ≤<-，则ααρsin cos 41+=，αρcos 22=， 6分 所以)sin (cos cos 241||||12αααρρ+⨯==OA OB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++=1)42cos(241)12sin 2(cos 41πααα， 8分 所以当8πα=时，||||OA OB 取得最大值412+. 10分 23．解：（I ）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<+-=-+-=2,43;21,;1,43|2||1|2)(x x x x x x x x x f .所以，)(x f 在]1,(-∞上递减，在),1[∞+上递增， 又4)38()0(==f f ，故4)(≤x f 的解集为}380|{≤≤x x . 4分 （II ）①若1>a ，|1|)1(|||1||1|)1()(--≥-+-+--=x a a x x x a x f 1|1||1||1|)1(|)()1(|-=-≥-+--=---+a a a x a a x x ，当且仅当1=x 时，取等号，故只需11≥-a ，得2≥a . 6分②若1=a ，|1|2)(-=x x f ，10)1(<=f ，不合题意. 7分③若10<<a ，|)()1(|||)1(|||1|)(a x x a a x a a x a x a x f ---≥--+-+-= ||)1(a x a --+)1(|1|||)1(|1|a a a a a x a a a -=-≥--+-=，当且仅当a x =时，取等号，故只需1)1(≥-a a ，这与10<<a 矛盾. 9分 综上所述，a 的取值范围是),2[∞+. 10分。